1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA
EDUCACIÓN
CARRERA: MATEMÁTICA Y FÍSICA
USO DE LAS TICS EN LA FORMULACIÓN TEÓRICA DE
LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRESIENTES Y SU
APLICACIÓN.
ASIGNATURA: MATEMÁTICA V
PROFESOR: MAT.VICENTE PARRA MORENO MSC.
ALUMNO: RAMÍREZ GUAGUA DOLORES VIVIANA
SEMESTRE
ABRIL - SEPTIEMBRE 2014
QUITO- ECUADOR

2. JUSTIFICACIÓN:
Las matemáticas sin contexto son abstractas y por ende, necesitan una completa atención
y dedicación para poder apropiarse de sus conceptos. La integración de las TIC dentro del
currículo sirve como puente para la apropiación de conceptos matemáticos ya que no es
suficiente con contextualizar este conocimiento. Adicionalmente, se debe utilizar una
herramienta que permita evidenciarlo. Por ejemplo, al enseñar el concepto de polígonos
equiláteros, este se puede contextualizar con un tornillo de cabeza hexagonal. Pero, por más
que se quiera y se trabaje, la construcción que se puede hacer en el tablero o en el cuaderno
no es equilátera. Ahora, si se utiliza un software para geometría sí es posible lograr la
construcción de este tipo de polígono.
Las TICS tienen un impacto muy grande, pues en ocasiones sirven para comprobar
resultados o para reforzar conceptos y en otras, que son las más importantes, sirven para que
el estudiante construya autónomamente su propio conocimiento.
 Sin duda, el avance en el uso de las Tecnologías de la Información (TIC´s), han
tenido un crecimiento impresionante en la vida común de los estudiantes que se puede decir
que “ya nacen” sabiéndolas utilizar como recursos de diversión y de comunicación informada.
 En tal sentido las herramientas como las personal computer con el uso de
multimedios, internet, blogs, wikis y demás tecnologías web 2.0, son de uso cotidiano e
incluso los jóvenes alumnos transcurren largas horas detrás de un monitor.
 El problema no viene con el uso del aparato, sino que se ha convertido en simple
transmisor de datos que por la velocidad con que llega y se va, no tiene tiempo de detenerse
y reflexionar sobre ella es necesario que se complemente con la educación guiada por el
maestro.
 En ese sentido, muchos docentes me han manifestado su preocupación y temor de
que estas tecnologías los estén rebasando, ya que no solo no la saben manejar, sino que en
su vida cotidiana se han convertido en simples objetos de consumo, sin una finalidad
educativa.
OBJETIVO GENERAL:
 Dar a conocer la importancia del uso de la tics en la matemática en temas como
funciones crecientes y decrecientes y su aplicación.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Usar las tics para la enseñanza de las funciones crecientes
 Utilizar las tics para aplicaciones de las funciones crecientes y decrecientes.
 Analizar los tipos de TICS. Que se pueden

3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA:
1. ELABORAR UN ORGANIZADOR GRAFICO DE LAS FORTALEZAS DE
MATEMÁTICA
2. ELABORAR UN ORGANIZADOR GRÁFICO CON LAS DEBILIDADES DE LA
MATEMÁTICA
2.
derivadas
de orden
superior
1. regla de
la cadena
3.
propiedad
es de las
derivadas
FORTALEZAS 4. máximos
y mínimos
DEBILIDADES
teorema
de Rolle
furnciones
trascendentales
derivadas de
logarítmos
límites y
continuidad

4. 1. Elabore un esquema con la definición de limites
No obstante, hay casos como por ejemplo
la función de Dirichlet definida
como:
Esto, escrito en notación formal:
El límite de una función f(x), cuando x tiende
a c es L si y sólo si para todo existe
un tal que para todo número real x en
el dominio de la función
.

