Uso prob unidad_i teoria

ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA
Lic/Msc Santiago SalvadorLic/Msc Santiago Salvador
Montenegro CanarioMontenegro Canario
2014-I2014-I
LIMA, PERÚ - MARZO 2014
ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA
Lic/Msc Santiago SalvadorLic/Msc Santiago Salvador
Montenegro CanarioMontenegro Canario
2014-I2014-I
LIMA, PERÚ - MARZO 2014
USO DE PROBABILIDADES PARA
EL ANALISIS Y LA GESTION

EVALUACIONES
PRIMERA PRACTICA CALIFACADA:
DEL 24 AL 31 DE MARZO.
•EXAMEN PARCIAL
•DEL 23 AL 30 DE ABRIL
•SEGUNDA PRACTICA CALIFACADA:
•23 AL 30 DE MAYO
• EXAMEN FINAL:
• DEL 16 A 23 DE JUNIO.

•EXAMEN PARCIAL PESO 1
•EXAMEN FINAL PESO 1
•TAREA ACADEMICA PESO 1
NOTA FINAL = (EXP+EXF+TA)/3
OBLIGATORIO ENTREGAR PROMEDIO DE
TAREAS ACADEMICAS UNA SEMANA ANTES
DEL EXAMEN FINAL
EVALUACIONES Y PONDERACIONES

LA ESCALA DE CALIFICACIONES: 0 – 20
NO TIENE DERECHO DE RENDIR EXAMEN FINAL:
- ALUMNOS CON 70% DE FALTAS EN LA TEORIA
- 90% DE FALTAS EN LA PRACTICA.
LOS ALUMNOS QUE NO RINDIERON EXAMENES
EXAMENES PARCIALES EN LAS FECHAS, NI
CUMPLIERON CON LAS TAREAS, TENDRAN CERO
LOS ALUMNOS QUE TENGAN 30% DE INASISTENCIA
TENDRÁN CERO DE NOTA
LOS ALUMNOS QUE ESTAN DE ACUERDO CON SUS
CALIFICACIONES PODRAN PRESENTAR RECLAMO
DE LAS 48 HORAS, EL CUAL SE RESUELVE DENTRO
LAS 48 HORAS SIGUIENTES.
TIENEN DERECHO A EXAMEN DE APLAZADOS LOS
QUE TENGAN NOTA MINIMA DE 08
DIRECTIVAS ACADEMICAS

Correos del Profesor del Curso
smontenegro@indeci.gob.pe
mocasa_03@hotmail.com
smontenegroc@usmp.pe

BIBLIOGRAFIA
1. ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA
AUTORES : LIND, MARCHAL, MASON
EDITORIAL : ALFAOMEGA - 11va EDICION
AUTORES : ANDERSON, SWEELY, WILLIANSS
EDITORIAL : THOMPSON – 8va EDICION.
AUTORES : LEVIN, RUBIN, BALDERAS.
EDITORIAL : PEARSON – 7va EDICION.
4. WEBSTER, ALLEN. ESTADÍSTICA APLICADA A LOS
NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA.
EDITORIAL : IRWIN MAG GRAW HILL.
TERCERA EDICION – 2008.
TEXTOS OPCIONALES.
4. ANALISIS ESTADISTICO
AUTOR : YA LUN CHOU
EDITORIAL : INTERAMERICANA
5. ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL
AUTOR : MANUEL CÓRDOVA ZAMORA.

SUMARIO
UNIDAD I: ORGANIZACIÓN Y PRESENTACION DE LA
INFORMACIÓN ESTADISTICA
Conceptos Básicos, Sumatorias, Propiedades, Frecuencias
– Propiedades - Elaboración de Cuadros de Frecuencia,
aplicación a problemas, Gráficos, Tipos y Construcción de
Gráficos.
Manejo y uso de Excel para elaboración de Cuadros de
Frecuencias – Problemas de aplicación.
Diagramas Especiales – Diagrama de Pareto – Curva de
Gini y Lorenz.
UNIDAD II. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y POSICIÓN
• Media, Moda, Mediana, Media Armónica, Media,
Geométrica, Formulas de Cálculo, propiedades y
aplicaciones.
• Quintiles, Cuartiles, Deciles, y Percentiles, Formulas de
Cálculo, propiedades y aplicaciones – Manejo del Excel.

SUMARIO
UNIDAD III: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, SESGO Y
APUNTAMIENTO
• Medidas de Dispersión – usos e importancia. Análisis de la
Varianza, Desviación Estándar, Desviación Cuartílica, desviación
Media, Formulas de Cálculo, datos simples y datos agrupados
propiedades y aplicaciones.
UNIDAD IV: TEORÍA DE PROBABILIDADES - VARIABLE
ALEATORIA.
Conceptos básicos, Definición de Probabilidades, Teoremas
probabilísticos, Independencia Probabilística, Teorema de Bayes,
Variable Aleatoria, Funciones de Probabilidad, Funciones de
Probabilidad Discreta y Continua
Problemas y Aplicaciones, Funciones Acumuladas de
Probabilidad Continua, Problemas y Aplicaciones.
Esperanza Matemática y Varianza de una función de
Probabilidad, interpretación y aplicaciones.

¿POR QUÉ ES IMPORTANTE LAS ESTADÍSTICA?
•Porque los datos, la Información, cuadros y gráficos
estadísticos y otros insumos presentados permiten tomar
decisiones oportunas y adecuadas en los negocios,
corporaciones, empresas y otras instituciones de carácter
público y privado.
•El uso de la estadística ejerce una profunda influencia en
todos los campos de la actividad humana.
•En la actualidad todos los trabajos de Investigación a
nivel post grado requieren para comprobar la hipótesis de
la estadística invade cada vez más cualquier investigación
relativa a salud pública.
•El uso de la Estadística da credibilidad y confiabilidad a
las investigaciones.

