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Variación de las concepciones individuales sobre límite finito de una función en un punto
- 1. Variaci´on de las concepciones individuales sobre l´ımite finito de una funci´on en un punto J.A. Fern´andez-Plaza, J.F. Ruiz-Hidalgo, L. Rico y E. Castro Departamento de Did´actica de la Matem´atica Universidad de Granada XVII Simposio de la SEIEM Bilbao, septiembre 2013
- 2. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio
- 3. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011)
- 4. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Fase Final (2012)
- 5. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. Fase Final (2012)
- 6. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. • Dualidad objeto/proceso. • Car´acter exacto/aproximado. • Caracter infinito potencial/finito. • Relaciones entre alcanzabilidad/rebasabilidad. Fase Final (2012)
- 7. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. • Dualidad objeto/proceso. • Car´acter exacto/aproximado. • Caracter infinito potencial/finito. • Relaciones entre alcanzabilidad/rebasabilidad. Fase Final (2012) Mejora de la caracterizaci´on de los aspectos estructurales.
- 8. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. • Dualidad objeto/proceso. • Car´acter exacto/aproximado. • Caracter infinito potencial/finito. • Relaciones entre alcanzabilidad/rebasabilidad. Fase Final (2012) Mejora de la caracterizaci´on de los aspectos estructurales. Detecci´on de cambios en las concepciones.
- 9. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. • Dualidad objeto/proceso. • Car´acter exacto/aproximado. • Caracter infinito potencial/finito. • Relaciones entre alcanzabilidad/rebasabilidad. Fase Final (2012) Mejora de la caracterizaci´on de los aspectos estructurales. Detecci´on de cambios en las concepciones. Estudio de la evoluci´on.
- 10. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Esquema general del estudio Fase inicial (2011) Interpretaci´on de las concepciones y definiciones de la noci´on de l´ımite en t´erminos de aspectos estructurales. • Dualidad objeto/proceso. • Car´acter exacto/aproximado. • Caracter infinito potencial/finito. • Relaciones entre alcanzabilidad/rebasabilidad. Fase Final (2012) Mejora de la caracterizaci´on de los aspectos estructurales. Detecci´on de cambios en las concepciones. Estudio de la evoluci´on. Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
- 11. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Objetivo
- 12. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Objetivo Objetivo Documentar y describir la variaci´on de las concepciones de los estudiantes sobre aspectos espec´ıficos del concepto de l´ımite finito de una funci´on en un punto.
- 13. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes
- 14. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas:
- 15. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas: • Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
- 16. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas: • Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991). • Car´acter infinito potencial/finito pr´actico del proceso. (S´anchez-Compa˜na, 2012).
- 17. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas: • Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991). • Car´acter infinito potencial/finito pr´actico del proceso. (S´anchez-Compa˜na, 2012). • Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite. (Cornu, 1991; Monaghan, 1991).
- 18. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas: • Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991). • Car´acter infinito potencial/finito pr´actico del proceso. (S´anchez-Compa˜na, 2012). • Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite. (Cornu, 1991; Monaghan, 1991).
- 19. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Antecedentes Se organizan los antecedentes seg´un los focos en los que se organizan las entrevistas: • Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991). • Car´acter infinito potencial/finito pr´actico del proceso. (S´anchez-Compa˜na, 2012). • Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite. (Cornu, 1991; Monaghan, 1991). Fern´andez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al concepto de l´ımite finito de una funci´on en un punto. Un estudio exploratorio. Fern´andez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
- 20. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo
- 21. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final
- 22. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario
- 23. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario 3 cuestiones
- 24. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario 3 cuestiones 1o Bachillerato
- 25. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario 3 cuestiones 1o Bachillerato 36 estudiantes
- 26. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario 3 cuestiones 1o Bachillerato 36 estudiantes Registros fase inicial
- 27. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario Entrevista semiestructurada 3 cuestiones 1o Bachillerato 36 estudiantes Registros fase inicial
- 28. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario Entrevista semiestructurada 3 cuestiones 1 cuesti´on replicada + 1 cuesti´on adicional 1o Bachillerato 36 estudiantes Registros fase inicial
- 29. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario Entrevista semiestructurada 3 cuestiones 1 cuesti´on replicada + 1 cuesti´on adicional 1o Bachillerato 2o Bachillerato 36 estudiantes Registros fase inicial
- 30. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario Entrevista semiestructurada 3 cuestiones 1 cuesti´on replicada + 1 cuesti´on adicional 1o Bachillerato 2o Bachillerato 36 estudiantes 21 estudiantes Registros fase inicial
- 31. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones M´etodo Fase inicial Fase Final Cuestionario Entrevista semiestructurada 3 cuestiones 1 cuesti´on replicada + 1 cuesti´on adicional 1o Bachillerato 2o Bachillerato 36 estudiantes 21 estudiantes Registros fase inicial Pre-discusi´on y post-discusi´on: • Cambios espont´aneos. • Respuestas a est´ımulos espec´ıficos.
