CAPITULO IV 1.pptx

HORMIGON
PREESFORZADO CIV-311
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
U.M.R.P.S.F.X.CH.
INGENIERIA CIVIL
CAPITULO IV DISEÑO DE VIGAS

• Generalidades.- Bases para el diseño.-
• Criterios de seguridad y condiciones de servicio.-
• Diseño por flexión en base a esfuerzos permisibles.-
• La excentricidad a lo largo de la luz y sus variaciones.
• La fuerza pretensora a lo largo de la luz y sus variaciones.-
• Selección de forma y eficiencia a la flexión.-
• Secciones estándares.-
• Secciones que tienen capacidad en exceso.-
• Diseño a la flexión en base al balanceo de cargas.-
• Diseño en base al preesfuerzo parcial y resistencia última.-
• Diseño de zonas de anclaje.-
• Control de grietas.-
• Ejemplos numéricos.

En el siguiente gráfico se puede sintetizar el comportamiento de una viga de
HºPº. en función de su curva carga-deflexión:
CURVA CARGA-DEFLEXIÓN DE UNA VIGA

En el gráfico se puede observar: que cuando actúa el preesfuerzo inicial existe
una deformación δpi, debido al momento de flexión ocasionado por la
excentricidad.
En cuanto actúa el peso propio aparece una deflexión δ0 en contra de la
deformación (este es el estado denominado descargado), actúa el preesfuerzo
inicial y el peso propio del miembro (Pi + Pp). Se supone que las pérdidas ocurren
al mismo tiempo, de forma que la deflexión neta es δpe - δ0 debida a la
combinación de Pe y Pp. La distribución de esfuerzos en el centro de la luz de la
viga muestra una pequeña tensión en la cara superior y una compresión máxima
en la cara inferior.
En cuanto se añade la carga muerta sobrepuesta la deflexión se incrementa hacia
abajo en un valor δd (pudiendo aún tener en este punto una deflexión hacia
arriba).
Si se añade algo de carga viva es posible llegar a un estado de carga balanceada
tal que la carga equivalente hacia arriba que proviene del preesfuerzo sea
exactamente igual a las cargas externas que actúan hacia abajo. Como resultado
de esto se logra que el esfuerzo de compresión sea uniforme en el miembro. La
deflexión en este punto es considerada nula.

Agregando carga viva se alcanza el estado de descompresión en el que el
esfuerzo en el hormigón en la cara inferior de la viga es cero. En todo este
tramo el comportamiento de la viga se encuentra en el rango elástico. Por
encima de este valor y durante un cierto intervalo el comportamiento sigue
siendo lineal hasta que se alcanzan esfuerzos de tensión en el concreto que
igualan al módulo de ruptura.
El agrietamiento inicia el rango no lineal, aunque tanto el hormigón como el
acero permanecen en el rango elástico hasta más allá de la carga de
agrietamiento.
A medida que se agregan cargas el acero empezará a fluir o el hormigón
alcanzará su deformación por aplastamiento. A este estado se suele
denominar de sobrecarga.
Finalmente cerca de la falla la viga tiene un comportamiento inelástico siendo
su distribución de esfuerzos como el mostrado en el gráfico.

2.- BASES PARA EL DISEÑO.-
La práctica usual en HºPº es que las dimensiones del miembro sean
seleccionadas de manera que se mantengan los esfuerzos en el hormigón
dentro de límites especificados de acuerdo al proceso de cargado. Estos
valores fueron proporcionados en el capítulo anterior.
Las vigas dimensionadas en base a los esfuerzos deben también satisfacer
otros requerimientos como por ejemplo las deflexiones bajo carga de
servicio total y carga parcial, ambos valores deberán ser considerados
durante el diseño.
Para las vigas parcialmente presforzadas es posible requerir una revisión
explícita del ancho de las grietas, sin embargo una práctica más corriente es
limitar el esfuerzo nominal de tensión en el hormigón.
Normalmente se introducen en los cálculos márgenes de seguridad contra
el colapso a través de la resistencia del miembro.

Es posible seleccionar las dimensiones del miembro previendo la
resistencia exactamente requerida, sin embargo se suelen incrementar
las cargas previstas por medio de factores de carga especificados
anteladamente.
Otra alternativa que se tiene en el diseño de miembros consiste en
determinar el valor de la carga pretensora y la configuración del
acero, este método se basa en el balanceo de cargas que controla las
deflexiones.
Cuando se emplee este procedimiento deberá verificarse el diseño en los
diferentes estados de carga.

