Matriz

Algebra Página #0 2
Filas
Columnas
MATRIZ
DEFINICIÓN.- Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos
(números, funciones, vectores, etc.) dispuesto en filas y columnas. A las matrices
se les colecciona en paréntesis o corchetes y se les representa con letras
mayúsculas.
Ejem:
3
1 5 8 2
A x y z 1
3 14 15
 
−
 
 
= −
 

 
 
A es una matriz de 3 filas y 4 columnas
ORDEN O DIMENSION DE UNA MATRIZ. Se define, así como la multiplicación
indicada del número de filas por el número de columnas, en ese orden, de una
matriz.
Así:
3 3 5
0 0 1
 
 
 
……...Es una matriz de 2 filas y 3 columnas entonces su orden es 2 x 3
1
0
0
3
 
 
 
 
 
 
……………Es una matriz de 4 filas y 1 columna entonces es de orden 4 x 1
NOTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ.- A los elementos de una matriz
generalmente se les denota con letras minúsculas, acompañadas de dos
subíndices (aij), donde el primer subíndice (i) indica la posición de fila y el segundo
subíndice (j) la posición de la columna donde se encuentra ubicado dicho
elemento.
Es decir: “Una matriz A de orden m  n generada por los elementos aij” se
representa en forma comprensiva de la siguiente manera:
( )
ij m n
A a

= ; i 1,2,3,...,m
=
"NOTACION DE KRONECKER"
Además, la misma matriz expresada en forma extensiva es:

Diagonal
Secundaria
Diagonal
Principal
11 12 1n
21 22 2n
ij
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a
A
a
a a a
 
 
 
=
 
 
 
 
"NOTACION DE LEIBNITZ"
IGUALDAD DE MATRICES.- Sean las matrices: ( )
ij m n
A a

= y ( )
ij m n
B b

=
ij ij;
A B a b
=  = i, j

Ejemplo: Halle (x + 2y) – (z + w). Partiendo de la igualdad:
x y 2z w 3 5
x y z w 1 4
+ −
   
=
   
− −
   
Resolución:
MATRICES ESPECIALES
1. MATRIZ CUADRADA.- Es aquella matriz donde el número de filas es igual al
número de columnas.
Ejemplo:
2 0 4
A 3 2 5
8 0 7
 
 
=  
 
−
 
A es una matriz de orden 3  3 ó simplemente orden 3.
1. MATRIZ DIAGONAL.- Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos
son nulos a excepción de por lo menos un elemento de su diagonal principal.
Ejemplos:
1 0 0
3 0
0 1 0 ;
0 0
0 0 6
 
 
 
−  
   
 
 
 
2. MATRIZ ESCALAR.- Es una matriz diagonal donde los elementos de su
diagonal principal son iguales
Ejemplos:

2 0 0
7 0
0 2 0 ;
0 7
0 0 2
 
−
 
 
 
  −
 
 
 
3. MATRIZ IDENTIDAD.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal
principal son iguales a 1.
Ejemplo:
3 2
1 0 0
1 0
I 0 1 0 ;I
0 1
0 0 1
 
 
 
= =  
 
 
 
 
4. MATRIZ TRIANGULAR.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos
que se encuentran sobre o bajo la diagonal principal son ceros.
Triangular
Superior
2 1 4
0 3 2
0 0 7
−
 
 
 
 
 
Triangular
Inferior
3 0 0
5 1 0
6 0 2
 
 
−
 
 
 
1. MATRIZ NULA.- Es aquella matriz donde todos sus elementos son nulos.
Ejemplos:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 =  
 
 
;
0 0 0
0 0 0
 
 =  
 
OPERACIONES CON MATRICES
I. ADICIÓN DE MATRICES: Sean las matrices:
( )
ij m n
A a

= y ( )
ij m n
B b

=
( )
ij ij m n
A B a b ; i, j

+ = + 
Ejemplo: Sean las matrices:
5 7 2
A
4 3 1
 
=  
 
;
2 1 4
B
5 6 8
−
 
=  
−
 
Entonces:
5 2 7 1 2 4 7 6 6
A B
4 5 3 6 1 8 9 9 7
+ − +
   
+ = =
   
+ + − −
   
II. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
i. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-

