1. Información Útil Para Un
Curso De Matemática
Universitaria ©
ING. ALLAN VILLEGAS ALEMÁN
2012
Información Útil Para Un Curso De Matemática Universitaria
Ing. Allan Villegas Alemán - Documento no fotocopiable ©

3. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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PRÓLOGO
El objeto de este documento es el de brindar las fórmulas necesarias para
que el lector pueda entrar en contacto de una manera desenfadada con las
MATEMÁTICAS a un nivel Universitario, así como con sus múltiples
aplicaciones.
Este documento fue tomado en parte del compendio llamado
“INFORMACIÓN ÚTIL PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE CÁLCULO
DIFERENCIAL INTEGRAL©” de mi autoría, con la finalidad de que sea más
adecuado para estudiantes de diversos cursos.
La compilación comienza con un recordatorio de lo necesario para
manipular las expresiones del Álgebra como lo son: el alfabeto griego, las
notaciones matemáticas utilizadas con frecuencia, las constantes, productos y
factores notables siempre útiles para manipulación algebraica, un repaso de las
funciones exponencial y logarítmica, así como de la ecuación de segundo orden
y sus soluciones. Todo esto para caer por fin en las reglas generales de
diferenciación e integración, así como a ecuaciones propias de la Estadística, la
Interpolación Lineal entre otras.
Como se anotó arriba, este documento, es sólo una pequeña parte de
otro. Y simplemente, una infinitesimal parte de un todo llamado originalmente
FLUXIONES por “Sir Isaac Newton (matemático, físico y filósofo inglés, uno de
los genios más grandes que ha existido…)” padre del cálculo diferencial
integral.
Página
3
AllanV.A
Ing. Allan Villegas Alemán

4. 1 - Alfabeto Griego
Nombre
Griego
Letra Griega
Minúscula Mayúscula
Alpha
α
Α
Beta
β
Β
Gamma
γ
Γ
Delta
δ
Δ
Epsilon
ε
Ε
Zeta
ζ
Ζ
Eta
η
Η
Theta
θ
Θ
Iota
ι
Ι
Kappa
κ
Κ
Lambda
λ
Λ
Mu
μ
Μ
Nu
ν
Ν
Xi
ξ
Ξ
Omicron
ο
Ο
Pi
π
Π
Rho
ρ
Ρ
Sigma
σ
΢
Tau
τ
Σ
Upsilon
υ
Τ
Phi
φ
Υ
Chi
χ
Φ
Psi
ψ
Χ
Omega
ω
Ψ

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2 - Notaciones Matemáticas
I.
RELACIONES ENTRE LAS MAGNITUDES
2.1.
igual
2.2.
idénticamente igual
2.3.
aproximadamente igual
2.4.
menor
2.5.
mayor
2.6.
mucho menor que
2.7.
mucho mayor que
2.8.
menor o igual
2.9.
mayor o igual
2.10.
desigual
2.11.
no idéntico
2.12.
ni aproximadamente ni estrictamente igual a
2.13.
no es menor
2.14.
no es mayor
2.15.
ni menor que ni igual a
2.16.
ni mayor que ni igual a
II.
ÁLGEBRA
2.18.
suma (más)
2.19.
resta (menos)
2.20.
multiplicación, por ejemplo:
2.21.
división
2.22.
a elevado a la m-ésima potencia
2.23.
raíz cuadrada, por ejemplo:
2.24.
raíz n-ésima, por ejemplo:
2.25.
logaritmo de base b, por ejemplo:
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5
valor absoluto del número a
Página
2.17.

6. 2.26.
lg
2.27.
logaritmo decimal, por ejemplo:
ln
logaritmo natural, por ejemplo:
2.28.
paréntesis (sucesión de operaciones)
2.29.
factorial, por ejemplo: a! ó
III.
GEOMETRÍA
2.30.
perpendicular (u ortogonal)
2.31.
es paralelo
2.32.
es igual y paralelo
2.33.
es semejante, por ejemplo:
2.34.
triángulo
2.35.
ángulo (a veces
2.36.
arco, por ejemplo:
2.37.
grado, minuto, segundo (respectivamente) de ángulos o de
), por ejemplo:
arcos, por ejemplo: 32° 14´ 11´´
IV.
TRIGONOMETRÍA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
2.38.
sen
seno
2.39.
cos
coseno
2.40.
tan ó tg
tangente
2.41.
cotan ó ctg
cotangente
2.42.
sec
secante
2.43.
cosec
cosecante
2.44.
Arc sen
arco seno
2.45.
Arc cos
arco coseno
2.46.
Arc tan
arco tangente
2.47.
Arc cot
arco cotangente
2.48.
arc sen
valor principal del arco seno
2.49.
arc cos
valor principal del arco coseno
2.50.
arc tan
valor principal del arco tangente
2.51.
arc cot
valor principal del arco cotangente