Recopila
Valida
Presenta
Cuadros
Procesa
Gráficos
Analiza
Procesos Estadísticos
Proyecciones
Estimaciones
Planes
proyectos

ESTADISTICA
EMPRESAS
COMERCIO
PROYECCIONES
MARKETING
GOBIERNO
USOS Y APLICACIONES
CONTEXTO
INTERNACIONAL
NEGOCIOS

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACION

OBJETIVOS DE LA ESTADISTICA
 Explicar y conocer lo que significa la estadística
descriptiva y estadística inferencial.
 Conocer la clasificación de los Datos y Variables.
 Conocer y diferenciar los niveles de medición en la
estadística.
 Aplicar las técnicas de sumatorias a Problemas
Estadísticos.
 Construir y Organizar los datos en una distribución de
frecuencias.
 Analizar las propiedades de frecuencias Absolutas y
Relativas.
 Presentar una distribución de frecuencias en un
histograma y un polígono de frecuencias acumuladas.
 Resolver problemas referente a cuadro de frecuencias.
 Presentar la información estadística utilizando las
técnicas de gráficos.

DEFINICION ESTADÍSTICA
Es la ciencia que proporciona un conjunto de
métodos, técnicas y procedimientos para
recopilar, organizar, presentar y analizar datos
con el fin de tomar decisiones, así como para
realizar estimaciones, proyecciones y otros
temas relacionados con el planeamiento y
planificación.
Presentar
datos
Tomar
decisiones
Analizar
datos
Valida
datos
Recopilar
datos

Proviene de las voces:
 Griega : STATERA Significa Balanza
 Latín : STATUS Significa Situación
 Alemán : STAAT Significa estado
 Italiano : STATISTA Significa expresión
 Siendo las últimas voces las de mayor
aceptación.
• Conclusión
Se deriva del vocablo “estado” porque ha sido
función tradicional de los gobiernos centrales
llevar registros de población, nacimientos,
defunciones, cosechas, impuestos, y otros que le
sirven de base para gobernar una nación.
ORIGEN ETIMOLOGICO DE LA PALABRA ESTADISTICA

TIPOS DE ESTADISTICA
 DESCRIPTIVA
CONJUNTO DE METODOS, PARA ORGANIZAR,
RESUMIR Y PRESENTAR LOS DATOS DE MANERA
INFORMATIVA.
 ESTADISTICA INFERENCIAL.
CONJUNTO DE METODOS UTILIZADOS PARA
SABER ALGO ACERCA DE UNA POBLACION,
BASANDOSE EN UNA MUESTRA.

Son métodos y técnicas de
recolección, validación, procesamiento
y presentación apropiada, de un
conjunto de datos. Comprende el uso
de gráficos, tablas, diagramas y
criterios para el análisis.
Son métodos y técnicas que hacen
posible estimar una o más
características de una población o
tomar decisiones sobre población
basadas en el resultado de
muestras. Estas conclusiones tienen
cierto margen de error.
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
ESTADISTICA
INFERENCIAL
E
S
T
A
D
I
S
T
I
C
A

 Dato Estadístico:
Son las observaciones efectuadas en un momento
determinado, están asociados al estudio de
una o mas variables.
Son los valores que componen las variables
 Ejemplo
Ventas diarias de menestras efectuadas por un
Supermercado.
 Datos Transversales
Son aquellos en el cual se reúne en el mismo o
aproximadamente en el mismo punto del tiempo.
 Datos de Serie de Tiempo
Se recopilan a lo largo de varios periodos de tiempo.
CONCEPTOS BÀSICOS

INFORMACION ESTADISTICA: Son los datos validados y
procesados que se utiliza para realizar los análisis respectivos.
 La información estadística se presenta en cuadros estadísticos y
en gráficos.
 La información estadística se usa para la toma de decisiones.
VARIABLE
Se denomina variable al tema que es objeto o materia de estudio.
Ej. PBI de la Región Lima.
PBI, del Perú de los dos últimos gobiernos.
Ingreso Mínimo Legal de los últimos 10 años.
Las variables se representan por las últimas letras del
abecedario y mayúsculas: X, Y, Z.

Población (N).- Son todos los elementos que conforman la
variable objeto de estudio.
 Muestra (n).- Parte o porción de la población, la cual debe ser
significativa y representativa.
Parámetro.- Indicador que representa una caracteristica en la
población.
Ejemplo el Promedio poblacional(μ).
Estimador:- Indicador que representa una caracteristica en la
población.
Ejemplo el Promedio muestral (x ).
Fuentes de Información.- Son las diversas instituciones públicas
y privadas que generan información estadística.

Encuesta:
Es una Técnica ESTADÍATICA mediante el cual se recopila
información sobre una variable en estudio, por naturaleza es
anónima con la finalidad de tener mayor de tener mayor veracidad y
Confiabilidad.
Entrevista:
Es otra técnica estadística que permite captar información de
personas especializadas en el tema o materia objeto de estudio, en
este caso está dirigida principalmente a profesionales y especialistas
altamente capacitadas y su opinión es tomada en cuenta para la
elaboración de los documentos finales.
Ficha Técnica:
Llamado también formato de encuesta, es un documento que
contiene todas las preguntas que el encuestador debe de realizar con
preguntas abiertas con la finalidad de dar mayor facilidad en
responder las preguntas al encuestado.

Preguntas Cerradas
Son aquellas donde la información que se recoge se realiza mediante
preguntas dirigidas u orientadas, se utiliza en las encuestas.
Ejemplo:
Usted cree que la alcaldesa no cuenta con buenos asesores, que le
permita salir victoriosa en la revocatoria.
a.Si
b.No
c.No sabe/no opina.
Preguntas Abiertas
Son aquellas que se realiza en las entrevistas, cuya finalidad es
conocer los criterios técnicos de los Profesionales y especialistas en
el tema.
Ejemplo:
Que opina sobre los efectos económicos del calentamiento global de
la tierra________________________________________________

Sexo de la persona
a. Hombre
b. Mujer
Preguntas:
1. Que grado de Instrucción tiene usted
a. Secundaria
b. Superior Universitaria
c. Otro tipo
2. Ud trabaja actualmente.
a. Si
b. No
c. No responde
3. Usted está de acuerdo que la alcaldesa sea revocada
a. Si
b. No
c. No responde
Modelo de Ficha de encuesta

CLASIFICACION DE LAS VARIABLES
 CUANTITATIVA.
Puede ser
- DISCRETA
- CONTINUA
 CUALITATIVA
NO NUMERICA, CATEGORICA O ATRIBUTIVA.
- GENERO
- RELIGION
- LUGAR DE NACIMIENTO, ETC.

