GUIA 1 MATRICES CESAR VALLEJO

Mg. Emilio Luque Brazan 1 Ms.C.Ronald JuvenReyesNarváez
CAPÍTULO 1: MATRICES Y DETERMINANTES
INTRODUCCIÓN:
Las matrices aparecen como un método (una alternativa) para resolver problemas de sistemas de
ecuaciones; las cuales se vuelven más complicadas a medida que aumentan sus variables; sin
mencionar además los inconvenientes que surgen cuando alguna(s) de éstas faltan en los sistemas
en cuestión.
El estudio de la teoría de matrices, desarrollado en éste modesto trabajo, se hace indispensable en
las carreras profesionales de Ingenierías, principalmente; debido a sus numerosas aplicaciones en
aquellas, donde se reducen significativamente los cálculos que sin las matrices serían muy tediosas.
1. MATRIZ: Se llama matriz de orden ,
m n
 a todo arreglo rectangular de elementos i j
a ordenados
en " "
m líneas horizontales (filas) y " "
n líneas verticales (columnas) de la forma:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
... ...
... ...
... ...
... ...
j n
j n
i i i j in
m m m j mn m n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a

 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
Donde ( )
i j
A a
= con 1;2;...; , 1;2;...; .
i m j n
= =
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( )
i y el
segundo la columna ( ).
j
NOTA: El conjunto de Matrices de orden ,
m n
 con coeficientes en K ( K puede ser ó ), se
denotará m n
K 
, es decir  
/
m n
i j m n
K A A a


 
= =  
Ejemplo 01: Los siguientes arreglos son matrices
2 3
3 2 5
4 0 6
A

−
 
=  
 
,
3 3
8 0 4
2 1 3
6 4 1
B

 
 
= −
 
 
 
,
3 1
8
0
2
C

 
 
=  
 
 
Ejemplo 02: Escribir explícitamente la matriz
a)
2 3
,
i j
A a

 
=   , donde: 2i
i j
a j
= − b)
3 3
,
i j
B b

 
=   , donde min( , )
i j
b i j
=
Solución (a):
La matriz es:
11 12 13
21 22 23 2 3
a a a
A
a a a

 
=  
 
Asignatura: Álgebra Lineal
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez
Tema: Matrices
Semana: 01

Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica
Mg. Emilio Luque Brazan 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narváez
Determinamos sus componentes correspondientes según la condición dada:
*) Primera fila: 1 1 1
11 12 13
2 1 1 ; 2 2 0 ; 2 3 1
a a a
= − = = − = = − = −
*) Segunda fila: 2 2 2
21 22 23
2 1 3 ; 2 2 2 ; 2 3 1
a a a
= − = = − = = − =
Por tanto:
2 3
1 0 1
3 2 1
A

−
 
=  
 
Solución (b):
La matriz es:
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3 3
b b b
B b b b
b b b

 
 
=  
 
 
*) Primera fila: 11 12 13
min (1;1) 1 ; min (1;2) 1 ; min (1;3) 1
b b b
= = = = = =
*) Segunda fila: 21 22 23
min (2;1) 1 ; min (2;2) 2 ; min (2;3) 2
b b b
= = = = = =
*) Tercera fila: 31 32 33
min (3;1) 1 ; min (3;2) 2 ; min (3;3) 3
b b b
= = = = = =
Por tanto:
2 3
1 1 1
1 2 2
1 2 3
B

 
 
=  
 
 
2. TIPOS DE MATRICES:
2.1. Matriz Cuadrada: Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas.
En este caso se dice que A es una matriz de orden m n
 y se le representa por n
A y al conjunto
de matrices cuadradas se les denota por .
n
K
Ejemplo 03:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
 
 
D.P
Observación 1 (La Diagonal Principal D.P): Está formada por los elementos 11 22 33
; ;
a a a . En
general en una matriz cuadrada de orden n, la Diagonal Principal es una línea formada por los
elementos: 11 22 33
; ; ; ...; nn
a a a a
Observación 2 (Traza de una Matriz): La traza de n
A es la suma de todos los elementos de la
diagonal principal.
Notación: Traz(A); Tr(A).
Traz( A) = 
=
n
i
ii
a
1
m n
A  es cuadrada m n
 =