5. 2. Esquema de continuidad y su grafica
Continuidad de una función
4. El límite por la derecha, el límite por la
izquierda coinciden:
5. Si existen el límite por la derecha y por
la izquierda y sus valores coinciden, la
función tiene límite en este punto:
6. Existe f(x1):
7. El límite y el valor de la función
coinciden:
La función es continua en ese punto. Una
función es continua en un intervalo si es
continua en todos sus puntos.
Si f(x1)= y1, la continuidad
en x1 se expresa así:
1. existe el límite por la derecha:
2. existe el límite por la
Izquierda:
3. La función tiene límite por la derecha y
por la izquierda del punto x1

6. 1. Realice un esquema de la interpretación geométrica de la derivada
2. Esquema de las derivadas fundamentales
1. Esquema con las derivadas de las funciones trigonométricas
Derivadas trigonométricas
Derivada del seno
Derivada del coseno
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto
Q tiende a confundirse con el
P. Entonces la recta secante
tiende a ser la recta tangente
a la función f(x) en P, y por
tanto el ángulo α tiende a ser
β.
La pendiente de la tangente a
la curva en un punto es igual
a la derivada de la función en
ese punto.
mt = f'(a)
FÓRMULAS DE
DERIVACIÓN
𝐷 𝑥 𝑓 + 𝑔
= 𝐷 𝑥 𝑓
+ 𝐷 𝑥𝑔
𝐷 𝑥 𝑓 − 𝑔
= 𝐷 𝑥 𝑓
− 𝐷 𝑥𝑔
𝐷 𝑥 𝑐𝑓
= 𝑐𝐷 𝑥 𝑓
𝐷 𝑥c=0
𝐷 𝑥 𝐹 = 1
F:R→R
x→f(x)=x 𝐷 𝑥 𝑓. 𝑔
= 𝑓𝐷 𝑥 𝑔
+ 𝑔𝐷 𝑥 𝑓
𝐷 𝑥 𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1
𝐷 𝑥
𝑛
𝑥 =
1
𝑛
𝑥
1
𝑛
−1
=
1
𝑛
𝑥
1−𝑛
𝑛
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
(𝒚 − 𝒚 𝟏) = (𝒙 − 𝒙 𝟏)
Para encontrar la recta normal
perpendicular a la tangente
𝒎 𝟏. 𝒎 𝟐 = −𝟏
𝒎 𝟐 =
−𝟏
𝒎 𝟏

7. Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivadas trigonométricas inversas
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante

8. 2. Esquema de las fórmulas de las derivada logarítmicas y exponenciales
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el
logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma
función por la derivada del exponente.
Elabore un esquema con todos los procesos para encontrar valores críticos con
máximos y mínimos relativos, concavidades, puntos de inflexión, intervalos de
crecimiento.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES
derivadas de los logaritmos
𝐷𝑥 log 𝑎 𝑥 =
1
𝑥
log 𝑎 𝑒 (𝐷𝑥 𝑥 )
𝐷𝑥 ln ⬚⬚ 𝑥 =
1
𝑥
log 𝑒 𝑒 (𝐷𝑥 𝑥 )
𝐷𝑥 log 𝑎 𝑈 =
1
𝑥
log 𝑎 𝑒 (𝐷𝑥 𝑈 )
𝐷𝑥 ln ⬚⬚ 𝑈 =
1
𝑥
log 𝑒 𝑒 (𝐷𝑥 𝑈 )