3.- CRITERIOS DE SEGURIDAD Y CONDICIONES DE
SERVICIO.-
Los diferentes Códigos y Normas incorporan propuestas para la seguridad
estructural, así por ejemplo, el ACI proporciona las bases para el diseño
de miembros tomando en cuenta los siguientes aspectos:
3.1.- Cargas
Las cargas se clasifican en muertas y vivas.
El peso propio es la carga muerta más importante, en nuestro medio se suelen
tomar valores entre 2300 a 2400 kg/m3 ó 140 a 150 lbrs/pie3 para hormigones
ligeros.
Las cargas vivas corresponden a las de los ocupantes, viento, nieve, cargas de
tráfico o fuerzas sísmicas.
Las cargas muertas deberán ser calculadas por el ingeniero, mientras que las
cargas vivas vienen especificadas en los Códigos y Normas.

Nota. Los valores de la columna de carga viva deben ser en lbrs/pie2
La carga especificada debe distinguirse de lo que se conoce como carga
característica, ésta última corresponde a la carga que efectivamente actúa
en condiciones normales de ejercicio, se ve que esta última es menor que la
carga especificada.
La suma de la carga muerta calculada y la carga especificada se llama carga
de servicio.

La carga factorizada o carga de falla es aquella que una estructura es capaz
de soportar y se la obtiene multiplicando la carga de servicio por un valor
mayor que uno (1).
3.2.- Resistencia.-
La resistencia de la estructura depende de la resistencia de los materiales
que la conforman. Las especificaciones proporcionan información sobre la
resistencia mínima de los materiales.
Las propiedades del hormigón y sus componentes, el mezclado, colocación
y curado, así como los métodos de comprobación son señalados en los
Códigos, como por ejemplo en el ACI. Otro organismo que proporciona
información sobre los materiales es la ASTM (American Society For Testing
Materials).
Otro factor que determina la resistencia es el cuidado con el que se
construye la estructura. La supervisión de la construcción juega un papel
importante en este campo.

3.3.- Seguridad estructural
La seguridad exige que la resistencia sea adecuada para soportar todas las
cargas que han sido concebidas.
Al existir muchas fuentes de incertidumbre tanto en la estimación de cargas,
así como en el análisis, diseño y construcción se incorporan márgenes de
seguridad.
El ACI estudia separadamente a cargas y a resistencias, para el caso de las
cargas proporciona factores de carga mayores a la unidad a aplicarse tanto
a cargas muertas como a las de servicio especificadas, factores de carga que
adopta el ACI.
En el caso de que la estructura sea sobrecargada, la resistencia requerida no
debe exceder de un valor conservador que se estima. Este valor se toma en
función de la resistencia real y la obtención del mismo requiere del cálculo de
la resistencia nominal que está en función del comportamiento de la
estructura y de la resistencia de los materiales.

La resistencia de diseño es obtenida a partir de la resistencia nominal a la que se
aplica un factor de reducción de resistencia, por ejemplo:
Mu ≤ øMn
Pu ≤ øPn
Vu ≤ øVn

El Código ACI no especifica restricción alguna para esfuerzos bajo cargas de servicio
de varillas de acero no preesforzadas, por lo que su utilización deberá realizarse
empleando el mejor criterio y experiencia.
Es posible limitar indirectamente las deflexiones, estableciendo los esfuerzos o
definiendo las máximas relaciones de luz peralte o requiriendo también el cálculo
de deflexiones limitando éstas a valores previamente establecidos.

4.- DISEÑO POR FLEXIÓN EN BASE A ESFUERZOS
PERMISIBLES.-
Una de las formas de diseñar las dimensiones de hormigón y la magnitud
de la fuerza pretensora, es aquella en la que se seleccionan ambos rubros de
manera que no se exceden los límites de esfuerzo especificados tanto en el
estado descargado y en el estado de carga de servicio. Durante este
procedimiento tanto el acero como el hormigón pueden ser considerados
elásticos.
Algunos autores emplean un procedimiento de aproximaciones sucesivas. En
este método se supone una sección transversal, una fuerza pretensora y la
línea de acción del tendón. Luego se revisa el miembro de tanteo para ver si
los esfuerzos se encuentran dentro de los límites permisibles, se ve también
que las deflexiones sean las correctas y que se cuenta con la resistencia
requerida.

Otro procedimiento se basa en la aproximación de los esfuerzos lo más
próximos a los esfuerzos límites en los estados de carga que controlan el
diseño. La notación que se emplea para los esfuerzos del hormigón en los
diferentes estados es el siguiente:
fci= Esfuerzo de compresión permisible inmediatamente después de la
transferencia
fti= Esfuerzo de tensión permisible inmediatamente después de la
transferencia
fcs= Esfuerzo de compresión permisible bajo cargas de servicio después de
todas las pérdidas
fts= Esfuerzo de tensión permisible bajo cargas de servicio después de todas
las pérdidas.