Ejemplo 04: Si tenemos la matriz
2 5 7
1
9 3
4
15
2 5
4
A
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 Traz(A) = 2 + 1/4 + 15/4 = 6
2.2. Matriz Nula: Es aquella matriz m n
A 
en donde todos los elementos son nulos.
Notación: 
Ejemplo 04:
2 3
0 0 0
0 0 0 x
A
 
=  
 
3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0 x
B
 
 
=  
 
 
2.3. Matriz Triangular Superior: Dada una matriz cuadrada A cuyos elementos situados
debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior.
Esto es, 0
i j
a = , si i > j.
Ejemplo 05:
2 1 2 4
0 3 3 2
0 0 5 3
0 0 0 6
A
 
 
 
=
 
 
 
es una matriz triangular superior.
2.4. Matriz Triangular Inferior: Una matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima
de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior.
Esto es, 0
i j
a = , si i < j
Ejemplo 06:
1 0 0 0
2 2 0 0
8 4 4 0
5 4 1 7
A
 
 
 
=
 
 
 
es una matriz triangular inferior.
2.5. Matriz diagonal: Matriz triangular superior e inferior a la vez.
Es decir,
Ejemplo 07: Dada la matriz
5 0 0
0 2 0
0 0 8
A
 
 
=  
 
 
 Diag(A) = ( 5, 2, 8 )
2.6. Matriz Escalar: Matriz diagonal en donde todos los elementos de su diagonal principal son
iguales.
Es decir, 11 22 33
; ; ...; nn
a a a a k
= =
0 ,
i j
a para i j
= 

Ejemplo 08:
3 0 0
0 3 0
0 0 3
A
 
 
=  
 
 
es una matriz escalar
2.7. Matriz Identidad: Matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal todos son iguales
a la unidad.
Ejemplos de matrices identidad: 2 3
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
1 0
; 0 1 0 ; 0 0 1 0
0 1
0 0 1
0 0 0 1
n
I I I
 
 
   
     
= = =
     
   
   
 
 
2.8. Matriz Transpuesta: La matriz transpuesta ,
t
A correspondiente a una matriz m n
A 
es
aquella matriz obtenida de transformar las filas en columnas o la i-ésima fila en la i-ésima
columna.
Ejemplos de matriz transpuesta:
2 1 2 14
14 16 1 16
t
A A
   
=  =
   
   
2 3
3 2
1 4
1 3 6
3 2
4 2 8
6 8
t
B B


 
   
=  =
   
   
 
Propiedades de la matriz transpuesta:
1 1
1 : ( ) ( )
t t
P A A
− −
= La transpuesta de la inversa, es igual a la inversa de la transpuesta.
2 : ( )t t t
P A B A B
+ = + La transpuesta de una suma de matrices, es igual a la suma de las
transpuestas.
3 : ( ) ;
t t
P A A
  
= es una constante.
4 : ( )t t t
P AB B A
= La transpuesta de un producto conmuta al producto de transpuestas.
5 : ( )
t t
P A A
=
2.9. Matriz Periódica: Dada la matriz cuadrada A, si para un número entero y positivo p, ocurre
que:
1
p
A A
+
= ......... ( * )
Se dice que A es una matriz periódica, de periodo " "
p .
Ejemplo 09: Si A es una matriz cuadrada y periódica tal que A5 = A, hallar el periodo y calcular
A99.
Solución: De la relación ( * ), si Ap+1 = A5 p + 1 = 5  p = 4 es el periodo de la matriz.
Multiplicando sucesivamente, por sí mismo, la matriz A obtenemos
5 9
...
A A A A
A A A A A A A A A
= =
       
Se observa que:

9 (4 2) 1
A A A
 +
= =
13 (4 3) 1
1 4 1
p m
A A A
A A A
 +
+ +
= =
= =
Ahora bien: 99 2 97 2 (4 24) 1 2
A A A A A A A
 +
= = =
Por tanto: 99 3
A A
=
Ejemplo 10: Si
1 1 1
0 0 0
0 0 1
A
− − −
 