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V.
ANÁLISIS MATEMÁTICO
2.52.
límite
2.53.
tiende a…
2.54.
infinito
2.55.
suma
2.56.
suma en la cual i varía desde 1 hasta n
designaciones de funciones, por ejemplo:
2.57.
2.58.
incremento, por ejemplo:
2.59.
diferencial, por ejemplo: dx
2.60.
diferencial parcial, por ejemplo:
2.61.
designaciones de las derivadas sucesivas de la función
de una variable, por ejemplo:
primera derivada, segunda derivada, etc. por ejemplo:
2.62.
2.63.
derivadas parciales, por ejemplo:
2.64.
integral
2.65.
integral indefinida
2.66.
integral definida desde el límite inferior a hasta el límite
superior b
2.67.
integral definida para la función f(x)
2.68.
integral curvilínea tomada sobre el arco K o sobre la
Página
7
proyección del arco K
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8. 3 - Constantes Notables
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.

9. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
Página
9
3.25.
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10. 4 – Productos Notables
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
Los resultados anteriores constituyen casos particulares u especiales de
la “fórmula del binomio” siguiente:
si
entonces
4.11.
en el desarrollo anterior (del binomio) se pueden utilizar otros valores de n
y entonces se tiene una “serie infinita”. La ecuación del binomio también se
puede escribir de la siguiente forma:
4.12.
en donde los coeficientes, llamados “coeficientes binomiales” están dados
por:
4.13.

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5 – Factores Notables
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
I.
FACTORIAL DE ENE
Si
“ene factorial”
el factorial de n se define así:
5.8.
Y el factorial de cero se define así:
5.9.
II.
FÓRMULA DE STIRLING PARA APROXIMAR
Página
11
5.10.
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12. 6 – Función Exponencial
I.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea
, p se llama exponente, a se llama base y
se denomina la
potencia p de a. La función
es una función exponencial
II.
LEYES DE LOS EXPONENTES
Vamos a suponer que p, q son números reales y que m, n son enteros
positivos. Y que en cualquier caso se omite o descarta la división entre cero
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

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7 – Función Logarítmica
I.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA (logaritmos y antilogaritmos)
Si
cual se escribe
base a y se escribe
entonces p es el logaritmo de N en base a, lo
. El número
se llama el antilogaritmo de p en
.
Por ejemplo:
, tenemos que
La función
se llama función logarítmica
II.
LEYES DE LOS LOGARITMOS
III.
CAMBIO DE BASE DE UN LOGARITMO
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
La relación entre el logaritmo de un número N en base a y el logaritmo de
ese mismo número N en base b está dada por:
7.5.
en particular:
7.6.
y
Página
13
7.7.
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14. 8 – Ecuación Cuadrática
Sea la ecuación de segundo orden (cuadrática):
8.1.
Sus soluciones existen y vienen dadas por:
8.2.
Si a, b, c son reales y si:
8.3.
es el discriminante, entonces las raíces son:
i.
reales y desiguales si
ii.
reales e iguales si
iii.
conjugadas complejas si
Si
8.4.
8.5.
son las raíces, entonces:
y

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9 – Derivadas
Si
, la derivada de
o de
con respecto a x se define como:
9.1.
donde
. La derivada también se designa por:
ó
.
El proceso seguido para hallar la derivada se llama diferenciación.
REGLAS GENERALES DE DIFERENCIACIÓN
En lo consiguiente u, v, w son funciones de x. Y a, b, c, n son constantes
[con restricciones si así se indica];
… es la base natural de los
logaritmos;
es el logaritmo de u [o sea el logaritmo en base e]; donde se
supone que
y que todos los ángulos se dan en radianes.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
15
9.8.
Página
9.9.
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16. 9.10.
9.11.
(Regla de la cadena)
9.12.
9.13.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.