4.1.- Diseño de vigas con excentricidad constante.-
Si Pi y e se mantienen constantes a lo largo de la luz como es el caso de
hormigones pretensados, los límites de esfuerzo fti y fci se sobrepasarían
en puntos de la luz donde Mo es menor que su máximo.
No se debe olvidar que Mo es el máximo valor del momento debido a peso
propio y el que se supone actúa inmediatamente superpuesto. A fin de
eludir esta condición cuando se diseña vigas de excentricidad constante,
este valor (de excentricidad) deberá ser menor que la máxima excentricidad
que se obtendría cuando la viga tiene excentricidad variable. Su máximo
valor viene dado por las condiciones de apoyo donde Mo es nulo.
El siguiente gráfico muestra la distribución de esfuerzos de flexión en el
centro de la luz (sección de máximo momento) y en los apoyos:

Gráfico 4.2a,b.
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS DE FLEXIÓN PARA UNA VIGA CON
EXCENTRICIDAD CONSTANTE

El estado (1) es decir cuando actúa Pi sola, muestra los esfuerzos límites fti y fci tanto en el
centro de la luz como en los apoyos.
El estado (2) es cuando actúa además de Pi el momento por peso propio Mo y las tensiones
son como se muestra en el gráfico.
Los cambios en el esfuerzo Δf1 y Δf2 que ocurren a medida que se presentan las pérdidas
son iguales a (l - R) veces los esfuerzos en las caras superior e inferior respectivamente
debidos al presfuerzo inicial solamente. Al final del proceso se tiene actuando a Pe y Mo
(estado 3).
El estado 4 se obtiene cuando actúan todas las cargas. En este estado se puede obtener que
el esfuerzo permisible sea:

Reemplazando valores de Δf1 en la ec. (*) Se tiene:
=>
Reemplazando valores de Δf2 en la ec. (**) se tiene:
Los requerimientos para los módulos de sección serán:
(A) (B)
Reemplazando la ec. (1) y (2) en la ec. (A) y (B) de los módulos de sección obtenemos:
(3) (4)

Nota.- Los límites de esfuerzo fti y fci se consideran como cantidades con signo, en tanto
que los cambios de esfuerzo como Mo/S1 y Δf2, etc, se toman como valor absoluto.
De la figura 4.2 a: (5)
Con estos valores se puede sacar el esfuerzo en el centroide del concreto en las condiciones
iniciales obteniéndose:
(6)
Y la fuerza pretensora será: (7)
En este caso si observamos el gráfico 4.2 b la excentricidad requerida será:
Haciendo operaciones tenemos:
(8)

Cuando la excentricidad es constante se tiene el inconveniente de que los extremos
soportan esfuerzos excesivos en el hormigón debido al presfuerzo. Para solucionar
este problema se suele embutir algunos tendones dentro de forros de plástico,
desplazando efectivamente el punto de aplicación de la fuerza hacia el centro de la
luz de esa manera la fuerza pretensora es reducida en los extremos. Otra alternativa
es usar varillas de refuerzo no presforzadas en las regiones extremas.
El ACI da limitaciones a los esfuerzos de tensión en el hormigón inmediatamente
después de la transferencia, antes de las pérdidas diferidas en los extremos
simplemente apoyados que serán iguales a 6 √f‘c el doble de lo que se aplica en
otras ubicaciones.
Las condiciones en los apoyos serán las que rijan el diseño de vigas con
excentricidad constante pudiendo tomarse fti = 6 √f‘c

Ejemplo:
Diseño de una viga con tendones de excentricidad constante
La viga del ejemplo debe diseñarse usando tendones rectos Con excentricidad
constante. En los apoyos se permiten esfuerzos temporales de tensión en el concreto de
6 𝑓′𝑐𝑖 = 390 𝑙𝑏/pulg2 .
Previendo una viga menos eficiente, la carga muerta estimada será de 270 Lb/pie en
este caso. El momento resultante Mo es 54 kllolibras-pie. El momento debido a las
cargas muertas y vivas sobrepuestas es de 300 kilolibra-pie. f’c=6000lb/pulg2 y
f’ci=4200lb/pulg2.
Usando las ecuaciones expuestas en la teoría los módulos de sección requeridos son:
(Las perdidas serán del 15%).
𝑆1 ≥
Mo + Md+ Ml
𝑅𝑓𝑡𝑖 −𝑓𝑐𝑠
=
(54 + 300)12,000
0.85 ∗ 390 + 2700
=1401𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑆2 ≥
Mo + Md+ Ml
𝑓𝑡𝑠 − 𝑅𝑓𝑐𝑖
=
(54 + 300)12,000
465 + 0.85 ∗ 2520
=1629𝑝𝑢𝑙𝑔3
𝑓𝑐𝑖 = −0.60𝑥4200 = −2520𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑡𝑖 = 6 4200 = +390 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑐𝑠 = −0.45𝑥6000 = −2700𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑡𝑠 = 6 6000 = +465 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2

