Ejercicios

1. Realizado por:
Ericsson Bravo
C. I. 24.250.917
Maracaibo, 08 de Marzo de 2017

2. ESQUEMA
1.- Acoplamiento magnético entre inductores
2.- Definición de la inductancia mutua
3.- Circuito primario y circuito secundario
4.- Marcas de la polaridad de las bobinas
5.- Transformador ideal
6.- Relación de espiras
7.- Circuitos equivalentes
8.- Reflexión de la impedancia del circuito secundario en el primario
9.-Pérdidas en los transformadores no ideales
10.- Transformadores trifásicos

3. DESARROLLO
1.- Acoplamiento magnético entre inductores
Considérese primeramente un solo inductor, una bobina con N vueltas. Cuando
la corriente i fluye por la bobina, alrededor de ella se produce un flujo magnético Ф
como lo muestra la figura. De acuerdo con la ley de Faraday, la tensión v inducida
en la bobina es proporcional al número de vueltas N y a la tasa de cambio del flujo
magnético Ф en el tiempo; es decir,
V = NdФ/dt
Pero el flujo Ф es producto de la corriente i, de modo que cualquier cambio en Ф
da por resultado un cambio en la corriente. Así, la ecuación puede escribirse
como,
V = N(dФ/di)(di/dt)
O sea v = Ldi/dt
La cual es la relación tensión-corriente en el inductor. A partir de las ecuaciones
anteriores la inductancia L del inductor la proporciona entonces
L = NdФ/di
Esta inductancia se llama comúnmente auto-inductancia, porque relaciona la
tensión inducida en una bobina por una corriente variable en el tiempo en la
misma bobina. Considérense ahora dos bobinas con auto-inductancias L1 y L2 en
estrecha proximidad entre sí (vista en la figura).

4. La bobina 1 tiene N1 vueltas, mientras que la bobina 2 tiene N2 vueltas. Con fines
de simplificación, supóngase que en el segundo inductor no existe corriente. El
flujo magnético Ф1 que emana de la bobina 1 tiene dos componentes: una
componente Ф11 enlaza sólo a la bobina 1, y otra componente Ф12 enlaza a
ambas bobinas. Por lo tanto,
Ф1 = Ф11 + Ф12
Aunque las dos bobinas están físicamente separadas, se dice que están
acopladas magnéticamente. Puesto que el flujo completo Ф1 se une a la bobina 1,
la tensión inducida en la bobina 1 es
V1 = N1dФ1/di
Sólo el flujo Ф12 enlaza a la bobina 2, de modo que la tensión inducida en la
bobina 2 es
V2 = N2dФ12/di
De nueva cuenta, dado que los flujos son causados por la corriente i1 que fluye en
la bobina 1, la ecuación puede escribirse como
L1 = di1/dt
Donde L1 = N1 dФ1/di1 es la auto-inductancia de la bobina 1. De igual manera, la
ecuación puede escribirse como
M21 = N2dФ12/di1
M21 se conoce como la inductancia mutua de la bobina 2 respecto a la bobina 1. El
subíndice 21 indica que la inductancia M21 relaciona la tensión inducida en la
bobina 2 con la corriente en la bobina 1. Así, la tensión mutua (o tensión inducida)
de circuito abierto para la bobina 2 es
V2 = M21di1/dt
Supóngase que ahora se permite que la corriente i2 fluya en la bobina 2, mientras
que la bobina 1 no conduce corriente. El flujo magnético Ф2 que emana de la

5. bobina 2 comprende al flujo Ф22 que vincula sólo a la bobina 2 y al flujo Ф21, que
enlaza a ambas bobinas. Por consiguiente,
Ф2 = Ф21 + Ф22
El flujo completo Ф2 enlaza a la bobina 2, de manera que la tensión inducida en la
bobina 2 es
v2 = L2di2/dt
Donde L2 = N2 dФ2/di2 es la auto-inductancia de la bobina 2. Puesto que sólo el
flujo Ф21 enlaza a la bobina 1, la tensión inducida en la bobina 1 es
V1 = M12di2/dt
2.- Definición de la inductancia mutua
La inductancia mutua M es la capacidad de un inductor de inducir una tensión en
un inductor cercano, medida en Henry (H).
Téngase presente que sólo existe acoplamiento mutuo cuando los inductores o
bobinas están en estrecha proximidad y los circuitos se excitan mediante fuentes
variables en el tiempo. Recuérdese que los inductores actúan como cortocircuitos
en cd. Se concluye que hay inductancia mutua si una tensión se induce mediante
una corriente variable en el tiempo en el otro circuito. Una inductancia tiene la
propiedad de producir una tensión en otra inductancia acoplada como reacción a
una corriente variable en el tiempo.
3.- Circuito primario y circuito secundario
El bobinado donde se conecta la corriente de entrada se denomina primario, y el
bobinado donde se conecta la carga útil, se denomina secundario.
4.- Marcas de la polaridad de las bobinas
Por efecto de esta convención, se coloca una marca en un extremo de cada una
de las dos bobinas acopladas magnéticamente de un circuito para indicar la