 
=  
 
 
, determine 25
.
A
Solución:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
A A A
− − − − − −
     
     
=  = =
     
     
     
3 2
1 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
A A A A
− − − − − −
     
     
=  = = =
     
     
     
Luego
3
1 3 2,
A A p p
=  + =  = es el periodo de la matriz A.
Por tanto: 25 (2 12) 1
A A A
 +
= =
2.10. Matriz Nilpotente: Es una matriz cuadrada que elevada a algún número entero da como
resultado la matriz nula.
0
n
A =
Donde A es la matriz Nilpotente y " "
n es el exponente de la potencia que da como resultado la
matriz nula.
Ejemplo 11: Verificar si la matriz
1 2 1
3 0 3
1 2 1
A
−
 
 
=  
 
− −
 
, es Nilpotente
Solución:
2
1 2 1 1 2 1 6 0 6
3 0 3 3 0 3 0 0 0
1 2 1 1 2 1 6 0 6
A A A
− − − −
     
     
= = =
     
     
− − − −
     
3 2
6 0 6 1 2 1 0 0 0
0 0 0 3 0 3 0 0 0
6 0 6 1 2 1 0 0 0
A A A
− − −
     
     
= = =
     
     
− −
     
Por tanto: La matriz A es Nilpotente

3. OPERACIONES CON MATRICES:
3.1. Igualdad de Matrices: Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y los
elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Es decir: Las matrices i j
A a
 
=   y i j
B b
 
=   son iguales sí y solo si, tienen el mismo orden y
,
i j i j
a b
= para cada i y cada .
j
Ejemplo 12: Determine el valor de , , . , ;
a b c d e f tal que las matrices dadas son iguales
2 4 2 2 0 6 8
3 1 2 7 9 1
2 5 5 2 5 5
a b a c
e c f a d
− −
   
   
+ − − = −
   
   
   
,
Solución:
Igualando elementos correspondientes:
2 4 0 2
a a
− =  = 2 6 3
b b
=  =
2 2 8 3
c c
− =  = − 3 1 7 2
e e
+ =  =
3 2 9 3
f f
− − = −  = 2 1 1
d d
− =  =
3.2. Multiplicación de un Escalar por una Matriz: Dados una matriz m n
A K 
 y un número
,
k  el producto de k por A se define
; 1 , 1
m n m n
i j i j i j
K K
k a k a k a i m j n
 
 →
     
 →  =    
     
Es decir: Cada componente de la matriz m n
A K 
 se multiplica por el escalar k .
Por ejemplo: Si 3
k = − y
3 3
1 5
A
−
 
=  
 
, entonces
3( 3) 3(3) 9 9
( 3)
3(1) 3(5) 3 15
k A A
− − − −
   
= − = =
   
− − − −
   
Propiedades del producto de un escalar por una Matriz: Sean ,
r k  y , m n
A B K 
 dos
matrices del mismo orden, entonces:
1) ( ) ( )
r k A r k A
= 2) ( )
r A B r A r B
+ = + 3) ( )
r k A r A k A
+ = +
4) 1A A
= 5) 0 0
A =
3.3. Suma de Matrices: Dadas dos matrices i j m n
A a

 
=   y ,
i j m n
B b

 
=   se llama suma de A
y B a otra matriz i j m n
C c

 
=  
Es decir: ,
i j i j i j
m n m n m n
A B a b c
  
     
+ = + =
      tal que ,
i j i j i j
c a b
= + 1 , 1
i m j n
    

Ejemplo 13: Calcule 2 ,
P A B
= + sí:
1 2 3
5 1 0
3 1 2
A
 
 
=  
 
 
,
8 6 3
4 1 0
3 8 2
B
 
 
=  
 
 
Solución:
1 2 3 8 6 3 1 2 3 16 12 6 17 14 9
5 1 0 2 4 1 0 5 1 0 8 2 0 13 3 0
3 1 2 3 8 2 3 1 2 6 16 4 9 17 6
P
         
         
= + = + =
         
         
         