Nuevamente se escogerá una sección simétrica. Se mantendrán las mismas
dimensiones del patín y el ancho del alma que en el ejemplo anterior, pero en este
caso se requiere un peralte de viga de 30.5 pulg. En la figura 4.5a se muestran las
dimensiones de la sección transversal. Se obtienen las siguientes propiedades:
Ic = 25207 pulg4 (10.49 E9 mm4)
S = 1653 pulg3 (27.1 E6 mm3)
Ac = 255 pulg2 (165 E3 mm2)
𝑟2= 98.9 pulg2
wo = 266 Lb/pie (cercano al valor supuesto)
El esfuerzo en el centroide del concreto es
𝑓𝑐𝑐𝑖=𝑓𝑡𝑖 —
𝑐1
ℎ
∗ 𝑓𝑡𝑖 − 𝑓𝑐𝑖 = 390 −
1
2
390 + 2520 = −1065𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
y de la ecuación, la fuerza pretensora inicial es
𝑃𝑖 = 𝐴𝐶 ∗ 𝑓𝑐𝑐𝑖 = 255 ∗ 1,065 = 272 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 (1210 𝐾𝑁)

De La ecuación, la excentricidad constante requerida es
e= 𝑓𝑡𝑖 − 𝑓𝑐𝑐𝑖
𝑆1
𝑃𝑖
= 390 + 1065
1653
272,000
= 8.84𝑝𝑢𝑙𝑔. (224 𝑚𝑚)
Figura: Viga con tendones de excentricidad constante. (a) Dimensiones de la
sección transversal. (b) Esfuerzos en el centro del claro. (c) Esfuerzos en los
apoyos.

Nuevamente, dos tendones se emplearán para proporcionar la fuerza P. compuestos
cada uno de alambres múltiples de 1/4 de pulg. de diámetro. El esfuerzo máximo
permisible de los alambres es de 168 kilolibras/pulg2, y el área de acero total
requerida es:
Ap = 272/168 = 1.62 pulg2 (1045 mm2)
Como antes se requiere un total de 34 alambres, 17 en cada tendón.
Se revisarán los cálculos para verificar los esfuerzos en el concreto en las partes
superior e inferior de la viga para los estados críticos de carga. Las componentes de
las contribuciones de esfuerzos son:
𝑃𝑖: 𝑓1 = −
272,000
255
1 −
8.84 𝑥15.25
98.9
= +387 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2= −
272,000
255
1 +
8.84 𝑥15.25
98.9
= −2522 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑃𝑒: 𝑓1 = 0.85𝑥387 = +328 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2 = 0.85 −2522 = −2144 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2

𝑀0: 𝑓1 = −
54𝑥12,000
1653
= −392 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑀0: 𝑓2 = +
54𝑥12,000
1653
= +392 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑀𝑑 + 𝑀𝑙: 𝑓1 = −
300𝑥12,000
1653
= −2178 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2 = +2178 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Suponiendo las apropiadas contribuciones de esfuerzos, se obtienen las distinto.
aova de esfuerzo. en el concreto en el centro del claro y en los apoyos, tal como se
muestra respectivamente, Cuando solamente actúa la fuerza pretensora inicial de
272 kilolibras, como en los apoyos, los esfuerzos en las superficies superior e
inferior son
𝑓1 = +387 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2 = −2522 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2

Después de las pérdidas la fuerza pretensora se reduce a 231 kilolibras y
consecuentemente se reducen los esfuerzos en los apoyos. El peso propio es
inmediatamente superpuesto en el centro del claro de la viga, y los esfuerzos
debidos a Pi más Mo son:
𝑓1 = +387 − 392 = −5 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2 = −2522 + 392 = −2130 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Cuando actúa toda la carga de servicio junto con P0, los esfuerzos en el centro del
claro son:
𝑓1 = +328 − 392 − 2178 = −2242 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑓2 = −2144 + 392 + 2178 = +426 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
Si checamos los respectos a los limites de esfuerzo especificados, resulta evidente
que el diseño es satisfactorio en este respecto para las secciones estudiadas y bajo
los estados de carga critica.

Ejemplo de aplicación.-
Se desea diseñar una viga de HºPº. postensada que soportará una carga viva de
1000 Lbrs/pie y una carga muerta adicional a su peso propio de 500 Lbrs/pie. La luz
de la viga será de 40 pies. El hormigón tiene un peso unitario normal de 150
Lbrs/pie3. La resistencia de diseño del hormigón es de f‘c = 6000 Lbrs/pulg2.
Para efectos de cálculo se estima que al momento de la transferencia el hormigón
tiene una resistencia del 70% de su resistencia última. Tomar por pérdidas 15% del
preesfuerzo inicial, por lo que R = 85% (afectará al momento por peso propio).
Determinar las dimensiones requeridas del hormigón, la magnitud de la fuerza
pretensora y la excentricidad del centroide del acero basadas en esfuerzos
permisibles.