9. 1. Elabore un esquema con el proceso para resolver problemas de aplicación.
1. ELABORE UN ESQUEMA DE PARTICIÓN NORMA Y ARGUMENTO.
VALORES CRÍTICOS:
son aquellos en donde se obtiene la derivada de
f con respecto a x e igualados a cero:
𝑽𝒄 = 𝒙 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇′
𝒙 = 𝟎
VALOREZ MÁXIMOS RELATIVOS:
si f es continua y derivable en ]a;b[ si f'(x) > 0 ]a;c[ y f'(0) <0
]c;b[ f tiene un máximo relativo.
VALORES MÍNIMOS RELATIVOS
si f es continua y derivable en ]a;b[ si f'(x)
< 0 ]a;c[ y f'(0) >0 ]c;b[ f tiene un minimo
relativo
puntos de inflexión
es el punto de la curvatura donde se cambia la concavidad
si f es continua en ]a;b[ y derivable el punto p(c,f(c))
si f"(x) > 0 en x  ]a;c[ y f"(c) < 0 en ]c;b[ siendo c parte del
intervalo
si f es continua en ]a;b[ y derivable el punto p(c,f(c))
si f"(x) < 0 en x  ]a;c[ y f"(c) > 0 en ]c;b[ siendo c parte del
intervalo
a)primero se debe sacr los
datos e incognitas
b) segundo se formula el
problema vinculando los
datos con sus
caracterísiticas principales.
c) se utiliza los valores
críticos obtenidos de la
derivada se iguala a cero y
se pone en función de dos
variables
variable dependiente y la
variable independiente
se comprueba las
respuestas , se verifica los
datos,para evitar soluciones
extrañas se grafica con
relacion al problema .
PARTICIÓN:
Se denomina 𝑃𝑛 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ∶
𝑎, 𝑏 = [𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . . , 𝑥 𝑛−1, 𝑥 𝑛]
donde en efecto:
𝑃𝑛 = [𝑥0;𝑥1],[𝑥1;𝑥2];.........;[𝑥 𝑛−1;𝑥 𝑛]
NORMA:
se denomina norma a la mayor longitud del intervalo.
[∆𝑃 = 𝑁𝑝 = 𝑥𝑖-𝑥𝑖−1]
ARGUMENTO:
Corresponde a un valor que permite obtener resultados mas precisos .
𝑥𝑖−1 ≤ 𝑡𝑖 ≤ 𝑥𝑖
𝑡 𝑛 = 𝑡1, 𝑡2, … . , 𝑡 𝑛−1, 𝑡 𝑛

10. 2. ELABORE UN ESQUEMA DE UN ÁREA REAL, POR EXCESO POR DEFECTO Y
SU FORMULACIÓN.
y el área bajo la curva es el área real.
1. Esquema del enunciado del teorema fundamental del calculo
2. Organizador grafico de la integral de una potencia
⬚ 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙
( 𝒏 + 𝟏) / (
𝒏 + 𝟏) + 𝑪
𝟏/𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = ln |𝒙| + 𝑪
Integral de una potencia
𝐴 = ∑ ∆𝑥𝑖. 𝐹(𝑡𝑖)
𝑛
𝑖=1
{
𝐴𝑑
𝐴𝑒
∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
{
𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 1
𝐴𝑒: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖

11. 1. Esquema con las propiedades fundamentales
3.1 preguntas de fin de carrera.
PREGUNTAS DE FIN DE CARRERA
1. Relacione las columnas de las derivadas con su formula
1. 𝐷𝑥(𝑓 + 𝑔) = 𝐷 𝑥 𝑓 + 𝐷𝑥𝑔
2. 𝐷𝑥(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑥 𝑓 − 𝐷𝑥𝑔
3. 𝐷𝑥 𝑐𝑓 = 𝑐𝐷𝑥 𝑓
4. 𝐷𝑥c=0
5. 𝐷𝑥(𝑓. 𝑔) = 𝑓𝐷𝑥 𝑔 + 𝑔𝐷𝑥 𝑓
6. 𝐷𝑥 𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1
7. 𝐷𝑥 √ 𝑥
𝑛
a. 𝐷_𝑥 𝑓 − 𝐷_𝑥𝑔
b. 0
c. 1/𝑛 𝑥^(1/𝑛 − 1) =
1/𝑛 𝑥^((1 − 𝑛)/𝑛)
d. 〖 𝑓𝐷〗_𝑥 𝑔 + 𝑔𝐷_𝑥 𝑓
e. 𝐷_𝑥 𝑓 + 𝐷_𝑥𝑔
f. 𝑐𝐷_𝑥 𝑓
g. 𝑛𝑥^(𝑛 − 1)