Por tanto:
17 14 9
13 3 0
9 17 6
P
 
 
=  
 
 
Ejemplo 14: Sean las matrices:
2 1 5 2
;
3 2 1 2
x y y x
A B
y x
− − −
   
= =
   
− +
   
, y C =
2 5
4 1
C
−
 
=  
−
 
Determine ,
A C
+ sabiendo que .
A B
=
Solución:
Si
2 1 5 2 6
3 1 2
x y x y
A B
y x x y
− = −  + =

=  
− = +  + =

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:
2 6
4 ; 2
2
x y
x y
x y
+ =

 = = −

− − = −

Reemplazando los valores:
7 2 2 5 7 ( 2) 2 5 5 3
1 2 4 1 1 4 2 ( 1) 3 1
A C
− − + − − +
       
+ = + = =
       
− − − + + −
       
Por tanto:
5 3
3 1
A C
 
+ =  
 
Nota: La adición de matrices es la ley de composición interna que hace corresponder a dos
matrices, del mismo orden, su suma.
Se denota: ( , )
A B A B
 +
Observación: La suma de matrices se define solamente cuando las matrices tienen el mismo
número de filas y columnas. Si dos matrices se pueden sumar se llaman conformables respecto
a dicha operación.
Propiedades de la Suma de Matrices: Si , , , m n
A B C K
 
 son matrices del mismo orden,
entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
A1) , m n m n
A B K A B K
 
  +  Clausura
A2) A B B A
+ = + Conmutativa
A3) ( ) ( )
A B C A B C
+ + = + + Asociativa
A4) / ,
A A A A
  
 + = + =  Elemento neutro aditivo
A5) , ( ) / ( ) ( )
m n
A A K A A A A 

  −  + − = − + = Elemento inverso aditivo.

3.4. Diferencia de Matrices: Dadas dos matrices i j m n
A a

 
=   y ,
i j m n
B b

 
=   la diferencia de
A y B a otra matriz del mismo orden i j m n
C c

 
=  
Es decir: ,
i j i j i j
m n m n m n
A B a b c
  
     
− = − =
      tal que ,
i j i j i j
c a b
= − 1 , 1
i m j n
    
Ejemplo 15: Calcule 2 3 ,
t
M A B
= − sí:
7 2 2 5
;
1 2 4 1
A B
− −
   
= =
   
− −
   
Solución:
Reemplazando y evaluamos:
7 2 2 4 14 4 6 12 20 16
2 3
1 2 5 1 2 4 15 3 17 7
P
− − − − −
         
= − = − =
         
− − − − −
         
3.5. Multiplicación de Matrices: Sean las matrices: i j m n
A a

 
=   y ,
i j m n
B b

 
=   entonces la
matriz i j i j i j
m p p n m n
A B a b c
  
     
 = =
      Tal que: 1 1 2 2
. . ... .
i j i j i j i p p j
c a b a b a b
= + + +
Ejemplo 16: Calcule la matriz . ,
t
P A B
= donde las matrices
3 2
/ 2 ,
j
i j i j
A a a i

 
= = −
  y
2 2
/ max( ; ),
i j i j
B b b i j

 
= =
  están dados explícitamente.
Solución:
*) La matriz es:
11 12
21 22
31 32 3 2
a a
A a a
a a

 
 
=  
 
 
*) Primera fila: 1 2
11 12
2 1 1 ; 2 1 3
a a
= − = = − =
*) Segunda fila: 1 2
21 22
2 2 0 ; 2 2 2
a a
= − = = − =
*) Tercera fila: 1 2
31 32
2 3 1 ; 2 3 1
a a
= − = − = − =
Entonces:
3 2
1 3
0 2
1 1
A

 
 
=  
 
−
 
*) La matriz es:
11 12
21 22 2 2
b b
B
b b

 
=  
 
*) Primera fila: 11 12
max (1;1) 1 ; max (1;2) 2
b b
= = = =
*) Segunda fila: 21 22
max (2;1) 2 ; max (2;2) 2
b b
= = = =
Entonces:
2 2
1 2
2 2
B

 
=  
 

*) Calculamos . ,
t
P A B
= mediante un método práctico:
3 2
2 2
1 3 1(1) 3(2) 1(2) 3(2)
0 2 0(1) 2(2) 0(2) 2(2)
1 1 1(1) 1(2) 1(2) 1(2)
1 2
2 2
t
A P
B


