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UNIDAD IV
Sistemas Hidráulicos
Tecsup Virtu@l Indice
Índice
Unidad IV : “Sistemas Hidráulicos”
1. SISTEMAS HIDRÁULICOS DE ACCIONAMIENTO MANUAL ............................................ 1
2. SISTEMA HIDRÁULICO DE ACCIONAMIENTO POR MOTOR ELÉCTRICO ........................ 4
3. REPRESENTACIÓN DE UN CIRCUITO HIDRÁULICO BÁSICO......................................... 5
4. PARTES DE UN SISTEMA HIDRÁULICO....................................................................... 6
5. FLUJO ENERGÉTICO.................................................................................................. 6
6. ¿POR QUÉ LOS CAMBIOS ENERGÉTICOS? .................................................................. 7
7. EFICIENCIA TOTAL DE UN SISTEMA OLEOHIDRÁULICO.............................................. 7
8. POTENCIA ELÉCTRICA, HIDRÁULICA Y MECÁNICA..................................................... 7
9. EFICIENCIAS. DIAGRAMA DE SANKEY.......................................................................10
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 1 Unidad IV
UNIDAD IV
“SISTEMAS HIDRÁULICOS”
1. SISTEMAS HIDRÁULICOS DE ACCIONAMIENTO MANUAL
Veamos que elementos conforman un circuito oleohidráulico elemental de accionamiento
manual pero de uso muy común:
SISTEMA BÁSICO
Multiplicador de
fuerzas
Hidráulico
SISTEMA CON
PALANCA
Multiplicador de
fuerzas mecánico y
multiplicador de
fuerzas hidráulico.
SISTEMA PARA
SOSTENER LA CARGA
Y DESPLAZARSE EN
FORMA CONTINUA
Utilizando válvulas
antiretorno.
Fig. 4.1
Fig. 4.2
Fig. 4.3
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 2 Unidad IV
SISTEMA CON
VÁLVULA DE
DESCARGA
Permite el retorno
del pistón de simple
efecto debido a su
propio peso o a una
fuerza externa.
Este es el esquema
típico de una gata
hidráulica.
SISTEMA CON
VÁLVULA
LIMITADORA DE
PRESIÓN
Sistema muy
frecuente, con
válvula limitadora de
presión o válvula de
seguridad.
Se utiliza en prensas,
montacargas, etc.
SISTEMA CON
BOMBA DE PISTÓN
DE DOBLE EFECTO
La carga asciende
tanto con la carrera
de arriba hacia abajo
como con la carrera
de abajo hacia arriba
de la bomba manual.
Fig. 4.4
Fig. 4.5
Fig. 4.6
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 3 Unidad IV
Fig. 4.7
SISTEMA HIDRÁULICO, tiene:
Bomba de un pistón de accionamiento manual de doble efecto.
Válvula de control de máxima presión ( válvula limitadora de presión ).
Válvula de distribución de caudal 4/3 de accionamiento manual y centrado por muelles.
Actuador: pistón de doble efecto.
Veamos como debe actuar la válvula distribuidora para que salga el pistón:
Fig. 4.8
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 4 Unidad IV
Veamos como debe actuar la válvula distribuidora para que entre el pistón:
Fig. 4.9
2. SISTEMA HIDRÁULICO DE ACCIONAMIENTO POR MOTOR ELÉCTRICO
Si reemplazamos la bomba de accionamiento manual por una bomba accionada por un
motor eléctrico o un motor de combustión interna (motores gasolineros o petroleros) para
obtener un “flujo continuo” de caudal tendremos un sistema hidráulico básico como el que
se muestra a continuación:
M
Fig. 4.10
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 5 Unidad IV
3. REPRESENTACIÓN DE UN CIRCUITO HIDRÁULICO BÁSICO
El circuito mostrado anteriormente (Fig. 4.10) se representa simbólicamente de acuerdo a la
norma DIN 1219 (Fig. 4.11):
M
Fig. 4.11
Esquemáticamente (Fig. 4.12):
Con la válvula accionada para que el pistón salga.