6. dirección del flujo magnético si entra una corriente en la terminal marcada de la
bobina. Esto se ilustra en la figura.
Dado un circuito, las marcas están colocadas junto a las bobinas, de modo que no
es necesario molestarse en cómo
marcarlas. Estos puntos se emplean junto con la convención de las marcas para
determinar la polaridad de la tensión mutua. La convención de las marcas de
polaridad se formula de esta manera:
Si una corriente entra a la terminal marcada de la bobina, la polaridad de
referencia para la tensión mutua en la segunda bobina es positiva en la terminal
con la marca de la segunda bobina.
Alternativamente,
Si una corriente sale de la terminal marcada de una bobina, la polaridad de
referencia de la tensión mutua en la segunda bobina es negativa en la terminal
con la marca de la segunda bobina.
Así, la polaridad de referencia de la tensión mutua depende de la dirección de
referencia de la corriente inductora y de las marcas en las bobinas acopladas.
5.- Transformador ideal
El transformador es un dispositivo eléctrico diseñado con base en el concepto del
acoplamiento magnético. Se sirve de bobinas magnéticamente acopladas para
transferir energía de un circuito a otro. Los transformadores son elementos clave

7. de circuitos. Se usan en sistemas eléctricos para aumentar o reducir tensiones o
corrientes de ca. También se les emplea en circuitos electrónicos,
como en receptores de radio y televisión, para propósitos tales como acoplamiento
de impedancias, aislamiento de una parte de un circuito respecto de otra y, de
nueva cuenta, aumento o reducción de tensiones y corrientes de ca.
Un transformador ideal es aquel con acoplamiento perfecto (k = 1). Consta de dos
(o más) bobinas con gran número de vueltas devanadas en un núcleo común de
alta permeabilidad. A causa de esta alta permeabilidad del núcleo, el flujo enlaza a
todas las vueltas de ambas bobinas, lo que da por resultado un acoplamiento
perfecto.
Se dice que un transformador es ideal si posee las siguientes propiedades:
1. Las bobinas tienen reactancias muy grandes (L1, L2, M > ∞).
2. El coeficiente de acoplamiento es igual a la unidad (k = 1).
3. Las bobinas primaria y secundaria no tienen pérdidas (R1 = 0 = R2).
Un transformador ideal es un transformador de acoplamiento unitario sin pérdidas
en el que las bobinas primaria y secundaria tienen auto-inductancias infinitas. Los
transformadores de núcleo de hierro son una aproximación muy cercana de
transformadores ideales. Se les emplea en sistemas de potencia y en electrónica.
En la figura aparece un transformador ideal usual; su símbolo de circuitos se
muestra en la figura. Las líneas verticales entre las bobinas indican un núcleo de
hierro, para diferenciarlo del núcleo de aire que se usa en transformadores
lineales. El devanado primario tiene N1 vueltas; el devanado secundario tiene N2
vueltas. Cuando se aplica una tensión senoidal al devanado primario, como se
advierte en la figura, por ambos devanados pasa el mismo flujo magnético Ф. De
acuerdo con la ley de Faraday, la tensión en el devanado primario es

8. V1 = N1dФ/dt
Mientras que a través del devanado secundario es
V2 = N2dФ/dt
Al dividir la ecuación del devanado secundario entre la ecuación del devanado
primario se obtiene:
v2/v1 = N2/N1 = n
Donde n es, de nueva cuenta, la relación de vueltas o relación de transformación.
Por efecto de la conservación de la potencia, la energía suministrada al devanado
primario debe ser igual a la energía absorbida por el devanado secundario, ya que
en un transformador ideal no hay pérdidas. Esto implica que
v1i1 = v2i2
En forma fasorial, la ecuaciones anteriores se convierte, en la ecuación
I1/I2 = V2/V1 = n
Lo que indica que las corrientes primaria y secundaria se determinan con la
relación de vueltas en forma inversa que las tensiones. Así,
I2/1 = N2/N1 = 1/n
6.- Relación de espiras
Un parámetro de transformador que es útil para entender como funciona es la
relación de espiras (n) se define como la relación del número de vueltas que hay
en el devanado secundario N2 al número de vueltas presentes en el devanado
primario N1.
n = N2/N1
7.- Circuitos equivalentes
La regla general para eliminar el transformador y reflejar el circuito secundario en
el lado primario es: divida la impedancia secundaria entre n2, divida la tensión
secundaria entre n y multiplique la corriente secundaria por n.

