Determinantes de orden superior

1. Determinantes
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial S.M.)

2. Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de
los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la
paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.
Dada una matriz cuadrada
Determinantes
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)

3. Determinantes de orden 2 y 3
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
ç
11 12
a21 22
A = è a
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =
æ a a ö
ø ÷
a 11 a 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det Se llama determinante de A, (A) o |A|, al número real s iguiente:

4. Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.

5. Aplicaciones a la regla de Sarrus
El determinante de la matriz A =
è ç ç ç ç æ ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
es

6. Cálculo de determinantes usando desarrollo por los
elementos
de una fila o columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.
El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
es igual a la suma de los elementos
de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

7. Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)1+1
= a11
a22 a23
a32 a33
.(-1)2+1
+ a21
a12 a13
a32 a33
.(-1)3+1
+ a31
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a12 a13
a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)3+1
= a31
a12 a13
a22 a23
.(-1)3+2
+ a32
a11 a13
a21 a23
.(-1)3+3
+ a33
a11 a12
a21 a22

8. Determinante de cualquier orden
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
Por ejemplo:
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=

9. Cálculo inmediato de determinantes (I)
I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
Ejemplos:
· El determinante de una matriz A =
ø ÷ ÷ ö–1 4 –1
è ç ç æ
3 2 3
2 5 2
es igual a cero porque la tercera y
primera columnas son iguales.
· El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
es igual a cero porque la tercera fila
es igual a la segunda multiplicada por 3.
II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
3 0 3
2 0 2
es igual a cero porque la segunda columna
es nula.

10. Cálculo inmediato de determinantes (II)
III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de
otras filas o columnas es cero.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
2 4 0
1 3 –1
3 1 5
IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
è ç ç æ ø ÷ ÷ ö
es igual a cero porque la tercera columna es
igual al doble de la primera menos la segunda.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
0 2 3
0 0 2
es igual –4.

11. Cálculo inmediato de determinantes (III)
V. El determinante de la matriz unidad es 1
Ejemplos:
· El determinante de la matriz I3 =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es igual a 1.
· El determinante de la matriz I5 =
è ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ö
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
es igual a 1.

12. Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)
I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el
determinante de la matriz se multiplica por ese número.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante
cambia de signo.
Ejemplo:
2 3
4 20 =
2 3
4 . 1 4 . 5 = 4
2 3
1 5
Ejemplo:
1 – 4
2 5 = –
– 4 1
5 2

13. Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)
III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas,
respectivamente, el valor del determinante no varía.
Ejemplo: Si en A =
2 3 – 1
1 5 2
4 13 4
sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más
la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:
B =
2 3 – 1
1 5 2
4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)
y se cumple que ambos determinantes son iguales: A = B

14. Determinantes de operaciones con matrices (I)
I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al
producto de los determinantes de cada una de ellas.
Ejemplo:
· Sean A = è ç æ
2 0
1 –1 y B = è ç æ
ø ÷ ö
4 1
3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.
ø ÷ ö
· Como A . B = è ç æ
8 2
1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A . B | = |A| . |B|
ø ÷ ö
II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.
Ejemplo:
· Sea A = è ç æ ø ÷ ö
3 0
1 1 ; entonces A–1 = è ç æ
ø ÷ ö
1/3 0
–1/3 1
· Como | A | = 3 y | A –1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1

15. Operaciones con matrices (II)
III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.
Ejemplo:
· Sea A =
è ç æ
ø ÷ ö
2 0 –2
1 1 3
3 0 2
. Entonces At =
2 1 3
0 1 0
–2 3 2
è ç æ ø ÷ ö
· Se cumple que | A | = | At |
VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo
determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
Ejemplo:
Se cumple que: 2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
4 0 – 4
2 2 6
6 0 4
= 23
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2

16. Operaciones con matrices (III)
V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos
determinantes como sumandos haya
Ejemplo:
· Sea A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö 2 3 –1
1 5 2
4 13 4
. Entonces se cumple que | A | = 7
· Y se tiene que:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 + 1 3 –1
3 – 2 5 2
1 + 3 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
3 5 2
1 13 4
+
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
– 2 5 2
3 13 4
= (-70) + 77
Si A =
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
se cumple que:
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
a11 b12 a13
a21 b22 a23
a31 b32 a33

17. Rango de una matriz por determinantes I
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p
dado.
Definición:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A) .
Consecuencias
El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su
determinante es cero.

18. Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
En ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 11
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 22
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 33
YY aassíí hhaassttaa qquuee nnoo sseeaa ppoossiibbllee ccoonnttiinnuuaarr
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.

19. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado
por (-1)i+j
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Ejemplo: Dada la matriz (A) =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
, su adjunta sería:
adj (A)=
è ç ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ö
1 0
–2 2 – 2 0
3 2 2 1
3 –2
– –2 2
–2 2 2 2
3 2 – 2 –2
3 –2
–2 2
1 0 – 2 2
2 0 2 –2
2 1
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6

20. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de
los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
Ejemplo: Dada la matriz A =
2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
è ç ç æ ø ÷ ÷ ö
, pretendemos encontrar su inversa :
La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 ¹ 0
Ya hemos visto que: adj (A) =
è ç æ
ø ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]t =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A–1 = 1
| A | [adj (A)]t = 1
–2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 1
2 1 –2
7/2 1 –3

21. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I

22. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II

23. Cálculo de determinantes por el método de Gaus
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
• 2ª fila por (–2) + 3ª fila
• 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1) . (–1)
3 3
9 3 =