Representación simbolica y angular del entorno 2° sem

1
Consultor – Facilitador
Ing. Miguel Hernández Delgadillo
Ingeniería en Procesos Metalúrgicos
ESIQIE – IPN
Administración de Operaciones Industriales
UNITEC
Sistemas de Manufactura Sincronizada
MOOPI BERCLAIN AL
Módulos Básicos de APICS
APICS MÉXICO – UNITEC
Alta Dirección por Objetivos
DEVELOPMENT SYSTEMS
Optimización de Procesos Logísticos.- SINTEC
ISO-9000 : 2000 Nueva Familia de Normas.- CENCADE
Gte de Logística .– CARTONAJES ESTRELLA
Gte de Operaciones .– MAPFRE TEPEYAC
Gte de Logística y Distribución.– MAIZORO GAMESA
Gte General .– TRANSPORTES JULIÁN DE OBREGÓN
Gte Nal de Operaciones .– INTERMERK - DERMET
Gte de Cadena de Suministro.– GRAMOSA- FERROSERVICIOS
Gte de Logística y Almacenes. – EXTRUSIONES METÁLICAS
Profesor de Maestría y Licenciatura .- UNITEC, ETAC, DGETI
Secretario de Capacitación.- CONPEP AC

2
Representación Simbólica
y Angular del Entorno
2° sem.

3
Propósito del Módulo.-
Modelar de manera simbólica y angular el
entorno, mediante las técnicas, métodos
operacionales y procedimientos, algebraicos
geométricos, logarítmicos, exponenciales y
trigonométricos, para la generalización de su
representación en la vida diaria.
Alcance.-
Segundo semestre del núcleo de formación
básica, de todas las carreras de Profesional
Técnico y Profesional Técnico-Bachiller y
pretende que el alumno resuelva problemas
de la geometría plana, elaborando
estrategias individuales y colectivas en el
uso cotidiano y aplicación de esta disciplina,
incluyendo ejercicios y modelos
matemáticos, recuperados de su entorno
social inmediato

4
Nombre del
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Resultado de
Aprendizaje
Representació
n simbólica y
angular del
entorno
72 Horas
1
1. Resolución
de problemas
utilizando
logaritmos y
exponenciales.
15 horas
Sem 1 Trabajo
5%
Sem 2 Trabajo
5%
Sem 3 Trabajo
5%
Sem 4 Trabajo
5%
1.1 Maneja
desigualdades,
gráficas y
procedimientos
algebraicos de
funciones
exponenciales y
logarítmicas
mediante leyes y
propiedades. 10
horas. 10%
1.2 Soluciona
situaciones de su
entorno mediante
ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas. 5
horas. 10%
MAPA DEL MÓDULO

5
Nombre del
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Resultado de
Aprendizaje
Representaci
ón simbólica
y angular del
entorno
72 Horas
1
2. Modelado
angular,
lineal, de
superficie y
espacial. 25
horas.
Sem 5 Trabajo
5%
Sem 6 Trabajo
5%
Sem 7 Trabajo
5%
Sem 8 Trabajo
5%
Sem 9 Trabajo
5%
Sem 10 Trabajo
5%
Sem 11 Trabajo
5%
Sem 12 Trabajo
5%
2.1 Resuelve
problemas de
dimensiones lineales y
superficiales de figuras
geométricas mediante
propiedades,
teoremas, cálculos
aritméticos y
algebraicos. 15 horas.
20%
2.2 Soluciona
situaciones de su
entorno que
involucren el cálculo
de superficies y
volúmenes de sólidos
empleando fórmulas,
propiedades y dibujos
a escala. 10 horas. 20%

6
Nombre del
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Resultado de
Aprendizaje
Representación
simbólica y
angular del
entorno
72 Horas
1
3. Aplicación de
la trigonometría
32 horas.
Sem 13 Trabajo 5%
Sem 14 Trabajo 5%
Sem 15 Trabajo 5%
Sem 16 Trabajo 5%
Sem 17 Trabajo 5%
Sem 18 Trabajo 5%
Sem 19 Trabajo 5%
Sem 20 Trabajo 5%
3.1 Resuelve
problemas
relacionados
con triángulos,
rectángulos y
oblicuángulos
empleando
razones y leyes
trigonométricas.
22 horas. 20%
3.2 Resuelve
problemas de
identidades y
ecuaciones
trigonométricas
empleando sus
leyes y
propiedades. 10
horas. 20%

