bien

1. Métodos Numéricos I
Elementos sobre matrices
Alessandri Canchoa Q.
Agosto 2020

2. Contents
0.0.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.0.1 Matrices
Una matriz A es un arreglo o disposición rectangular de números. Si el arreglo
tiene m …las (horizontales) y n columnas (verticales), entonces se llama ma-
triz m n (se lee "matriz m por n"). Se dice que el orden, tamaño o dimensión
es m por n, o sea m n.
A =
0
B
B
B
B
B
B
@
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n
ai1 ai2 aij ain
am1 am2 amj amn
1
C
C
C
C
C
C
A
filas
(1)
" " "
c o l u m n a s
El número aij que aparece en la i ésima …la y la j ésima columna de A
(también denotado por (A)ij ) se llama componenete ij.ésima o elemento ij(-
ésimo) de A.
La matriz mostrada en (1) ser representa frecuentemente por A = (aij).
Una matriz de orden 1 n se llama vector …la n-dimensional (o simplemente
vector …la o matriz …la) y una matriz de orden m 1 se llama vector columna
n-dimensional (o simplemente vector columna o matriz columna).
Notación Al conjunto de matrices de componentes reales de orden m n
lo denotaremos por Rm n
:
Ejemplo C =
2
4
c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
3
5 o C =
0
@
c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
1
A
Los números cij son llamados elementos de la matriz. Los elementos son
referenciados por dos subindices, el elemento en la …la 2 y columna 3 es cij. La
matriz C del ejemplo tiene tres …las y cuatro columnas y es una matriz de orden
3 4.
1

3. Ejemplo Dadas las matrices
A =
0
@
12 2 6 7
1 8 9 4
8 8 9 0
1
A ; B =
0
B
B
@
3 4
6 8
5 2
7 4
1
C
C
A
La matriz A es una matriz de orden 3 4 y la matriz B es una matriz de
orden 4 2:
Ejemplo a) 4 2 3 4 o 4 2 3 4 es un vector …la 1 4:
b)
2
4
3
7
8
3
5 o
0
@
3
7
8
1
A es un vector columna.
De…nición Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si tienen el
mismo orden y si sus componentes correspondientes son iguales
De…nición Se dice que una matriz es cuadrada de orden n si tiene n …las y n
columnas. En este caso los elementos con subíndices iguales forman la diagonal
principal.
Ejemplo La siguiente matriz
A =
0
B
B
@
3 6 4 6
6 7 3 2
4 8 2 1
5 3 2 4
1
C
C
A
es una matriz cuadrada de orden 4 y los elementos de la diagonal son :
3; 7; 2; 4:
De…nición Sean A = (aij); B = (bij) dos matrices de orden m n. La
suma A + B de las dos matrices es la matriz de orden m n
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)
=
0
B
B
B
@
a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n
a12 + b21 a22 + b22 a2n + b2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn
1
C
C
C
A
Ejemplo Para A =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A ; B =
0
@
4 2
1 6
2 4
1
A, la suma de las matrices
A y B , esta dado por
A + B =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A +
0
@
4 2
1 6
2 4
1
A =
0
@
2 + 4 6 + 2
6 + 1 4 + 6
3 + 2 7 + 4
1
A
=
0
@
2 8
7 10
5 3
1
A
2

