Trabajo de Matematicas

1. pág. 1
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
CORONEL “AGUSTÍN CODAZZI”
BARINAS ESTADO BARINAS
LA APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Docente: Estudiante:
Jesús Gámez Génesis Berro C.I:30.267.932

2. pág. 2
Índice
Introducción……………………………………………………………………………………….3
Desarrollo:
La Aplicación de la Derivada……………………………………………………. 4 - 15
Conclusión……………………………………………………………………………………16
Bibliografía…………………………………………………………………………………..17

3. pág. 3
Introducción
La derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es
una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las
operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de
la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de
una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en
un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto,
mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función
derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto
considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto
como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones
compuestas, funciones implícitas, así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.

4. pág. 4
Aplicación de la derivada
La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes
puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de
la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc.
Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas:
Recta tangente y recta normal de una curva

5. pág. 5
1.

6. pág. 6
Ángulo entre dos curvas

7. pág. 7

8. pág. 8
Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física.
La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la
velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto
cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.
La tasa de variación representa el incremento positivo o negativo (crecimiento y decrecimiento) del valor de una función f(x) al
pasar la variable independiente de un valor a a otro mayor b.
Vemos que, en un mismo intervalo [a, b], la función f (x) varía más que la función g(x).
Tasa de variaciónmedia

9. pág. 9
La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f (x) en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx] perteneciente al
dominio de la función se representa como el cociente entre el incremento de la función en ese intervalo dividido por la amplitud de
ese mismo intervalo.
La T.V.M., según la función y el intervalo, puede ser positiva, negativa o nula.
Interpretacióngeométricade laT.V.M.
La fórmula anterior de la tasa de variación media(T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la
función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α:
O, lo que es lo mismo:

10. pág. 10
Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la físicade la materia
condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
Estudiando la concavidad de una función es posible determinar si un punto crítico es un extremo local de dicha función.
Intuitivamente, lo que ocurre es que, al fijar un punto crítico de una función, si la función se dobla hacia abajo, entonces esta
alcanza un punto máximo; por otra parte, si la función se dobla hacia arriba, entonces esta alcanza un punto mínimo.

11. pág. 11
A partir de estas observaciones podemos establecer un criterio que nos permita como determinar los máximos y mínimos de una función usando
su segunda derivada. Formalmente, si es un punto crítico en un intervalo tal que
, entonces alcanza un máximo local en .
, entonces alcanza un mínimo local en .
Ejemplo 1
Determine los extremos locales de la función .
El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que
, notando que . Por lo tanto es el punto crítico de esta
función.
El segundo paso es aplicar el criteriode la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos
y como siempre es negativo, entonces concluimos que la función alcanza un máximo
local en .
Este criterio se conoce como el criterio de la segunda derivada y será de utilidad para determinar extremos locales en el caso que
trabajar conla primera derivada sea muy laborioso. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar máximos y mínimos locales
usando la segunda derivada.

12. pág. 12
Determinaciónde valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de problemas que
requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo,
aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina
mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo
absoluto es uno, para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos los
puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.
Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el
dominio.
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función,
ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.
Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las
raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más

13. pág. 13
adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor. En términos llanos, el
método de Newton puede establecerse como,
El método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función
derivable de enésimo grado con la precisión deseada. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o
cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos. Aunque existen fórmulas para hallar las raíces de
ecuaciones de tercer y cuarto grado, dichas formulas son muy complicadas y nada prácticas. Un teorema, atribuido a Abel,
establece que no es posible encontrar una fórmula general, en términos de los coeficientes de la ecuación, que permita hallar los
ceros exactos de una función polinomial de grado cinco o mayor. Esto significa que, en general, sólo se pueden hallar
aproximaciones para los ceros de funciones de grado mayor que cuatro aplicando métodos numéricos.

14. pág. 14

15. pág. 15
Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas.
Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos
puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta
conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.
Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital.
En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente
conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

16. pág. 16
Conclusión
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se puede calcular: con la derivada implica se calcula la
“razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas
físicosreales (bajo el mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la construcciónde un edificio…conuna función
que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la
ingeniería, la economía, la administración etc.
Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor,
mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos los
cuales son importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función
trigonométrica. Es decir, tiene un numero sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel importante

17. pág. 17
Bibliografía
https://derivadasimplicitas.wordpress.com/category/conclusion/
https://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.html#:text=La%20derivaci%C3%B3n%20cons
tituye%20una%20de,%C3%A9sta%20no%20es%20el%20tiempo.
https://www.ecured.cu/Aplicaci%C3%B3n_de_la_derivada_al_anC3%A1lisis_de_funciones
https://www.uv.es/~diaz/mn/node20.html
https://totumat.com/tag/punto-critico/
Libro: Cálculo diferencial e integral, Editor: Prof.: Elisa Hernández
Libro: Análisis Matemático I, Recabaren Graciela

18. pág. 18

19. pág. 19