 CUANTITATIVAS:
Representan valores numéricos, se clasifican:
• Discretos
Valores que provienen del proceso del connteo,
representan números enteros
Ejemplo:
Número de Profesores de la Economía.
Cantidad de Vehículos de la Universidad SMP
Número de carpetas en el salón etc.
• Continuos
Provienen del proceso de medición.
Ejemplo:
Peso, Talla, dinero, galones de combustible,
edad.

CUALITATIVAOS
Llamados también categóricos o nominales,
representan cualidades, se cuantifican y su
presentación e interpretación esta basada en los
porcentajes.
Ejemplo
• Ves el programa ATV a. Si b. NO
• Tiene Ud. Televisor LED a. Si b. NO
• Toma Refrigerio en Casa a. Si b. NO
• Ud. viene con movilidad propia a. Si b. NO c. A veces
• El alumno que obtuvo la mas alta nota de estadística es:
Hombre Mujer
• Estas de acuerdo con el Proyecto Conga:
a. Si b. No. c. No responde/no opina

ESCALAS DE MEDICIÓN
 La escala de medición permite determinar la
cantidad de información que contienen los
datos e indica el resumen de estos y el análisis
estadístico más apropiado.
 Es un Instrumento de medida en el cual se
asigna valores (cualidades o números) a las
unidades estadísticas para una variable
definida.
 Existen cuatro escalas de medición:
 Nominal
 Ordinal
 Intervalo
 Razón

ESCALAS DE MEDICIÓN: NOMINAL
Referidos a etiquetas o nombres que se usan para
identificar un atributo del elemento, las
observaciones solo se pueden clasificar o contar. No
existe algún orden específico entre las clases.
MARCA TV ARTICULOS
VENDIDOS
LG 55000
SONY 65000
SAMSUNG 70000
AOC 40000
PANASONIC 60000
TOTAL 290000

ESCALAS DE MEDICIÓN: ORDINAL
Cuando los datos son etiquetas y además el
orden es significativo. Se pueden ordenar en
forma ascendente o descendente, de tal manera
que puedan expresar grados de la característica
medida. Cuando los datos se clasifican de
acuerdo a un orden.
ORDEN CALIFICACION FRECUENCIAS
1 EXCELENTE 6
2 BUENO 28
3 REGULAR 25
4 MALO 12
5 MUY MALO 3
TOTAL 74

ESCALAS DE MEDICIÓN: INTERVALO
 Es una escala ordinal con cuyos valores se
pueden verificar la igualdad, desigualdad y
orden, también se puede elegir y comparar
escalas (intervalos).
 En esta escala el cero (0) tiene un valor
relativo, es decir no significa ausencia total
de la propiedad que se observa.
 Es importante señalar que el cero (0) es un punto en la escala,
no representa la ausencia de la condición.
 Ejemplo: 0 grados no significa que no existe temperatura, indica
que hace frío.

ESCALAS DE MEDICIÓN:RAZON O COCIENTE
 Es una escala de intervalo con cuyos valores tambien podemos
comprobar cuantas veces un valor de la escala es igual a otro
valor de la escala.
 En la práctica todos los datos cuantitativos son de nivel de
razón de la medición.
 En esta escala el cero (0) tiene un valor absoluto es decir tiene
significado.
 Variables como distancia, altura, peso y tiempo emplean la
escala de medición la Razón.

CUANTITATIVOS
DISCRETA.- Proceso de conteo
CONTINUA.- Proceso de Medición
CUALITATIVOS
ATRIBUTOS/NOMINALES
CATEGORICOS-PORCENTAJES
RESUMEN DE LA CLASIFICACION DE LASRESUMEN DE LA CLASIFICACION DE LAS
VARIABLESVARIABLES

RESUMEN DE ESCALA DE MEDICIONRESUMEN DE ESCALA DE MEDICION
ORDINAL
INTERVALO
NOMINAL
RAZON O
COCIENTE
CLASIFICA LOS DATOS DE ACUERDO A
UN NOMBRE
ORDENA LOS DATOS POR JERARQUIAS
LOS DATOS SE CLASIFICAN DE ACUERDO
A UN INTERVALO, EL CERO (0) TIENE UN
VALOR RELATIVO, EJ. LA TEMPERATURA
TODOS LOS DATOS CUANTITATIVOS.
EL CERO ES UN VALOR ABSOLUTO Y
TIENEN SIGNIFICADO.

 Indique la escala de medición de las
siguientes variables
Variable Nominal Ordinal Intervalo Razón
Año de nacimiento
Código de un alumno(a) de la USMP
Tiempo de vida de una persona
Número de hermanos de una persona
Número de teléfono celular
Calificación un examen en la USMP
Estado Civil
Estado Socioeconómico
Orden de Mèrito
Temperatura
Ingreso de un grupo de familias

ORGANIZACIÓN
DE LA
INFORMACION
CUADROS
GRAFICOS

ELEMENTOS DE UN CUADRO DE FRECUENCIAS
Grupos/Clases
VARIABLE FRECUENCIAS
INTERVALO
PUNTUAL
(Marca de Clase)
SIMPLES ACUMULADAS
m [Xi -Xi+1) x fi hi FI HI

ORGANIZACIÓN Y DESCRIPCION DE LOS
DATOS ESTADÍSTICOS
 CUADRO DE FRECUENCIAS
 Componente en el cual se procesa la información que
ha sido recopilada para un ligero análisis de la
variable en estudio.
ELEMENTOS DEL CUADRO DE FRECUENCIAS
1. Número de intervalos (m).- Indica en cuantos
grupos se está presentando la información y
representa números enteros.
2. La variable (X): Es el tema o materia de
investigación, generalmente es una variable
discreta o continua, a su vez se clasifica:

ELEMENTOS DE UN CUADRO DE FRECUENCIAS
2.1 Variables en Intervalos, pueden ser:
 Cerrados [ ]
 Abiertos ( )
 Semiabiertos [ ), ( ]
3. La Marca de clase o punto medio.- Es el valor central
de la Variable.
4. Las Frecuencias: Agrupamiento cuantitativo o
porcentual de los datos existentes en cada intervalo
5. El Conteo, conocido como la columna de las tarjas.
6. A partir de un cuadro de frecuencias se calculan las
medidas de posición y dispersión, también se
obtiene la información estadística.