+ +
   
   
= + + =
   
   
− − + − +
   
 
=  
 
Por tanto:
3 2
7 8
4 4
1 0
P

 
 
=  
 
 
Ejemplo 17: Una empresa importadora de accesorios para autos, dispone de 3 tiendas (
1; 2 3
T T y T ), en el mes de abril vende los productos ( ;
A B y C ) según la matriz P , cada
producto se compró en dólares según la matriz C
P tiene un precio de venta V
P en dólares.
900 600 750 1
1500 950 900 2
1150 800 825 3
A B C
T
P T
T
 
 
=  
 
 
$
40
50
60
V
A
P B
C
 
 
=  
 
 
$
30
40
55
C
A
P B
C
 
 
=  
 
 
a) Determine las matrices que representan el ingreso total de ventas ( I ) y el costo total (C )
para cada una de las tiendas.
b) Determine la matriz que representa la utilidad (U ) en cada una de las tiendas.
Solución (a):
*) Calculamos el ingreso en cada tienda:
$ $
900 600 750 1 40 900(40) 600(50) 750(60) 1 111000 1
1500 950 900 2 50 1500(40) 950(50) 900(60) 2 161500 2
1150 800 825 3 60 1150(40) 800(50) 825(60) 3 135500 3
V
A B C
T A T T
I P P T B T T
T C T T
+ +
       
       
= = = + + =
       
       
+ +
       
Por tanto: La matriz que representa el ingreso total en cada tienda es:
$
111000 1
161500 2
135500 3
T
I T
T
 
 
=  
 
 
*) Calculamos el costo total en cada tienda:
$ $
900 600 750 1 30 900(30) 600(40) 750(55) 1 92250 1
1500 950 900 2 40 1500(30) 950(40) 900(55) 2 132500 2
1150 800 825 3 55 1150(30) 800(40) 825(55) 3 111875 3
C
A B C
T A T T
C P P T B T T
T C T T
+ +
       
       
= = = + + =
       
       
+ +
       

Por tanto: La matriz que representa el costo total en cada tienda es:
$
92250 1
132500 2
111875 3
T
C T
T
 
 
=  
 
 
Solución (b):
$ $ $
111000 1 92250 1 18750 1
161500 2 132500 2 29000 2
135500 3 111875 3 23625 3
T T T
U I C T T T
T T T
     
     
= − = − =
     
     
     
Por tanto: La matriz que representa la utilidad total en cada tienda es:
$
18750 1
29000 2
23625 3
T
I T
T
 
 
=  
 
 
Observaciones:
1°) La multiplicación de dos matrices está definido solo entre aquellos que tienen multiplicando
de orden " "
m p
 y multiplicador de orden " ".
p n

2°) Redundando: el producto de matrices sólo será posible cuando el número de columnas de A
sea igual que el número de filas de .
B B.
3°) Los elementos ,
i j
c de la matriz producto se logran mediante el algoritmo:
i j
c = fila i de A por columna j de B
También:
j - ésima columna de B
i - ésima fila de A
1
2
1 2
j
j
i i ip
pj
b
b
a a a
b
 
 
 
 
   
 
 
 
o bien:
1
, 1,2,3, ; 1,2,3, ,
n
i j i p p j
p
c a b i m j n
=
= = =

Propiedades del Producto de Matrices: Si , ,
A B C son matrices de dimensiones conformables
respecto de la suma y producto, entonces se tiene:
M1) ( ) ( )
m n n p p q m n n p p q
A B C A B C
     
= Asociativa
M2) ( )
A B C AB AC
+ = + Distributiva
M3) ( )
B C A B A C A
+ = + Distributiva
M4) AB B A
 No es conmutativo
M5) n n m n m m n m
I A A I A
  
= =

M6) p m m n p n
A
 
  
=  es Elemento Neutro Multiplicativo
M7) ( ) ( ) ;
AB A B
  
=  
Ejemplo 18: Dada la matriz
9 3 6
3 17 10 ,
6 10 8
A
 
 
=  
 
 
determine una matriz triangular inferior B tal que
. t
B B A
=
Solución:
Sea
0 0
0 ,
a
B b x
c y z
 