4.2.-DISEÑO DE VIGAS CON
EXCENTRICIDAD
VARIABLE
En el gráfico se muestra la distribución de
esfuerzos a flexión del concreto en la
sección de máximo momento de una viga
en la que la excentricidad del tendón
variará a lo largo de la luz:
Gráfico 4.3
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS DE
FLEXIÓN PARA VIGA CON
EXCENTRICIDAD VARIABLE

En el gráfico la fuerza pretensora excéntrica de valor Pi produce una distribución lineal
(1 ). Debido al combeo producido por la fuerza, inmediatamente actúa el peso propio
por lo que se superponen los esfuerzos resultantes de Mo y la primera distribución
realmente es la (2). En este estado la tensión en la superficie superior no deberá
exceder de fti y la compresión en la parte inferior no será mayor de fci.
Se supone que en este estado ocurren las pérdidas y la distribución cambia a (3), en
este momento ocurre una reducción de la tensión en Δf1 y una reducción en la
compresión en Δf 2.
A medida en que actúan las cargas muertas y vivas se producen momentos Md y Ml
ocasionando la distribución (4). En este estado la tensión en la cara inferior no deberá
exceder de fts y en la cara superior la compresión no deberá exceder de fcs.
Los requerimientos para los módulos de sección S1 y S2 se obtienen de:

Los esfuerzos disponibles y arriba y abajo deben ser menores que los
esfuerzos límites especificados fti , fcs , fci y fts calculándose del siguiente
modo:
En primer lugar sabemos que la relación de efectividad R= Pe/Pi, la pérdida
de la fuerza pretensora puede escribirse
Pi – Pe = (1-R)*Pi
Δf1 y Δf2 son iguales a (1-R) veces los esfuerzos correspondientes debidos a
Pi actuando sola:
Δf1 es una reducción de la tensión en la superficie superior y Δf2 es una
reducción de la compresión en la superficie inferior.
Nótese que los límites de esfuerzo fti y fci se consideran como cantidades
con su propio signo, en tanto que los cambios de esfuerzo como Mo / S1 y
Δf2 etc., se toman con su valor absoluto.

Los esfuerzos disponibles a medida que se aplican los momentos de las cargas
sobrepuestas Md + M1 serán:
Reemplazando valores de Δf1 y Δf 2 se tiene:
Haciendo operaciones y agrupando términos tenemos:
Reemplazando estos valores en las ecuaciones de los módulos de sección
obtenemos:
(A) (B)

La sección transversal deberá ser seleccionada de forma que se obtengan S1 y
S2.
Por otro lado sabiendo que:
Entonces el eje centroidal se ubicará:
O en función del peralte total:
(C)
El esfuerzo en el centroide del concreto sujeto a condiciones iniciales será:
(D)

La fuerza pretensora inicial se obtiene de:
(E)
Y la excentricidad de la fuerza pretensora se obtiene de:
De donde: (F)
En resumen el diseño en base a esfuerzos permisibles con excentricidad variable
abarca:

1. Hallar los módulos de sección requeridos con respecto a las superficies
superior e inferior mediante las ecuaciones (A) y (B), con el eje centroidal
ubicado mediante la ecuación (C).
2. Las dimensiones del hormigón se escogen de manera que se satisfaga estos
requerimientos, lo más próximos como fueran posibles.
3. El esfuerzo en el centroide del concreto esta dado por la ecuación (D) y la
fuerza pretensora inicial se encuentra con (E).
4. La excentricidad se hallará mediante la ecuación (F).
Debe notarse que será necesaria efectuar una estimación del peso propio del
miembro al empezar los cálculos para tener Mo. Esta estimación se suele efectuar
en base a relaciones típicas de luz y peralte extractados de experiencias previas. Si
esta estimación no es correcta deberán revisarse los cálculos.

Existen casos en los que la excentricidad se reduce a cero (caso de los apoyos ),
donde los momentos debidos a cargas transversales son nulos.
Finalmente el esfuerzo en el hormigón es uniformemente igual al valor centroidal fcci
cuando actúa Pi y fcci después de que ocurren las pérdidas.
Utilizando los datos del ejemplo anterior rediseñar la viga, pero esta vez deberá tener
excentricidad variable. Todos los valores del ejemplo anterior son válidos para este
ejercicio.