- 32. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Dualidad objeto/proceso
- 33. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Dualidad objeto/proceso (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; S´anchez-Compa˜na, 2012)
- 34. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Dualidad objeto/proceso (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; S´anchez-Compa˜na, 2012) “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Objeto/proceso Objeto Proceso
- 35. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Dualidad objeto/proceso (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; S´anchez-Compa˜na, 2012) “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Objeto/proceso Objeto Proceso “Un l´ımite es una aproximaci´on que puedes hacer tan precisa como quieras”. Precisi´on restringida Exactitud del l´ımite Precisi´on arbitraria
- 36. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Dualidad objeto/proceso (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; S´anchez-Compa˜na, 2012) “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Objeto/proceso Objeto Proceso “Un l´ımite es una aproximaci´on que puedes hacer tan precisa como quieras”. Precisi´on restringida Exactitud del l´ımite Precisi´on arbitraria “Un l´ımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez m´as cerca de un n´umero dado hasta que el l´ımite se alcanza”. Finito pr´actico Infinito potencial
- 37. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite
- 38. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite (Cornu, 1991; Monaghan, 1991)
- 39. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite (Cornu, 1991; Monaghan, 1991) “Un l´ımite es un n´umero o punto al cual una funci´on no puede rebasar” No rebasable Rebasable
- 40. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Fase inicial Car´acter alcanzable/rebasable del l´ımite (Cornu, 1991; Monaghan, 1991) “Un l´ımite es un n´umero o punto al cual una funci´on no puede rebasar” No rebasable Rebasable “Un l´ımite es un n´umero o punto al que la funci´on se acerca pero nunca alcanza” No alcanzable Alcanzable
- 41. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Contenidos Introducci´on Descrici´on general Objetivo Primera fase y m´etodo Antecedentes y m´etodo Fase inicial Datos y discusi´on Recogida de datos Resultados del grupo Objeto/proceso Resultados de otros aspectos Conclusiones Conclusiones
- 42. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso
- 43. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”.
- 44. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero.
- 45. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero. Concepci´on dual
- 46. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero. Fase pre-discusi´on Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total de la funci´on [. . . ] adem´as nos permite saber hacia d´onde se mueve con respecto a un punto en la gr´afica. Concepci´on dual
- 47. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero. Fase pre-discusi´on Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total de la funci´on [. . . ] adem´as nos permite saber hacia d´onde se mueve con respecto a un punto en la gr´afica. Concepci´on dual Concepci´on proceso
- 48. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero. Fase pre-discusi´on Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total de la funci´on [. . . ] adem´as nos permite saber hacia d´onde se mueve con respecto a un punto en la gr´afica. Fase post-discusi´on Tambi´en se puede calcular el l´ımite en el infinito, entonces no nos indica su forma, sino su direcci´on. Concepci´on dual Concepci´on proceso
- 49. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa dual: Objeto/Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, porque el l´ımite cuando x tiende a alg´un n´umero, significa d´onde se dirige ela funci´on cuando tiende a ese n´umero. Fase pre-discusi´on Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total de la funci´on [. . . ] adem´as nos permite saber hacia d´onde se mueve con respecto a un punto en la gr´afica. Fase post-discusi´on Tambi´en se puede calcular el l´ımite en el infinito, entonces no nos indica su forma, sino su direcci´on. Concepci´on dual Concepci´on proceso Concepci´on dual
- 50. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto
- 51. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”.