 
=  
 
 
la matriz triangular inferior 0
0 0
t
a b c
B x y
z
 
 
 =  
 
 
*) Por dato: . t
B B A
=
0 0 9 3 6
0 0 3 17 10
0 0 6 10 8
a a b c
b x x y
c y z z
     
     
=
     
     
     
2
2 2
2 2 2
9 3 6
3 17 10
6 10 8
a ab ac
ab b x bc x y
ac bc x y c y z
   
   
+ + =
   
   
+ + +  
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2
2
2
3 6 2 ; 1 17 4
9 3 3 3 1 ; 2 4 10 2
4 4 8 0
c c x x
a a b b y y
z z
 =  = + =  =

=  =  =  = + =  =

 + + =  =

Por tanto:
3 0 0
1 4 0
2 2 0
B
 
 
=  
 
 
Comprobando:
3 0 0 3 1 2 9 3 6
1 4 0 0 4 2 3 17 10
2 2 0 0 0 0 6 10 8
t
B B A
     
     
= = =
     
     
     
4. MATRICES ESPECIALES:
3.1. Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada ,
A se dice que es una matriz simétrica si t
A A
=
Ejemplo 12: Verificar si las matrices dadas son simétricas
a) Si
1 4 6
4 2 5
6 5 3
A
 
 
=  
 
 

1 4 6
4 2 5
6 5 3
t
A A
 
 
= =
 
 
 
Como t
A A
= entonces la matriz A es matriz simétrica.

b) Si
1 3 6
0 2 7
6 7 3
B
 
 
=  
 
 

1 0 6
3 2 7
6 7 3
t
B B
 
 
= 
 
 
 
Como t
B B
 entonces la matriz B no es matriz simétrica.
Observación: Para que una matriz A sea simétrica debe verificar que:
Teorema 1: Si A es una matriz cuadrada de orden n la matriz (A + At) es simétrica.
3.2. Matriz Antisimétrica: Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz antisimétrica si y
solo si:
t
A A
= −
Ejemplo 12: Verificar si las siguientes matrices son antisimétricas
a) Si
0 2
2 0
A
 
=  
−
 

0 2 0 2
2 0 2 0
t
A A
−
   
= = − = −
   
−
   
Como
t
A A
= − entonces A es una matriz antisimétrica.
b) Si
0 2 4
2 0 5
4 5 0
B
 
 
= −
 
 
− −
 

0 2 4 0 2 4
2 0 5 2 0 5
4 5 0 4 5 0
t
B B
− −
   
   
= − = − − = −
   
   
− −
   
Como
t
B B
= − entonces B es una matriz antisimétrica
Observación: Para que una matriz A sea antisimétrica debe verificar que:
Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.
Teorema 2: Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces la matriz (A – At) es antisimétrica.
Ejemplo 13: Si
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
−
 
 
= − −
 
 
 

0 1 2
1 0 3
2 3 0
t
A
−
 
 
=  
 
− −
 
Luego,
0 1 2 0 1 2 0 2 4
1 0 3 1 0 3 2 0 6
2 3 0 2 3 0 4 6 0
t
A A
− − −
     
     
− = − − − = − −
     
     
− −
     
y
0 2 4 0 2 4
( ) 2 0 6 2 0 6
4 6 0 4 6 0
t t
A A
− −
   
   
− = = − − −
   
   
− −
   
de donde, ( ) ( )
t t t
A A A A
− = − − por lo que, ( )
t
A A
− es antisimétrica.
Propiedades:
1) Si 2
A A
= , entonces se dice que la matriz A es Idempotente.
i j ji
a a para i j
= 
i j ji
a a para i j
= − 

2) Si p
A =  , entonces se dice que la matriz A es Nilpotente de índice p ( )
p +

