1. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
A L1 O = centro de la circunferencia
L2 OA = OB = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
C L1 = recta tangente a la circunferencia
O
D L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
B
E
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación.
Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Angulo formado por dos radios. b) Angulo formado por dos cuerdas
B B C
β
Ox α Ox
A
A
Relación entre el ángulo y el arco : Relación entre el ángulo y el arco :
α= » AB »
AC
β=
2
c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el mismo
circunferencia : arco
B α
β C
β
Ox α δ x
O
A
Relación entre los ángulos: α = 2β Relación entre los ángulos: α = β = δ
d) Angulo formado por dos cuerdas f) Angulo formado por dos secantes
C B A D
α P
Ox Ox
α
D B
A C Medida del ángulo α
Medida del ángulo α
» »
BC+AD » - BD
AC »
α= α=
2 2

2. COLEGIO SANTA CRUZ
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g) Angulo formado por dos tangentes h) Angulo formado por una cuerda y una tangente
A
A
α P α
•D
C• Ox
Ox
B B
Medida del ángulo α : Medida del ángulo α :
¼ - ADB
ACB ¼ »
AB
α= α=
2 2
i) Angulos que forma una semicircunferencia j) Angulo formado por una secante y una tangente
: :
C A
A α
α P
Ox Ox B
B C
Medida del ángulo α : Medida del ángulo α :
α = 90° » - AB
AC »
α=
2
k) Arcos formados por rectas paralelas que l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito :
cortan a una circunferencia
D A
α D
A
Ox C Ox
β
C
B
Bβ
Relación entre ángulos :
Relación entre arcos
» »
AB = CD α + β = 180°
EJERCICIOS
1. Hallar ∠ BAC 2. ∠ y = 112º
∠x= A C
A B
O x 96º yx
O
x
C B

3. COLEGIO SANTA CRUZ
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3. ∠ x = 75º 4. x= D
y= 60º y= x 65º
A y
D A C
y
Ox
Ox
x C
B
B
Nota: El radio es Perpendicular a cualquier
cuerda
5. α = 72º 6. y = 140º
x= C ∠ BDC = A
y=
A x
y
α
Ox
Ox
B D
B y
C
7. ∠ y = 115º 8. ∠ x = 40º
∠x= C ∠y=
A D
Ox x y B
x E
y
200º
Ox
A B
C
9. ∠ x = 61º 10. x= E
y= y=
A 25º
D
x
x B
y A C
70º
Ox Ox
y
C
B
11. x = 12. x = E
y= D y= y
2x y
2x D
A C x
Ox A C
Ox
3x+10º 3x+6
3x
B
B

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13. Dado: AB diámetro del círculo O, BC es 14. AC bisectriz ∠ BAD
un diámetro del círculo O’, círculo O es ∠ BAC =
tangente al círculo O’ en B. ∠ AEB =
Demuestra que ∠ x = ∠ y ∠ BDC = A
∠ ADB = B
x
Ox 160º
A x x C E
y O O’ C
B 80º D
Nota: 13 y 14 complementarios
SEGMENTANDO EL CÍRCULO
Teorema 1 :
Los dos segmentos tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior son congruentes y determinan A
ángulos iguales con el segmento que une el punto
exterior al centro.
OX P
AP , BP segmentos tangentes:
AP = BP , ∠ OPA = ∠ OPB B
Teorema 2 : A
Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una
circunferencia, entonces: B
OX P
AP ⋅ BP = PD ⋅ PC
C
D
A
Teorema 3 :
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una
recta tangente y una recta secante, entonces:
OX P
AP = PC ⋅ BP
2
B
C
Teorema 4 :
Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia,
entonces: D
A
OX
AE ⋅ BE = CE ⋅ DE
E
C B

5. COLEGIO SANTA CRUZ
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EJERCICIOS
15. Según la figura : 16. Según la figura :
Si AP = 6 ; BP = 15 y PC = 8 , Si BP = 5 y PC = 20
determinar PD . determina AP
B
A
A
OX P OX
P
C C B
D
17. En la figura : 18. En la figura :
DE = 5 ; EB = 2⋅ AE ; CD = 15 ; OD = 10 ; OE = 8 ;
Determina AE Determina AB
C
D B A B
E
OX OX
E
A C D
19. En la figura: 20. En la figura:
AB = 6 , AD = 3 , AB = 12 , AC = 18 ,
Determina AC Determina CD
B A
D
OX
OX
C
C D A
B
21. En la figura: 22. En la figura :
AD = DB , EC = 14 , AE = 4 , OC = 5 , AE = 6 , BD = 4 ,
Determina AD Determina AD
B B
D
C
O D
OX A X
E E
C A

6. COLEGIO SANTA CRUZ
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23. En la figura: 24. En la figura:
BP = 5 , AB = 3⋅ BP , PT = 4 6 , AO = 5 ,
Determina PT Determina BP
T
B
O
OX X
B P B
A
P
25. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos de
una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.
¿ Cuál es la longitud del otro segmento ?
26. Dos cuerdas AB y EF se cortan en H . Calcular la medida del segmento EH
sabiendo que AB , EF y AH miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
27. En la figura: 28. En la figura:
1 AP = 90, AB : BP = 7 : 8, DP = 16
CD = DP , BP = 4 , CP = 21 ,
2 Determina CP
Determina AP
P C
B
A D
OX
OX D A
P B
C
Nota: Números 27 y 28 complementarios