4. Luego :
A + B =
0
@
2 8
7 10
5 3
1
A :
Ejemplo Para R =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A ; S =
0
@
4 2 1
1 6 2
2 4 3
1
A, la suma de las matrices
R y S , no está de…nida por que tienen ordenes diferentes.
Matrices especiales
De…nición Se llama matriz nula a la matriz cuyos elementos son nulos y se
denota por 0.
Ejemplo Las siguientes matrices son nulas
03 3 =
0
@
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A ; 02 2 =
0 0
0 0
De…nición La matriz n n
I =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 0 0
... 1 0
0 0 0 0 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
;
se llama matriz identidad. Tiene la propiedad de que AI =AI =A para toda
matriz A de orden n n.
De…nición Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos sus ele-
mentos que no se encuentra en su diagonal son nulos.
Ejemplo Las siguientes matrices son matrices diagonales
D =
0
@
4 0 0
0 0 0
0 0 5
1
A ; V =
9 0
0 3
También se denotan D = diag(4; 0; 5); V = diag(9; 3). En general,
diag( 1; 2; ; n) =
0
B
B
B
@
1 0 0
0 2 0
.
.
.
.
.
.
... 0
0 0 0 n
1
C
C
C
A
:
De…nición Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior si
todos sus elementos que se encuentran debajo de los elementos de la diagonal
son nulos.
3

5. Ejemplo Cada una de las siguientes matrices es una matriz triangular su-
perior
U =
0
B
B
@
2 0 0 5
0 1 3 0
0 0 0 4
0 0 0 7
1
C
C
A ; W =
9 5
0 3
De…nición Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si
todos sus elementos que se encuentran encima de los elementos de la diagonal
son nulos.
Ejemplo Cada una de las siguientes matrices es una matriz triangular infe-
rior
U =
0
B
B
@
4 0 0 0
3 0 0 0
0 3 7 0
4 2 0 5
1
C
C
A ; W =
9 0
7 3
Teorema Si A; B; C 2 Rm n
y 0 2 Rm n
la matriz nula. Entonces se
cumplen
i) A + 0 = A (identidad aditiva)
ii) A + B = B + A (conmutatividad de la adición)
iii) A+ (B + C) = (A + B) + C (asociatividad de la adición)
De…nición Sea A = (aij) 2 Rm n
y 2 R un escalar. Entonces A es la
matriz de orden m n dada por
A = (aij) = ( aij)
=
0
B
B
B
@
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 amn
1
C
C
C
A
Ejemplo Para A =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A, se tiene
2A = 2
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A =
0
@
2 2 2 6
2 6 2 4
2 3 2 ( 7)
1
A =
0
@
4 12
12 8
6 14
1
A
Ejemplo Para
B =
0
@
2 4
5 6
6 3
1
A
se tienen
3B =
0
@
6 12
15 18
18 9
1
A ; ( 4) B =
0
@
8 16
20 24
24 12
1
A ; 0B =
0
@
0 0
0 0
0 0
1
A = 03 2
4

6. Teorema Si A; B 2 Rm n
, 0 2 Rm n
la matriz nula y ; 2 R escalares
arbitarios. Entonces se cumplen
i) (A + B) = A + B
ii) ( + ) A = A + A
iii) ( ) A = ( A)
iv) 1A = A
v) 0A = 0
Notación ( 1) A = A
De…nición La diferencia A B de dos matrices A; B 2Rm n
se de…ne por
A B = A+ ( 1) B:
Ejemplo Para A =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A ; B =
0
@
4 2
1 6
2 4
1
A, la diferencia de las
matrices A y B , esta dado por
A B =
0
@
2 6
6 4
3 7
1
A
0
@
4 2
1 6
2 4
1
A =
0
@
2 4 6 2
6 1 4 6
3 2 7 4
1
A
=
0
@
6 4
5 2
1 11
1
A
Ejemplo
3 4 5
2 3 7
2 4 3
5 6 4
=
1 8 2
7 9 11
De…nición Si A es una matriz m n; entonces la transpuesta de A, denotada
por AT
o At
, es una matriz n m cuya i-ésima …la es la i-ésima columna de A
(cuya j-ésima columna es la j-ésima …la de A )
Si A = (aij) 2 Rm n
se cumple AT
= (aij)
T
= (aji) 2 Rn m
Ejemplo.-a) v = 4 2 3 4 ; vT
= 4 2 3 4
T
=
0
B
B
@
4
2
3
4
1
C
C
A
b) w =
0
@
3
7
8
1
A ; wT
=
0
@
3
7
8
1
A
T
= 3 7 8
c) A =
0
@
3 8
7 6
9 2
1
A ; AT
=
0
@
3 8
7 6
9 2
1
A
T
=
3 7 9
8 6 2
Teorema Si A; B 2Rm n
y 2 R es un escalar arbitario. Entonces
i) AT T
= A
ii) (A + B)
T
= AT
+ BT
5