3) Si 2
A I
= , entonces se dice que la matriz A es Involutiva.
4) Las matrices A y B se llaman Conmutables sí y solo sí AB B A
= .
5) La matriz
1 1
( ) ( )
2 2
t t
Parte simétrica Parte antisimétrica
A A A A A
= + + −
3.3. Matriz Ortogonal: Una matriz cuadrada se llama Ortogonal, si cumple:
t t
A A A A I
= =
Observación:
1) En particular toda matriz ortogonal es invertible
2) Puesto que ( )
t t
A A
= se deduce que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz
ortogonal.
Ejemplo 14: Verificar que la matriz dada es ortogonal
cos( ) ( ) 0
( ) cos( ) 0
0 0 1
x sen x
A sen x x
−
 
 
=  
 
 
2 1
0
6 3
1 1 1
2 6 3
1 1 1
2 6 3
B
 
 
 
 
= −
 
 
 
−
 
 
Solución:
cos( ) ( ) 0 cos( ) ( ) 0 1 0 0
. ( ) cos( ) 0 ( ) cos( ) 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
t
x sen x x sen x
A A sen x x sen x x I
−
     
     
= − = =
     
     
     
Por tanto: La matriz A es Ortogonal
2 1 1 1
0 0
6 3 2 2 1 0 0
1 1 1 2 1 1
. 0 1 0
2 6 3 6 6 6
0 0 1
1 1 1 1 1 1
2 6 3 3 3 3
t
B B I
   
   
     
     
= − − = =
     
     
 
   
− −
   
   
Por tanto: La matriz B es Ortogonal
3.4. Matriz Hermitiana: Una matriz cuadrada y compleja A se denomina Hermitiana ( *)
A si es
igual a la transpuesta de su conjugada.

Ejemplo 15: Verificar que la matriz dada es Hermitiana
1 4
4 2 2
2 3
i i
A i i
i i
+
 
 
= − −
 
 
− +
 
Solución:
*) Determinamos la matriz de las conjugadas:
1 4
4 2 2
2 3
i i
A i i
i i
− −
 
 
= + +
 
 
−
 
*) Aplicamos la transpuesta a esta matriz:
1 4
* ( ) 4 2 2
2 3
t
i i
A A i i A
i i
+
 
 
= = − − =
 
 
− +
 
Por tanto: La matriz A es Hermitiana
Ejemplo 16: Dado la matriz
1 4 2 2
2 2 0 4
0 1 2 1
2 2 1 2
A
−
 
 
 
=
 
−
 
−
 
a) Determine la parte simétrica de la matriz A
b) Determine la parte antisimétrica de la matriz A
Solución (a):
Por propiedad:
1 1
( ) ( )
2 2
t t
Q Parte simétrica R Parte antisimétrica
A A A A A
= =
= + + −
1 4 2 2 1 2 0 2 2 6 2 0 1 3 1 0
2 2 0 4 4 2 1 2 6 4 1 6 3 2 1/ 2 3
1 1
0 1 2 1 2 0 2 1 2 1 4 2 1 1/ 2 2 1
2 2
2 2 1 2 2 4 1 2 0 6 2 4 0 3 1 2
Q
 − 
       
 
       
 
       
= + = =
 
       
− − − −
 
       
 
− − − − −
       
 
Solución (b):
1 4 2 2 1 2 0 2 0 2 2 4 0 1 1 2
2 2 0 4 4 2 1 2 2 0 1 2 1 0 1/ 2 1
1 1
0 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 0 1 1/ 2 0 0
2 2
2 2 1 2 2 4 1 2 4 2 0 0 2 1 0 0
R
 −  − −
       
 
       
− − − −
 
       
= − = =
 
       
− − − −
 
       
 
− − − − −
       
 
ENTRETENIMIENTO 01
01) Dado la matriz
1
99
0 1 0
1 1 1 ,
0 0 1
X
−
 
 
=  
 
−
 
determine la matriz .
X

02) Determine X de la ecuación 3 6 (3 ) 2 ,
X A B X A B
+ + − = + siendo
0 1 2
1 0 1
2 0 2
A
 
 
= −
 
 
−
 
y
2
1 2 3
2 4 4
3 4 3
a
B b
c
− −
 
 
= − − −
 
 
+
 
una matriz antisimétrica con , ,
a b c y 0.
b 
03) Dadas las siguientes matrices: ( )
i j
A a j i
= = − de orden 30 15