- 52. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc.
- 53. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc. Concepci´on objeto
- 54. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc. Fase pre-discusi´on Falso, porque un l´ımite no describe el movimiento de la funci´on sino que nos indica hacia d´onde se dirige o d´onde se sit´ua la funci´on en cualquier punto de x. Concepci´on objeto
- 55. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc. Fase pre-discusi´on Falso, porque un l´ımite no describe el movimiento de la funci´on sino que nos indica hacia d´onde se dirige o d´onde se sit´ua la funci´on en cualquier punto de x. Concepci´on objeto Sin variaci´on
- 56. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc. Fase pre-discusi´on Falso, porque un l´ımite no describe el movimiento de la funci´on sino que nos indica hacia d´onde se dirige o d´onde se sit´ua la funci´on en cualquier punto de x. Fase post-discusi´on f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el l´ımite. Concepci´on objeto Sin variaci´on
- 57. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Objeto “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Falso, el l´ımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dice la ecuaci´on de f (x) que se te de para resolver, seg´un tenga x, x2 , √ x, etc. Fase pre-discusi´on Falso, porque un l´ımite no describe el movimiento de la funci´on sino que nos indica hacia d´onde se dirige o d´onde se sit´ua la funci´on en cualquier punto de x. Fase post-discusi´on f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el l´ımite. Concepci´on objeto Sin variaci´on Sin variaci´on
- 58. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso
- 59. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”.
- 60. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on.
- 61. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on. Concepci´on proceso
- 62. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on. Fase pre-discusi´on Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de l´ımite cuando x tiende a infinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funci´on f (x) hacia infinito. Concepci´on proceso
- 63. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on. Fase pre-discusi´on Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de l´ımite cuando x tiende a infinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funci´on f (x) hacia infinito. Concepci´on proceso Sin variaci´on
- 64. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on. Fase pre-discusi´on Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de l´ımite cuando x tiende a infinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funci´on f (x) hacia infinito. Fase post-discusi´on [. . . ] o hacia el valor que presente la x. Concepci´on proceso Sin variaci´on
- 65. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados del grupo Objeto/proceso Sujeto en la categor´ıa Proceso “Un l´ımite describe c´omo se mueve una funci´on f (x) cuando x se mueve hacia cierto punto”. Fase inicial Verdadero, s´ı ya que el l´ımite nos da todos los puntos posibles que puede adquirir la funci´on. Fase pre-discusi´on Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de l´ımite cuando x tiende a infinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funci´on f (x) hacia infinito. Fase post-discusi´on [. . . ] o hacia el valor que presente la x. Concepci´on proceso Sin variaci´on Concepci´on dual
- 66. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos
- 67. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos Sobre la alcanzabilidad: “Un l´ımite es un n´umero o punto al que la funci´on se acerca pero nunca alcanza”. Deriva hacia interpretaciones de l´ımite como recta a la que la funci´on tiende pero no alcanza, posiblemente debido al estudio de las as´ıntotas.
- 68. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos Sobre la alcanzabilidad: “Un l´ımite es un n´umero o punto al que la funci´on se acerca pero nunca alcanza”. Deriva hacia interpretaciones de l´ımite como recta a la que la funci´on tiende pero no alcanza, posiblemente debido al estudio de las as´ıntotas. Sobre la no rebasabilidad: “Un l´ımite es un n´umero o punto al cual una funci´on no puede rebasar”. En la prediscusi´on se mantiene la no rebasabilidad. Tras presentar ejemplos, se producen algunos cambios. Los resistentes subrayan que la no rebasabilidad corresponde al l´ımite por definici´on.
- 69. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos
- 70. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos Sobre el car´acter infinito: “Un l´ımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez m´as carca de un n´umero dado hasta que el l´ımite se alcanza”. Posibilidad de que las aproximaciones igualen al l´ımite. El l´ımite es igual a la imagen. El l´ımite es calculable, aunque exista indeterminaci´on.