Ejemplo:
Diseño de una viga con tendones de excentricidad variable.
Una viga de concreto presforzado postensada debe soportar una carga viva de 1000
Lb/pie y una carga muerta sobre adicional a su peso propio de 500 Lb/pie, con un
claro de 40 pies. Se usará concreto con densidad normal con una resistencia de
diseño f’c=6000 Lb/pulg2. Se estima que al momento de la transferencia el concreto
habrá alcanzado el 70 por ciento de su resistencia última, o sea 4200 Lb/pulg2. Las
pérdidas dependientes del tiempo se pueden suponer como el 15 por ciento del
presfuerzo inicial, resultando una relación de efectividad de 0.85. Determínese las
dimensiones requeridas del concreto, la magnitud de la fuerza pretensora y la
excentricidad del centroide del acero, basándose en las limitaciones de esfuerzos del
ACI, tal como se dan en las tablas (3.1) y (3.2). (wl=14.6 kN/m, wd=7.3 kN/m, claro =
12.2 m, f’c = 29 N/mm2).
Refiriéndose a la tabla 3.1, se obtienen los siguientes límites de esfuerzos:
𝑓𝑐𝑖 = −0.60𝑥4200 = −2520𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑡𝑖 = 3 4200 = +195 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑐𝑠 = −0.45𝑥6000 = −2700𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓𝑡𝑠 = 6 6000 = +465 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2

El peso propio de la viga se estimara como 250 lb/pie los momentos debidos a las
cargas transversales son:
𝑀𝑂 =
1
8
𝑥0.250𝑥402
= 50 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑝𝑖𝑒
𝑀𝑑 + 𝑀𝑙 =
1
8
𝑥1.500𝑥402 = 300𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑝𝑖𝑒
Los módulos de sección requeridos con respecto a las superficies superior e
inferior de la viga de concreto se hallan con las siguientes ecuaciones:
𝑆1 ≥
1 − 𝑅 𝑀0 + 𝑀𝑑 + 𝑀𝑙
𝑅 ∗ 𝑓𝑡𝑖 − 𝑓𝑐𝑠
=
0.15𝑥50 + 300 12,000
0.85𝑥195 + 2700
= 1288𝑝𝑢𝑙𝑔.3
𝑆2 ≥
1 − 𝑅 𝑀0 + 𝑀𝑑 + 𝑀𝑙
𝑓𝑡𝑠 − 𝑅 ∗ 𝑓𝑐𝑖
=
0.15𝑥50 + 300 12,000
465 + 0.85𝑥2520
= 1415𝑝𝑢𝑙𝑔.3

Figura: Viga con tendones de excentricidad variable. (a) Dimensiones de la sección
transversal. (b) Esfuerzos en el centro del claro.
Estos valores son tan cercanos que se adoptará una viga simétrica. La viga I con 28
pulg. de peralte mostrada en la figura satisfacerá los requisitos, y tiene las siguientes
propiedades:
1c = 19,904 pulg4 (8.28 x 109 mrn4 )
S = 1422 pulg3 (23.3 x 106 mm3)
A, = 240 pulg2 (155 x 103 mm2)
𝑟2
=82.9 pulg2
wo = 250 Lb/pie (supuesto).
En seguida se hallan los esfuerzos en el centroide del concreto con la siguiente
ecuacion.
𝑓𝑐𝑐𝑖 = 𝑓𝑡𝑖 −
𝐶1
ℎ
𝑓𝑡𝑖 − 𝑓𝑐𝑖 = 195 −
1
2
195 + 2520 = −1163 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2

y -de la ecuación (4.5), la fuerza pretensora inicial es:
Pi= Ac*fcci = 240 x 1.163 = 279 kilolibras (1241 kN)
De la ecuación, la excentricidad requerida para el tendón en la sección de máximo
momento en la viga es:
𝑒 = 𝑓𝑡𝑖 − 𝑓𝑐𝑐𝑖
𝑆1
𝑃𝑖
+
𝑀𝑂
𝑃𝑖
= 195 + 1163
1422
279,000
+
50𝑥12,000
279,000
𝑒 = 9.07 𝑝𝑢𝑙𝑔. (230𝑚𝑚)
La excentricidad se reducirá en otros puntos del claro con el objeto de no violar los
esfuerzos límites del concreto.
Se proporcionará la fuerza pretensora inicial usando tendones consistentes en
alambres de 1/4 de pulg. relevados de esfuerzo. La resistencia mínima a la tensión,
según la tabla 2.1 es 240 kilolibra/pulg2 , y de acuerdo con los requisitos del ACI, éstos
se usarán bajo un esfuerzo inicial de 0.70 x 240 = 168 kilolibra/pulg2 . Así pués, el
área requerida para el acero del presfuerzo vale:
A p = 279/168 = 1.66 pulg2 (1071 mm2).