Sea la matriz ( )
ij m n
A a

= y “k” un escalar: ( )
ij m n
kA ka

=
Ejemplo: Sea
4 5 2
A
1 5 3
−
 
=  
−
 
Entonces
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 4 3 5 3 2
3A
3 1 3 5 3 3
 − 
=  
−
 
12 15 6
3A
3 15 9
−
 
=  
−
 
ii. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
Sean las matrices:
( )
1
2
1 2 n 1 n
n n 1
b
b
A a a ... a ;B
b


 
 
 
= =
 
 
 
Definimos: ( )
n
1 1 2 2 n n i i
1 1
i 1
AB a b a b ... a b a b

=
= + + + = 
Ejemplo: Si ( )
3
A 2 5 1 ;B 4
8
 
 
= − =  
 
 
Entonces: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB 2 3 5 4 1 8 18 18
= − = =
DEFINICIÓN.- Dadas las matrices ( ) ( )
ik kj
m p p n
A a ,B b ,
 
= = definimos a la
matriz producto de A con B (en ese orden) denotado por AB; a una matriz
( )
ij m n
C c ;

= donde ij
c se obtiene multiplicando la fila i de A con la columna j de
B. Es decir: ( )
p
ij ij ik kj
m n
k 1
AB c /c a .b

=
= = 
Ejemplo: Sean
2 2
3 4
A
2 1 
 
=  
 
;
2 3
3 5 3
B
1 7 4 
−
 
=  
 
Luego: 11 12 13
21 22 23 2 3
c c c
AB C
c c c 
 
= =  
 
Matriz
fila
Matriz
columna

Donde:
( )
11
3
c 3 4 3.3 4.1 13
1
 
= = + =
 
 
( )
12
5
c 3 4 3.5 4.7 43
7
 
= = + =
 
 
( ) ( )
13
3
c 3 4 3 3 4.4 7
4
−
 
= = − + =
 
 
( )
21
3
c 2 1 2.3 1.1 7
1
 
= = + =
 
 
( )
22
5
c 2 1 2.5 1.7 17
7
 
= = + =
 
 
( ) ( )
23
3
c 2 1 2 3 1.4 2
4
−
 
= = − + = −
 
 
Entonces
13 43 7
AB
7 17 2
 
=  
−
 
OBSERVACIÓN:
- La multiplicación de matrices está definida si el número de columnas de la
primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz
- La multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa
TEOREMAS: Sea A, B y C matrices para las cuáles están definidas las
operaciones de adición y multiplicación; además "m" y "n" son escalares
1. ( ) ( )
A BC AB C
=
2. ( )
A B C AB AC
+ = +
3. ( )
A B C AC BC
+ = +
4. AB no necesariamente es igual a BA
5. Si AB 0
= no implica que A 0
= ó B 0
=
6. Si AB AC
= no implica que B C
=
7. Si A B
= , entonces: AC BC CA CB
=  =
DEFINICIÓN
1. Si AB BA
= se dice que A y B son matrices conmutativas
2. si AB BA
= − se dice que A y B son matrices anticonmutativas
POTENCIACIÓN DE MATRICES
DEFINICIÓN: Sea A una matriz cuadrada y "n" 0
+
 , definimos:

n
"n"veces
I,n 0
A A,n 1
A.A.A....A,n 2

 =

= =

 


Ejemplo: Sea la matriz
1 2
A
3 4
 
=  
 
, calcule 2
A
2
A A.A
=
1 2 1 2 1.1 2.3 1.2 2.4
3 4 3 4 3.1 4.3 3.2 4.4
7 10
15 22
+ +
    
= =
    
+ +
    
 
=  
 
OBSERVACION
De modo general, para una matriz "A", se cumple:
p q q p
A .A A .A ; p;q +
=  
TRAZA DE UNA MATRIZ: Se define así, a la suma de los elementos de la
diagonal principal de una matriz cuadrada.
Es decir, si ( )
ij n
A a
= , entonces: ( )
n
ij
i 1
traz A a ; i j
=
=  =

Ejemplo:
5 7 4
A 8 2 1
4 1 9
 
 
= −
 
 
 
