CONJUNTO UNIDO.pptx

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 1: Lógica Proposicional
Ing. Juan Aguirre Mateus, Mg
SUBTEMA 1: Definición de proposiciones
SUBTEMA 2: Alfabeto de la lógica proposicional (alfabeto, sintaxis y semántica)
SUBTEMA 3: Valor y tabla de verdad

COMPONENTES PARA LA EVALUACIÓN
APRENDIZAJE EN CONTACO CON EL
DOCENTE 30%
PARCIAL 1= 15 PUNTOS
TEST
EXPOSICIÓN
TALLER
APRENDIZAJE PRÁCTICO EXPERIMENTAL 30%
TRABAJO DE
INVESTIGACIÓN,
ENSAYO,
FOROS,
TRABAJO
EXPERIMENTAL
EVALUACIÓN 40%
EXAMEN PARCIAL
EXAMEN FINAL

3
COMPONENTES PARA LA EVALUACIÓN

ACTIVIDAD DE INICIO
Ingrese al enlace y participe activamente.
Lea las siguientes instrucciones antes de empezar:
De clic en el enlace y vote por la opción que conteste a la pregunta:
Definan lo que es un axioma y de un ejemplo.
• Ingrese a: https://www.menti.com/rm78mr9q12
• Escanea el código QR para unirte a la actividad

OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Diferenciar los conceptos básicos entre proposiciones, alfabeto, sintaxis
y semántica para la aplicación en problemas matemáticos.

DEFINICIÓN DE PROPOSICIONES
El término proposición es tomado de la lógica y suele ser definido como un enunciado que
puede ser calificado de verdadero o falso. Se considera la proposición como un enunciado y este
último como una frase u oración.
https://bit.ly/32UoNzM

• 20 − 12 = 8
• Guayaquil es la capital del Ecuador

Gráficos diseñado por Marcos Guerrero
https://bit.ly/3DiWmrB
¿Qué hora es?
¡Wow, es hermoso el campo!

9
ALFABETO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposiciones
Las proposiciones se representan con letras, como p, q o r.
Ejemplo:
p: El auto es azul.

10
ALFABETO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Conectores
El conjunto de conectores se representa así:
Conjunto de conectores= {˄, ˅, ¬, →, ↔}
La siguiente tabla ejemplifica el significado de cada conector.

11
VALOR Y TABLA DE VERDAD
Valores de verdad
Son los valores que puede tomar una proposición, es decir, Verdadero o Falso.
Conjunto de valores de verdad={V, F}
𝑉 = 1
𝐹 = 0

12
VALOR Y TABLA DE VERDAD
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que
podría tomar una proposición.
2𝑛
n= numero de proposiciones

14
CIERRE DE CLASES
Todos los estudiantes deben ingresar al siguiente link:
https://www.menti.com/ryu17433d1 o Escanea el código QR
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Y desarrollar la actividad.

15
BIBLIOGRAFÍA
• ESPOL (2006). FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS: ESPOL
• El alfabeto de las proposiciones, Recuperado el 01 Diciembre 2021
https://bit.ly/3xO54gi

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 2: Operador Lógico
SUBTEMA 1: Operadores lógicos (negación, disyunción, conjunción, disyunción
exclusiva y condicional)
SUBTEMA 2: Reciproca, inversa, contrarrecíproca y bicondicional.
SUBTEMA 3: Condición necesaria y suficiente.

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/mnbu8ojxtq

Diferenciar los diferentes conectores que existen en lógica matemática
esto para que puedan emplear en los problemas de aplicación en
matemáticos.

OPERADORES LÓGICOS (NEGACIÓN, DISYUNCIÓN, CONJUNCIÓN,
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Y CONDICIONAL)
Negación
La negación de a, representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición, cuyo
valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Si se tiene la proposición:
a: Tengo un billete de diez dólares.
La negación de a es:
¬a: No tengo un billete de diez dólares.
Negación

Conjunción
La conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a∧b, es una nueva
proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Conjunción
Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva.
En español, la conjunción se presenta con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”,
y signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Conjunción
Si se tienen las proposiciones:
a: Obtengo buenas notas.
b: Gano una beca.
La conjunción entre a y b es:
a∧b: Obtengo buenas notas y gano una beca.