12. A. 1,a 2,c 3,b 4,d 5,e 6,f 7,g
B. 1,a 2,b 3,c 4,d 5,e 6,f 7,g
C. 1,e 2,a 3,f 4,b 5,d 6,g 7,c
D. 1,a 2,d 3,c 4,b 5,e 6,f 7,c
2. Seleccione la respuesta correcta: si 𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 𝟑
− 𝟑) 𝟓
hallar f’(x)
1. 𝑓′(𝑥) = 5(2𝑥3
− 3)
2. 𝑓′(𝑥) = 10(2𝑥3
− 3)
3. 𝑓′(𝑥) = 5(2𝑥3
− 3). (6𝑥2
)
4. 𝑓′(𝑥) = 30𝑥2
(2𝑥3
− 3)4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. ¿Cuál es la ecuación de la normal a la curva cuya ecuación es 𝒚 = √ 𝒙 en el
punto cuya abscisa es 4?
1. 𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
2. 4𝑥 + 𝑦 − 18 = 0
3. 4𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0
4. 4𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. Seleccione la de cada función trigonométrica de forma correcta 𝑫𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 =?
1. 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
2. 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
3. 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑡𝑎𝑛𝑥
4. 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑐𝑡𝑔𝑥
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. Enlace las afirmaciones con su correcta definición
1. Área por exceso
2. Área por defecto
3. Área real
4. Partición
A. 1,a 2,d 3,b 4,d
B. 1,a 2,b 3,c 4,d
C. 1,a 2,d 3,b 4,c
D. 1,d 2,b 3,a 4,c
a. 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖
b. 𝑇𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎
c. 𝑃_𝑛 = [𝑥_0; 𝑥_1], [𝑥_1; 𝑥_2]; . . . . . . . . . ; [𝑥_(𝑛 − 1); 𝑥_𝑛]
d. 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 1

13. 6. ¿Cuál es el elemento que le falta a la fórmula para la derivada de un
cociente?(
𝒇
𝒈
) (𝒙) =
𝒈(𝒙).𝒇(x)- f(x) . g" (𝒙)
[ ]𝟐
1. 𝐹(𝑥)
2. 𝐺(𝑥)
3. (𝑓. 𝑓)(𝑥)
4. (𝑔. 𝑓) (𝑥)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. ¿A qué es igual 𝑫 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 ?
1. 3𝑥 − 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
2. 3𝑥2
− 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
3. 3𝑥2
− 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
4. 3𝑥 − 2 + 𝑐𝑜𝑠
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. Seleccione la expresión correcta de la integral de La suma.
1. [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
2. [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3. [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑥
4. [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. Seleccione la expresión correcta para el área por defecto.
1. 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 2𝑥𝑖 − 1
2. 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 1
3. 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 + 1
4. 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

14. 10. Seleccione la respuesta correcta para la integral 𝒙 𝟐
=
𝟒
𝟐
1. 𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2
1
3
(43
− 23) =
56
´4
2. 𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2
1
3
(43
− 23) = −
56
3
3. 𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2
1
3
(43
− 23) =
16
3
4. 𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2
1
3
(43
− 23) =
56
3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
PROCESO DE SOLUCIÓN:
1. 𝐷𝑥(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑥 𝑓 + 𝐷𝑥𝑔
𝐷𝑥(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑥 𝑓 − 𝐷𝑥𝑔
𝐷𝑥 𝑐𝑓 = 𝑐𝐷𝑥 𝑓
𝐷𝑥c=0
𝐷𝑥(𝑓. 𝑔) = 𝑓𝐷𝑥 𝑔 + 𝑔𝐷𝑥 𝑓
𝐷𝑥 𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1
𝐷𝑥 √ 𝑥
𝑛
=
1
𝑛
𝑥
1
𝑛
−1
=
1
𝑛
𝑥
1−𝑛
𝑛
2. 𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 𝟑
− 𝟑) 𝟓
𝑓′(𝑥)
= 5(2𝑥3
− 3)4
. 𝐷𝑥(2𝑥3
− 3)
𝑓′(𝑥)
= 5(2𝑥3
− 3)4
. (6𝑥2
− 0)
𝑓′(𝑥)
= 5(2𝑥3
− 3)4
. (6𝑥2
− 0)
𝒇′(𝒙)
= 𝟑𝟎𝒙 𝟐(𝟐𝒙 𝟑
− 𝟑) 𝟒
3. 𝒚 = 𝑭(𝒙) = √ 𝒙 𝑷(𝟒, 𝒚) 𝒚 = √𝟒 𝒚 = 𝟐 𝑷(𝟒, 𝟐)
𝐹(𝑥) = √ 𝑥 𝐹(𝑥 + ℎ) = √𝑥 + ℎ
𝐹,
= lim
ℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
𝐹,
= lim
ℎ→0
√𝑥 + ℎ − √ 𝑥
ℎ
𝐹,
= lim
ℎ→0
√𝑥 + ℎ − √ 𝑥
ℎ
.
√𝑥 + ℎ + √ 𝑥
ℎ
𝐹,
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ(√𝑥 + ℎ + √ 𝑥)
𝐹,
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ(√𝑥 + ℎ + √ 𝑥)
𝐹,
=
1
2√ 𝑥
𝑚𝑡 = 𝐹,
𝑚𝑡 =
1
2√4
𝑚𝑡 =
1
4

15. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑡(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 =
1
4
(𝑥 − 4)
4𝑦 − 8 = 𝑥 − 4
4𝑦 = 𝑥 + 4
𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
𝑚 𝑁 = −4
𝑦 − 2 = −4(𝑥 − 4)
𝑦 − 2 = −4𝑥 + 18
4. Derivada del coseno.
𝐷𝑥 = lim
ℎ→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑜𝑠𝑥
ℎ
𝐷𝑥 = lim
ℎ→0
−2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + ℎ + 𝑥
2
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + ℎ − 𝑥
2
)
ℎ
𝐷𝑥 = lim
ℎ→0
−2𝑠𝑒𝑛 (
2𝑥 + ℎ
2
) . 𝑠𝑒𝑛
1
2
ℎ
ℎ
𝐷𝑥 = lim
ℎ→0
−𝑠𝑒𝑛(𝑥 +
1
2
ℎ). 𝑠𝑒𝑛
1
2
ℎ
1
2
ℎ
𝐷𝑥 = lim
ℎ→0
−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
1
2
ℎ) . lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛
1
2
ℎ
1
2
ℎ
𝐷𝑥 = lim
1
2
ℎ→0
−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
1
2
ℎ) . lim
1
2
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛
1
2
ℎ
1
2
ℎ
𝐷𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥. (1) 𝐷𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
5. 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎
( 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 1@ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴𝑒: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐼𝐶𝐼Ó𝑁:
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑃_𝑛 𝑑𝑒 [𝑎, 𝑏]𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 :
[𝑎, 𝑏] = [𝑥_0, 𝑥_1, 𝑥_2, 𝑥_3, … . . , 𝑥_(𝑛 − 1), 𝑥_𝑛]
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜:
𝑃_𝑛 = [𝑥_0; 𝑥_1], [𝑥_1; 𝑥_2]; . . . . . . . . . ; [𝑥_(𝑛 − 1); 𝑥_𝑛]
6. Derivada del cociente.
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
𝑓
𝑔
(𝑥 + ℎ) −
𝑓
𝑔
(𝑥)
ℎ
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ)
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
ℎ
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
+ −
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
+
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). ℎ
]

16. 𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ)
+
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ)
+
𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ)]
𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ)
+
−𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ)]
−𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ)
−
𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ). ℎ
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) = lim
ℎ→0
[
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ)
−
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ)
]
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) =
lim
ℎ→0
𝑓
(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ)
− lim
ℎ→0
[
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
] .
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥)
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥). lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ)
𝐷𝑥 (
𝑓
𝑔
) =
𝐷𝑥 𝑓
𝑔(𝑥)
− [𝐷𝑥 𝑔.
𝑓(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
]
𝑫 𝒙 (
𝒇
𝒈
) =
𝑫 𝒙 𝒇. 𝒈(𝒙) − 𝑫 𝒙 𝒈. 𝒇(𝒙)
[𝒈(𝒙)] 𝟐
8. 𝑭(𝒙) = 𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂.
𝑫𝒙𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙
9. [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
10. 𝐴𝑑: 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 − 1
11. 𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2
1
3
(43
− 23) =
56
3
HOJA DE RESPUESTAS:
1. C
2. D
3. B
4. A
5. C
6. B
7. B
8. A
9. B
10. D