Entonces: ( )
traz(A) 5 2 9 12
= + − + =
TEOREMAS:
i. ( ) ( ) ( )
traz A B traz A traz B
 = 
ii. ( ) ( )
traz A traz A ;
 =   escalar ( )
0
 
iii. ( ) ( )
traz AB traz BA
=
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ: Dada una matriz A se determina su
transpuesta denotado por T
A intercambiando todas las filas por sus respectivas
columnas
Es decir, si ( )
ij m n
A a

= , entonces: ( )
T
ij n m
A a

=

Ejemplo:
Sea
1 2 3
A
4 5 6
 
=  
 
entonces T
1 4
A 2 5
3 6
 
 
=  
 
 
Teoremas:
i. ( )T T T
A B A B
 = 
ii. ( )
T
T
A A
=
iii. ( )T T
A A ;
 =   escalar ( )
0
 
iv. ( )T T T
AB B A
=
v. Solo para matrices cuadradas: ( ) ( )
T
traz A traz A
=
OTROS TIPOS DE MATRICES
i. MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual a su
transpuesta T
A
Ejemplo: Sean
5 7
A
7 3
 
=  
 
Se nota que: T 5 7
A
7 3
 
=  
 
Como T
A A
= entonces A es simétrica
ii. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: También denominada matriz Hemisimétrica.
Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su matriz transpuesta T
A es igual
al opuesto de la matriz - A
Ejemplo: Sea
0 4 1
A 4 0 3
1 3 0
 
 
= − −
 
 
−
 
Vemos que: T
0 4 1
A 4 0 3 A
1 3 0
− −
 
 
= = −
 
 
−
 
Como T
A A
= − entonces A es antisimétrica
iii. MATRIZ INVOLUTIVA: Una matriz cuadrada es involutiva si su cuadrado es
igual a la matriz identidad. ( )
2
A I
=

Ejemplo:
1 1
A
0 1
− −
 
=  
 
Veamos: 2 1 1 1 1 1 0
A I
0 1 0 1 0 1
− − − −
    
= = =
    
    
Entonces A es una matriz involutiva
iv. MATRIZ NILPOTENTE: Una matriz cuadrada se llama nilpotente si su
potencia de elevar a algún exponente entero positivo mayor o igual a 1 es
la matriz nula ( )
n
A =  . Dicho menor exponente entero positivo recibe el
nombre de grado de nilpotencia.
Ejemplo:
0 3 2
A 0 0 1
0 0 0
 
 
=  
 
 
Sea: 2
0 3 2 0 3 2 0 0 3
A A.A 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
    
    
= = =
    
    
    
3 2
0 0 3 0 3 2 0 0 0
A A .A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
    
    
= = =
    
    
    
Entonces A es nilpotente de grado 3 por que 3
A = 
v. MATRIZ IDEMPOTENTE: Una matriz cuadrada se llama idempotente si es
igual a su cuadrado ( )
2
A A
=
vi. MATRIZ HERMITIANA: Dada una matriz cuadrado de elementos complejos
( )
ij n n
A a

= se llamará Hermitiana si ( )
T
ij n n
A a

=
Ejemplo: Sea
3 5 2i
A
5 2i 4
+
 
=  
−
 
Veamos: T T
3 5 2i 3 5 2i
A A
5 2i 4 5 2i 4
− +
   
 
= → =
 
   
+ −
 
   
y como: ( )
T
A A A
= → es Hermitiana
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones:

I. Dos matrices del mismo orden son iguales, si sus elementos también lo son.
II. Dos matrices del mismo orden son iguales, si sus elementos homólogos
también lo son
III.Toda matriz admite diagonal principal
IV.La matriz cuadrada admite igual número de filas y columnas
A) FVFV B) FFFV C) VFVF D) VVFF E) VVFF
I. La traza de una matriz cuadrada se define como la suma de todos sus
elementos
II. Toda matriz diagonal es simétrica
III.Toda matriz simétrica es diagonal
IV.Toda matriz identidad es diagonal
A) FFVV B) FVFV C) VFVF D) FFFV E) VFFF
I. La matriz nula es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son todos iguales a
cero
II. La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular
inferior y viceversa.
III.Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior e
inferior a la vez
IV.Si todos los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son
iguales a cero, entonces la matriz es antisimétrica.
A) VVVF B) VFVF C) FFFF D) FVVF E) FVVV
I. Si A y B, son dos matrices cualesquiera, entonces A B
+ siempre está definida.
II. Siendo A y B, dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces
( )T T T
AB A B
=
III.Siendo 3
A kI
= y 1
3
B k I
−
= dos matrices donde k es un escalar diferente de
cero y 3
I es la matriz identidad de orden 3, entonces ( )T
3
AB I
=
A) VVV B) FFV C) FVV D) VFF E) VVF
I. Toda matriz cuadrada se expresa como la suma de una matriz simétrica y una
antisimétrica.
II. La suma de dos matrices escalares es siempre otra matriz escalar del mismo
orden.
III.Si A es una matriz cuadrada y B es otra matriz cuadrada, entonces el producto
AB existe.
IV. El producto de dos matrices cuadradas siempre existe.
A) FFFF B) FFVV C) FFFV D) VFFF E) VVFF

06. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones:
I. Dada la matriz ( )
ij n n
A a

= , será triangulas superior si ij
a 0,i j
=  ;
 i 1;n j 1;n
=  =
II. Siendo la matriz triangular superior, la transpuesta siempre genera un
matriz triangular inferior.
III. Toda matriz nula es una matriz diagonal
IV. Dada la matriz cuadrada A, será simétrica si y solo si: T
A A
= −
A) VFFF B) VVFF C) VVVF D) FVFV E) Mejor vendo Avon 
07. Indique el valor de verdad (V) o falsedad en las siguientes proposiciones:
I. Siendo la matriz cuadrada A, será involutiva si 2
A A
=
II. Toda matriz escalar, también se considera diagonal
III. Ninguna matriz identidad es escalar
V. Considerando una matriz escalar ( )
ij n n
A a

= , además k  , entonces la
matriz KA, es una matriz escalar.
A) FVFF B) FFVV C) FFVF D) VFVF E) Andina alla voy 
I. Si AB BA
= − , entonces A y B son matrices anticonmutables.
II. 2
A A.A
= , para cualquier matriz A
III. Si 3
A I
= , entonces A es involutiva
IV.Si n
A θ
= ; n +
 , entonces A es una matriz idempotente.
A) VVVF B) VVFF C) VFFF D) FFFV E) FVFV
09. Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) en:
I. El producto de las matrices diagonales del mismo orden es otra matriz
diagonal.
II. Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz
simétrica y una antisimétrica.
III. La matriz identidad es una matriz periódica.
A) VVF B) VVV C) VFV D) FVV E) FFF
10. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden indicar el valor de verdad
de:
I. Si 2
A I,
= entonces A I
=
II. ( )T T T
αA βB αA βB ;
+ = + α,β
III. ( )
traz AB traz(A).traz(B)
=
A) FVF B) VVV C) FFF D) VVF E) FVV

11. Indique el número de proposiciones verdaderas en:
I. 2
A A.A;
= para toda matriz A
II. La matriz identidad es aquella matriz escalar en la cual todos los elementos
de la diagonal principal son mayores o iguales a dos.
III. Si A es una matriz cuadrada, entonces m n m n
A .A A +
= ; m,n +
 
IV. Si A es una matriz cuadrada, entonces
m
m n
n
A
A
A
−
= ; m;n A θ
+
   
V. Toda matriz triangular (inferior y superior) es siempre una matriz cuadrada.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. Indique el número de proposiciones no verdaderas:
I. No toda matriz escalar es a su vez una matriz diagonal y una matriz
cuadrada.
II. Una matriz identidad, es escalar.
III. Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de filas de la
primera sea igual al número de columnas de la segunda.
IV. A es la matriz triangular superior, si ij
a 0; i j
=  
V. A es la matriz triangular inferior, si ij
a 0; i j
=  
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13. Indique el número de proposiciones falsas
I. Siendo la matriz ( )
ij ij
n n
k;i j k 0
A a /a
0;i j

=  

= = 


, donde n n 2
+
   ,
entonces ( )
traza A k
=
II. Siendo A y B matrices conformables con la multiplicación, entonces
( )T T T
AB B A
=
III. Siendo A y B matrices del mismo orden, entonces ( )T T T
A B A B
 = 
IV. Siendo A una matriz cuadrada, entonces ( ) ( )
T
traz A traz A
=
V. Siendo A y B matrices conformables con la multiplicación, entonces si AB = 
, entonces A B
=   = 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. Dadas las siguientes proposiciones indique el número de no verdaderas
I. Dos matrices del mismo orden son iguales, si sus elementos también lo son.
II. Dos matrices del mismo orden son iguales, si sus elementos homólogos
también lo son
III. Si A es una matriz nilpotente de grado tres, entonces 3
A = 