P T
A B
Fig. 4.12
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 6 Unidad IV
4. PARTES DE UN SISTEMA HIDRÁULICO
Un sistema hidráulico tiene las siguientes partes:
• BOMBA:
Unidad de Transformación de Energía mecánica en Energía de Fluido. La energía
mecánica es el movimiento rotacional que entrega el motor eléctrico al eje de la bomba
y la energía de fluido básicamente esta constituida por presión y caudal.
• CONTROL DE PRESIÓN Y CAUDAL:
Constituido en este caso por las válvulas limitadora de presión y la válvula distribuidora
4/3. La válvula de estrangulamiento y la válvula check.
• ACTUADOR:
Constituido por el cilindro el cual es un conversor de energía de fluido en energía
mecánica (movimiento lineal que desplaza una fuerza, es decir que realiza un trabajo).
5. FLUJO ENERGÉTICO
Esta identificación de las partes permite distinguir el flujo energético en un sistema
hidráulico:
1. TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA EN ENERGÍA HIDRÁULICA.
2. CONTROL DE LA ENERGÍA HIDRÁULICA.
3. TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA HIDRÁULICA EN ENERGÍA MECÁNICA.
CONVERSOR DE ENERGIA
MECANICA EN ENERGIA DE
FLUIDO :
BOMBA
CONTROL DE ENERGIA :
VALVULAS DE CONTROL DE
PRESION Y CAUDAL
CONVERSOR DE ENERGIA DE
FLUIDO EN ENERGIA MECANICA :
ACTUADORES
M
Fig. 4.13
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 7 Unidad IV
6. ¿POR QUÉ LOS CAMBIOS ENERGÉTICOS?
El cuadro mostrado nos sugiere la siguiente pregunta:
¿Por qué pasar de la energía mecánica en el eje del motor a la energía hidráulica (de fluido)
y luego nuevamente a energía mecánica?
a. Porque los motores: eléctrico o de combustión interna dan alta velocidad angular pero
bajo torque:
El motor eléctrico sincrono gira a 3600, 1800, 1200 o 900 rpm
El motor de combustión interna gira en ramentí a 500, 800, 1500 rpm
Por lo tanto si queremos bajas velocidades y altos torques tenemos tres posibilidades:
• Reductor mecánico de velocidades: Cajas mecánicas con engranajes, poleas fajas,
etc.
• Controlador electrónico de velocidades.
• Sistemas hidráulicos.
b. Los motores: eléctrico o de combustión interna dan velocidad angular y se requiere
velocidades lineales.
Para la transformación tenemos:
• Rueda dentada, cremallera.
• Cadenas, fajas.
• Sistemas hidráulicos.
En ambos casos los sistemas oleohidráulicos son una buena alternativa considerando las
siguientes ventajas:
• Flexibilidad mecánica.
• Fácil control.
• Alta potencia transmitida.
Además debemos considerar las ventajas citadas en el capítulo anterior.
7. EFICIENCIA TOTAL DE UN SISTEMA OLEOHIDRÁULICO
También debemos considerar que estos cambio energético están asociados a una
degradación de la energía debido a las pérdidas, manifestadas en forma de calor, cuya
cuantificación podemos evaluarla a través de la eficiencia total de un sistema hidráulico.
[ ]75,060,0=HIDRAULICOSISTEMA
El uso de bombas de caudal variable ha hecho posible una importante mejora de la
eficiencia total del sistema hidráulico. Convencionalmente ha sido del 40 %, pero
actualmente se cuenta con sistemas con eficiencias del 60 % al 75 %.
8. POTENCIA ELÉCTRICA, HIDRÁULICA Y MECÁNICA
Comúnmente se emplea el término de Potencia como un sinónimo de Energía ( Tome en
cuenta que la Energía es el producto de la Potencia por el tiempo ) .