Construcción de Cuadros de Frecuencias
1. Cálculo del Rango o Recorrido: (Rx) = Xmax. – Xmin,
2 Determinación del número de intervalos, Grupos o
Clases (m). para o cual existen varias reglas, entre las
mas importantes tenemos:
3. Regla de Sturges m = 1 + 3.3logn
Regla alterna m = √ n
Siendo n el número de datos en la investigación o
trabajo.
4. Determinar la amplitud del intervalo (A) = R/m
5. Ubicar el valor mínimo en el primer intervalo y añadir
sucesivamente el valor de la amplitud en cada
intervalo hasta llegar al máximo valor determinado en
el primer paso.
6. Se realiza el conteo correspondiente para obtener el
cuadro de frecuencias.
Presentar e interpretar el cuadro de frecuencias.

1. Sea X el consumo por servicio de energía eléctrica
durante el mes de Enero de 2012 en un distrito de la
capital (cifras redondeadas en nuevos soles).
Xmin
a. Construir un cuadro de frecuencias
b. Interpretar las frecuencias con las variables
Xmax
120 190 240 320 320 250
220 170 185 240 342 102
165 380 220 360 120 120
120 170 350 210 388 80
252 252 359 90 280 260
250 180 140 402 90 175
280 320 180 259 420 110
190 60

Pasos
1.Rango: Xmx – Min = 420 – 60 = 360
2.Número de clases o intervalos (m)
3.m = 1 + 3.3log*n = 1+3.3 lg44= 6
4.Amplitud del intervalo (A) = R/m
A = 360/6 = 60
A = 60
Con estos datos construir el cuadro
de frecuencias.
Elaboración de cuadro de frecuencias

ELABORACION DE CUADRO DE FRECUENCIAS
m Xi - Xi+1 x f F h H Temporal
1
60 120 90 6 xxxxxx
2
120 180 150 9 xxxxxxxxx
3
180 240 210 8 xxxxxxxx
4
240 300 270 10 xxxxxxxxxx
5
300 360 330 6 xxxx x
6
360 420 390 5 44 100% xxxxx
TOTAL 44 100%

ELABORACION DE CUADRO DE FRECUENCIAS
m [Xi - Xi+1 ) x f F h H
1 60 120 90 6 6 13,64 13,64
2 120 180 150 9 15 20,45 34,09
3 180 240 210 8 23 18,18 52,27
4 240 300 270 10 33 22,73 75
5 300 360 330 6 39 13,64 88,64
6 360 420 390 5 44 11,36 100
TOTAL 44 100

FRECUENCIAS
 Son grupos de datos que indica el número o porcentaje
de observaciones que pertenecen a un intervalo.
 CLASIFICACION
1. Frecuencias Simples. Son los valores que se obtienen
como resultado del conteo de los mismos, pueden ser:
1.1.Frecuencias Absolutas (fi).- Llamadas también de
repetición, indica el número de veces que un valor de
la variable se encuentra en un intervalo.
1.2 Frecuencias Relativas (hi).- Llamadas también
frecuencias porcentuales, indica el porcentaje que se
encuentra concentrado en el intervalo, se obtiene del
cociente entre una frecuencia absoluta simple y el
total de datos que interviene en el trabajo o tamaño
de la muestra. hi = fi/n
2. Frecuencias Acumuladas.- Se obtienen por la
acumulación sucesiva de las frecuencias simples,
pueden ser:

FRECUENCIAS
2.1 Frecuencias Absolutas Acumuladas (Fi). Se obtienen de
acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples.
F1 = f1
F2 = f2 + f1
F3 = f3 + f2 + f1.
.........................
.........................
2.2 Frecuencias Relativas Acumuladas (Hi).- Se obtienen del
cociente entre las frecuencias absolutas acumuladas y el
tamaño de muestra. Hi = Fi/n.
 También se puede calcular de la siguiente manera:
H1: h1
H2: h1+h2
H3: h1+h2 +h3.
.... ... + ... + ....
Hm: h1+h2 +h3 + ...+ hm.

CLASIFICACIÓN DE LAS FRECUENCIAS
FRECUENCIAS
ACUMULADAS
Fi = Ni
SIMPLES
fi = ni Relativa
hi% = hi
Absoluta
Fi = Ni
Relativa
Hi%=Hi
Absoluta
fi = ni

CLASIFICACIÓN DE LAS FRECUENCIAS
FRECUENCIAS
RELATIVAS
(hi, Hi)
ABSOLUTAS
(fi = ni)
Acumulada
Fi
Simple
hi
Acumulda
Hi, Hi %
Simple
fi

PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS
1. Las frecuencias absolutas simples y acumuladas
        son números enteros que varían entre 0 y n
0 ≤ fi ≤ n
2.  Las frecuencias relativas simples y acumuladas
son números reales positivos que varían entre 0 y 1
0 ≤ hi ≤ 1
3. La suma de las frecuencias absolutas simples es
igual al tamaño de la muestra. Σfi = n
4. La suma de las frecuencias relativas simples es
igual a la unidad. Σ hi = 1
5. La última frecuencia absoluta acumulada es igual al
tamaño de la muestra
6. La última frecuencia relativa acumulada es igual a la
unidad.

OTROS CONCEPTOS SOBRE FRECUENCIAS
 Otra manera para Determinar la Amplitud del Intervalo, Punto Medio en un cuadro
de frecuencias.
 X1 = [Xmin + Xmin + A)]/2 = [ 2(Xmin )+ A) ]/2
 X2 = [Xmin + A + Xmin + 2A]/2 = [ 2(Xmin )+ 3ª)]/2
 X3 = [Xmin + 2A + Xmin +3A]/2 = [ 2(Xmin )+ 5A) ]/2
 X4 = [Xmin + 3A + Xmin + 4A]/2 = [ 2(Xmin )+ 7A) ]/2
…………………………………..
…………………………………..
Xn = [Xmin + (m-1)A + Xmin + mA]/2
 Siendo: Xmin = Mínimo valor de la observación
A = Amplitud del Intervalo
X = Marca de clase.
XMX = XMIN + mA
Distribución Simétrica: se cumple: Media=Mediana=Moda.
Otra Forma de Reconocer: cuando la distribución tiene la mayor
frecuencia en el valor central del cuadro y los valores equidistantes son
exactamente iguales, formando de esta manera una curva
perfectamente simétrica o normal

Ejercicios
2. Sea X el ingreso mensual de los trabajadores de una Empresa de
Negocios. (cifras en dólares)
950 810 545 670 520
760 372 720 676 590
942 1064 885 450 550
720 680 1040 980 640
680 480 590 700 360
560 742 858 678 390
590 452 850 552 684
960 628 472 680 480
a. Construir un cuadro de frecuencias
b. Interpretar el tercer intervalo.