IV. Dadas las matrices ( ) ( )
ij ij
n n n n
A a B b
 
=  = , se define la matriz A B
+ ,
como una matriz cuadrada de orden n
V. Si la matriz A es escalar, entonces dicha matriz se puede expresar como
A kI
= , donde A e I son del mismo orden y “k” es una constante distinto de
cero
A) 0 B)1 C) 2 D) 3 E) 4
15. Dadas las siguientes proposiciones, indique el número de verdaderas
I. Dos matrices cuadradas, siempre se pueden multiplicar
II. Dada la matriz A antisimétrica, entonces T
A A
+ = 
III. La matriz
2 0 0 0
0 0 0 0
A
0 0 0 1
0 0 0 0
−
 
 
 
=
 
 
 
, es diagonal
IV. Dada la matriz ( )
ij ij
n n
1;i j
A a /a
0;i j

=

= = 


, entonces ( )
traz A n
=
VI. La matriz identidad es simétrica
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
16. Si se sabe que:
a b c d 4 6
c d a b 10 2
+ +
   
=
   
− −
   
. Determine el valor de ( )( )
a d b c
+ +
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
17. Dadas las matrices:
1 2 1
A
3 1 4
−
 
=  
 
y
2 5
B 4 3
2 1
−
 
 
= −
 
 
 
. Determine la suma de los
elementos de la matriz A B

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
18. Halle el valor de xyzw si las matrices
x y u v
x y u v
+ +
 
 
− −
 
y
5 3
3 1
 
 
−
 
, son iguales.
A) 1 B) 2 C) 6 D) 8 E) 7
19. Resolver la ecuacion:
3 2 2 1
3X 2 X 5 X
1 4 1 3
   
   
− − = −
   
   
−
   
   
A)
1,6 0,9
0,3 2,3
 
 
−
 
B)
1,6 0,9
0,3 2,3
−
 
 
−
 
C)
2,3 0,9
0,3 1,6
−
 
 
−
 

D)
2,3 0,9
0,3 1,6
 
 
−
 
E)
2,3 0,9
0,9 1,6
 
 
 
20. Determine ( )
50
traz A , si:
0 1
A
0 1
 
=  
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8
21. Calcule el valor de b a
− , sabiendo que la matriz
2 a
A
1 b
 
=  
 
es idempotente
A) 8 B) 4 C) 1 D) 10 E) 2
22. Calcule el mínimo valor de xyz:
2 2
4
x y x 1 1/4 2y
2 1 1 5
z 4
  −
   
  + =
   
  − −
   
 
A) 1 B) 1/4 C) 1/2 D) -1/2 E) -1
23. Se sabe que: ( )
ij 2 2
A a

= ; donde ij
2i 3j; i>j
a
3i-2j; i j
−

= 


. Determine T
B A A
= − .
A)
0 3
3 0
−
 
 
 
B)
0 1/3
1/3 0
−
 
 
 
C)
0 2
2 0
−
 
 
 
D)
T
1 3
3 1
 
 
−
 
E)
0 3
3 0
 
 
−
 
24. Sean las matrices x e y; tal que:
2 3
x y
1 4
4 5
x y
1 2
  
+ =
  
−
  

 
 − =  

 

. Determine xy.
A)
7 1
3 3
−
 
 
−
 
B)
3 7
3 1
− −
 
 
− −
 
C)
3 3
7 1
−
 
 
−
 
D)
2 3
4 5
 
 
 
E)
1 0
0 1
 
 
 
25. Sea A una matriz definida por
1 1
A
2 3
 
=  
 
tal que satisface la ecuación
T
AX A
= y B es otra matriz que satisface la ecuación T T
B X A
= + , entonces
indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. ( )
traz B 7
=
II. El elemento 12
b de la matriz B es 5

III. B es una matriz triangular inferior.
A) VVF B) FFV C) VFV D) VVV E) FVF
26. Calcule el valor de ( )
p
16 4
3x m n p
+ + + , si se sabe que:
1
1 x 1 m
1
x
x 1 p n
1 x
 