17. 3.2 PREGUNTAS EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA
1. De que otra forma se expresa el trinomio el siguiente trinomio: 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗
1. (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
2. (𝑥 − 3)(𝑥 − 6)
3. (𝑥 − 3)2
4. (𝑥 + 3)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 𝒄𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏. {−[𝟑 + (𝟐 − 𝟏)]}
1. 4
2. -4
3. -3
4. 3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏. 𝒙 + 𝟑 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟓 − 𝟓 − 𝟖 −
𝟒𝒙 =
1. -9x -15
2. 9x-15
3. -9x+15
4. 9x+15
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. Seleccione el resultado del siguiente sistema 𝟔 𝒙 + 𝟏𝟖 𝒚 = 𝟎, 𝟑 𝒙 + 𝟕 𝒚 = 𝟐
1. {𝑥 = −3, 𝑦 = 1}
2. {𝑥 = −2, 𝑦 = −1}
3. {𝑥 = 3, 𝑦 = −1}
4. {𝑥 = −3, 𝑦 = −1}
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

18. 5. Relacione las siguientes columnas Nombre de la función con su
representación simbólica
Lineal
Cubica
Polinómica
Cuadrática
A. 1,a;2,d;3,d;4c
B. 1,a ; 2,b ; 3, c ; 4, d
C. 1,c ; 2,a 3,d ; 4,b
D. 1,d ; 2;c ; 3,d ; 4,b
6. 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝟖𝒙 𝟔
− 𝟏𝟔𝒙 𝟓
+ 𝟔𝒙 𝟒
+ 𝟐𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟒𝒙 𝟑
+
𝟑𝒙 𝒆𝒔 ∶
1. 𝟐𝒙 𝟑
− 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟔
2. 2𝑥3
− 4𝑥2
− 6
3. 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 6
4. −2𝑥3
− 4𝑥2
+ 6
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄 = 𝟐𝟎 𝒖 𝒚 𝒂 = 𝟏𝟐 𝒖 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔
𝒚 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐.
1. 𝑏 = −16; 𝛽 = 36,9°; 𝛼 = 53,1°
2. 𝒃 = 𝟏𝟔; 𝜷 = 𝟑𝟔, 𝟗°; 𝜶 = 𝟓𝟑, 𝟏°
3. 𝑏 = 18; 𝛽 = 36,9°; 𝛼 = −53,1°
4. 𝑏 = 15; 𝛽 = −36,9°; 𝛼 = 53,1°
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝟐𝒙 𝟑
+ 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 𝟐
1. −𝟐𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟐 + 𝟑𝒙)
2. 𝟐𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟐 + 𝟑𝒙)
3. 𝟐𝒙(𝒙 𝟐
− 𝟐 + 𝟑𝒙)
4. 𝟐𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟐 − 𝟑𝒙)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.
𝟒𝝅
𝟑
𝒓𝒂𝒅 𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆.
1. 245
2. 240
a. 𝑦 = ±𝑎𝑥 ± 𝑏
b. 𝑦 = ±𝑎𝑥3
± 𝑏𝑥2
± 𝑐𝑥 ± 𝑑
c. 𝑦 = ±𝑎𝑥2
± 𝑏𝑥 ± 𝑐
d. 𝑦 = ±𝑎𝑥 𝑛
± 𝑏𝑥 𝑚
… … …

