1. MATEMÁTICAS 3º DIVERSIFICACIÓN
ASENSIO BERNAL LÓPEZ
TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES.
GUIÓN:
1. Sistemas de ecuaciones lineales.
2. Métodos de resolución de sistemas.
3. Resolución de problemas con sistemas.
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos incógnitas
forman un sistema de ecuaciones lineales.
Se llama solución del sistema a todo par de números que
verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver un sistema es
encontrar su solución. Ejemplo:
x + y = 3
 Es un sistema de solución x=2; y=1.
x − y =1
Ejercicios:
1. Intenta resolver mentalmente los siguientes sistemas:
x + y = 2 2 x + y = 4
 
x − y = 0 x+ y =3 
2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS.
Para resolver un sistema se pueden utilizar varios métodos de
resolución.
2.1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
Resolver un sistema por el método de sustitución consiste en
despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor
en la otra ecuación. Ejemplo:
x+ y =5 
 despejamos la incógnita x de la primera ecuación
2 x − y = 4
x = 5− y
después sustituimos la x en la segunda ecuación.
2(5 − y ) − y = 4
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resolvemos esta segunda ecuación.
10 − 2 y − y = 4
−2 y − y = 4 − 10
−3 y = −6
−6
y= =2
−3
una vez que conocemos una incógnita, sustituimos esta en la
despejada al principio.
x = 5− y
x = 5−2 = 3
luego la solución es x=3 ; y=2.
Ejercicios:
1. Resuelve por el método de sustitución:
x+ y =6  2 x + y = 4
 
x − 2 y = 3 x− y =2 
2.2. MÉTODO DE IGUALACIÓN
Resolver un sistema por el método de igualación consiste en
despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y después
igualar sus valores. Ejemplo:
2 x + y = 7
 despejamos, y.
3x − y = 8 
y = 7 − 2x
 igualamos
y = 3x − 8 
7 − 2 x = 3x − 8
7 + 8 = 3x + 2 x
15 = 5 x
15
x = = 3, sustituimos
5
y = 7 − 2 x = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1
la solución es x=3 ; y=1.
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Ejercicios:
1. Resuelve por el método de igualación:
x+ y =5  x + 2y = 4 
 
x − y = −1 x − 3 y = −1
2.3. MÉTODO DE REDUCCIÓN.
Resolver un sistema por el método de reducción consiste en
buscar otro sistema, con las mismas soluciones, en el que los
coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y de signo
opuesto. Ejemplo:
x+ y =6 
 se observa que la incógnita y tiene el mismo
2 x − y = 3
coeficiente y de signo contrario, luego podemos sumar las dos
ecuaciones.
x+ y =6
/
2x − y = 3
/
3x = 9
9
x = = 3; sustituimos
3
x+ y =6
3+ y = 6
y = 6−3= 3
la solución es x=3; y=3.
Otro ejemplo:
2 x + 3 y = 5
 queremos eliminar la y. Para eso multiplicamos la
3x + y = 4 
2x + 3y = 5 
segunda ecuación por (-3), quedando:  ya tenemos la
−9 x − 3 y = −12 
incógnita y con el mismo coeficiente y signo contrario y procedemos
a sumar las ecuaciones:
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2x + 3y = 5
−9 x − 3 y = −12
−7 x = −7
−7
x= = 1, sustituimos
−7
2x + 3y = 5
2(1) + 3 y = 5
2 + 3y = 5
3y = 5 − 2 = 3
3
y = =1
3
la solución x=1; y=1.
Nota: al igual que hemos eliminado la y, podíamos haber
eliminado la x, si hubiésemos multiplicado la primera ecuación por
(3) y la segunda por (-2).
3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS.
Resolver un problema mediante sistemas de ecuaciones
consiste en traducir al lenguaje algebraico las condiciones de su
enunciado y, después, encontrar la solución del problema mediante
la resolución del sistema. Ejemplo:
1. Las edades de un padre y su hija suman 77 años. Dentro de
2 años el padre tendrá el doble de la edad de su hija. ¿Qué edades
tienen ahora?. Solución:
llamaremos a la edad del padre x; y a la edad de la hija y, en la
actualidad.
ahora Dentro de 2 años
Padre x x+2
hija y y+2
Las ecuaciones serían:
x + y = 77  x + y = 77  x + y = 77 
  
x + 2 = 2( y + 2)  x + 2 = 2 y + 4  x − 2 y = 2 
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Podemos resolverlo por cualquier método. Por ejemplo por
sustitución:
x + y = 77  x = 77 − y 
→  → (77 − y ) − 2 y = 2
x − 2 y = 2 x − 2 y = 2
77 − y − 2 y = 2
77 − 2 = y + 2 y
75 = 3 y
75
y= = 25, sustituyendo
3
x = 77 − y → x = 77 − 25 = 52
Solución: el padre tiene 52 años y la hija 25 años.
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