PROBLEMAS
 3. Los ingresos mensuales de una muestra de “80” pequeños
comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencia
simétrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso
Mínimo: $ 125, marca de clase del cuarto intervalo es $ 300, si el
10% de los ingresos equivalen a $ 150 y el 30% de los ingresos son
menores a $ 225, se sabe además que la amplitud del intervalo
es de $ 50 .
 ¿ Completar el cuadro de frecuencias

4 Las notas del examen del curso de estadística de 60
alumnos, dieron la siguiente distribución de frecuencia:
a. Completar el cuadro.
m [xi, xi+1) x f F h H
1 3 6 4.5 9 9 0.15 0.15
2 6 9 7.5 18 27 0.30 0.45
3 9 12 10.5 15 42 0.25 0.70
4 12 15 13.5 12 44 0.20 0.90
5 15 18 16.5 16 6 0.10 1.0

5. En una empresa de servicios el sueldo mínimo y máximo de 200 empleados es
de $150 y $300, los cuales han sido tabulados en una distribución de
frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Se sabe que 20 empleados ganan
al menos 150$, pero menos de 180$, 60 ganan menos de 210 $, 110 ganan
menos de $240, 180 ganan menos de $270, y el 10% restante de empleados
gana a lo mas $300. Reconstruir el cuadro de frecuencias.
m [xi, xi+1) x f F h H
1
2
3
4
5

6. Los siguientes datos corresponden a la edad
de un grupo de trabajadores de la empresa ABC.
18 – 32 – 40 – 55 – 28 – 19 – 45 – 58 – 60 – 24
– 28 – 35 – 44 - 65 – 52 – 28 – 34 – 58 - 50 – 20
– 36 – 40 – 62 – 40 – 28 – 36 - 44 – 36 – 52 - 28
– 36 – 40 – 24 – 28 – 19 – 26 – 48 – 44 - 32 - 20
– 60 – 24 – 34 – 38 – 55 - 36 – 52.
a. Construir un cuadro de frecuencias.
b. Interprete x3 con f3
c. Interprete el 2do Intervalo

PROBLEMAS
 7. Los ingresos mensuales de una muestra de “n” vendedores se
tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5
intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso Mínimo: $ 125,
marca de clase del cuarto intervalo es $ 300, si el 8% de los
ingresos son menores que $ 165 y el 70% de los ingresos son
menores a $ 275.
 Completar el cuadro
 ¿ Que porcentaje de ingresos son superiores a $ 285?
 Rpta. 26%

8. Los siguientes datos representan el pago por
concepto de horas extras que se le concede
durante una quincena de una Notaría.
 H4 = 0.875 h2 = 0.1875 x3 f3 = 4350
 C= A= 30 f2 = (6/4) f 1
 X 5 = 205
 Reconstruya el cuadro de frecuencias,
sabiendo que tiene distribución simétrica.
9. Los siguientes datos corresponden al ingreso
mensual de 30 trabajadores textiles de la
Empresa ABC
 C = 100 f6 = f1 = C/50 f3 = f6 + 2 f2 = 2f1
 f4 = 5f1 X3 = 1500
 Construir el cuadro de frecuencias sabiendo
que tiene 6 intervalos.

10. Los siguientes datos procesados
corresponden al consumo de agua de un
grupo de familias del distrito de Lince:
f3 = 3f1. f6 = 10 ∑ 3
fi = 30
F7 = 80 H1 = 0.0625x2f2 = 350
Xmin = 20, Xmax = 90.
Si la distribución es simétrica, reconstruir el
11. Los siguientes datos corresponden a una
distribución simétrica de igual amplitud
 cf7 = 1000 m = 9 Xf4 = 7,200 f1 + f2 = 8
f3 + f2 = 15 f2-f1 = 2 h4 = 0,12 h9 = 0,03
A partir de los datos reconstruya un cuadro
de frecuencias

12. Con los siguientes datos, reconstruya el
cuadro de frecuencias, sabiendo que es
simétrica.
Amplitud (c) constante m = 7
Xmax. = 420 Xmin = 140
X3f3 = 16800 f7 = 20
h3 = 0,175 H6 = 0.95 Σ3
f = 140
13. Los datos corresponden a los ingresos de un
conjunto de empleados de la empresa ABC.
X1 = 147 m = 9 c = 2f2 = 30 h2 = 0.06
2f1+ 20 = f4
25 = f1+f2 f1 +f3 =35 f2+f3 = 40
Si la distribución es simétrica, reconstruya el

Ejercicios Sobre Frecuencias
14. En el siguiente cuadro se muestra los ingresos semanal de
45 empleado de una fábrica de zapatos, determine el
porcentaje aproximado de las personas que tienen ingresos
entre $ 52 y $ 75.
(xi-xi+1] xi fi hi
26-34 30 1 2.2
34-42 38 2 4.4
42-50 46 4 8.9
50-58 54 10 22.2
58-66 62 16 35.6
66-74 70 8 17.8
74-82 78 3 6.7
82-90 86 1 2.2
Total 45 100.0

 solución.:
 Según el gráfico se tiene que el porcentaje de
ingresos entre 52 y 75 es: A= x+35.6+17.8+y.
50 52 58 66 74 75 82
x y
22.2 6.735.6
17.8
Donde según el gráfico los valores de x e y se calculan interpolando de
la siguiente manera.
Para el valor de x x/(58-52) = 22.2/(58-50)
x = 16.65.
Para el valor de y y/(75-74) = 6.7/(82-74)
y = 0.8375.
Reemplazando en A = 16.65+35.6+17.8+.8375
A = 70.89

 En el cuadro 13 determine el % aproximado de las
personas que tienen ingresos entre $ 30 y $ 60.
15. En una compañía el sueldo mínimo y máximo de 200
empleados es de $150 y $ 300 respectivamente. Tales
sueldos se tabulan en una distribución de frecuencias de
5 intervalos de igual amplitud. Si se sabe que 20
empleados ganan al menos $ 150 pero menos de $180,
60 ganan menos de $210, 110 ganan menos de $240,
180 ganan menos de $ 270 y el 10% restante de
empleados gana a lo mas $ 300; reconstruir la
distribución.
 Rpta. A = 30, fi = 20, 40, 50, 70, 20.