19. 3. 230
4. -240
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 135 ° cuantos radianes equivale.
1.
5
3
𝜋
2. −
5
3
𝜋
3.
3
4
𝜋
4. 1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
PROCESO DE SOLUCIÓN.
1. 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗
𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟑)
(𝒙 − 𝟑) 𝟐
2. {−[𝟑 + (𝟐 − 𝟏)]}
-(3+1)
-4
3. 𝒙 + 𝟑 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟓 − 𝟓 − 𝟖 − 𝟒𝒙 =
𝑥 + 3 − 6𝑥 + 2𝑥 − 8𝑥 + 6𝑥 − 5 − 5 − 8 − 4𝑥 =
−9𝑥 − 15
4. 𝟔 𝒙 + 𝟏𝟖 𝒚 = 𝟎, 𝟑 𝒙 + 𝟕 𝒚 = 𝟐
6 𝑥 + 18 𝑦 = 0, −6 𝑥 − 14 𝑦 = −4
4 𝑦 = −4
𝑦 = −1
6 𝑥 + 18 (−1) = 0,
6 𝑥 = 18,
𝑥 = 3
5.

20. 1. Lineal
2. Cubica
3. Polinómica
4. Cuadrática
6. 𝟖𝒙 𝟔
− 𝟏𝟔𝒙 𝟓
+ 𝟔𝒙 𝟒
+ 𝟐𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟒𝒙 𝟑
+ 𝟑𝒙
8-16+6+0+24+18-36 / 4+0+3-6
-8-0-6+12 2-4+0+6
-16+0+12+24
16+0+12-24
24+0+18-36
-24-0-18-36
0
7. 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄 = 𝟐𝟎 𝒖 𝒚 𝒂 = 𝟏𝟐 𝒖 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔
𝒚 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐.
𝑐 = √ 𝑎2 + 𝑏2
𝑏 = √ 𝑐2 − 𝑎2
𝑏 = √202 − 122
𝑏 = √256
𝑏 = 16
sin 𝛼 =
16
20
= 53.1 sin 𝛽 = 36.9
8. 𝟐𝒙 𝟑
+ 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 𝟐
2𝑥3
+ 2𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥2
2𝑥(2𝑥2
+ 2 + 3𝑥)
9.
𝟒𝝅
𝟑
𝒓𝒂𝒅 𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆.
4𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 =
4(180)
3
= 240°
10.135 ° cuantos radianes equivale.
135 ° ∗
𝜋
180
° =
3𝜋
4
a. 𝑦 = ±𝑎𝑥 ± 𝑏
b. 𝑦 = ±𝑎𝑥3
± 𝑏𝑥2
± 𝑐𝑥 ± 𝑑
c. 𝑦 = ±𝑎𝑥 𝑛
± 𝑏𝑥 𝑚
… … …
d. 𝑦 = ±𝑎𝑥2
± 𝑏𝑥 ± 𝑐

21. HOJA DE RESPUESTAS:
1. C
2. B
3. A
4. C
5. A
6. A
7. B
8. B
9. B
10.C
4) presente un esquema de lo más relevante de una investigación sobre el tema
vinculado a la elaboración del material didáctico que permita visionar para el
próximo hemisemestre construir este material, agregar 2 observaciones y 2
sugerencias.
OBSERVACIONES:
1. las tics mejoran el proceso de enseñanza aprendizaje pero deben ser guiadas por el
maestro.
2. El uso frecuente de las tics mejora el desarrollo de la creatividad.
SUGERENCIAS:
1. El maestro es quien debe hacer el material para cada clase ya que luego al exponerlo y
ampliar la explicación mejora la comprensión
2. El material didáctico debe ser elaborado en material tangible y no solo digital o
contextual.
BILIOGRAFÍA:
Del cuaderno de apuntes de matemática 4 y 5 de la carrera de matemática y física
docente matemático Vicente Parra.
USO DE LAS TICS EN LA
FORMULACIÓN TEÓRICA DE
LAS FUNCIONES
CRECIENTES Y
DECRESIENTES Y SU
APLICACIÓN.
La construcción de material
didáctico facilita el
desarrollo de las clases y la
comprensión de la materia.
las maquetas son un gran
ejemplo de material
didactico para explicar
funciones crecientes y
decrecientes
el análisis de artefactos
como montañas rusas
donde encontramos
intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
esto nos ayudara a construir
el materia, ya que las tics sn
una tecnica para mejhorar
la enseñanza .