Matrices y determinantes

1. Matrices y Determinantes
2º Bachillerato
Presentación elaborada por docente Edgar P. Vaca

3. Dimensión de la matriz nm×
2ª columna
3ª fila
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.













a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
Concepto de matriz. Igualdad de matrices

4. Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=

5. Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz






÷
÷
÷

2 1 1
1 1 1
1 1 0

6. Expresión matricial: ejemplo
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =








2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A*
=








2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:








2 5 –3
1 –4 1







x
y
z
= 







1
– 2



−=+
=−+
2z4y-x
1352 zyx
El sistema

7. 








1 2 4
2 3 5
4 5 -1









0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
• Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
• Matriz columna: A =







2
4
6
jiij aa =
Diagonal
secundaria
Diagonal
principal
• Matriz cuadrada:A=







1 3 5
2 4 6
1 1 1
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada
que verifica que:
• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:
Clasificación de matrices: Forma
jiij -aa =
⇒ A = AT
⇒ A = –
AT

8. Clasificación de matrices: Elementos
• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son iguales.
• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los
elementos son nulos.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes a
la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
33
000
000
000
O
×










=
23
00
00
00
O
×










=










−=
400
320
631
T










−=
100
030
002
D










=
100
010
001
I3










=
200
020
002
A










−=
453
023
001
T

9. Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Matrices inversibles
Propiedades simplificativas

10. Operaciones con matrices I
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At
, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (At
)t
= A.

11. Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades
I. Para la matriz A, (At
)t
= A
II. Para las matrices A y B, (A+ B)t
= At
+ Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k .
A)t
= k .
At
IV. Para las matrices A y B, (A.
B)t
= Bt .
At
V. Si A es una matriz simétrica, At
= A
Propiedades:
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At
. Si A = (aij), entonces At
= (aji). Si A es mxn, entonces At
es nxm.
Ejemplo:Si A =








1 2 3
4 5 6
entonces A
t
=







1 4
2 5
3 6

12. Operaciones con matrices II
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
2.- Suma y diferencia de matrices
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma
de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

13. Suma de matrices: ej de orden 3
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij ) + (bij ) =







a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+







b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=







a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )

14. Propiedades de la adición de matrices
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

15. Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los
elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
Operaciones con matrices III
k . A = k . (aij) = k·







a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=







ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
3.- Producto de un número por una matriz

16. Propiedades con la suma y el producto por un número
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto
por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

17. Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que
deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la
forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número
de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz
P será de orden m x p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
Pij = ∑ aik · bkj con k=1,….n

18. Matemáticas
2.º Bachillerato
Matrices y determinantes
¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n
.
(bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas
de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

19. Matemáticas
2.º Bachillerato
Matrices y determinantes
Producto de matrices: Desarrollo
es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1
.
b1j + ai2
.
b2j + ... + ain
.
bnj
El producto de la matriz
A = (aij) =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
por la matriz
B = (bij) =
















np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......

20. Ejemplo: producto de matrices
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
.
(bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
A · B =








2 1 –1
3 –2 0
.







1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6

21. Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de
dimensión pxr.
A .
(B .
C) = (A .
B) .
C
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn,
B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A .
(B + C) = A .
B + A .
C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B
de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) .
C = A .
C + B .
C
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y
Im =
















1......000
..........
0......100
0......010
0......001
e I n =









1 0 0 ...... 0
0 1 0 ...... 0
0 0 1 ...... 0
.. .. .. .. ..
0 0 0 ...... 1

22. Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de
las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en
un orden distinto al dado.
II. Si A .
B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
III. Si A .
C = B .
C y C ≠ 0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2
≠ A2
+ 2A .
B + B2
salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2
≠ A2
– 2A .
B + B2
salvo que A y B conmuten.
VI. A2
– B2
≠ (A – B) .
(A + B) salvo que A y B conmuten.
Ejemplo: Aunque








0 2
0 0
.








0 –3
0 0 = 







0 0
0 0 ninguno de los factores que
forman el producto es la matriz nula.