Este documento describe las funciones cuadráticas y las parábolas. Explica que las funciones de la forma y=ax2+bx+c son funciones cuadráticas cuya gráfica es una parábola. Las parábolas se abren hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. También describe cómo trasladar las parábolas horizontal y verticalmente mediante cambios en los coeficientes b y c. Finalmente, explica cómo encontrar las coordenadas del vértice de una parábola dada por su ecuación y=ax2+
2. • FUNCIÓN: Es una relación matemática que se
establece entre mínimo dos variables, y una
depende de la otra.
• Función lineal:
• Y= mx + b
• X= vt
• Y= 3x + 5
• Función cuadrática:
• Y= ax2 + bx + c
• X= 1/2at2 + vt + x0
• Y= 2x2 + 3x + 6
3. Las funciones de forma y = ax2 + bx + c, a 0 son
funciones cuadráticas. Las gráficas de
funciones cuadráticas son parábolas.
Las parábolas se abren hacia
arriba si a > 0
Las parábolas se abren hacia
abajo si a < 0
4. En la ecuación y = ax2 a medida que aumenta
(en valor absoluto) el coeficiente a, la parábola
va cerrándose sobre el eje Y
y = 2x2
y = x2
y = (1/3)x2 y = – 2x2 y= – x2 y = –(1/3)x2
5. En la figura aparece la
gráfica de la parábola y = x2
Para construir la gráfica de la
función y = x2 + 1 hemos de
desplazar la gráfica de y = x2 una
unidad hacia arriba
Traslación vertical de una parábola
6. Gráfica de la parábola y = x2
Para graficar la función y = x2 – 2
se desplaza la gráfica de y = x2 dos
unidades hacia abajo.
Traslación vertical de una parábola
7. Gráfica de la parábola y = x2
Para la gráfica de la función
y = (x+1)2 desplazamos la gráfica de
y = x2 una unidad hacia la izquierda
Traslación horizontal de una parábola
8. Gráfica de la parábola y = x2
Para la gráfica de la función
y = (x – 2)2 desplazamos la gráfica
de y = x2 dos unidades a la derecha
Traslación horizontal de una parábola
9. Gráfica de la parábola y = x2
Para la gráfica de la función
y = (x – 2)2 +1 desplazamos la
gráfica de y = x2 dos unidades hacia
la derecha; luego una unidad hacia
arriba
Traslación oblicua de una parábola
10. • Se parte de: y = ax2 + bx +c
• Factorizando términos en x: y = a[x2 + (b/a)x] + c
• Se completa el cuadrado perfecto, sin alterar la
función y = a[x2 + (b/a)x +(b/2a)2 ]+ c- a(b/2a) 2
• Se factoriza: y= a[x+(b/2a)]2 + c – a(b2 /4a 2)
• Simplificando: y= a[x+(b/2a)]2 + c – b2 /4a
• Ecuación de la forma y= a(x-h) 2 +k, donde h y k son
las coordenadas del vértice de la parábola.
Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola
y = ax2 + bx +c serán entonces:
(-b/2a, c- b2 /4a)
El vértice de una parábola
11. Para dibujar y = ax2 + bx +c
• Se hallan las coordenadas del vértice.
• El eje se simetría es la recta perpendicular a OX que pasa por V.
• Si a > 0 abre hacia arriba. Si a < 0 abre hacia abajo.
• Se fija la parábola hallando dos o más puntos simétricos respecto al eje de
simetría.
• Un punto fácil de obtener es (0, c) y su simétrico respecto al eje de simetría
Para representar y = 2x2 – 8x + 7
• Obtenemos el vértice: 4x – 8 = 0 x = 2
La ordenada es y = –1 V(2, –1)
• Dibujamos el eje: x = 1
• Obtenemos otros puntos y sus simétricos respecto al eje:
(1, 1) y (3, 1) (0, 7) y (4, 7)
• Dibujamos la parábola
Representación de funciones cuadráticas
12. Bibliografía
Cordero, F. y Solis,M. (1997). Las gráficas de las funciones como una
argumentación del cálculo . Serie de cuadernos de didáctica, México. Grupo
Editorial Ibero América.
Hill, F. (2002). Funciones en Contexto, México. Prentice Holl
Kerlinger, F. (1990), Investigación del comportamiento, México : Mc Graw Hill.
Martínez, M. (1999). Estudio de las relaciones que el estudiante hace para
construir la gráfica de la derivada y la primitiva, efectos en la enseñanza en la
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Schoaf, P. (1997), Álgebra un enfoque moderno, México, Reverte Ediciones S.A.
de C.V.