P
E
t
=
Es importante conocer su evaluación en cada caso :
Si el motor que acciona a la bomba es eléctrico:
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 8 Unidad IV
• La potencia (eléctrica) que recibe el motor eléctrico ( monofásico ) esta dado por:
θφ CosIUP ..1ELECTRICOMOTORRECIBE =
• Si el motor eléctrico es trifásico, la potencia que recibe esta dado por:
θφ CosIUP ...33ELECTRICOMOTORRECIBE =
• Si el motor que acciona a la bomba es de combustión interna:
alorificooder CPmP .
.
INTERNACOMBUSTIONMOTORRECIBE =
Luego:
La potencia que recibe la bomba es la POTENCIA DEL MOTOR:
( es la potencia mecánica que entrega el motor eléctrico o de combustión interna)
EEMP ω.BOMBARECIBE =
La potencia que entrega la bomba al sistema hidráulico o POTENCIA DE LA BOMBA es:
11BOMBAENTREGA .QpP =
M
EMECANICA
EOLEOHIDRAULICA
PMOTOR ELECTRICO
EELECTRICA
MEQUIMICA
PMOTOR COMBUSTION INTERNA
EEMP ω.BOMBARECIBE =
BOMBAENTREGAP
θ
θ
φ
φ
CosIU
P
CosIU
P
...3
..
3ELECTRICOMOTORRECIBE
1ELECTRICOMOTORRECIBE
=
=
alorificooder CPm
P
.
.
INTERNACOMBUSTIONMOTORRECIBE
=
Fig. 4.14
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 9 Unidad IV
La potencia (hidráulica) que entrega el sistema de control al actuador:
22CONTROLDESISTEMAENTREGA .QpP =
La potencia que recibe el actuador es:
La potencia (mecánica) que entrega el cilindro hidráulico:
vFP .CILINDROENTREGA =
La potencia (mecánica) que entrega el motor hidráulico:
AAMP ω.HIDRAULICOMOTORENTREGA =
Eoleohidráulica
Eoleohidráulica Emecánica
Emecánica
Potencia que entrega
cilindro
Potencia que entrega
motor oleohidráulico
AAMP ω.HIDRAULICOMOTORENTREGA =
vFP .CILINDROENTREGA =
22CONTROLDESISTEMAENTREGA .QpP =
2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆=
2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆=
Q2
Q2
p2
p2
p3
p3
Fig. 4.15
2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆=
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 10 Unidad IV
9. EFICIENCIAS. DIAGRAMA DE SANKEY
Cada parte del sistema presenta un promedio de pérdidas por lo que se puede definir las
siguientes eficiencias:
BOMBARECIBE
BOMBAENTREGA
BOMBA
P
P
=η
BOMBAENTREGA
HIDRÁULICOCONTROLSISTEMAENTREGA
HIDRAULICOCONTROLSISTEMA
P
P
=
ACTUADORRECIBE
ACTUADORENTREGA
ACTUADOR
P
P
=η
Los valores promedios de éstas eficiencias se encuentran en el siguiente diagrama de
SANKEY:
POTENCIA ELECTRICA
POTENCIA DE
ENTRADA
5 % MOTOR
ELECTRICO
10 % BOMBA
10 % VALVULAS
TUBERIAS
5 - 10 % CILINDRO
MOTORES
70 - 75 % POTENCIA DE
SALIDA
M
Fig. 4.16
Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos
Pag. 11 Unidad IV
Ejemplo:
Para el siguiente diagrama:
1. Calcular la presión p ( bar ).
2. Calcular el torque de un motor ( N – m )
M
220 V
25 HP
Q = 10 GPM
rpmn
TBOMBA
1800
%90
=
=η
250 bar
%85
50.. 3
=
=
TMOTOR
cmVD
η
10 bar
p
T ( N-m )
TORQUE
Fig. 4.17
Solución:
1. Cálculo de la presión:
600
*
25
Qp
P
HPP
P
P
BOMBA
MOTOR
MOTOR
BOMBA
BOMBA
=
=
=η
Reemplazando los datos en estas relaciones tenemos: p = 266 bar.
2. Cálculo del torque:
rpm
VD
Q
n
n
TP
Qp
P
P
P
MOTOR
HIDRAULICA
HIDRAULICA
MOTOR
MOTOR
757
..