 16. Los salarios que ofrece una empresa a los
practicantes varían entre $ 150 y $ 270. si los salarios se
agrupan en 4 intervalos de clases de longitudes iguales
de manera que el 40% de los practicantes tienen salarios
menores iguales que $ 195, el 80% tiene salarios
menores o iguales que $225 y el 15% tiene salarios
mayores que $ 232.50.
 a) Hallar el porcentaje de practicantes en cada intervalo.
 b) si el ingreso mínimo se fija en $ 240 y la empresa
aumenta una misma cantidad a todos los practicantes de
modo que el 20%, supere el ingreso mínimo ¿ cuánto
será el aumento?
 Rpta: a) fi: 0.10, 0.60, 0.20 y 0.10 b) $ 15

17. La vida útil de una pila se tabuló en una distribución de
frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencias
relativas acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.0. Determine la
distribución de frecuencias absolutas, si la tercera frecuencia
absoluta acumulada es 11, la segunda marca de clase es 6, la
Amplitud es la quinta parte de la muestra.
18. Los ingresos mensuales de una muestra de 100 pequeños
comerciantes, se tabularon en una distribución simétrica de
frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud, teniendo: ingreso
mínimo $125, marca de clase del cuarto intervalo es de X4 = $300,
el 10% de los ingresos son menores a $175, hay 40 personas que
ganan entre $275 y $325, y el 70% son menores a $275.
a). Reconstruya el cuadro de frecuencias
b). Que porcentaje de ingresos son superiores a $285.
Sugerencia usar la fórmula: X4 = [Xmin + 3A + Xmin + 4A]/2

19. El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon
en una distribución simétrica de 6 intervalos, teniendo las
siguientes frecuencias f2 = 25, F3 =75, F5 = 130, si el límite
inferior del sexto intervalo es de 60, y si la marca de clase del
tercer intervalo es de 47.5 m3, además A= f1/4 completar la
distribución de frecuencias.
20. La organización del tiempo, en minutos, que tardaron 100
obreros para ejecutar un trabajo, los datos se tabularon en una
tabla de frecuencias de 4 intervalos de igual amplitud cuyo
histograma correspondiente es simétrico. Si el intervalo I1 =
`(6,?), la frecuencia absoluta: f2 = 2f1+5, si se sabe que que el
85% de los obreros demoran menos de 12 minutos. Completar
el cuadro de frecuencias.
Rpta: Xmin= 10, A=2, hi = 15, 0.35, 0.35, 0.15

PASOS PARA ELABORAR TABLA DE FRECUENCIAS CON EXCEL
1. Determinar el Valor Mínimo: =MIN(A1:An).
2. Determinar el Valor Máximo: =MAX(A1:An).
3. Determinar el Rango ( R ): =(Max-Min).
4. Determinar el número de elementos (n)
n =CONTAR(A1:An).
5. Calcular el numero de intervalos (m)
m =REDONDEAR(1+3.3*log(n),0).
6. Amplitud del Intervalo (A).
A =REDONDEAR.MAS (celdaR/celda m,0)
7. Para colocar el valor de las frecuencias (fi):
 Ordenar los datos de menor a mayor
 Trabajar con el comando contar y llenar la
tabla

INGRESO (S/.)
8276 6036 4405 1481 3074
7877 5485 3456 2890 2681
8067 3482 6068 2564 3655
9105 4602 4102 2895 1665
8144 5071 4002 1948 2790
6316 5315 5940 2609 2654
8385 3499 4256 1621 1874
8152 5784 2390 2324 3023
8614 3827 4311 3526 2279
9519 4892 4117 2292 2533
9163 4956 2309 2061 3893
7875 4978 1789 2855 3020
6512 4576 2550 2324 2805
8655 4658 2346 3482 3003
7439 3892 1405 2314 2189
9135 5475 1122 3516 2812
8197 4312 2794 2524 2195
5678 4493 2043 3031 2924
5384 4587 3010 2765 2417
4860 2083 3229 2447 2795
Xmax
Xmin
Los datos
corresponde al
ingreso de 100
empleados de
una empresa,
se pide
Formular el
cuadro de
frecuencias.

Cuadro: Distribución de Frecuencias de ingresos de 100 empleados
Elaboración: Propia
Fuente: Empresa ABC .
Intervalos
(m)
Limite
Inferior
Límite
Superior
Marca de
clase (X)
Frec.Abs.
Simple (f)
Frec.Abs.
Acum (F)
Frec.Relat.
Simple (h)
Frec.Rela
Acum.(H)
1 1122 2172 1647 11 11 11 11
2 2172 3222 2697 35 46 35 46
3 3222 4272 3747 15 61 15 61
4 4272 5322 4797 14 75 14 75
5 5322 6372 5847 9 84 9 84
6 6372 7422 6897 2 86 2 86
7 7422 8472 7947 8 94 8 94
8 8472 9522 8997 6 100 6 100
100 100

GRAFICOS
GRAFICOS
 Son ilustraciones que permiten visualizar en forma rápida
los datos procesados con la finalidad de realizar una
adecuada y oportuna toma de decisiones.
 Todo gráfico sintetiza y visualiza una mejor interpretación,
ayuda a gerenciar, mediante una rápida toma de
decisiones.