DISYUNCIÓN (𝒂 ∨ 𝒃):
Este operador solo es FALSO cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro caso,
es VERDADERA. Su tabla de verdad es la siguiente:

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la
proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas
proposiciones es falso.
En español, la disyunción se presenta con el término gramatical “o”.

a: Tengo un libro de Trigonometría.
b: Tengo un libro de Álgebra.
La disyunción entre a y b es:
a∨b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra.

Disyunción exclusiva
Sean a y b proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b, representada
simbólicamente por a ∨b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado
por la siguiente tabla de verdad:

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la
proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea
verdadera.
En español, la disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical
“o”, “o sólo”, “o solamente”, “o..., o...”.

a: Estoy en Quito.
b: Estoy en Guayaquil.
La disyunción exclusiva entre a y b es:
a ∨ b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por
a→b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla
de verdad:
Condicional

Condicional
Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación.
En la proposición a→b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente,
conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de
verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

Condicional
a: Juan gana el concurso.
b: Juan dona $ 10 000.
La condicional entre a y b es:
a→b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000.
Parafraseando la condicional, tenemos:
• Juan gana el concurso sólo si dona $ 10 000.
• Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000.
• Juan dona $ 10 000 siempre que gane el concurso.

𝑝 ∨ 𝑞 → ¬p → q

¬𝑞 → ¬p → ¬q

𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ¬𝑝 → q

RECIPROCA, INVERSA, CONTRARRECÍPROCA Y BICONDICIONAL.
La palabra “si” actúa sobre la hipótesis sin importar en qué lugar de la oración se encuentre.
Al igual que la palabra “si”, las expresiones “basta que” “siempre que”, “puesto que”, etc, actúan sobre
la hipótesis.
Las expresiones “solo si” o “solamente si” actúan sobre la conclusión sin importar en qué lugar de la
oración se encuentre.

PROPOSICION: 𝑎 → 𝑏
RECIPROCA: 𝑏 → 𝑎
INVERSA: ¬𝑎 → ¬𝑏
CONTRARRECIPROCA (contrapositiva): ¬𝑏 → ¬𝑎

Sean las proposiciones:
 a: Estoy atento
 b: Entiendo bien la clase
La condicional de esta proposición es:
𝑎 → 𝑏 Si estoy atento, entiendo bien la clase.
Parafraseando la condicional, se tiene:
 Entiendo bien la clase, si estoy atento.
 Si estoy atento, entonces entiendo bien la clase.

a→ 𝑏
Reciproca: 𝑏 → 𝑎
Inversa: ¬𝑎 → ¬𝑏
Contrarrecíproca : ¬𝑏 → ¬𝑎
Dada las proposiciones:
a: El teléfono sonó
b: Mario contesta el teléfono
La condicional de estas proposiciones es:
La reciproca de esta condicional será:
La inversa de esta condicional será:
La contrareciproca de esta condicional será:

Escriba en lenguaje común y formal la reciproca, la inversa y la contrarrecíproca de la proposición:
“Los aranceles se aprueban puesto que los artesanos ecuatorianos ofrecen productos de calidad”.
Primero encontraremos las proposiciones de este enunciado:
a: Los aranceles se aprueban.
b: Los artesanos ecuatorianos ofrecen productos de calidad.
 La reciproca es:
 La inversa es:
 La contrarrecíproca es: a→ 𝑏
Reciproca: 𝑏 → 𝑎
Inversa: ¬𝑎 → ¬𝑏
Contrarrecíproca : ¬𝑏 → ¬𝑎

Bicondicional
Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simbólicamente por
a↔b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de
verdad:

Bicondicional
La proposición a↔b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “a
si y sólo si b”, “a si y solamente si b”, “a implica b y b implica a”, “a cuando y sólo
cuando b”.

Bicondicional
a: La tierra es esférica
b: El sol es una estrella
"La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella"

Ejemplo
𝑎 ⟷ 𝑏 ⋀ ¬𝑏 ∨ 𝑎 → 𝑎 → ¬𝑏

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
Relacionadas a la enunciación hipotética, surgen las nociones de condición
suficiente y condición necesaria, y puede afirmarse con propiedad que mucha gente
tiene integrada estas nociones a su lenguaje cotidiano
Si cae nieve entonces hace frío

Si soy egresado de una carrera entonces soy exalumno de esa carrera
La implicación sólo es válida en un sentido: egresado ⇒ exalumno
No es correcto extenderla a: exalumno ⇒ egresado

“Si la figura es un cuadrado, entonces la figura es un cuadrilátero que tiene sus
longitudes iguales.”