9. También es posible reflejar el lado primario del circuito en el lado secundario.
La regla para eliminar el transformador y reflejar el circuito primario en el lado
secundario es: multiplique la impedancia primaria por n2, multiplique la tensión
primaria por n y divida la corriente primaria entre n.
8.- Reflexión de la impedancia del circuito secundario en el primario
La regla general para eliminar el transformador y reflejar el circuito secundario en
el lado primario es: divida la impedancia secundaria entre n0, divida la tensión
secundaria entre n y multiplique la corriente secundaria por n.
Otra forma es hallar el equivalente de Thevenin del circuito a la derecha de las
terminales a-b. Se
obtiene VTH como la tensión de circuito abierto en las terminales a-b, como se
observa en la figura.
Dado que las terminales a-b están abiertas, I1 = 0 = I2, de manera que V2 = Vs2.
Así, con base en la ecuación
VTh = V1 = V2/n = Vs2/n
Para obtener ZTh, se elimina la fuente de tensión del bobinado secundario y se
inserta una fuente unitaria entre las terminales a-b, como en la figura. Partiendo de
las ecuaciones que expresan la tensión y la corriente en el primario, I1 = nI2 y V1 =
V2/n, de modo que
ZTh = V1/I1 = (V2/n ÷ nI2) = Z2/N2 V2 = Z2I2
9.-Pérdidas en los transformadores no ideales
- Las corrientes parasitas se producen en cualquier material conductor cuando se
encuentran sometidos a una variación de flujo magnético, como los núcleos de los
transformadores están hechos de materiales magnéticos y estos materiales son
buenos conductores se genera una fuerza electromotriz inducida que origina
corrientes que circulan en el mismo sentido dando lugar a el denominado efecto
Joule. Las perdidas por corrientes parasitas dependerán del material con el que
está construido el núcleo magnético del transformador.

10. - La histéresis magnética es el fenómeno que se produce cuando la imantación de
los materiales ferro magnéticos no solo depende del flujo magnético, sino de los
estados magnéticos anteriores. En el caso de los transformadores al someter un
material magnético a un flujo variable se produce una imantación que se mantiene
al cesar el flujo variable, lo que provoca una pérdida de energía.
10.- Transformadores trifásicos
Para satisfacer la demanda de transmisión de potencia trifásica se necesitan
conexiones de transformador que sean compatibles con las operaciones trifásicas.
Esas conexiones del transformador pueden lograrse de dos maneras: conectando
tres transformadores monofásicos, lo cual forma un banco de transformadores, o
usando un transformador trifásico especial. Para la misma capacidad nominal en
kVA, un transformador trifásico siempre es más pequeño y menos costoso que
tres transformadores monofásicos. Cuando se emplean transformadores
monofásicos, se debe garantizar que tengan la misma relación de vueltas n a fin
de conseguir un sistema trifásico balanceado. Existen cuatro maneras estándar de
conectar tres transformadores monofásicos o un transformador trifásico para
operación trifásicas: Y-Y, ۸-۸, Y-۸ y ۸-Y.
En cualquiera de esas cuatro conexiones, la potencia aparente total ST, la
potencia real PT y la potencia reactiva QT se obtienen como
ST = √3VLIL
PT = ST cos Ө = √3VLIL cos Ө
QT = ST cos Ө = √3VLIL sen Ө
Donde VL e IL son iguales a la tensión de línea VLP y a la corriente de línea ILP,
respectivamente, del lado primario, o a la tensión de línea VLs y la corriente de
línea ILs del lado secundario. Cabe indicar acerca de las ecuaciones anteriores,
que para cada una de las cuatro conexiones, VLsILs = VLpILp, ya que la potencia
debe conservarse en un transformador ideal.
En lo que se refiere a la conexión Y-Y, la tensión de línea VLp en el lado primario,
la tensión de línea VLs en el lado secundario, la corriente de línea ILp en el lado

11. primario y la corriente de línea ILs en el lado secundario se relacionan mediante la
relación de vueltas n del transformador por fase de acuerdo con las ecuaciones
VLs = nVLp
ILs = ILp/n
En lo que se refiere a la conexión ۸-۸,
VLs = nVLp
ILs = ILp/n
Respecto a la conexión Y-۸ los valores de línea-fase originan un factor de √3
además de la razón de vueltas n del transformador por fase. Así,
VLs = nVLp/√3
ILs = √3ILp/n
De igual forma, respecto a la conexión ۸-Y
VLs = n√3VLp
ILs = ILp/n√3

12. BIBLIOGRAFÍA
Recursos bibliográficos:
Libro de Robert Boylestad
Libro Thomas L. Floyd
Libro de Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku
Imágenes: explorador Google