WILLIAM PLAYFAIR (1759-1823)
 Los gráficos estadísticos
fueron desarrollados por
William Playfair político y
economista inglés
 Inventó el gráfico de pastel,
y popularizó los gráficos
circulares o de burbujas
 Realizó el primer gráfico de
barras moderno, y le dio la
forma actual a los gráficos
de series temporales. Gráfico circular de 1805

 Documento en el cual se presentan los datos
estadísticos procesados (Información
Estadística), ordenados en filas y columnas
para su análisis correspondiente.
PARTES DE UN CUADRO
 TITULO: Debe ser claro, preciso y conciso
 FUENTE: Para indicar la procedencia de la información
 ELABORACIÓN: Para indicar quien procesa la información.
CUADRO ESTADISTICO

Clases de Gráfico.
Clases de Gráfico
 Existen varios tipos de gráfico, pero sólo se
estudiarán aquellos de mayor uso
práctico.
1. Histograma de Frecuencias o Barras
2. Polígono de Frecuencias o Líneas
3. Circular de Pastel, Torta o Queso.
4. Otros Gráficos (Pictogramas)
 Los gráficos de mayor uso son los
Histogramas, Polígonos de frecuencias y el
Circular, pastel o de queso

Construcción de Gráficos
Los gráficos se construyen a partir de los cuadros
estadísticos, teniendo en cuenta lo siguiente:
 Indicar que tipo de gráfico que se va a trabajar
 En el eje de las abscisas ( x ), se ubica el rango o variación
de la variable en estudio
 En el eje de las ordenadas ( y ) se ubica las frecuencias
teniendo como base la mayor frecuencia.
 La escala sugerida es: y = 2/3(x)

PARTES PRINCIPALES DE UN GRÁFICO
 Titulo: El cual debe ser corto preciso
 Leyenda: para identificar las características de los datos.
 Fuente: Indica de donde proviene la información
 Elaboración: Indica el responsable de la elaboración del trabajo

GRÁFICO DE BARRAS
 Es una forma de representar datos cualitativos
resumidos en una distribución de frecuencias.
 En un eje se grafica las etiquetas de las clases y
 En el otro eje, se traza una barra sobre cada
indicador de clase de una altura igual a la
frecuencia (absoluta o relativa) correspondiente.
 Las barras deben estar separadas para enfatizar
el hecho de que cada clase es separada.

GRÁFICO CIRCULAR, DE SECTORES O PASTEL
 Cuando se utiliza el
gráfico circular cada
sector circular representa
el valor específico de la
variable.
 Se traza un círculo para
representar todos los
datos.
 Se divide el círculo en
partes. El ángulo que le
corresponde a cada
parte es 360º x hi

CONSTRUCCION DE GRAFICOS USANDO EXCEL
Barras
1. Sombrear variables
2. Indicar que tipo de barras
3. Ir a Serie quitar la serie 1 y Llenar la serie rótulo
4. Ir a Títulos: Llenar los Iconos deseados: Título, ejes
5. Finalizar.
CIRCULAR
1. Sombrear variables
2. Indicar que tipo de Gráfico
3. Ir a Serie, luego en el rubro Nombre poner título
4. Ir a rótulo de datos: Llenar los iconos deseados
5. Finalizar.

FUENTE: INDECI
ELABORACION: PROPIA
EMERGENCIA POR BAJAS TEMPERATURAS: 2002 – 2011
Años Emergencias Población
2002 309 489.424
2003 73 25.733
2004 438 356.965
2005 296 199.198
2006 177 98.140
2007 715 520.799
2008 437 455.056
2009 452 500.447
2010 550 270.338
2011 508 310.410

NIVEL
SECTORES
MEF MINEM PCM VIVIENDA MINCETUR MINAG
FUNCIONARIO 8.420 6.996 5.100 3.958 4.480 2.480
PROFESIONAL 5.134 5.473 4.100 2.601 2.841 2.480
TECNICO 2.455 3.268 2.936 2.075 2.473 2.264
AUXILIAR 1.765 2.345 2.700 1.995 2.473 2.050

GRAFICO CIRCULAR, PASTEL O QUESO
 Se usa mayormente para datos
nominales y jerarquizados, aunque
puede ser usado para cualquier tipo
de variable.
REGLA BASICA:
 360º = 100% = n
 Donde: n representa el número de
datos existentes en el estudio.
Luego las frecuencias parciales se
distribuyen directamente
proporcional, formándose de esta
manera el gráfico de pastel.
 Ejemplo: Se ha estudiado la
variable cualitativa estado civil de
100 personas que migran a la
Capital de la República, obteniendo
los siguientes resultados:
ESTADO
CIVIL
TOTAL
PERSONAS
SOLTERO 35
CASADO 20
VIUDO 15
DIVORCIADO 30
TOTAL 100

GRAFICO DE PASTEL
ESTADO CIVIL DE POBLACION MIGRANTE A LA CIUDAD
DE LIMA
35; 35%
20; 20%15; 15%
30; 30% SOLTERO
CASADO
VIUDO
DIVORCIADO

DIAGRAMAS ESPECIALES
 DIAGRAMAS ESPECIALES
 En el campo económico y de la
Administración de Negocios y Empresas,
existen algunos diagramas que se utilizan
con mucha frecuencia y que no encuadran
con los sistemas clásicos de gráficos
estudiados.
 Diagrama causa efecto. Representación
gráfica que permite identificar “las posibles
causas asociadas a un problema (efecto),
estructuradas según una serie de factores
genéricos.

Diagramas Especiales
Objetivo:
 Localizar las causas que permitan ayudar a la determinación
del origen del problema y a solucionarlos en forma eficaz.
 Estos diagramas reciben el nombre de:
 Diagrama de espina de pescado
 Diagrama de Río.
 Diagrama de Ishikawa (**)
 (**) en 1953, Kaonu Ishikawa, profesor de la Universidad de
Tokio, hizo un resumen de varios profesores que discutían un
problema de calidad, lo cual lo presentó en un diagrama de
causa efecto, esta representación se incluyó desde entonces
en la terminología de los estándares industriales japoneses
(JIS) de control de Calidad.

LEY DE PARETO
 DIAGRAMA DE PARETO
 Llamada también la regla de 80 – 20.
 Es un diagrama de barras, donde se presenta en forma
descendente las diversas modalidades que causan un
problema.
 Aplicaciones:
 Control de calidad para determinar causas o efectos mas
relevantes en un problema.