 Sea la condicional de proposiciones:
“Si el atleta llego primero a la meta, obtuvo medalla de oro”
Parafraseando:
a: El atleta llego primero a la meta
b: El atleta obtuvo medalla de oro

50
CIERRE DE CLASES
https://www.menti.com/qm46fweuf5
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51
BIBLIOGRAFÍA
• El alfabeto de las proposiciones, Recuperado el 01 Diciembre 2021

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 3: Forma Proposicional
SUBTEMA 1: Proposición simple y compuesta
SUBTEMA 2: Formas proposicionales (variables y formas proposicionales,
tautología, contradicción y contingencia, implicación y equivalencia lógica)

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/rv9wp79eih

El alumno será capaz de: crear oraciones lógicas en donde se emplee proposiciones
simples y compuestas y las cuales tengan sentido lógico para los problemas de
aplicación en matemáticos.

PROPOSICIÓN SIMPLE Y COMPUESTA
Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las
proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores
lógicos.

Suponga que las proposiciones a, b y c son verdadera, falsa y verdadera
respectivamente, de acuerdo a esto encuentre la expresión FALSA:

Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c y d son
respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
compuestas:
a) ¬(a∨b)→(c∧¬d)
b) ¬(c↔a) → (b∧d)

FORMAS PROPOSICIONALES (VARIABLES Y FORMAS PROPOSICIONALES,
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA, IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA
LÓGICA)
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables
proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.
Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para formar nuevas
formas proposicionales. Dadas A y B, los símbolos ¬A, A∧B, A∨B, A B, A→B y A↔B representan
nuevas formas proposicionales.

FORMAS PROPOSICIONALES (VARIABLES Y FORMAS PROPOSICIONALES, TAUTOLOGÍA,
CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA, IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICA)
Dada la siguiente forma proposicional:
A: [(p∧q)→(r∨¬p)]∧r

LÓGICA)
Dada la estructura lógica de una forma proposicional:
Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las
variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA.

LÓGICA)
Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las
variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIÓN.

LÓGICA)
Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad
de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.

LÓGICA)
Implicación lógica
Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado
por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología.

LÓGICA)
Equivalencia lógica
Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B,
denotado por A⇔B, si y sólo si A↔B es una tautología.
El símbolo ⇔ se lo reemplaza por ≡

70
CIERRE DE CLASES
https://www.menti.com/fc7q4q1pq4 o Escanea el código QR
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71
BIBLIOGRAFÍA

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 4: Demostración y razonamiento
SUBTEMA 1: Razonamientos
SUBTEMA 2: Propiedades de las proposiciones (leyes de las proposiciones)
SUBTEMA 3: Demostraciones (directa, contradicción, contraejemplo y reducción al
absurdo)
UNIDAD 1: Lógica Proposicional

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/qn6pikm1tf

Construir párrafos con razonamientos lógicos empleando conectores
lógicos así como sus respectivas demostraciones para que puedan
emplearse en los problemas de aplicación en matemáticos.

RAZONAMIENTOS.
Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de
proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico
principal; y, una proposición final denominada conclusión.
Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la
conclusión es su consecuente.

RAZONAMIENTOS.
Validez de un razonamiento
Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su
estructura lógica es una tautología.
Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el
razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

RAZONAMIENTOS.
Traduce al lenguaje formal la proposición:
Pedro entrena en el equipo solo si no siente molestias por su lesión.
Las proposiciones son:
p: Pedro entrena en el equipo q: Pedro siente molestias por su lesión.