   
  =
   
 
 
   
 
, x 0

A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25
27. Dada la matriz ( )
ij 4 4
A a

= tal que: ij
ij 8;2 i j 4
a
ij 1;5 i j 8
−  + 

= 
+  + 

. Determine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El valor de 13 22 32 41
a a a a
+ − − es igual a -21
II. La matriz A es simétrica.
III. ( )
traz A 11
=
A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVV
28. Sea ( )
ij 3 3
A a

= una matriz definida por: ij
0;i j
a
1;i j


= 


halle la matriz 100
A .
A) I B)  C) A D) 2
A E) 2I
29. Determine “a + b” si:
2 1 a 5
4 3 b 11
     
=
     
     
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
30. Sean las matrices:
a b
A
0 c
 
=  
 
y
2 b
B
b c
 
=  
 
. Si se cumple que: A B I
+ = ,
donde
1 0
I
0 1
 
=  
 
. Hallar a b 2c
+ +
A) ½ B) –1/2 C) 3/2 D) 0 E) N.A.
31. Si.  
a;b;c;d  y además:
a 2
a 3 1 d 12 29
1 b
1 c b 7d d 21
d 2
 
+
   
 
=
   
  +
   
 
 
. Calcular el
valor de: a b c d
+ + +
A) 10 B) 11 C) –19 D) 13 E) 15

32. Dada la matriz:
3 1
A
0 1
 
=  
 
,además: 2
P(x) x 3x 2
= − + .Halle la suma de los
elementos de la matriz P(A).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
33. Sea
2 0
A
4 2
−
 
=  
−
 
; calcular: E A 2A 3A 4A ... nA
= + + + + +
A)
( )
( ) ( )
n n 1 0
2n n 1 n n 1
 
− +
 
+ − +
 
B)
1 0
0 1
 
 
 
C)
0 n
n 1 n 2
 
 
+ +
 
D)
( )
( ) ( )
n n 1 0
n n 1 n n 1
 
+
 
+ − +
 
E) no sale pe profe 
1 3
A
2 0
 
=  
 
y
5 m
B
2 n
 
=  
−
 
, calcule mn, si son
conmutativas
A) 6 B) -6 C) 9 D) -3 E) -18
35. Sea
2 3
A
3 2
 
=  
 
. Si 2
P(x) x 4x 5,
= − − halla P(A) e indique la suma de sus
elementos.
A) 0 B) 4 C) -2 D) 11 E) 8
36. Dadas las matrices conmutables:
2 1
A
3 1
−
 
=  
 
;
m 1
B
n 5
 
=  
 
. Hallar:
m
n
A) 3 B) 4 C) -4/3 D) 1/3 E) -3/4
37. Si A y B son matrices involutivas y
3 6 0
AB BA 2 1 2
4 3 5
 
 
= = −
 
 
−
 
. Hallar la suma de
los elementos de la diagonal principal de la matriz: ( )2
C A B
= +
A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) N.A.
38. Calcular la traza de “x” en la ecuación: AX AB BX
= − , donde:
1 2
A
3 4
 
=  
 
;
0 2
B
3 3
−
 
=  
− −
 
A) 24 B) -24 C) 25 D) -2T E) Profe no sale 

1 0 0
A 0 1 1
1 1 0
 
 
=  
 
 
y
1 1 0
B 0 0 1
1 1 0
−
 
 
=  
 
− −
 
que satisfacen el
sistema:
3X Y A
X 4Y B
+ =


− =

, si ( ) ( )
T
T T T T
M Y 3X X 4 3X Y Y
= + − + , halle ( )
traz M
A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4
40. Si se cumple que: 2
A A
= y T
BB I
= . Entonces la matriz ( )
2
2
T T
B AB B AB
 
−
 
 
es igual a:
A) ( )2
A B
− B) ( )2
A B
+ C) ( )2
AB BA
− D) ( )2
A I
− E) 
41. Sea la matriz
1 2
A
1 0
 
=  
−
 
, entonces al calcular la expresión: ( )
2
2
1
E A A A
4
= −
obtenemos:
A)  B) A C)
1 2
1 2
−
 
 
− −
 
D) I E)
1 0
0 1
−
 
 
 