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10 – Integrales
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
La expresión general
, para todas las funciones primitivas de una
función dada f(x), se denomina anti-derivada de la función f(x) o integral
indefinida de f(x), o integral indefinida de la diferencial f(x). La designación es:
10.1.
es el signo de la integral, f(x) es la función integrando, f(x) dx es la
expresión integrando.
Puesto que la derivada de una constante es cero, todas las integrales
indefinidas difieren entre sí por una constante arbitraria “C”.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea f(x) definida en el intervalo
partes iguales de longitud
entre
y
se define como:
. Divídase éste intervalo en n
. Entonces la integral definida de f(x)
10.2.
El límite ciertamente existe si f(x) es cuasi-continua.
Si
, entonces, por el teorema fundamental del cálculo integral
el valor de la integral anterior se puede hallar empleando la fórmula:
Página
17
10.3.
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18. 11 – Reglas Generales de Integración
REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA
A continuación u, v, w son funciones de x; a, b, p, q, n, son constantes,
con las restricciones que en caso dado se indiquen;
es la base
natural de los logaritmos;
es el logaritmo natural de u suponiendo que
[en general, para poder aplicar las fórmulas en los casos en que
,
remplácese
por
]; todos los ángulos están expresados en radianes.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
11.8.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
11.14.
11.15.
Integraci n por Partes

19. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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11.16.
11.17.
11.18.
11.19.
11.20.
11.21.
11.22.
11.23.
11.24.
REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN DEFINIDA
11.25.
11.26.
donde
es una constante cualquiera
11.27.
11.28.
11.29.
se encuentra entre
y
19
donde
Página
11.30.
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20. 12 – Reglas Generales de Derivación para Funciones
Trigonométricas Inversas
Sea u una función derivable de x; entonces:
12.1-
12.2-
12.3-
12.4-
12.5-
12.6-
13 – Reglas Generales de Integración para Funciones
Trigonométricas Inversas
Algunas de las expresiones que figuran a continuación se deducen de
forma inmediata de las fórmulas de derivación vistas en ocasiones (cursos,
pítulos…) anteriores. Sea u una función derivable de x; entonces:
13.1-
13.2-
13.3-
13.4-
13.5-
13.6-

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14 – Interpolación Lineal
La interpolación es un método numérico (y gráfico) que permite encontrar
datos desconocidos entre o en medio de otros datos ya conocidos. El tipo de
interpolación difiere según la naturaleza de los datos tratados. Existe la
interpolación lineal (para datos que presentan una relación lineal entre sí), la
interpolación cuadrática, cúbica y de enésima potencia (para datos que
presentan l
r terísti de est r elev dos poten i s de orden 2, 3, 4, …, y
hasta n), interpolación exponencial, etc.
Para entender la interpolaci n lineal, debemos reconsiderar la “función
lineal” (que se estudia desde secundaria), así como sus propiedades. Su gráfica
general se presenta a continuación.
y
y = mx + b
y2
y2 - y1
θ
y1
x 2 - x1
x1
x2
x
Página
Dada la función lineal
, tal que
, podemos
observar que siempre se tiene que
, por lo tanto, la gráfica de f corta al
eje y en el punto (0, b). Por esta razón el parámetro b se conoce usualmente
como y-intersección de la recta que representa la gráfica de la función.
21
θ
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22. Por otra parte, si consideramos dos puntos
en la gráfica de la función f, tenemos que:
, con
,
Lo que hemos verificado es que en cualquier intervalo del dominio, la
razón de cambio de la función f es igual a la constante m. Gráficamente
podemos ver que esta razón de cambio es una medida de la inclinación de la
recta que representa la gráfica de f. Por este motivo, el parámetro m recibe el
nombre de pendiente de la gráfica de la función.
La propiedad de “razón de cambio constante” de la funci n lineal, permite
utilizarla con toda seguridad para “interpolar” datos desconocidos a partir de
otros datos conocidos (siempre y cuando se relacionen linealmente). Volvamos a
la figura de la recta.
y
y2
y3
y2 - y3
θ
y2 - y1
θ
y1
x2 - x1
x2 - x3
θ
x1
x3
x2
x
Como inicio axiomático, daremos por sentado que todos los datos se
relacionan linealmente. Ahora, digamos que conocemos a:
y también
a
que se encuentra en algún lugar entre
e
. Y queremos encontrar un
dato
que se encuentra entre
y . Valiéndonos del hecho de que tienen
igual pendiente y que sus razones de cambio son las mismas y constantes.
Podemos escribir una ecuación que las relacione, así:

23. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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Reacomodando la ecuación anterior nos da:
Luego:
Después:
Por último multiplicamos por –1 (menos uno) a ambos lados de la igualdad y
reacomodamos un poco:
La anterior es una fórmula de interpolación lineal para hallar a
conociendo el resto de los puntos.
,
Pongámosle valores a la ecuación anterior, así podremos verificar que
tenga un valor entre
y :
Página
Valor que efectivamente se encuentra entre 2 y 7.
23
Sustituimos cada subíndice y evaluamos en la fórmula de interpolación:
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24. 15 – La Recta Real
La Recta Real
La letra
se utilizará para nombrar al conjunto de los números reales,
que son los números que se usan con datos numéricos. Asumimos que el lector
conoce la representación gráfica de
como la sucesión de puntos en una línea
recta, como se indica en la siguiente figura. Nos referiremos a esa línea como la
recta real o la recta real .
-π
π
Recta real
Con frecuencia, trataremos con conjuntos de números llamados
intervalos. Concretamente, para cualquier número real a y b, donde a
b,
definiremos los intervalos desde a hasta b como sigue:
i.
ii.
iii.
iv.
Es decir, cada intervalo se compone de todos los puntos entre a y b; el
término cerrado y el corchete se usan para indicar que el último punto
pertenece al intervalo, y el término abierto y el paréntesis se usan para indicar
que el último punto no pertenece al intervalo.
Por ejemplo: el intervalo
consiste de todos los números reales que
están entre -1 y 3, incluyéndolos a los dos.
Esto es:
Otro ejemplo: el intervalo
consiste de todos los números reales que
están entre 2 y 6, incluyendo a 2 y excluyendo a 6.
Esto es:

25. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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16 – Propiedades Fundamentales del Símbolo de
Sumatoria
PROPIEDAD 1: La sumatoria del producto de una constante por una
variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.
Simbólicamente es así:
Veamos la demostración:
Por lo tanto:
PROPIEDAD 2: La sumatoria de la suma algebraica de dos o más
variables, es igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.
Simbólicamente es así:
Página
25
Veamos la demostración:
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26. Por lo tanto:
PROPIEDAD 3: La sumatoria de una constante, tomada de 1 a n, es igual
a n veces esa constante. Simbólicamente es así:
Veamos la demostración:
Por lo tanto:

27. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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17 – Propiedades Fundamentales de la Media
Aritmética
La media aritmética tiene algunas propiedades matemáticas que es
importante conocer por su utilidad práctica y analítica.
PROPIEDAD1. Si se multiplica a la media por el número total de observaciones,
se obtiene la suma de las observaciones.
Veamos la demostración:
Por lo tanto:
PROPIEDAD 2. Si a cada una de las observaciones se les resta la media, y luego
se suman esas diferencias, la suma resultante es igual a cero.
Página
De la propiedad 1 sabemos que:
27
Veamos la demostración:
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28. Y sabemos también la definición de sumatoria de los
términos, y es:
Además conocemos la definición de la media aritmética:
De la ecuación anterior, vemos que
es un factor común de la suma y,
por tanto, multiplica a cada término de la misma:
Esto implica que:
Reacomodando:

29. Información Útil Para Un Curso De Matemática
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Página
29
Reacomodando de nuevo:
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30. Otra forma de demostrarlo es:
Pero:
Esto implica que:
Por lo tanto:
PROPIEDAD 3. Si se suma (o se resta) una constante b a cada una de las
observaciones, el promedio aritmético se verá aumentado (o disminuido) en esa
constante b.
PROPIEDAD 4. Si se multiplica (o se divide) cada una de las observaciones por
una constante b, el promedio aritmético se verá multiplicado (o dividido) por esa
constante b.