7. iii) ( A)
T
= AT
De…nición Una matriz cuadrada A 2 Rn n
tal que A = AT
; recibe el
nombre de matriz simétrica, esto es, A es simétrica si aij = aji; i; j = 1; 2; ; n.
Ejemplo Si A 2 R3 3
es simétrica se tiene
A =
0
@
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
1
A
Ejemplo Para W =
0
@
2 6 3
6 4 7
3 7 9
1
A, se tiene
WT
=
0
@
2 6 3
6 4 7
3 7 9
1
A
T
=
0
@
2 6 3
6 4 7
3 7 9
1
A = W;
esto signi…ca que la matriz W es simétrica.
Ejemplo Las siguientes matrices son simetricas
V =
2
4
3 4 5
4 0 6
5 6 7
3
5 ; W =
2 4
4 2
;
De…nición Para el vector …la v = [v1; v2; ; vn] y el vector columna w = [w1; w2; ; wn]
T
se de…ne el producto vw por
vw = [v1; v2; ; vn]
2
6
6
4
w1
w2
wn
3
7
7
5
= v1w1 + v2w2 + + vnwn
Ejemplo Para v = 2 3 1 ; w =
0
@
7
2
5
1
A, luego se tiene
vw = 2 3 1
0
@
7
2
5
1
A
= 2 7 + 3 2 + 1 5
= 25
Ejemplo 2 3 1
0
@
x1
x2
x3
1
A = 2x1 + 3x2 + x3
6

8. De…nición Para el vector A 2Rm p
y B 2Rp n
. El producto AB es la
matriz de orden m n cuya ij-ésima componente (AB)ij es el producto de la
i-ésima …la de A y la j-ésima columna de B.
Nota Dadas dos matrices A = (aij) 2 Rm p
; B = (bij) 2 Rp n
, el producto
de A por B es una matriz C = A B 2 Rm n
; C = (cij) donde
cij =
p
X
k=1
aikbkj; i = 1; 2; ; m; j = 1; 2; ; n:
o
cij = ( …la i de A )
0
@ columna j de B
1
A
Ejemplo
2 3 1
4 5 6 2 3
0
@
x1
x2
x3
1
A
3 1
=
x1 x2 x3
2 3 1
4 5 6
0
@
x1
x2
x3
1
A
=
2x1 + 3x2 + x3
4x1 + 5x2 + 6x3 2 1
Ejemplo
2 3 1
4 5 6 2 3
0
@
x1 y1
x2 y2
x3 y3
1
A
3 2
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 3 1
(…la1)
0
@
x1
x2
x3
1
A
(columna 1)
2 3 1
(…la 1)
0
@
y1
y2
y3
1
A
(columna 2)
4 5 6
(…la 2)
0
@
x1
x2
x3
1
A
(columna 1)
4 5 6
(…la 2)
0
@
y1
y2
y3
1
A
(columna 2)
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
2x1 + 3x2 + x3 2y1 + 3y2 + y3
4x1 + 5x2 + 6x3 4y1 + 5y2 + 6y3
7