 
( ) ; ( ) min , ,
i j i j
B b i j C c i j
= = = = matrices cuadradas de orden 15
( )
i j
D d i j
= = + matriz de orden 15 20

Si ( ) ( )
t
i j
A BC D E e
= = Calcule: El término genérico de la matriz E, el término de la fila
12 y columna 10 de la matriz E
04) Una empresa importadora de accesorios para camiones Diesel, dispone de 3 tiendas
( 1; 2 3)
T T y T ), en el mes de febrero vendió los accesorios ( ;
A B y C ) según la matriz P , cada
producto se compró en dólares según la matriz C
P tiene un precio de venta V
P en dólares.
1 2 3
800 1400 1500
900 1050 1200
850 900 1025
T T T
A
P B
C
 
 
=  
 
 
$
50
55
62
V
A
P B
C
 
 
=  
 
 
$
35
40
55
C
A
P B
C
 
 
=  
 
 
a) Determine las matrices que representan el ingreso total de ventas ( I ) y el costo total ( C ) para
cada una de las tiendas.
b) Determine la matriz que representa la utilidad (U ) en cada una de las tiendas.
05) Si la matriz
1 1
0 3 2
2 2 2
x y
A y a
x a y
+ −
 
 
= +
 
 
+
 
es simétrica. Determine 2
9
M A
=
06) Sea A una matriz triangular superior de orden 4, tal que: 𝑎𝑖𝑗 = 1, si 𝑖 ≤ 𝑗 y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] = 𝐴𝑛
; 𝑛 ≥ 2.
Hallar 𝑏14
07) Dado las matrices:
3 3
,
i j
A a

 
=   tales que:
, ( )
2
, ( )
i j
i j
i j
si i j es par
a
a si i j es impar
−

+

= 
 +

3 3
,
i j
B b

 
=   tales que:
,
0 ,
( ) ,
i j
x j i j
b i j
x i i j
+ 


= =

− + 

Siendo ,
A B
= resolver la ecuación matricial
2
2 6 .
B Y A
+ =
08) La Compañía Aérea “LATAM” tiene tres agencias en Lima. Durante la última semana, la Agencia
del distrito de Miraflores vendió 24 pasajes de la ruta Lima –Tacna, 32 de Lima-Cuzco, 16 de Lima-
Iquitos, y 48 de Lima-Piura. La agencia del distrito de Lince vendió 20 pasajes de Lima-Tacna, 48 de

Lima-Cuzco, 4 de Lima-Iquitos y 32 de Lima-Piura, mientras la agencia del distrito de la Molina
vendió 16 pasajes de Lima-Tacna, 16 de Lima-Cuzco, 6 de Lima-Iquitos y 16 de Lima-Piura.
Los precios de los pasajes son:220 soles Lima-Tacna, 250 soles de Lima-Cuzco, 280 soles de Lima-
Iquitos y 190 soles de Lima-Piura.
a) Use una matriz de orden 3 × 4 para arreglar la información del número de boletos vendidos en las
tres agencias a los cuatro destinos.
b) En una matriz de orden 4 × 1 represente los precios de los pasajes.
c) Halle una matriz que represente los ingresos totales de las tres agencias durante la última
semana.
d) ¿Cuál de las agencias tuvo mayor ingreso y cuál es su valor?
09) Resolver la siguiente ecuación matricial ,
A X B C D
+ = siendo
1 0 0
1 0
, 0 1 0 ,
1 1
0 1 1
A B
 
   
= =
   
−
   
−
 
1 2 3 3 1 2
, .
1 2 3 0 1 0
C D
   
= =
   
− −
   
10) Una fábrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos plantas A y B
ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dólares en el mes de enero son
representados por la siguiente matriz:
1 2 3
10000 12000 13000
9000 11000 14000
M M M
planta A
planta B
 
 
 
Mientras que los costos de producción mensuales en dólares del mes de enero son como se muestra
en la siguiente matriz:
1 2 3
9000 9000 10000
7000 8000 11000
M M M
planta A
planta B
 
 
 
a) Mediante la sustracción de matrices hallar la utilidad en la planta A.
b) Mediante la sustracción de matrices hallar la utilidad en la planta B.
c) Hallar la matriz utilidad.

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