60
**2
*
600
*
==
=
=
∆
=
=
π
ω
ω
η
Reemplazando los datos en estas relaciones tenemos: T = 162 N – m
FIN DE LA UNIDAD

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  • 2. Tecsup Virtu@l Indice Índice Unidad IV : “Sistemas Hidráulicos” 1. SISTEMAS HIDRÁULICOS DE ACCIONAMIENTO MANUAL ............................................ 1 2. SISTEMA HIDRÁULICO DE ACCIONAMIENTO POR MOTOR ELÉCTRICO ........................ 4 3. REPRESENTACIÓN DE UN CIRCUITO HIDRÁULICO BÁSICO......................................... 5 4. PARTES DE UN SISTEMA HIDRÁULICO....................................................................... 6 5. FLUJO ENERGÉTICO.................................................................................................. 6 6. ¿POR QUÉ LOS CAMBIOS ENERGÉTICOS? .................................................................. 7 7. EFICIENCIA TOTAL DE UN SISTEMA OLEOHIDRÁULICO.............................................. 7 8. POTENCIA ELÉCTRICA, HIDRÁULICA Y MECÁNICA..................................................... 7 9. EFICIENCIAS. DIAGRAMA DE SANKEY.......................................................................10
  • 3. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 1 Unidad IV UNIDAD IV “SISTEMAS HIDRÁULICOS” 1. SISTEMAS HIDRÁULICOS DE ACCIONAMIENTO MANUAL Veamos que elementos conforman un circuito oleohidráulico elemental de accionamiento manual pero de uso muy común: SISTEMA BÁSICO Multiplicador de fuerzas Hidráulico SISTEMA CON PALANCA Multiplicador de fuerzas mecánico y multiplicador de fuerzas hidráulico. SISTEMA PARA SOSTENER LA CARGA Y DESPLAZARSE EN FORMA CONTINUA Utilizando válvulas antiretorno. Fig. 4.1 Fig. 4.2 Fig. 4.3
  • 4. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 2 Unidad IV SISTEMA CON VÁLVULA DE DESCARGA Permite el retorno del pistón de simple efecto debido a su propio peso o a una fuerza externa. Este es el esquema típico de una gata hidráulica. SISTEMA CON VÁLVULA LIMITADORA DE PRESIÓN Sistema muy frecuente, con válvula limitadora de presión o válvula de seguridad. Se utiliza en prensas, montacargas, etc. SISTEMA CON BOMBA DE PISTÓN DE DOBLE EFECTO La carga asciende tanto con la carrera de arriba hacia abajo como con la carrera de abajo hacia arriba de la bomba manual. Fig. 4.4 Fig. 4.5 Fig. 4.6
  • 5. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 3 Unidad IV Fig. 4.7 SISTEMA HIDRÁULICO, tiene: Bomba de un pistón de accionamiento manual de doble efecto. Válvula de control de máxima presión ( válvula limitadora de presión ). Válvula de distribución de caudal 4/3 de accionamiento manual y centrado por muelles. Actuador: pistón de doble efecto. Veamos como debe actuar la válvula distribuidora para que salga el pistón: Fig. 4.8
  • 6. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 4 Unidad IV Veamos como debe actuar la válvula distribuidora para que entre el pistón: Fig. 4.9 2. SISTEMA HIDRÁULICO DE ACCIONAMIENTO POR MOTOR ELÉCTRICO Si reemplazamos la bomba de accionamiento manual por una bomba accionada por un motor eléctrico o un motor de combustión interna (motores gasolineros o petroleros) para obtener un “flujo continuo” de caudal tendremos un sistema hidráulico básico como el que se muestra a continuación: M Fig. 4.10