7
UNIDAD DE APRENDIZAJE I
1. Resolución de problemas utilizando logaritmos y exponenciales. 15
horas
RESULTADO DE APRENDIZAJE
1.1 Maneja desigualdades, gráficas y procedimientos algebraicos de
funciones exponenciales y logarítmicas mediante leyes y propiedades.
10 horas.
Actividades de evaluación :
1.1.1 Resuelve una serie de ejercicios donde aplique desigualdades y
sus propiedades, así como operaciones y gráficas de funciones
exponenciales y logarítmica.
Evidencias a recopilar :
• Ejercicios en hojas blancas de papel bond y gráficas en hojas
milimétricas. PONDERACIÓN: 10%
A. Resolución de desigualdades.
• Definición
• Propiedades
• Intervalos
• Abiertos
• Cerrados
• Combinados
• Solución

8
A. Resolución de desigualdades.
• Definición
DESIGUALDADES:
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números
algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos:
3 < 4, 4 > 3

9
• Si sumamos o restamos un mismo número a los dos
miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo
sentido.
• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra
del mismo sentido.
• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
desigualdad por un mismo número negativo, resulta
otra de sentido contrario.

10
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la
columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la
desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda:
x-3 > 5 Sumar 3
x+7 > 8 Restar 7
4x < 12 Dividir entre 4
-2x ≥ 8 Dividir entre (-2)
x-9 > -2 Sumar 9
-3x ≤ 9 Dividir entre -3

11
• Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a
ambos lados:
a 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un
número positivo:
a 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
Ejemplo
3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un
número negativo:
a b • c
a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
Ejemplo:
15 – 3 • x ≥ 39 / −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3
x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben
invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad,
ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

12
a0 > para expresar que el número a es positivo
a0 < para expresar que el n mero a es negativo ú
En general se escribe:
a b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
ab ≥ y se lee "a es mayor o igual que b" (desigualdad amplia)
Se llama desigualdad a cualquiera de las cuatro expresiones anteriores.
Gráficamente, la desigualdad a b < significa que el punto representativo de
"a" en la recta real se halla a la izquierda del que representa "b", y la
desigualdad a b > significa que el punto representativo de "a" en la recta real
se halla a la derecha del que representa "b".
______a|_____________b|______ ___b|___________a|_______
Desigualdad ab
• Intervalos
• Abiertos
• Cerrados
• Combinados
• Solución

13
INTERVALO DE UNA VARIABLE
• Es el conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente y que
están comprendidos entre dos de ellos: a
y b, que se denominan extremos del
intervalo.
• La diferencia que existe entre ambos
extremos se conoce como Amplitud de
intervalo y es igual al valor absoluto de
su diferencia |a-b|

14
INTERVALO DE UNA VARIABLE
Notación de intervalo:
[a,b]“intervalo de a hacia b”
Notación para la variable:
a<x<b “la variable x es mayor que a y
menor que b”

CLASIFICACIÓN DE
INTERVALOS
INTERVALO ¿QUE REPRESENTA?
CERRADO
[a,b]
{x|a≤x≤b}
ABIERTO
(a,b)
{x|a<x<b}
SEMIABIERTO POR LA
IZQUIERDA
(a,b]
{x|a<x≤b}
SEMIABIERTO POR LA DERECHA
[a,b)
{x|a≤x<b}
INFINITO
(a,+ œ) , [a,+ œ)
(-œ,b) , (-œ,b]

Representación gráfica de los
intervalos
• En la recta real los valores a y b se
denominan extremos del intervalo
• Resolver una desigualdad significa
encontrar todas sus soluciones, es
decir obtener el intervalo donde la
relación es verdadera.

Intervalos Y Su Representación
Mediante Desigualdades
• La noción de intervalo es un sistema de escritura de los
conjuntos numéricos en el plano de coordenadas.
• El intervalo es en general, utilizado para representar un
grupo de números a lo largo de un eje determinado.
• Estos intervalos son típicamente representados por las
desigualdades.
• Por ejemplo, considere todos los números mayores que 6,
con el fin de representar este conjunto de números,
podemos escribir la desigualdad como x> 6, donde x es
cualquier número en este conjunto.
• Sin embargo, si quiere representar solamente la notación de
intervalo, se escribe (6, +oo).
• Con el fin de interpretar la notación del intervalo, se asume
que el grupo de números del conjunto están en la recta
numérica, usualmente en uno de los ejes.
• El extremo izquierdo de la notación es decir, ‘(6’, indica que
el conjunto de números comienza a partir del próximo
número que sigue al 6 en el eje de coordenadas.

