1. UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz
Docente de introducción a la topología
HOMEOMORFISMOS
Homeomorfismos:
Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección
continua f : M N cuya inversa f 1 : M N también es continua. En este caso
se dice que M y N son homeomorfos.
Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación
biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva
aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es
también un homeomorfismo.
Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya
construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el
fascinante mundo de la topología.
 Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional
sn x Rn 1; x 1 . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte
constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano Rn .
En efecto:
Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como
polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional
s2 x R3 ; x 1. Z
L
P
Y
X
R
La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se
aprecia y toca al plano en el punto R.
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 Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:


L : P t(PQ) R; t R
Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como
(0,0,1) t (a, b, c 1) ( x, y,0)
(at, bt,1 t (c 1)) (x, y,0)
1 t (c 1) 0
t (c 1) 1
1
t
1 c
a b
Por consiguiente x ;y
1 c 1 c
De esta forma hemos construido la función
f : S2 P R2 , definida por:
a b
(a, b, c) f (a, b, c) ;
1 c 1 c
 Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:


L : P t (PR) Q ; t R
Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas
(a, b, c) (0,0,1) t (x , y , 1)
(a, b, c) (tx, ty,1 t )
a tx; b ty; c 1 t
Como (a, b, c) S 2 P tenemos
(tx)2 (ty)2 (1 t )2 1
t 2 x2 t 2 y2 1 2t t 2 1
tx2 ty2 2 t 0
2
t
1 x y2
2
2x 2y 2
Por consiguiente a 2 2
;b 2 2
;c 1 lo cual nos
1 x y 1 x y 1 x y2
2
permite construir la función f 1 : R2 S 2 P definida como:
2x 2y 2
( x, y) f 1 ( x, y) 2 2
; 2 2
;1
1 x y 1 x y 1 x y2
2
La cual constituye la función inversa de la función f .
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 Ahora bien una breve inspección muestra que
( f  f 1 )( x, y) ( x, y)
( f 1  f )(a, b, c) (a, b, c)
Lo cual garantiza que f sea biyectiva.
 F es continua
En efecto: Dado que (a, b, c) S 2 (0,0,1) se tienen las siguientes
desigualdades
1 a 1
1 b 1
1 c 1
2 c 1 0
0 1 c 2 1 c 0
a b
Po lo tanto se deduce de ellas que la función f (a, b, c) ; está bien
1 c 1 c
definida en todo punto (a, b, c) S 2 (0,0,1) , entonces:
Si a0 , b0 , c0 S2 P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado
a b
lim f (a, b, c) lim ; f a0 , b0 , c0 , lo que
a,b,c a0 ,b0 ,c0 a,b,c a0 ,b0 ,c0 1 c 1 c
prueba que f es continua en S 2 (0,0,1) .Un argumento similar garantiza la
continuidad de f 1 .
 F es sobreyectiva ¡ejercicio!
 Generalizando
Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria
n-dimensional sn x Rn 1; x 1 menos el polo norte P y el espacio
euclidiano Rn queda definido de la siguiente manera
f : Sn P Rn
x1 x
( x1,..., xn 1) f ( x1,..., xn 1) ;...; n
1 xn 1 1 xn 1
El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada
por f 1
: Rn Sn P la misma que queda definida de la siguiente manera:
2x1 2xn 2
( x1,..., xn ) f 1 ( x1,..., xn ) 2 2
;....; 2 2
;1
1 x1 ... xn 1 x1 ... xn 1 x1 ... xn2
2
y que constituye también un homeomorfismo.
.
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BIBLIOGRAFÍA
 ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto
Euclides 1983.
 ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto
Euclides, CNPq, 1976.
 ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro
Tecnico, Rio, 1970
 JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,
Universitat de Valencia.
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