El área de la sección transversal de un alambre de 1/4 de pulg. de diámetro es 0.0491
pulg2 ; entonces el número requerido de alambres es:
No de alambres = 1.66/0.0491 = 34
Se usarán dos tendones de 17 alambres cada uno. Es una buena costumbre revisar los
cálculos para confirmar de que no se excedan los límites de los esfuerzos en los estados
críticos de cargas. Los esfuerzos en las caras superior e inferior del concreto producidos
en este caso son, para las cargas por separado:
𝑃𝑖: 𝑓1 = −
279,000
240
1 −
9.07𝑥14
82.9
= +618 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓2 = −
279,000
240
1 +
9.07𝑥14
82.9
= −2943 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑃𝑒: 𝑓1 = 0.85𝑥618 = 525 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑓2 = 0.85 −2943 = −2501 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑀𝑜: 𝑓1 = −
50𝑋12,000
1422
𝑓2 = +422 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
𝑀𝑑 + 𝑀𝑙: 𝑓1 = −
300𝑥12,000
1422
𝑓2 = +2532 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2

Así cuando se aplica la fuerza pretensora inicial y actúa el peso propio de la viga,
los esfuerzos en las partes superior e inferior del concreto en el centro del claro
valen, respectivamente
f1 = +618 - 422 = +196 Lb/pulg2
f2 = - 2943 + 422 = — 2521 Lb/pulg2
Cuando la fuerza pretensora se ha reducido a su valor efectivo de 237 kilolibras y se
aplica toda la carga de servicio, los esfuerzos en el concreto son:
f1 = +525 - 422 - 2532 = —2429 Lb/pulg2
f2 = -2501 + 422 + 2532 = +453 Lb/pulg2
En la figura se muestran estas distribuciones de esfuerzos límites. Una comparación
con los límites especificados de esfuerzos confirma que el diseño es satisfactorio.

5.- LA EXCENTRICIDAD A LO LARGO DE LA LUZ Y SUS
VARIACIONES.-
En el inciso anterior se ha visto que las ecuaciones obtenidas satisfacen los
requerimientos de módulo de sección, fuerza pretensora y además establecen la
excentricidad del tendón en la sección de máximo momento.
En otros lugares donde disminuye el momento, la excentricidad del acero debe reducirse
para no sobrepasar los esfuerzos límite en el hormigón, cuando la viga está descargada.
Por otro lado existirá una excentricidad mínima para el cencroide del acero tal que los
esfuerzos no sobrepasen cuando la viga está totalmente cargada.
De este análisis se concluye que es posible definir los límites para la ubicación del
centroide del acero de preesfuerzo a lo largo de la luz por medio de las siguientes
cuaciones:

Que darán los valores en estados: descargado y cargado en la superficie superior e inferior
de la viga.
Estos esfuerzos son comparados con los de las tablas límite (Tablas 3.1 y 3.2 ) y lo que se
trata de lograr es buscar una solución para la excentricidad "e" en función de "x" a lo largo
de la luz.
Por este motivo es posible expresar "e" como funciones de "x". Es decir: e(x), M0(x) y Mt(x).
De esta manera se tiene que:
Para el estado descargado el esfuerzo de tensión en la parte superior no debe exceder de fti
por lo que:

Resolviendo para la máxima excentricidad se tiene que:
(Primer Límite)
Por otro lado en la parte inferior de la viga descargada el esfuerzo no debe
sobrepasar la compresión límite inicial, es decir:
Resolviendo:
(Segundo Límite)

Luego se efectúa el análisis para el estado totalmente cargado pudiéndose
obtener las siguientes expresiones:
(Primer Límite)
Por otra parte
(Segundo Límite)
Las dos primeras expresiones de e(x) proporcionan los límites inferiores de la
excentricidad y las siguientes dos dan los valores límite superiores de la
excentricidad.
Se hace notar que el límite superior puede tener signo negativo, esto quiere
decir que el centroide del acero se encuentra por encima del centroide del
concreto, en el lugar que se analice.

Generalmente se suele dibujar la envolvente de los perfiles de los tendones. Un ejemplo de
aquello se puede observar en el siguiente gráfico, el mismo que ha sido
realizado para carga muerta y viva uniformemente distribuida:
Gráfico 4.4
ZONA LÍMITE PARA UBICACIÓN DEL CENTROIDE DEL ACERO

Debe aclararse que cualquier centroide del tendón que caiga dentro de la zona limitada
por las envolventes será satisfactorio.
Normalmente la curva que se utiliza para definir el perfil del tendón en vigas
postensadas es una parábola o una catenaria.
Se hace notar también que para vigas de un tramo diseñadas por el método de
balanceo de cargas, el centroide del tendón debe pasar a través del centroide del
hormigón en los apoyos, debido a que los momentos exteriores en los apoyos son
nulos.
Para la ubicación real de los tendones se realizan algunos ajustes que compatibilicen los
requisitos constructivos y las exigencias del cálculo.
En la viga de concreto preesforzado postensada del ejemplo anterior con excentricidad
variable de 40 pies de largo y 29 pulgadas de peralte, determinar la zona límite del
tendón.