9. Ejemplo
3 1 2
2 3 1
4 5 6
0
@
3 4
1 7
2 9
1
A =
2 3 + 3 1 + 1 2 ?
4 3 + 5 1 + 6 2 ?
4 7 9
2 3 1
4 5 6
0
@
3 4
1 7
2 9
1
A =
11 2 4 + 3 7 + 1 9
29 4 4 + 5 7 + 6 9
=
11 38
29 105
De…nición de producto escalar
Dados dos vectores a =
0
B
B
B
@
a1
a2
.
.
.
an
1
C
C
C
A
; b =
0
B
B
B
@
b1
b2
.
.
.
bn
1
C
C
C
A
2 Rn
, su producto escalar,
denotado por a b se de…ne por
a b = a1b1 + a2b2 + + anbn
Ejemplo Para v = 2 3 5 1
T
; w = 3 1 4 6
T
, se tiene
v w = 2 3 + 3 1 + 5 4 + 1 6
= 35
Propiedades Sean a; b; c 2 Rn
y k 2 R
i) a b = b a
ii) (a + b) c = a c + b c
iii) (ka) b = k (a b)
iv) a a 0, a a = 0 , a = 0
Longitud o Norma de Vectores
De…nición La longitud o norma (euclideana) del vector x = x1 x2 xn
T
2
Rn
, denotado por kxk2 es el número no negativo kxk2 =
p
x x =
p
x2
1 + x2
2 + + x2
n:
Ejemplo Para v = 2 3 5 1
T
, se tiene kvk2 =
p
22 + 32 + 52 + 12 =
p
39:
Ejemplo Para w = 4 1 2
T
, se tiene kvk2 =
q
42 + 12 + ( 2)
2
=
p
21:
8

10. Distancia entre vectores
De…nición La distancia entre los vectores x = (x1; x2; ; xn)
T
; y = (y1; y2; ; yn)
T
2
Rn
, esta de…nida por
d(x; y) =
q
(x1 y1)
2
+ (x2 y2)
2
+ + (xn yn)
2
:
Nota Se cumplen
a) d(x; y) = kx yk2
b) d(x; 0) = kxk2
Ejemplo La distancia entre los puntos P = (2; 3; 4; 5) y Q = (4; 1; 2; 2)
esta dado por
d(P; Q) = kP Qk2
= k(2; 3; 4; 5) (4; 1; 2; 2)k2
= k( 2; 2; 2; 7)k2 =
q
( 2)
2
+ 22 + 22 + 72
=
p
61:
Propiedades Para x; y; z 2 Rn
, se cumplen
a) d (x; y) 0; d (x; y) = 0 , x = y
b) d (x; y) = d (y; x)
c) d (x; y) d (x; z) + d (z; y) (desigualdad triángular)
Determinante de una matriz
Consideremos el sistema lineal
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
(1)
Multiplicando la primera y segunda ecuación por a22 y a12 respectivamente
se obtiene
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22
a21a12x1 + a22a12x2 = b2a12
Restando miembro a miembro esta ecuaciones se obtiene
(a11a22 a21a12) x1 = b1a22 b2a12
Si a11a22 a21a12 6= 0, de esto se obtiene
x1 =
b1a22 b2a12
a11a22 a21a12
(2)
De manera similar se obtiene
x2 =
b2a11 b1a21
a11a22 a21a12
(3)
9

11. De…nición El determinante de una matriz A = (aij) 2 R2 2
se denotan por
det(A) o jAj se de…ne por
det (A) =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 a21a12:
De (1), 2) y (3) se obtiene el siguiente resultado.
Proposición (Regla de Cramer) Dado el sistema lineal
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
:
Si =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 a21a12 6= 0, la solución única (x1; x2) del
sistema lineal se puede expresar como
x1 =
1 b1 a12
b2 a22
; x2 =
1 a11 b1
a21 b2
:
Ejemplos
a)
2 3
4 5
= 2 5 4 3 = 2 b)
5 2
7 6
= 5 6 7 2 = 16
c)
3 2
9 6
= 3 6 9 2 = 0 d)
2 0
4 1
= 2 1 4 0 = 2
Para una matriz A 2 Rn n
, se de…ne el cofactor de aij como
Cij = ( 1)i+j
jMijj = ( 1)i+j
det (Mij)
donde Mij 2 R(n 1) (n 1)
es la submatriz de A que se obtiene sin considerar la
i ésima …la y la j ésima columna de A. El determinante jMijj es llamado el
menor del elemento de aij de A. Entonces de de…ne
det (A) =
n
X
k=1
aikCik =
n
X
k=1
( 1)i+j
aik det (Mij) ;
Esto es conocido como una expansión a lo largo de la i-ésima …la. Frecuente-
mente se usa la primera …la. Esta ecuación resuelve el problema de evaluar un
determinante de orden n n por el problema de resolver n determinantes de
orden (n 1) (n 1) : Este procedimiento puede ser continuado hasta que los
cofactores sean reducidos a determinantes 2 2. Esta procedimiento que de…ne
la determinante no es computacionalmente e…ciente.
10