• El paréntesis que precede al 6 se conoce como paréntesis
alrededor de o exclusivo.
• Este paréntesis muestra que el 5 está excluido del grupo.
• Tales tipos de intervalos son llamados “Abiertos”.
• El símbolo de infinito siempre viene junto al paréntesis
exclusivo.
• Por lo tanto, esta representación cubre todos los números
mayores que 6, hasta el infinito.
• Los conceptos más profundos pueden ser mejor entendidos
con otro ejemplo que consiste en todos los números
mayores que 2 pero menores o iguales que 7.
• Para este conjunto de números, la representación de la
desigualdad es .
• Este grupo puede ser representado por la notación de
intervalo (2, 7].
• El paréntesis antes del ‘2’ indica que el 2 está excluido del
grupo, mientras que el corchete o paréntesis inclusivo ’[’
indica que el 7 está incluido en el conjunto.

• Estos intervalos se conocen como “Semiabiertos” y
“Semicerrados”.
• Los conceptos difíciles incluyen aquellos ejemplos en los
cuales el conjunto de números comprende todos los reales
tomando en cuenta un número particular.
• Supongamos que el número 4 está excluido del conjunto.
• La representación de esa desigualdad es: x < 4 y x > 4.
• La representación correspondiente de tal intervalo es: (oo ,
4) U (4, +oo ).
• U’ significa unión.
• La función principal del símbolo de unión es unir dos
conjuntos separados. ‘U’ hace el trabajo de ‘Y’.
• De la misma forma que funciona ‘O’ en las operaciones de
dos conjuntos, existe un símbolo especial de intersección
que es utilizado .
• Por ejemplo: (-oo , 4) (4, +oo ).
• Para resumir observemos un ejemplo donde todos los
conceptos mencionados están cubiertos:

• Supongamos que la ecuación a ser resuelta es .
• La desigualdad anterior puede ser separada en dos
desigualdades, es decir, ó
• Tras resolver estas desigualdades obtenemos, ó
• La notación de intervalo correspondiente sería: U .
• Este intervalo puede ser interpretado como la
representación de todo un conjunto de números, como la
unión de 2 conjuntos diferentes.
• El primer conjunto comenzará desde el valor infinito
negativo hasta el −1 en la recta numérica.
• El segundo conjunto comenzará desde el 4 hasta el valor
infinito positivo.
• La solución total del conjunto incluirá todos los números
tanto del primer conjunto como del segundo conjunto.

FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial, es conocida formalmente como la
función real ex, donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por
dominio de definición el conjunto de los números reales, y
tiene la particularidad de que su derivada es la misma
función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o
exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y
corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
Definiciones:
Número de Euler.-
Números Reales.-
Derivada.-
e = Base de los Logaritmos Naturales.-
Logaritmo Natural.-

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_ap
p.html
Introducción a Funciones Exponenciales
Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de: •Identificar
funciones exponenciales•
Obtener la fórmula exponencial asociada a una situación
determinada.
Introducción
Las funciones exponenciales son muy conocidas cuando
se habla de modelar una población, de interés o de
desintegración de elementos. Este tipo de funciones es
muy útil ya que podemos modelar situaciones de la vida
real utilizándolas.
Los siguientes ejemplos te ayudaran a comprender y
entender un poco mas a fondo las características de esta
función.
Situaciones y la función exponencial asociada
Ejemplo 1:
Una población de canguros, cuenta inicialmente con 200
individuos y se duplica cada 3 años. Si x representa la
cantidad de años transcurridos y P(x) la población de
canguros después de x años. ¿Cuál es la fórmula asociada
a la función P(x)?

Solución:
La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos
valores de x:
Notando que, cuando x aumenta por 3, la población se
multiplica por 2,
la tabla anterior se puede expresar como:
X=0 Población inicial periodo cero = 200*(2) 0 y 20 = 1
200*1 = 200
X=1 Se duplica en el periodo uno = 200*(2)1 y 21 = 2
200*2 = 400
X=2 Se duplica en el periodo dos = 200*(2)2 y 22 = 4
200*4 = 800
X=3 Se duplica en el periodo tres = 200*(2)3 y 23 = 8
200*8 = 1600
Observando la tabla anterior, podemos ver que la fórmula
para la población es:
P x = 200 × 2 X3
X 0 3 6 9
P(x) 200 400 800 1600
X 0 3 6 9
P(x) 200=200*(2) 0 400=200*(2) 1 800=200*(2) 2 1600=200*(2) 3