Ejemplo: determinación de la zona limite para el centroide del tendón.
Determinar la zona límite del tendón para la viga postensada de 40 pies de claro y 28
pulg. de peralte, diseñada en el ejemplo del Artículo 43c (el claro es 12.2 m y el
peralte 711 mm). Los resultados de tal análisis se resumen tal como sigue:
𝑓𝑐𝑖 = −0.60𝑥4200 = −2520𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
(−17,4𝑁/𝑚𝑚2
)
𝑓𝑡𝑖 = 3 4200 = +195 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2 (+1,3𝑁/𝑚𝑚2)
𝑓𝑐𝑠 = −0.45𝑥6000 = −2700𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
(−18,6𝑁/𝑚𝑚2
)
𝑓𝑡𝑠 = 6 6000 = +465 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔.2 (+3,2𝑁/𝑚𝑚2)
𝑀0 = 50 𝐾𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑝𝑖𝑒 68𝐾𝑁 ∗ 𝑚 ; 𝑀𝑡 = 350 𝐾𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑝𝑖𝑒 (475𝐾𝑁 ∗ 𝑚)
𝑃𝑖 = 279 𝐾𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 1241𝐾𝑁 . ; 𝑃𝑒 = 237 𝐾𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 1054𝐾𝑁 .
𝑆1 = 1422𝑝𝑢𝑙𝑔3
23,3𝐸6𝑚𝑚3
. ; 𝑆2 = 1422𝑝𝑢𝑙𝑔3
23,3𝐸6𝑚𝑚3
.
𝐴𝐶 = 240 𝑝𝑢𝑙𝑔2 155𝐸3 𝑝𝑢𝑙𝑔2 . ; 𝑟2 = 82,9 𝑝𝑢𝑙𝑔2 53,5𝐸3𝑚𝑚2 .
Zona límite típica para
el centroide del acero
del presfuerzo.

Puesto que el peso propio del miembro y las cargas sobrepuestas son uniformemente
distribuidas. la variación de todos los momentos es parabólica, desde un máximo en el
centro del claro hasta cero en los apoyos. De acuerdo con esto, las ordenadas de los
momentos son:
Centro de claro Cuarto de claro apoyo
50 kilolibra-pie 37.5 kilolibrapie 0
350 kilolibrapie 262.5 kilolibrapie 0
Primero se hallará el límite inferior del centroide del acero con la siguiente ecuación.
En el apoyo 𝑒 𝑥 =
195𝑥1422
279,000
+
1422
240
= 6.92 𝑝𝑢𝑙𝑔 176𝑚𝑚
Al cuarto del claro 𝑒 𝑥 = 6.92 +
37.5𝑥12,000
279,000
= 8.53 𝑝𝑢𝑙𝑔 217𝑚𝑚
Al centro del claro 𝑒 𝑥 = 6.92 +
50𝑥12,000
279,000
= 9.07 𝑝𝑢𝑙𝑔 230𝑚𝑚

Mientras que los limites inferiores, de la ecuación.
En el apoyo
𝑒 𝑥 =
2520𝑥1422
279,000
−
1422
240
= 6.92 𝑝𝑢𝑙𝑔 176𝑚𝑚
Al cuarto del claro e(x)=8.53 pulg.(217)mm
Al cuarto del claro e(x)=9.07 pulg.(230)mm
Los resultados idénticos obtenidos de las ecuaciones (4.10) y (4.11) simplemente
confirman que la fuerza pretensora se ha escogido en forma tal de satisfacer
exactamente los limites de esfuerzos 𝑓𝑡𝑖𝑦𝑓𝑐𝑖.
En seguida se establecerá la curva limite superior de las ecuaciones.
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑒 𝑥 =
−2700𝑥1422
237,000
+
1422
240
= −10.28 𝑝𝑢𝑙𝑔 −261𝑚𝑚
Al cuarto del claro 𝑒 𝑥 = −10.28 +
263𝑥12,000
237,000
= 3.04 𝑝𝑢𝑙𝑔 77𝑚𝑚

Al centro del claro 𝑒 𝑥 = −10.28 +
350𝑥12,000
237,000
= 7.44 𝑝𝑢𝑙𝑔 189𝑚𝑚
Mientras que la ecuación.
En el apoyo 𝑒 𝑥 = −
465𝑥1422
237,000
−
1422
240
= −8.72 𝑝𝑢𝑙𝑔 −221𝑚𝑚
Al cuarto del claro 𝑒 𝑥 = −8.72 +
263𝑥12,000
237,000
= 4.60 𝑝𝑢𝑙𝑔 117𝑚𝑚
Al centro del claro 𝑒 𝑥 = −8.72 +
350𝑥12,000
237,000
= 9.00 𝑝𝑢𝑙𝑔 229𝑚𝑚

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