12. El signo ( 1)i+j
que acompaña a los menores forman una imitación de un
tablero de ajedrez con los signos " + " y " " sobre la diagonal principal:
0
B
B
B
B
B
@
+ +
+ +
+ +
+ +
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
1
C
C
C
C
C
A
:
Ejemplo a) Calcular el determinante de la matriz A =
0
@
5 4 2
2 3 1
1 2 1
1
A
jAj =
5 4 2
2 3 1
1 2 1
(Desarrollando respecto de la primera …la)
= +5
3 1
2 1
4
2 1
1 1
+ 2
2 3
1 2
= 5 [3 ( 1) ( 2) 1] 4 [2 ( 1) 1 1] +
+2 [2 ( 2) 1 3]
= 7
Ejemplo c) También es válido el desarrollo por columnas, como sigue
det
0
B
B
@
2 0 3 0
1 3 4 5
3 0 3 0
6 0 0 7
1
C
C
A =
2 0 3 0
1 3 4 5
3 0 3 0
6 0 0 7
(Desarrollando respecto de la segunda columna)
= 0
1 4 5
3 3 0
6 0 7
+ 3
2 3 0
3 3 0
6 0 7
0
2 3 0
1 4 5
6 0 7
+ 0
2 3 0
1 4 5
3 3 0
= 3
2 3 0
3 3 0
6 0 7
(Desarrollando respecto de la tercera columna)
= 3 +0
3 3
6 0
0
2 3
6 0
+ 7
2 3
3 3
= 3 7
2 3
3 3
= 21 (2 3 3 3) = 63
11

13. Ejemplo d) Si D = diag ( 1; 2; 3; 4), se cumple
det (D) = det
0
B
B
@
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
1
C
C
A = 1 2 3 4:
En efecto, desarrollando respecto de la primera …la
det (D) = det
0
B
B
@
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
1
C
C
A =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
(Desarrollando respecto de la primera …la)
= + 1
2 0 0
0 3 0
0 0 4
0
0 0 0
0 3 0
0 0 4
+0
0 2 0
0 0 0
0 0 4
0
0 2 0
0 0 3
0 0 0
= 1
2 0 0
0 3 0
0 0 4
(Desarrollando respecto de la segunda …la)
= 1 + 2
3 0
0 4
0
0 0
0 4
+ 0
0 3
0 0
= 1 2
3 0
0 4
= 1 2 3 4:
De…nición Si A y B son dos matrices cuadradas tales que AB = I, se dice
que B es la inversa de A y decimos que A es inversible,que es no singular o que
es regular. En este caso se denota por B = A 1
y A = B 1
:
Ejemplo Para A =
4 1
3=2 1=4
y B =
1=2 2
3 8
se obtiene
AB =
4 1
3=2 1=4
1=2 2
3 8
=
1 0
0 1
:
Esto implica que A es inversible y que A 1
=
1=2 2
3 8
:
Teorema Si A; B 2 Rn n
, entonces jABj = jAj jBj :
Teorema Sea B la matriz que se obtiene de A,
1. (a) Multiplicando una …la (columna) de A por un escalar k, entonces
jBj = k jAj
(b) Intercambiando dos …las (columnas) de A, entonces jBj = jAj
(c) Sumando un múltiplo de una …la (columna) de A a otra, entonces
jBj = jAj.
12