3. NOTAS
SUGERIDAS
L1 L5
L3 L4
EVALUACIO
N
AUTOEVALUACIO
N
ACTIVIDADES
L6
¿PRACTICAS UN POCO
MAS?
EJEMPLOS BÁSICOS
CONOCIMIENTOS PREVIOS
LECTURA Región
Factible
L2
MOTIVACIÓN

4. SISTEMA
ECUACIONE
S ECUACIONE
S
SISTEMA
INECUACIONES
INECUACIONE
S
CONCEPTO
FUNCIÓN OBJETIVO
EJEMPLOS RESTRICCIONES PROBLEMAS
SISTEMA DE
RESTRICCIONES
SOLUCIÓN FACTIBLE

5. Ejemplo 1.- x+5=9
x+0y=4
x=9-5
x=4
Representación gráfica:
4
α
x=4
4
Representación gráfica
Ejemplo 2.- x+y=3
X Y
-2 5
0 3
2 1
X
Y

6. Ejemplo 1.- -x-3<4 Representación gráfica:
-x<4+3
-x<7
x>-7
-7 α -7 α
Ejemplo 2.- x-y>2 Representación gráfica
Suponemos. x-y=2 X Y
0 -2
2 0
Comprobamos la veracidad del semiplano:
X
para (1;1) en la inecuación x-y>2
1-1>2
0>2 (F)
para (3;0) en la inecuación x-y>2
3-0>2
3>2 (V)
Y

7. METODOS DE
TABULACION GRAFICANDO
RESOLUCION
POR IGUALACION
POR REDUCCION
POR SUSTITUCION POR MATRICES
REGRESAR

8. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
4x-3y =15
2x+y =5
2x+
y
4x-3y =15 2x+y =5
=5
X Y X Y
-3 -9 0 5
X
0 -5 1 3
3 -1 2 1 (3;-1)
6 3 3 -1
El conjunto solución es el punto
de intersección de las rectas
5
=1
y
-3
(x;y)=(3;-1)
4x
Y

9. METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15 2x+y = 5
2x+
4x=15+3y 2x = 5 - y
5− y
y
15 + 3 y x=
x=
=5
4 2
15 + 3 y 5 − y
=
4 2 X
2(15+3y)=4(5-y)
(3;-1)
30+6y=20-4y
6y+4y=20-30
10y=-10
5
y=-1
=1
5− y 5 − (−1)
x=
y
x=
-3
2 2 4x
5 +1
x=
2
6
x=
2
x=3
Y
(x;y)=(3;-1)

10. METODO DE ELIMINACION POR SUSTITUCION
4x-3y =15
2x+y =5
2x+
4x-3y =15 2x+y =5
 15 + 3 y 
y
4x=15+3y 2 + y =5
 4 
=5
15 + 3 y
x= 15 + 3 y
+ y=5
4 2
15 + 3 y + 2 y = 10
X
5 y = 10 − 15
5 y = −5 (3;-1)
y = −1
15 + 3 y
x=
4
15 + 3(−1)
x=
5
=1
4
y
15 − 3
-3
x= 4x
4
12
x= (x;y)=(3;-1)
4
x=3
Y

11. METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION
4x-3y =15
2x+y =5
2x+
y
4x-3y =15 Reemplazando:
=5
2x+y =5
(3) 2x+y=5
2(3)+y = 5
4x-3y=15
6+y =5 X
6x+3y=15
Y =5-6
10x / =30
y =-1 (3;-1)
x=30/10
x=3
15
y=
-3
4x
(x;y)=(3;-1)
Y

12. MÉTODO DE GAUSS O MATRICIAL:
4x-3y =15
VIDEO: GAUSS
2x+y =5
4 -3 15 4 -3 15 4x-3y=15
?(1era)+(2da) 0 5/2 -5/2 5/2y=-5/2
2 1 5
?(4)+2=0
-2 3/2 -15/2
?(4)=-2
2 1 5
?=-2/4
0 5/2 -5/2
?=-1/2
4x-3y=15 4x-3(-1)=15 4x+3 = 15
5/2y=-5/2 y=(-5/2).(2/5) 4x = 15-3
y=-1 4x = 12
x = 12/4
x=3
(x;y)=(3;-1)

13. Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
3x − 1 − y ≥ 0
Las analizaremos por separado para luego concluir en su
conjunto solución.

14. Sea la inecuación: 6x+3y-4<0
6x+3y<4
3y<4-6x
y<4-6x
3
Condideramos: y = 4-6x
Si x=-2 y= 4-6(-2) 3
3
y=(4+12)/3
y= 16/3
Si x=0 y= 4-6(0)
3
y= 4/ 3
Si x=2 y= 4-6(2)
3
y=-8/36x+3y<4
entonces
Por lo tanto:
comprobamos:
X Y Para ( 3;0)
Para (-1;0)
-2 16/3 6(3)+3(0)<4
6(-1)+3(0)<4
0 4/3 18+0<4 -6<4 (V)
2 -8/3 18<4 (F)

15. Sea la segunda
inecuación del sistema
3x − 1 − y ≥ 0
− y ≥ −3 x + 1
y ≤ 3x − 1
Suponemos la
igualdad: y=3x-1
X Y
-2 7
0 -1
2 5
Comprobamos en la
desigualdad
3x − 1 − y ≥ 0
para (3;0) 3(3) − 1 − 0 ≥ 0
9 −1 ≥ 0
8 ≥ 0 (v )
para (-1;0) 3(−1) − 1 − 0 ≥ 0
− 3 −1 ≥ 0
−4≥0 (f )

16. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Sea el sistema de inecuaciones:
6x
3x −1−y ≥0
+3
6x+3y-4<0
y-4
3x − 1 − y ≥ 0
0 <
Compruébalo
utilizando
PROLIN
Digita
6x+3y<=4
C.S.
3x-y>=1

17. 1. PROBLEMA DE REGIÓN
FACTIBLE
2. PROBLEMA MAXIMIZAR
3. OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO
4. BENEFICIO MAXIMO

18. Ejemplo 1: Dibuja la región factible asociada a las restricciones:
x + y >= 4 y<= 4 y >= x
Las rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y
= x
COMPRUEBAL
O

19. Ejemplo Básico 2: Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere
fabricar bicicletas de paseo y de montaña , que quiere vender, respectivamente,
a 2000 y 1500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la
elaboración de la bicicleta de paseo empleará un Kg. de acero y 3 Kg. de
aluminio, y en la de montaña 2 Kg. de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo
y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio?
Solución: Según las condiciones del problema se
plantean las restricciones:
Planteamos según los datos la
función objetivo: x≥0 entonces x=0 (L 1 )
y≥0 entonces y=0 (L 2 )
X: número de bicicletas de paseo
Y: número de bicicletas de montaña x + 2 y ≤ 80 entonces x+2y=80 (L 3 )
F(x;y)= 2000x + 1500y x y
0 40
80 0
3 x + 2 y ≤ 120 entonces 3x+2y=120 (L )
4
x y
0 60
Se grafican las rectas y se determina el semiplano del conjunto
40 0
solución de cada una de las restricciones
COMPRUEBAL

20. Determinamos los vértices de la
región factible, que son los
puntos de intersección entre: L 1 L1 COMPRUEBAL
y L 3; L 4 y L 3; L 4 y L 2; L 1 y L 2 O
L1 ∩ L3 = A(0;40)
L4 ∩ L3 = B(20;30)
L4 ∩ L2 = C (40;0)
L1 ∩ L2 = D(0;0) L3
Determinemos el beneficio
obtenido en la función
objetivo:
A
F(x;y)= 2000x + 1500y B
F(A)=2000(0)+1500(40)
F(A)=60000 nuevos soles
F(B)=2000(20)+1500(30) Región
F(B)=85000 nuevos soles Factible
L2
F(C)=2000(40)+1500(0)
D C
F(C)=80000 nuevos soles
Observando los beneficios
deducimos que:el herrero
debe vender 20 bicicletas de
paseo y 30 bicicletas de montaña L4
para obtener el máximo beneficio de 85000 nuevos soles.

21. Ejemplo básico 3.- Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre
dos tipos de inversión(A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones, y
quiere destinar a esta opción, como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B.
sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12%
en la B ¿Qué cantidad debe invertir en cada una de las dos opciones para
L5
optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto 3 ascenderá? L 4
L1 L
Función objetivo:
F(x;y)= 0,09x + 0,12y
x: inversión en A
y: inversión en B
Restricciones:
x ≥0 x=0 y=0 L 1 : eje y
y ≥0 2=x x=7 L 2 : eje x
2≤x x=y L3 L6
x ≤7 x+y=10 L4
x≥y L5
x + y ≤10
L6
X Y X Y
2 0 0 7
2 3 3 7
X Y X Y
0 0 0 10 Región
10 10 10 0 Factible
L2
COMPRUEBAL

22. Soluciones factibles COMPRUEBAL
A(2;2)
B(5;5) O
L1 L5
C(7;3) L3 L4
D(7;0)
E(2;0)
F(A)=0,09(2)+0,12(2)
F(A)=0,18+0,24=0,42
F(B)=0,09(5)+0,12(5)
L6
F(B)=0,45+0,60=1,05
F(C)=0,09(7)+0,12(3)
F(C)=0,63+0,36=0.99
F(D)=0,09(7)+0,12(0)
F(D)=0,63+0=0,63 B(5;5)
F(E)=0,09(2)+0,12(0)=0,18
A(2;2) C(7;3)
Respuesta: Se debe invertir Región
5 millones en A y 5 en B Factible
para obtener un beneficio L2
máximo de 1,05 millones E(2;0) D(7;0)

23. 4. Alfonso es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de
propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso
repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por
impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que
caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado
que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se
pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada
Y
clase para que su beneficio diario sea el máximo?
150
Solución:
X: nº de impresos diarios tipo A
Y: nº de impresos diarios tipo B A B
100
Función objetivo: F (x,y)= 5 x + 7 y
Restricciones: x ≥ 0; x ≤ 120
y ≥ 0; y ≤ 100 Región
C
x + y ≤ 150 factibl
Zona de soluciones factibles e
D
Vértices de la región Valores en la función 120 150 X
factible: objetivo:
A(0;100) f(A)=7(100)=700
B(50;100) F(B)=5(50)+7(100)=950
C(120;30) F(C)=5(120)+7(30)=810
D(120;0) F(D)=5(120)=600
COMPRUEBAL
Respuesta: Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B,
O
para una ganancia máxima diaria de 950 nuevos soles.

24. Taller 1: Ecuaciones, inecuaciones y
sistemas.
Taller 2: Sistema de Ecuaciones e
Inecuaciones.
Taller 3: Programación
Lineal

25. Es recomendable que visites estas
direcciones, te van ayudar de mucho.
 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_d
idacticos/Programacion_lineal/index.htm
 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Mat
ematicas/29/matematicas-29.html