Ejemplo 2:
La población de aves es inicialmente de 10 individuos y se
triplica cada 5 años. Si x representa la cantidad de años
transcurridos y P(x) la población de aves después de x
años. ¿Cuál es la fórmula asociada a la función P(x)?
Solución:
valores de x:
Notando que, cuando x aumenta por 5, la población se
multiplica por 3, la tabla anterior se puede expresar como:
X=0 Población inicial periodo cero = 10(3) 0 y 30 = 1
10*1 = 10
X=1 Se duplica en el periodo uno = 10*(3)1 y 31 = 3
10*3 = 30
X=2 Se duplica en el periodo dos = 10*(3)2 y 32 = 9
10*9 = 90
X=3 Se duplica en el periodo tres = 10*(3)3 y 33 = 27
10*27 = 270
P x = 10 × 3 X3
X 0 5 10 15
P(x) 10 30 90 270
X 0 3 6 9
P(x) 10=10*(3) 0 30=10*(3) 1 90=10*(3) 2 270=10*(3) 3

Ejemplo 3:
La vida media del carbono 14 es de 5 668 años. Es decir
para una determinada cantidad de carbono 14, quedará la
mitad de la cantidad original después de 5 668 años. Se
tiene una muestra de 25gr.
Si x representa la cantidad de años transcurridos y P(x) la
masa en gramos de carbono 14 después de x años.
¿Cuál es la fórmula asociada a la función P(x)?
Solución:
valores de x:
x05 6681133617004P(x)2512.56.253.125
Notando que, cuando x aumenta por 5668, la masa del
carbono 14 se multiplica por 1/2, la tabla anterior se puede
expresar como:
x05 6681133617004P(x)25 = 25 × ( 1 2 ) 0 12.5 = 25 × (
1 2 ) 1 6.25 = 25 × ( 1 2 ) 2 3.125 = 25 × ( 1 2 ) 3
P x = 25 × ( 1 2 ) x 5668
Nota que en los ejemplos 1 y 2 la función es creciente, es
decir el valor de la función crece a medida que crece x. En
los ejemplos 3 y 4 la función es decreciente, es decir el
valor de la función decrece a medida que crece x.
X 0 5668 10 15
P(x) 10 30 90 270

Ahora debes saber como construir una función exponencial
si se te provee una situación. Pero, en caso que no
captaras la destreza puedes utilizar la siguiente aplicación
para practicar y verificar tus conocimientos. Las
aplicaciones te permiten seleccionar la población inicial, el
factor de crecimiento o decrecimiento y el periodo en el
que esto ocurre.
Función Exponencial Creciente Función Exponencial
Decreciente
Definición
Intuitivamente, si una cantidad se multiplica por una
constante periódicamente, como en los ejemplos antes
vistos, entonces la función es una función exponencial.
Una función exponencial f(x),es una función de la forma:
f x = a × b x
o
f x = a × b c x
donde a,b y c son constantes.
Además b es distinto de 1 y •si b>1, la función exponencial
es creciente.•si 0<b<1, la función exponencial es
decreciente.

GRAFICAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.-
VIDEO ILUSTRATIVO:
https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE
Ejercicio:
En la función f(x) = 5X
Consideraremos valores de X cercanos es decir:
-2 -1 0 1 2
Leyes de Potencialización:
1. Un número elevado a la “0” = 1
2. Un número elevado a la “1” = al mismo número
3. Un número elevado a un número negativo = a su
inverso elevado a la misma potencia positiva
X Y=f(x)
-2 5-2 = 1/52 = 1/25
-1 5-1 = 1/5
0 50 = 1
1 51 = 5
2 52 = 25

GRAFICAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.-
VIDEO ILUSTRATIVO:
https://www.youtube.com/watch?v=eAIg-4pH2SE
Ejercicio:
En la función f(x) = 5X

Ejercicio:
En la función f(x) = (1 / 7)X
Considerando valores de X, RESUELVA Y GRAFIQUE:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Nota: Recuerde que un número elevado a un número
negativo = a su inverso elevado a la misma
potencia positiva. En este caso el inverso de
(1/7) = 7
X Y=f(x)
-3 (1/7)-3 = 343
-2
-1
0
1
2
3

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Sea la siguiente expresión:
a n = b
Se define al logaritmo en base a de un número
b como el exponente
n al hay que elevar la base
para obtener dicho número, esto es:
log a b = n
que se lee: el logaritmo en base a del número b es n
Ejemplos:
3 2 = 9 log3 9 = 2
2 7 = 128 log2 128 = 7
5 4 = 625 log5 625 = 4

Como se puede ver, un logaritmo no es otra cosa que un
exponente, esto no se puede ni debe olvidarse cuando se
trabaje con logaritmos.
Los logaritmos fueron introducidos en las Matemáticas con
el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible
complicados cálculos numéricos.
Utilizando logaritmos se puede convertir productos en
sumas, cocientes en restas, potencias en productos y
raíces en cocientes.
La constante a es un número real positivo distinto de uno,
y se denomina base del sistema de logaritmos
La potencia a n para cualquier valor real de n solo tiene
sentido si a > 0 .
Logaritmos decimales
Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen
por base el número 10 . Al ser muy habituales es frecuente
no escribir la base: log10 X = log X

Es decir, el logaritmo decimal de potencias de diez
(con números naturales) es el número de ceros que posee.

LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO.-
Primero recordaremos las reglas de potenciación
5
-2
= 1/5
2
= 1/25 = 0.04
5-1 = 1/5 = 0.2
50 = 1
51 = 5
52 = 25
Ahora recordar que:
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los
logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos
decimales, se escribe sencillamente log sin necesidad de
especificar la base:
log10 X = log X

UNA PARTE DE LA HISTORIA DE LOS LOGARITMOS
LAS SUCESIONES DE NÚMEROS Y LOS EXPONENTES
ARQUÍMEDES
A los números de la sucesión primera, que es aritmética,
los llamaremos logaritmos; a los de la sucesión de abajo,
que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.
Según la regla de Arquímedes, "para multiplicar entre sí
dos números cualesquiera de la sucesión de abajo,
debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba
situados encima de aquellos dos.
Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba el
número correspondiente a dicha suma. El número de la
sucesión inferior que le corresponda debajo será el
producto deseado".
El número de la sucesión inferior que le corresponda
debajo será el producto deseado".

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular
logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos
decimales:
log 1 = 0; puesto que 100 = 1.
log 10 = 1; puesto que 101 = 10.
log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
LOGARITMOS NATURALES Ó NEPERIANOS
Los logaritmos naturales toman como base la letra e
Pero e= 2,7182818284590452353602874713527.
Entonces loge X = ln X

LOGARITMOS NATURALES Ó NEPERIANOS
Los logaritmos naturales toman como base la letra e
Pero e= 2,7182818284590452353602874713527.
Entonces loge X = ln X
Copie la tabla anterior y pruebe con su calculadora
elevando el número de Euler a la potencia indicada,
“logaritmo significa “número para el cálculo”

En matemáticas se denomina logaritmo natural o
informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base
es el número e, un número irracional cuyo valor
aproximado es 2,7182818284590452353602874713527.
El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a
veces como loge(x), porque para ese número se
cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

39
UNIDAD DE APRENDIZAJE II
2.1.1 Resuelve problemas sobre figuras geométricas que
involucre operaciones y ecuaciones de ángulos, líneas y
planos aplicando operaciones aritméticas y algebraicas, así
como sus leyes correspondientes.
A. Cálculo y trazo de componentes de la geometría.
• Ángulos
Medición.
Clasificación.
Operaciones.
Ecuaciones.
• Punto y línea.
Definición.
Colinealidad.
Paralelismo.
Recta secante a una curva
Ángulos entre paralelas y una secante
Congruencia.
Razones y proporciones.
• Superficie
Definición.
Paralelismo.

40
B. Identificación de las propiedades de los triángulos.
• Clasificación.
Por sus lados. Por sus ángulos
• Características.
Relación entre sus lados y ángulos.
Puntos y rectas notables.
• Cálculo del perímetro
Teorema de Pitágoras.
Dibujo a escala.
• Cálculo del área.
Dada la altura. Dados los tres lados
• Semejanza.
C. Identificación de las propiedades de los
cuadriláteros
• Características.
Lados Vértice.
Lados opuestos. Ángulos opuestos.
Lados adyacentes.
• Clasificación.
Trapecio.
Paralelogramo
Rectángulo.
Cuadrado.
Rombo
Trapezoide.
• Calculo de perímetro y área.
Fórmulas
Problemas

41
D. Identificación de propiedades de los polígonos de
más de cuatro lados
• Clasificación.
Por sus ángulos.
Por sus lados.
Por sus ángulos y sus lados.
Descomposición de polígonos en triángulos.
• Descomposición de polígonos en diagonales
Calculo de perímetro y área.
Fórmulas
Problemas
E. Identificación de los elementos y las propiedades del
círculo.
• Elementos.
Circunferencia. Diámetro. Radio.
Arco. Cuerda. Tangente.
Secante.
Sector.
• Ángulos.
Central. Inscrito. Semiinscrito. Exinscrito.
Interior. Exterior.
• Cálculo de perímetro y área.
Fórmulas.
Problemas.
F. Resolución de problemas.

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