- 71. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Resultados de otros aspectos Sobre el car´acter infinito: “Un l´ımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez m´as carca de un n´umero dado hasta que el l´ımite se alcanza”. Posibilidad de que las aproximaciones igualen al l´ımite. El l´ımite es igual a la imagen. El l´ımite es calculable, aunque exista indeterminaci´on. Sobre la precisi´on:“Un l´ımite es una aproximaci´on que puedes hacer tan precisa como quieras”. Alcanzar el l´ımite. Aproximar el l´ımite. Bondad de la aproximaci´on.
- 72. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones
- 73. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones Objetivo Documentar y describir la variaci´on de las concepciones de los estudiantes sobre aspectos espec´ıficos del concepto de l´ımite finito de una funci´on en un punto.
- 74. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones Objetivo Documentar y describir la variaci´on de las concepciones de los estudiantes sobre aspectos espec´ıficos del concepto de l´ımite finito de una funci´on en un punto. • L´ımite como proceso: algunas concepciones de estudiantes pudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusi´on de dos funciones diferentes con l´ımites id´enticos en el mismo punto x = a.
- 75. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones Objetivo Documentar y describir la variaci´on de las concepciones de los estudiantes sobre aspectos espec´ıficos del concepto de l´ımite finito de una funci´on en un punto. • L´ımite como proceso: algunas concepciones de estudiantes pudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusi´on de dos funciones diferentes con l´ımites id´enticos en el mismo punto x = a. • No rebasabilidad: La resistencia de los estudiantes a superar la no rebasabilidad del l´ımite se debe posiblemente m´as al influjo del uso coloquial del t´ermino “l´ımite” que a la comprensi´on err´onea sobre el concepto en s´ı. La superaci´on se promovi´o mediante exploraci´on de diversas gr´aficas.
- 76. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones • No alcanzabilidad del l´ımite: es resistente en las concepciones de algunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximaciones igualen al l´ımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidad como la posibilidad de calcular el l´ımite o que la funci´on sea continua. Es relevante que tampoco exista una descripci´on globalmente aceptada de esta propiedad.
- 77. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones • No alcanzabilidad del l´ımite: es resistente en las concepciones de algunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximaciones igualen al l´ımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidad como la posibilidad de calcular el l´ımite o que la funci´on sea continua. Es relevante que tampoco exista una descripci´on globalmente aceptada de esta propiedad. • Car´acter infinito/finito del proceso: No se producen variaciones relevantes. La suficiencia de una “cantidad m´ınima necesaria” de aproximaciones para percibir la tendencia “infinita” al l´ımite es coherente con los resultados previos obtenidos.
- 78. Introducci´on Primera fase y m´etodo Datos y discusi´on Conclusiones Conclusiones • No alcanzabilidad del l´ımite: es resistente en las concepciones de algunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximaciones igualen al l´ımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidad como la posibilidad de calcular el l´ımite o que la funci´on sea continua. Es relevante que tampoco exista una descripci´on globalmente aceptada de esta propiedad. • Car´acter infinito/finito del proceso: No se producen variaciones relevantes. La suficiencia de una “cantidad m´ınima necesaria” de aproximaciones para percibir la tendencia “infinita” al l´ımite es coherente con los resultados previos obtenidos. • Car´acter exacto/aproximado del l´ımite: los estudiantes consideran l´ımite exacto si coincide con la imagen, de lo contrario se dir´a aproximado, en lugar de considerar si est˜na o no definido. En cualquier caso el valor del l´ımite est´a definido. Tambi´en existen evidencias particulares de que l´ımite exacto equivale para algunos estudiantes a ser natural o entero; posible influjo del contexto aritm´etico.
- 79. Variaci´on de las concepciones individuales sobre l´ımite finito de una funci´on en un punto J.A. Fern´andez-Plaza, J.F. Ruiz-Hidalgo, L. Rico y E. Castro Departamento de Did´actica de la Matem´atica Universidad de Granada XVII Simposio de la SEIEM Bilbao, septiembre 2013