  • 7. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 5 Unidad IV 3. REPRESENTACIÓN DE UN CIRCUITO HIDRÁULICO BÁSICO El circuito mostrado anteriormente (Fig. 4.10) se representa simbólicamente de acuerdo a la norma DIN 1219 (Fig. 4.11): M Fig. 4.11 Esquemáticamente (Fig. 4.12): Con la válvula accionada para que el pistón salga. P T A B Fig. 4.12
  • 8. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 6 Unidad IV 4. PARTES DE UN SISTEMA HIDRÁULICO Un sistema hidráulico tiene las siguientes partes: • BOMBA: Unidad de Transformación de Energía mecánica en Energía de Fluido. La energía mecánica es el movimiento rotacional que entrega el motor eléctrico al eje de la bomba y la energía de fluido básicamente esta constituida por presión y caudal. • CONTROL DE PRESIÓN Y CAUDAL: Constituido en este caso por las válvulas limitadora de presión y la válvula distribuidora 4/3. La válvula de estrangulamiento y la válvula check. • ACTUADOR: Constituido por el cilindro el cual es un conversor de energía de fluido en energía mecánica (movimiento lineal que desplaza una fuerza, es decir que realiza un trabajo). 5. FLUJO ENERGÉTICO Esta identificación de las partes permite distinguir el flujo energético en un sistema hidráulico: 1. TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA EN ENERGÍA HIDRÁULICA. 2. CONTROL DE LA ENERGÍA HIDRÁULICA. 3. TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA HIDRÁULICA EN ENERGÍA MECÁNICA. CONVERSOR DE ENERGIA MECANICA EN ENERGIA DE FLUIDO : BOMBA CONTROL DE ENERGIA : VALVULAS DE CONTROL DE PRESION Y CAUDAL CONVERSOR DE ENERGIA DE FLUIDO EN ENERGIA MECANICA : ACTUADORES M Fig. 4.13
  • 9. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 7 Unidad IV 6. ¿POR QUÉ LOS CAMBIOS ENERGÉTICOS? El cuadro mostrado nos sugiere la siguiente pregunta: ¿Por qué pasar de la energía mecánica en el eje del motor a la energía hidráulica (de fluido) y luego nuevamente a energía mecánica? a. Porque los motores: eléctrico o de combustión interna dan alta velocidad angular pero bajo torque: El motor eléctrico sincrono gira a 3600, 1800, 1200 o 900 rpm El motor de combustión interna gira en ramentí a 500, 800, 1500 rpm Por lo tanto si queremos bajas velocidades y altos torques tenemos tres posibilidades: • Reductor mecánico de velocidades: Cajas mecánicas con engranajes, poleas fajas, etc. • Controlador electrónico de velocidades. • Sistemas hidráulicos. b. Los motores: eléctrico o de combustión interna dan velocidad angular y se requiere velocidades lineales. Para la transformación tenemos: • Rueda dentada, cremallera. • Cadenas, fajas. • Sistemas hidráulicos. En ambos casos los sistemas oleohidráulicos son una buena alternativa considerando las siguientes ventajas: • Flexibilidad mecánica. • Fácil control. • Alta potencia transmitida. Además debemos considerar las ventajas citadas en el capítulo anterior. 7. EFICIENCIA TOTAL DE UN SISTEMA OLEOHIDRÁULICO También debemos considerar que estos cambio energético están asociados a una degradación de la energía debido a las pérdidas, manifestadas en forma de calor, cuya cuantificación podemos evaluarla a través de la eficiencia total de un sistema hidráulico. [ ]75,060,0=HIDRAULICOSISTEMA El uso de bombas de caudal variable ha hecho posible una importante mejora de la eficiencia total del sistema hidráulico. Convencionalmente ha sido del 40 %, pero actualmente se cuenta con sistemas con eficiencias del 60 % al 75 %. 8. POTENCIA ELÉCTRICA, HIDRÁULICA Y MECÁNICA Comúnmente se emplea el término de Potencia como un sinónimo de Energía ( Tome en cuenta que la Energía es el producto de la Potencia por el tiempo ) . P E t = Es importante conocer su evaluación en cada caso : Si el motor que acciona a la bomba es eléctrico:
