1. Interpolación Polinómica
Un problema de interpolación
Interpolación lineal y cuadrática
Forma normal del polinomio de interpolación.
Forma de Lagrange.
Forma de Newton.
Tabla de diferencias divididas
Evaluación y error del polinomio de interpolación
Conclusiones y alternativas

3. Hora 6 8 10 12 14 16 18 20
Grados 7 9 12 18 21 19 15 10
Un problema de interpolación
Evolución de la temperatura diurna
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Grados

4. a0 + 12a1 = 18
a0 + 14a1 = 21
a0 + a1x0 = y0
a0 + a1x1 = y1
P1(x) = a0 + a1x
Interpolación lineal
Recta que pasa por los
puntos (x0,y0) y
(x1,y1)
5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados

5. 1 10 100
1 12 144
1 14 196
a
a
a
12
18
21
0
1
2































a0 + a1x0 + a2x0
2
= y0
a0 + a1x1 + a2x1
2
= y1
a0 + a1x2 + a2x2
2
= y2
Interpolación cuadrática
P2(x) = a0 + a1x + a2x2
5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados
Polinomio de grado2
X=10:2:14
Y=[12 18 21]'
A=vander(X)
cond(A)
p=AY
polyval(p,X)
x=5:0.1:22;
y=polyval(p,x);
plot(x,y)

6. Desplazamiento del origen
P2(x) = b0 + b1(xx1) + b2(xx1)2
P2(x) = 18 + 9/4(x12)  3/8(x12)2
A=[4 -2;4 2]; c=[-6,3]';
» cond(A)
» p=(Ac)
» p=[p' 18]; polyval(p,X-12)

























3
6
4
2
4
2
2
1
b
b

7. Pn(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ··· + anxn
Forma normal del polinomio de
interpolación


Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0,y0),..., (xn,yn),
existe un único polinomio de grado no superior a n tal que
P(xi) = yi, i=1,2,...,n
1 x x x
x x x
x x x
x x x
a
a
a
a
y
y
y
y
0 0
2
0
n-1
1 1
2
1
n-1
2 2
2
2
n-1
n n
2
n
n-1
0
1
2
n
0
1
2
n



    

 
1
1
1


















































8. Forma de Lagrange del
polinomio de interpolación
Polinomios de Lagrange
Existencia del polinomio de interpolación.
Lin ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
i i n
i i i i i i n

   
   
 
 
0 1 1
0 1 1
 
 
Pn(x) = y0 L0n(x) + y1 L1n(x) + y2 L2n(x) + ···+ yn Lnn(x)

9. Pn(x0) = y0 = c0
Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1x0)
Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2x0) + c2(x2x0)(x2x1)
Determinación algebraica
Ventajas
El sistema es triangular
Permite añadir nuevos puntos sin rehacer todos los cálculos.
Forma de Newton del
polinomio de interpolación
Pn(x) = c0 + c1(xx0) + c2(xx0)(xx1) +    +
   + cn(xx0)(xx1)    (xxn-1)

10. Tabla de diferencias divididas
c0 = f[x0] = y0
 
   
c = f x ,x
y c
x x
f x f x
x x
1 0 1
1 0
1 0
1 0
1 0






     
f x ,x
f x x f x x
x x
0 1
1 2 0 1
2 0
,
, ,
x2 


 
   
f x ,x
f x x f x x
x x
0 1
1 2 0 1
k 0
,
, , , ,

 
x
x x
k
k k



1

11. Tabla de diferencias divididas
y f x
y f x f x x
y f x f x x f x x x
y f x f x x f x x x f x x x x
0 0
1 1 0 1
2 2 1 2 0 1 2
3 3 2 3 1 2 3 0 1 2 3




[ ]
[ ] [ , ]
[ ] [ , ] [ , , ]
[ ] [ , ] [ , , ] [ , , , ]
   
12 18
14 21 1.5000
10 12 2.2500 -0.3750
16 19 1.1667 -0.5417 -0.0417

12. Evaluación del polinomio de
interpolación
Pn(x) = c0+
c1(xx0) +
c2(xx0)(xx1) +
+  
+ cn(xx0)(xx1)  (xxn-1) =
= (((cn(xx n-1)
+ cn-1)(xx n-2)
+ cn-2)(xx n-3)
+   
+ c1)(xx0)
+ c0

13. Error de interpolación
f(x) P (x)
f ( )
(n 1)!
(x x )(x x ) (x x )
n
(n 1)
0 1 n
 

  



 
f x , x , x x
f ( )
(n 1)!
0 1 n n+1
(n 1)
, , 




14. Conclusiones
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar
valores de una función tabulada, en las abscisas que no
aparecen en la tabla.
El aumento de grado no siempre mejora la aproximación.
El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.
Alternativas
 Método de Mínimos Cuadrados
 Interpolación polinómica segmentaria. Splines