2.
A B AB cos
El resultado de multiplicar dos
B vectores en producto punto es un
escalar.
es el menor ángulo entre A y B.
A
El producto punto es conmutativo.
El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.
3. B
Si < 90º A·B > 0
A
B Si > 90º A·B < 0
A
B
Si = 90º A·B = 0
A
4. ˆ ˆ
i i (1)(1) cos0º 1 i ˆ (1)(1) cos90º 0
ˆ j
ˆ ˆ (1)(1) cos0º 1
j j j ˆ
ˆ k (1)(1) cos90º 0
ˆ ˆ
k k (1)(1) cos0º 1 ˆ ˆ
k i (1)(1) cos90º 0
ˆ j ˆ
A Axi Ay ˆ Az k
ˆ j ˆ
B Bx i B y ˆ Bz k
¿Cuál es el resultado de A·B?
5.
j ˆ ˆ j ˆ
A B Ax i Ay ˆ Az k Bx i B y ˆ Bz k
ˆ
ˆ ˆ j j ˆ ˆ
i i ˆ ˆ k k 1
ˆ j j ˆ ˆ ˆ
i ˆ ˆ k k i 0
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
6. Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor
de t para que A y B sean perpendiculares.
A B 0
(2)(3) (3)(1) (1)(t ) 0
t 3
7. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida
del ángulo entre F y L.
F L FL cos
F L
cos
FL
(2)(3) (3)(1) (1)( 1)
cos
2 3 1
2 2 2
3 1 1
2 2 2
49.9º
8. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la
proyección del vector F sobre L.
F L FL cos
F L
F F cos FL
L
(2)(3) (3)(1) (1)(1)
FL
3 1 1
2 2 2
L
FL F cos FL 2.41
9.
A B C
El resultado de multiplicar dos
B vectores en producto cruz es otro
vector.
C A B ABsen
A
es el menor ángulo entre A y B.
Su dirección está dada por
C se encuentra en una dirección la regla de la mano
perpendicular simultáneamente a A y B. derecha.
10. C B
A B A C
C El producto cruz no es conmutativo.
11. ˆ ˆ
i i (1)(1) sen0º 0 ˆ j ˆ
iˆk ˆ
ˆ i k
j ˆ
ˆ ˆ (1)(1) sen0º 0
j j j ˆ ˆ
ˆk i ˆ j
k ˆ i
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ j
k i ˆ ˆ ˆ
k k (1)(1) sen0º 0 i k ˆ
j
ˆ j ˆ
A Axi Ay ˆ Az k
k
+
+
j ˆ
B Bx i B y ˆ Bz k
ˆ
j
i +
¿Cuál es el resultado de AB?
12.
j ˆ ˆ j ˆ
A B Ax i Ay ˆ Az k Bx i B y ˆ Bz k
ˆ
A B Ay Bz Az By iˆ Ax Bz Az Bx ˆ Ax By Ay Bx k
j ˆ
Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:
ˆ
i ˆ
j ˆ
k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
13. ˆ
i ˆ
j ˆ
k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
Ay Az Ax Az Ax Ay
A B ˆ
i ˆ
j ˆ
k
By Bz Bx Bz Bx By
14. Interpretación geométrica del producto cruz
B
Bsen
A
área del paralelogramo = base altura
área del paralelogramo = ABsen
área del paralelogramo = A B
15. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un
vector perpendicular a F y L.
ˆ
i ˆ
j ˆ
k
M F L 2 3 1
3 1 1
ˆ
M [(3)(1) (1)(1)]iˆ [(2)(1) (1)(3)] ˆ [(2)(1) (3)(3)]k
j
j ˆ
M 4iˆ 5 ˆ 7k
16. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área
del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.
j ˆ
M 4iˆ 5 ˆ 7k
área M 4 2 52 7 2
área 3 10
18. Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
resultante, esto es F1+ F2 es:
a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)
b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)
c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)
d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)
e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)
F2 = 2F1 = 100 N