PASOS PARA ELABORAR EL GRÁFICO DE
PARETO Para elaborar el Gráfico de Pareto se debe tener en
cuenta los siguientes pasos:
 Inicialmente existen dos columnas, uno que contiene
las causas del problema y la otra columna que
contiene las frecuencias
 Las causas del problema se ordenan de mayor a
menor
 Dejando una columna libre, crear una columna
temporal de Frecuencias acumuladas < Q
 En base a las frecuencias <Q, en la columna libre
dejada, se crean los porcentajes
 Se seleccionan las 3 primeras columnas y realizar los
gráficos en barras

Causa Frec
Formaciòn 250
Aseo 200
Recursos Econ 180
Capacitac 140
Tardanza 46
faltas 41
Refrigeri 40
Actitud 38
lealtad 31
Estudios 27
Cansancio 25
Alimentos 25
1043

Causa f H%<Q
F <Q
Formaciòn 250 24% 250
Aseo 200 43% 450
Recu. Econ. 180 60% 630
Capacitac 140 74% 770
Tardanza 46 78% 816
faltas 41 82% 857
Refrigeri 40 86% 897
Actitud 38 90% 935
lealtad 31 93% 966
Estudios 27 95% 993
Cansancio 25 98% 1018
Alimentos 25 100% 1043
1043
Causa f H% < Q
F <Q
Formaciòn 250 250
Aseo 200 450
Recursos
econ 180
630
Capacitac 140 770
Tardanza 46 816
faltas 41 857
Refrigeri 40 897
Actitud 38 935
lealtad 31 966
Estudios 27 993
Cansancio 25 1018
Alimentos 25 1043
1043

PARA EL GRAFICO DE LINEAS:
 En las barras chicas hacer click obteniéndose puntos, luego ir a
cambiar tipo de grafico/líneas y aceptar
 En esta nueva línea, hacer clic derecho seleccionar Dar Formato a
serie de datos e ir a eje secundario aceptar, obteniéndose la linea
PARA DAR VALORES A LAS ESCALAS
 Diseño/Click derecho/diseño/Dar formato a eje con cantidades/Valor
Mínimo = 0, Valor Máximo = n = 1043/aceptar.
 Diseño/Click derecho/diseño/Dar formato a eje con Porcentaje/Valor
Mínimo = 0, Valor Máximo = 1/aceptar.
PARA SEÑALAR LAS LINEAS DIVISORIAS DE 80-20 PARETO
 Crear una columna adicional y colocamos como titulo 80-20
 Cuyos valores serán de 80%.
 Diseño/Seleccionar datos/agregar/nombre de la serie/colocar la celda
del titulo 80-20/valores de la serie/colocar la columna del
80%/aceptar/aceptar.
 Obteniendo finalmente el gráfico completo de Pareto

ESTADÍSTICOS DE CONCENTRACIÓN CURVA DE LORENZ –
INDICE DE GINI
Las medidas de concentración tratan de poner de manifiesto el mayor
o menor grado de igualdad o equidistribución en el reparto total de
los valores de la variable en estudio, esto se analiza mediante:
LA CURVA DE LORENZ: Es la representación gráfica de la
relación entre la población y la variable en estudio.
EL INDICE DE GINI: Es la medida cuantitativa de la concentración
y se calcula mediante la siguiente fórmula:
IG = ∑R/Ni-1
Siendo R = pi – qi
Pi = población
Qi = Ingresos

Construcción del Índice de GINI
Total de
Hogares
(miles)
Ingreso
Medio
por
hogar
Miles)
Acumu
lada
Producto
= Total
Hogares
*Ingreso
medio
Producto
Acumula
do
Pi =
(Fi/n)100
Qi=
(XF/X.F.)1
00
Indice GINI
R
fi xi Fi xifi XiFi
R = Pi-Qi
20 1.5 20 30 30 40 18 22
15 3 35 45 75 70 45 25
10 5 45 50 125 90 76 14
5 8 50 40 165 100 100 0
n =50

Aclaración de Cálculos
X.F. = cifra acumulada = 165
De tal manera que el primer valor de Q será:
Q1 = (30/165)*100 = 18.18 = 18
Q2 = (75/165)*100 = 45.45 = 45
Q3 = (125/165)*100 = 75.75 = 76
Q4 = (165/165)*100 = 100.00 = 100
Además:
Pi.-1 = Ni-1,
Para el caso del problema, el valor será de 200.

CALCULO DEL INDICE DE GINI
IG = (∑R)/Ni-1
IG = 61/200
IG = 0.31
0≤ IG ≤ 1
IG =1 entonces existe una alta concentración
IG =0 entonces existe una baja concentración

Ingreso Promed Trabajad Acumula Monto
Mont
Acum Cantidad Σ ΣPi
Xi Xi+1 Xi fi Fi Pi mi Mi Qi ΣPi-Qi)
750 1250 1000 10 10 6,67 10000 10000 2,22 4,45 6,67
1250 1750 1500 12 22 14,67 18000 28000 6,21 8,46 14,67
1750 2250 2000 20 42 28,00 40000 68000 15,08 12,92 28,00
2250 2750 2500 25 67 44,67 62500 130500 28,94 15,73 44,67
2750 3250 3000 18 85 56,67 54000 184500 40,91 15,76 56,67
3250 3750 3500 15 100 66,67 52500 237000 52,55 14,12 66,67
3750 4250 4000 22 122 81,33 88000 325000 72,06 9,27 81,33
4250 4750 4500 28 150 100,00 126000 451000 100,00 80,71 298,67
Procedimiento para calcular el Índice de Gini: Datos sobre el
ingreso de 150 trabajadores de una empresa Textil
P1 = Mi/Mi.100
P1 = 10000/451000*100
P1 = 2.27
Pi = Fi/n*100
P1 = 10/150*100
P1 = 6.67
IG = Σ(Pi-Qi)/ΣPi
IG = 80.71/298.67 = 0.29
El valor tiende a cero (0), la riqueza se
distribuye equitativamente entre
trabajadores y directivos de la empresa.

Salarios Emplead
Fi xifi XiFi Pi Qi Pi-Qi
Suma
Pi
xi fi
650 20 20 13000 13000 0,2 0,10 0,10 0,10
1000 40 60 40000 53000 0,6 0,39 0,21 0,39
1600 25 85 40000 93000 0,9 0,69 0,16 0,69
2250 5 90 11250 104250 0,9 0,78 0,12 0,78
3000 10 100 30000 134250 1,0 1,00 0,00
1,96
100 2,55 0,59
Procedimiento para calcular el Índice de Gini: Datos sobre el
ingreso de 100 trabajadores de una empresa Textil
Pi = (Fi)/n
Qi = (XF)/X.F.
Gini = 0.2310

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