42. Si la matriz y
x 2 6 n 2
A 2 p y 27 2
4 m 2 2z 8
− +
 
 
= − −
 
 
 
− −
 
, es antisimétrica. Halle el valor de:
x y z
E
m n p
+ +
=
+ +
A) 2,5 B) 4,5 C) 6,5 D) 3,5 E) 7,5
43. Si A es una matriz nilpotente de índice 2, calcular: ( )5
A I A
+
A) A B) I A
+ C) 2
A D) 2
I A
+ E) I A
−
44. Sean las matrices:
x 3y x
A
1 y
−
 
=  
 
;
2 6 y
B
1 6 x
−
 
=  
−
 
;
4 8
C
2 3
− −
 
=  
 
. Si A B
= ; Hallar: 3A 2C
+
A)
1 1
7 9
− −
 
 
 
B)
2 0
6 9
−
 
 
 
C)
4 8
2 3
− −
 
 
 
D)
2 1
8 9
− −
 
 
 
E)
2 1
7 9
− −
 
 
 

45. Si A y B son matrices cuadradas, de modo que: 2 5 3
A B
1 1
 
+ =  
 
y
2 1 0
A 2B
10 7
−
 
− =  
 
. Al reducir la expresión: 2 2 2 4 2 6 2 20
A B A B A B ... A B
+ + + + , se
obtiene:
A)
3 2
4 3
 
 
 
B)
50 40
20 30
 
 
 
C)
20 30
40 30
 
 
 
D)
50 60
70 10
 
 
 
E)
30 20
40 30
 
 
 
46. Si
3 0
A
1 2
 
=  
 
, halle 5 4 3 2
A 5A 10A 10A 5A
− + − + .
A)
33 1
31 2
 
 
 
B)
33 0
31 2
 
 
 
C)
32 1
31 1
 
 
 
D)
32 0
31 1
 
 
 
E)
33 0
31 1
 
 
 
47. Si a;b;c  , de modo que:
1 2 c
a 2 b 1 1
3 1 2
     
     
+ =
     
     
     
, calcule a b c
+ +
A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
48. Dada la matriz
1 1
A
1 1
 
=  
− −
 
, halle A
e si se sabe, además, que
k
x
k 1
x
e
k!

=
 
 
=
 
 

A)
2 1
1 5
 
 
−
 
B)
2 0
1 1
 
 
−
 
C)
2 1
1 0
−
 
 
 
D)
1 2
5 0
 
 
 
E)
2 1
1 0
 
 
−
 
49. Se sabe que:
2 3
A A A
e I A ...
2! 3!
= + + + + Calcule A
e , si
0 1 0
A 0 0 1
0 0 0
 
 
=  
 
 
A)
e 1 1
0 e 1
0 0 e
 
 
 
 
 
B)
1 1 1/2
0 1 1
0 0 1
 
 
 
 
 
C)
1 0 1
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
D)
1 0 1
0 1 0
0 1 1
 
 
 
 
 
E)
1 0 2
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 

50. Si ( )T T
X BC AB 3B
− − = y además
1 2
B
3 4
−
 
=  
 
;
3 /4 5 /2
C
0 1/5
−
 
=  
 
;
T 1 0
A C
0 1
 
+ =  
 
. Halle la matriz X y de como respuesta su traza
A) 4 B) 6 C) 12 D) 14 E) 8
51. ¿Qué lugar geométrico en el plano xy representa
x 1 cos t
2
y 2 sent
     
= +
     
     
, si t 
A) elipse B) circunferencia C) recta
D) hipérbola E) parábola
52. Calcule 1 2 3
traz A A A ...
+ + +
 
 , si:
n n
n
a 0 b b
A
0 a 0 0
−
   
= +
   
   
; n +
 además
a 1 b 1
  
A)
2
2
2a 2b
1 a 1 b
−
− +
B)
2a b
1 a 1 b
+
− −
C)
2
2
2a b
1 a 1 b
+
− −
D)
2
2
2a 2b
1 a 1 b
+
− +
E)
2
2
2a b
1 a b
+
− +
53. Si A y B son matrices involutivas de orden 3 donde:
x 5 a b
AB c 7 x d
e f 20
−
 
 
= −
 
 
 
,
calcule ( )
 
1
2
traz A B
−
 
+
 
 
A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03 D) 0,2 E) 0,1

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