RAZONAMIENTOS.
Sean las proposiciones
a: Hoy es miércoles
b: Tengo que dar un examen
c: He estudiado
d: Saldré mal del examen
Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición:
“Hoy es miércoles y tengo que dar un examen, pero sí he estudiado entonces no saldré mal en el examen”, es:

RAZONAMIENTOS.
Traduce al lenguaje formal la proposición: José va a la playa si y solo si su papá le presta el auto. Si José no va
a la playa, entonces su papá usara el auto. El papá de José le prestara su auto solo si José promete conducir
con precaución y durante la mañana. Por lo tanto, José no va a la playa.
p: José va a la playa q: El papá de José le presta el auto r: El papá de jose usara el auto
s: José promete conducir el auto con precaución t: José promete conducir durante la mañana

RAZONAMIENTOS.
Traduce al lenguaje formal la proposición: Basta ignorar al pueblo para no ser un buen político. Ser un político
implica invertir tiempo. Si ser un buen político implica invertir tiempo, no ser un buen político implica ignorar
al pueblo. Entonces, no es verdad que invertir tiempo es suficiente para ser un buen político.
p: Se ignora al pueblo q: Se es un buen político r: Se es un político s: Se invierte tiempo

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RAZONAMIENTOS.
Sean las proposiciones:
a: Hoy es miércoles
b: Tengo que dar un examen
c: He estudiado
d: Saldré mal del examen
Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición:
“Hoy es miércoles y tengo que dar un examen, pero sí he estudiado entonces no saldré mal en el
examen”, es:

PROPIEDADES DE LAS PROPOSICIONES (LEYES DE LAS PROPOSICIONES).
LEYES DE LÓGICA
¬𝒑 ∨ 𝒒 ≡ 𝒑 → 𝒒
Conmutativa
𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
Asociativa
𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟
𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟

LEYES DE MORGAN
¬ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
¬ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
Leyes de idempotencia
𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
Doble negación
¬¬𝑝 ≡ 𝑝

Propiedad distributiva para la disyunción sobre la conjunción
𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑝 ∨ 𝑟
Propiedad distributiva para la conjunción sobre la disyunción
𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ∧ 𝑟

Leyes inversas
𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ 0
𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ 1
Leyes de denominación
𝑝 ∧ 0 ≡ 0
𝑝 ∨ 1 ≡ 1
Leyes del neutro
𝑝 ∧ 1 ≡ 𝑝
𝑝 ∨ 0 ≡ 𝑝

Doble implicación
𝑝 ↔ 𝑞 ≡ [ 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑝 ]
Reducción
𝑝 ∧ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑝
𝑝 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑝
Silogismo Hipotético
𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑟 → (𝑝 → 𝑟) ≡ 1

DEMOSTRACIONES (DIRECTA, CONTRADICCIÓN, CONTRAEJEMPLO Y REDUCCIÓN
AL ABSURDO).
Demostraciones por reducción al absurdo
En este método se supone que la estructura del razonamiento p→q no es tautológica. Debido a que el
operador principal de un razonamiento es la implicación, la estructura no es tautológica si existe al menos
un caso 1→0, es decir, partimos de p y q e intentamos llegar a un disparate o contradicción.
Como p no puede ser falsa, pues constituye la hipótesis, se concluye que lo que es falso es q.

AL ABSURDO).

AL ABSURDO).
Demostraciones Directas
También denominadas “marcha adelante”. Si queremos demostrar que p→q,
examinamos los elementos que aparecen en p; y, con la atención puesta en q, intentamos
deducir q a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en p y termine en q.

AL ABSURDO).
[(p→q)∧p]⇒q

AL ABSURDO).
Demostraciones por contraposición (o contrarrecíproca)
Este tipo de demostración es conocido como “supongamos que no”. Está basada
en la equivalencia que vimos entre (p→q) y (¬q→¬p).

AL ABSURDO).
(p→q) y (¬q→¬p)
[ (p ∨ q) ∧ ¬p ] ⇒ q

AL ABSURDO).
Demostraciones por contraejemplo
El dar un ejemplo o mil, que ilustren una proposición, no demuestra que ésta sea
verdadera. Sin embargo, sí podemos demostrar el hecho de que la proposición sea falsa,
aportando por lo menos un ejemplo que lo confirme.
Dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo.
El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la
proposición no es verdadera.

AL ABSURDO).
Verifique si la siguiente proposición es verdadera:
“Si un número impar es mayor que dos, es primo”.

106
CIERRE DE CLASES
https://www.menti.com/4akazxf8x8

107
BIBLIOGRAFÍA

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 1: Conjunto
SUBTEMA 1: Definición de conjuntos
SUBTEMA 2: Diagrama de Venn y cardinalidad.
SUBTEMA 3: Conjuntos relevantes.
SUBTEMA 4: Cuantificador existencial y universal.
SUBTEMA 5: Relación entre conjuntos.
UNIDAD 2: Teoría de Conjuntos

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/ks6nz7fdvj

Diferenciar los diferentes conceptos de conjuntos para la aplicación en
los problemas matemáticos.