  • 10. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 8 Unidad IV • La potencia (eléctrica) que recibe el motor eléctrico ( monofásico ) esta dado por: θφ CosIUP ..1ELECTRICOMOTORRECIBE = • Si el motor eléctrico es trifásico, la potencia que recibe esta dado por: θφ CosIUP ...33ELECTRICOMOTORRECIBE = • Si el motor que acciona a la bomba es de combustión interna: alorificooder CPmP . . INTERNACOMBUSTIONMOTORRECIBE = Luego: La potencia que recibe la bomba es la POTENCIA DEL MOTOR: ( es la potencia mecánica que entrega el motor eléctrico o de combustión interna) EEMP ω.BOMBARECIBE = La potencia que entrega la bomba al sistema hidráulico o POTENCIA DE LA BOMBA es: 11BOMBAENTREGA .QpP = M EMECANICA EOLEOHIDRAULICA PMOTOR ELECTRICO EELECTRICA MEQUIMICA PMOTOR COMBUSTION INTERNA EEMP ω.BOMBARECIBE = BOMBAENTREGAP θ θ φ φ CosIU P CosIU P ...3 .. 3ELECTRICOMOTORRECIBE 1ELECTRICOMOTORRECIBE = = alorificooder CPm P . . INTERNACOMBUSTIONMOTORRECIBE = Fig. 4.14
  • 11. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 9 Unidad IV La potencia (hidráulica) que entrega el sistema de control al actuador: 22CONTROLDESISTEMAENTREGA .QpP = La potencia que recibe el actuador es: La potencia (mecánica) que entrega el cilindro hidráulico: vFP .CILINDROENTREGA = La potencia (mecánica) que entrega el motor hidráulico: AAMP ω.HIDRAULICOMOTORENTREGA = Eoleohidráulica Eoleohidráulica Emecánica Emecánica Potencia que entrega cilindro Potencia que entrega motor oleohidráulico AAMP ω.HIDRAULICOMOTORENTREGA = vFP .CILINDROENTREGA = 22CONTROLDESISTEMAENTREGA .QpP = 2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆= 2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆= Q2 Q2 p2 p2 p3 p3 Fig. 4.15 2ACTUADORELRECIBE .QpP ∆=
  • 12. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 10 Unidad IV 9. EFICIENCIAS. DIAGRAMA DE SANKEY Cada parte del sistema presenta un promedio de pérdidas por lo que se puede definir las siguientes eficiencias: BOMBARECIBE BOMBAENTREGA BOMBA P P =η BOMBAENTREGA HIDRÁULICOCONTROLSISTEMAENTREGA HIDRAULICOCONTROLSISTEMA P P = ACTUADORRECIBE ACTUADORENTREGA ACTUADOR P P =η Los valores promedios de éstas eficiencias se encuentran en el siguiente diagrama de SANKEY: POTENCIA ELECTRICA POTENCIA DE ENTRADA 5 % MOTOR ELECTRICO 10 % BOMBA 10 % VALVULAS TUBERIAS 5 - 10 % CILINDRO MOTORES 70 - 75 % POTENCIA DE SALIDA M Fig. 4.16
  • 13. Tecsup Virtu@l Mandos Hidráulicos Pag. 11 Unidad IV Ejemplo: Para el siguiente diagrama: 1. Calcular la presión p ( bar ). 2. Calcular el torque de un motor ( N – m ) M 220 V 25 HP Q = 10 GPM rpmn TBOMBA 1800 %90 = =η 250 bar %85 50.. 3 = = TMOTOR cmVD η 10 bar p T ( N-m ) TORQUE Fig. 4.17 Solución: 1. Cálculo de la presión: 600 * 25 Qp P HPP P P BOMBA MOTOR MOTOR BOMBA BOMBA = = =η Reemplazando los datos en estas relaciones tenemos: p = 266 bar. 2. Cálculo del torque: rpm VD Q n n TP Qp P P P MOTOR HIDRAULICA HIDRAULICA MOTOR MOTOR 757 .. 60 **2 * 600 * == = = ∆ = = π ω ω η Reemplazando los datos en estas relaciones tenemos: T = 162 N – m FIN DE LA UNIDAD