1. http://perso.wanadoo.es/timonmate
Uno no puede evitar la sensación de que esas ecuaciones matemáticas tienen una existencia independiente de la existencia
propia, de que son más sabias que nosotros, más sabias aún que sus descubridores, de que podemos obtener de ellas más de
lo que en ellas se puso.
Hertz, sobre las ecuaciones de Maxwell
Sistemas de ecuaciones lineales  4x
 1
− + 5y = −
Ejercicios resueltos  3
 2
2) Resuelve:  2x − 3y


 =6
 4


Método de sustitución:
4x + 3y = 1 Quitamos los denominadores:


1) Resuelve: 3x − 2y = −5


  4x 30y
 3
− +
 3 =−
 3 2
Despejamos la x de la 1ª ecuación  ⇒
 2x − 3y 24

(podríamos haber elegido también  =
 4

 4
la 2ª ecuación) y lo obtenido lo
llevamos a la ecuación 2ª: −4x + 30y = −3

⇒

2x − 3y = 24



 1 − 3y

4x + 3y = 1
 
x = 4
 ⇒ Ahora procedemos de la manera
3x − 2y = −5 

 3x − 2y = −5

 acostumbrada:
⇓
 1 − 3y 
 Despejamos la x de la 2ª ecuación:
3  − 2y = −5 ⇒
 4 

 
−4x + 30y = −3

⇒ 3 − 9y − 8y = −20 ⇒ −7y = −23 ⇒ 

 3y + 24
23 2x − 3y = 24 ⇒ x =

⇒ y= 
 2
17
Llevamos el valor de y a la 1ª Llevamos este resultado a la 1ª
ecuación: ecuación:
 23 
1 − 3   17 − 69
1 − 3y  
 17 
 −4x + 30y = −3 ⇒
x= ⇒x= = 17 =
4 4 4
 3y + 24 

−52 13 ⇒ −4 
 2  + 30y = −3 ⇒
 
= : 4 ⇒ x=−  
17 17
⇒ −2 (3y + 24) + 30y = −3 ⇒
Solución:
 13 23  15
(x, y) = − ,  ⇒ 24y = 45 ⇒ y =
 17 17 

 
 8
Juan J. Pascual 1/3

2. SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS 2º ESO
Solución:
Llevamos el resultado a la 2ª  13 23 
ecuación: (x, y) = − , 
 

 17 17 

 15  −5x + 2y = −3
3   + 24 
3y + 24  
8  

x= ⇒x= ⇒ 4) Resuelve:  3x − y

2 2  2 =1


237
⇒ x=
16 Despejo la misma incógnita en las
dos ecuaciones. En este caso voy a
Solución: despejar la y:
 237 15 

(x, y) = 
 16 , 8 
  −5x + 2y = −3  −3 + 5x
   

 
y =
 3x − y ⇒ 2

 2 =1 
y = 3x − 2

 

Método de igualación: Ahora igualamos ambas
expresiones y despejamos x:
4x + 3y = 1


3) Resuelve: 3x − 2y = −5
 −3 + 5x

 = 3x − 2 ⇒
2
Despejo la misma incógnita de las −3 + 5x = 6x − 4 ⇒ x = 1
dos ecuaciones, por ejemplo, la x:
Por último, llevamos este resultado

 1 − 3y a la 2ª ecuación:
x =

4x + 3y = 1

  4
 ⇒
3x − 2y = −5 

  −5 + 2y y = 3x − 2 ⇒ y = 3 ⋅ 1 − 2 ⇒ y = 1
x =


 3
Solución:
Ahora igualo ambas expresiones: (x, y) = (1, 1)
1 − 3y −5 + 2y
= ⇒
4 3
Método de reducción:
⇒ 3 − 9y = −20 + 8y ⇒
23
⇒ −17y = −23 ⇒ y =
17 4x + 3y = 1


5) Resuelve: 3x − 2y = −5

Por último, llevo este resultado a la 

1ª ecuación:
Manipulando convenientemente
 23  las ecuaciones conseguiremos que
1 − 3 
 17  una de las dos incógnitas se cancele
1 − 3y   
x= ⇒x= ⇒ y obtengamos así los valores
4 4
buscados.
−52 13
⇒x= : 4⇒ x=−
17 17
2/3 Juan J. Pascual

3. MATEMÁTICAS 2º ESO SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS
multiplico todo por 2 multiplico por –5
4x + 3y = 1
 8x + 6y = 2
 2x + 7y = 2
 −10x − 35y = −10


 
 
 

 ⇒ ⇒  ⇒ ⇒

3x − 2y = −5 9x − 6y = −15
 
5x − 2y = −1 10x − 4y = −2



 

 

 


multiplico todo por 3 multiplico por 2
−10x − 35y = −10

8x + 6y = 2 ⇒

 10x − 4y = −2
⇒
 

9x − 6y = −15

 4
− 39y = −12 ⇒ y =
13 13
17x = −13 ⇒ x = −
17
Ahora hallo x. Para ello sustituyo el
Obtengo y sustituyendo x en la 1ª valor de la y en la 1ª ecuación:
ecuación:
4
2x + 7y = 2 ⇒ 2x + 7   = 2 ⇒
 13 
 
 13   
4x + 3y = 1 ⇒ 4 −  + 3y = 1 ⇒

 

 17  4
2 −7 
 13 
1+
52    1
 13 
 ⇒x= ⇒ x=−

⇒ 4 −  + 3y = 1 ⇒ y = 17 ⇒ 2 13
 17 
  3
23 Solución:
⇒ y=
17 Soluciones:
 1 4
Solución:
(x, y) = − , 
 13 13 
 
 
 13 23 
(x, y) = − , 
 17 17 
 
 
Ejercicio avanzado propuesto:
4x − 2y − z = −3



7) Resuelve: −x + y + 2z = 7

2x + 7y = 2

 2x − 5y + z = −5
6) Resuelve: 5x − 2y = −1 





Las soluciones tienen que ser
Quiero que la x se cancele. (x, y, z) = (1, 2, 3)
Juan J. Pascual 3/3