Definición de conjuntos.
Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una
característica o propiedad común bien definida.

Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la
característica o propiedad declarada por el conjunto.
De aquí que es importante que esta característica no sea ambigua.

Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con
precisión.
Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x ∈A. Para decir que x no
está en A, escribiremos x ∉A.

La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras:
• Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos.

• Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos.

Diagrama de Venn y cardinalidad.
• Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo gráficamente.

Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad
conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto.
Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad, la cual se define a continuación.
Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A).

A = {x/x es un dígito par en el sistema de numeración decimal}
A = { }
N(A) =

Conjuntos relevantes.
Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:
• A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al
conjunto vacío es ∅. N(A) = 0

• A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1

• A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.

• A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos.

• A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que
deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener
todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a
este conjunto es Re o U.

Cuantificador existencial y universal.
Expresiones indistintas o abiertas
5x + 3y = 8
2x < 6
Estas expresiones indistintas o abiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de
las sustituciones que se hagan para x o y.
Se hace necesario contar con una simbología especial, que permita obtener proposiciones
a partir de expresiones abiertas.

Cuantificador Universal
Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en
el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.
∀x, 2x+3x = 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”.

Cuantificador Existencial
Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta
que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por
medio de ∃.
∃x, 2x+2 = 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”.

Relación entre conjuntos.
Subconjunto
El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en
B. Simbólicamente, este concepto se representa por:
(A ⊆ B)⇔∀x[(x ∈A)→(x ∈B)]
Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es
SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por:
(A ⊂ B)⇔[(A ⊆ B)∧¬(A = B)]

Conjunto Potencia
Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los
subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).
P(A) ={B/B ⊆ A}
La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2𝑁(𝐴).

Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}
A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:
{*, +} ⊂ A
{*, +} ∈P(A)
∅ ∈P(A)

Dado el conjunto B = { 1, {*,Ω} }, construya:
• P(B)
• P(P(B))

Conjuntos disjuntos e intersecantes
Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común.
Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento
común.

133
CIERRE DE CLASES
https://www.menti.com/gieyr3rcmm

134
BIBLIOGRAFÍA

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 1: Operación entre conjuntos
SUBTEMA 1: Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento entre
conjuntos

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/khveyktzvd

Diferenciar las operaciones entre conjuntos como la unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento de
conjuntos para emplearlos en la resolución de problemas.

UNIÓN, INTERSECCIÓN, DIFERENCIA, DIFERENCIA SIMÉTRICA Y COMPLEMENTO
ENTRE CONJUNTOS
La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como:
Unión entre conjuntos

ENTRE CONJUNTOS
Intersección entre conjuntos
La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos
que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A  B y se define como:

ENTRE CONJUNTOS
Diferencia entre conjuntos
La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota
por A-B y se define como:

ENTRE CONJUNTOS
Diferencia simétrica entre conjuntos
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AB y se define
como: AΔB = (A−B)∪(B−A), o también:

ENTRE CONJUNTOS
Complementación de conjuntos
La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos
del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como:

ENTRE CONJUNTOS
Dado el referencial Re= 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜 y los conjuntos A, B, C y D definidos por:
A= 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐶𝑂𝑀𝑃𝑈𝑇𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁
B= 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇𝑅𝑂𝑁𝐼𝐶𝐴
C= 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐵𝐴𝑅𝐶𝐸𝐿𝑂𝑁𝐴
D= 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝐸𝑁𝑈𝑀𝐸𝑅𝐴𝐶𝐼Ó𝑁
a) Tabule los conjuntos A, B, C y D.
b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) N(A)=N(B)
II) A=B
III) E ∈ A

ENTRE CONJUNTOS
)
(
)
( B
C
B
A 


C
C
B
A )
( 

  )
(
)
( B
A
B
A
C 
 

B
A
CC

)
( 
  )
(
)
(
)
( B
C
C
B
C
A 

 

Dados los conjuntos no vacíos A, B y C, entonces la región sombreada del gráfico
adjunto corresponde a:

ENTRE CONJUNTOS
A
B
Re
a) (A – B)  (B – A )
b) (B  AC)  (A  BC)
c) (A  B)  (AC  BC)
d) (A  B) – (A  B)
e) (A  B)C  (A – B)
Sólo una de las siguientes opciones no corresponde al conjunto representado por la parte sombreada del
diagrama de Venn – Euler mostrado, identifíquela.

ENTRE CONJUNTOS
A
B
C
Re
Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces la región sombreada del siguiente
diagrama de Venn – Euler es (A – B)  (B – A)  C
•Verdadero.
•Falso

ENTRE CONJUNTOS
Si Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6}, (B  C) = {3, 5}, C – (A  B) = {7} y (C – B) = {4, 7},
entonces el conjunto C es:
a) {1, 2, 4, 7} b) {1, 3, 4, 5, 7} c) {2, 3, 4, 5, 7} d) {3, 4, 5, 7} e) {3, 5, 7}

UNIÓN, INTERSECCIÓN, DIFERENCIA, DIFERENCIA SIMÉTRICA Y COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS
Sea Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, y, A, B y C conjuntos no vacíos tales que CC  B = 2, 4, 7;
A  B = 2, 5, 8; C – (A  B) = 1, 3; A = 2, 5, 8, 10, 11; A  C = 5, 8, 10, Re – (A  B  C) = 6.
Entonces AC – B es:
a)1, 3, 6 b) 4, 6 c) 8, 7, 8, 9 d) 1, 6, 7 e) 1, 3

ENTRE CONJUNTOS
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( C
B
A
N
C
A
N
C
B
N
B
A
N
C
N
B
N
A
N
C
B
A
N 













)
(
)
(
)
(
)
( B
A
N
B
N
A
N
B
A
N 




CARDINALIDAD: Es la cantidad de elementos de un conjunto. Si A es un conjunto, entonces la Cardinalidad
de A, se denota como: N(A).

ENTRE CONJUNTOS
1. Si en una encuesta realizada a 50 jóvenes se determina que a 10 les gusta sólo música clásica, a 15 les agrada
escuchar tanto la música clásica como música pop y a 5 les gusta escuchar otra clase de música. Entonces es
VERDAD que:
a) A 35 estudiantes les gusta escuchar música clásica
b) A 25 estudiantes les gusta escuchar música pop
c) A 30 estudiantes les gusta escuchar las dos clases de
música
d) A 5 estudiantes les gusta escuchar música pop pero no
música clásica
e) A 20 estudiantes les gusta escuchar solo música pop

ENTRE CONJUNTOS
En una entrevista a 40 estudiantes del curso nivel 0, acerca del deporte que practica, se obtiene que:
12 practican básquet,
14 volley y 16 fútbol.
No hay estudiantes que practiquen al mismo tiempo
básquet y volley,
4 practican volley y fútbol,
20 practican volley o fútbol pero no básquet.
Entonces, el número de estudiantes que no practican
deporte alguno es:
a) 8 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5

153
CIERRE DE CLASES
https://www.menti.com/pb5uywwffy

154
BIBLIOGRAFÍA

Conjunto y Lógica
Matemática
TEMA 1: Demostración de Conjunto
SUBTEMA 1: Propiedades de los conjuntos
SUBTEMA 2: Demostraciones formales (leyes de algebra de conjuntos)

ACTIVIDAD DE INICIO
• Ingrese a: https://www.menti.com/77a3i7yv9e

Aplicar las propiedades de los conjuntos así como demostrar
formalmente la aplicación de sus propiedades mediante las leyes del
algebra de conjuntos para poder emplear los conceptos en la resolución
de problemas

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se
incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos.
A continuación se presentan las de uso más frecuente:

DEMOSTRACIONES FORMALES (LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTOS)
𝐴𝐶
∪ 𝐵 ∩ 𝐵𝐶
Dada la siguiente operación entre conjuntos, resuelva utilizando leyes de algebra de conjuntos

DEMOSTRACIONES FORMALES (LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTOS)
Dada la siguiente operación entre conjuntos, resuelva utilizando leyes de algebra de conjuntos
𝑨𝑪 ∪ 𝑩
𝑪
∩ 𝑩 ∪ 𝑩𝑪 ∩ 𝑨𝑪

164
CIERRE DE CLASES
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165
BIBLIOGRAFÍA

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