trabajo

1. ESTA©^STICA ESPAÑOLA
Núms. 112-113, 1986, p^gs. 45 a 58
Sobre la utilización de la matriz inversa de
Leontief en economías abiertas
por FERNANDO DEL CASTILLO CUERVO-ARANGO,
J 4SE MARIA MARTI N EZ GAL6ETE
Instituto Vasco de Estadistica
RESUMEN
El objetivo de este articulo consiste en demostrar la imposibi-
lidad de utilizar la matriz inversa de Leontief, basada en coefi-
cientes técnicos, en el momento en que exista comercio interin-
dustrial con el exterior (resto del mundo). Los coeficientes útiles
en el análisis son en realidad los internos o las aproximaciones a
los totales a partir de depurar la matriz ^ie coeficientes técnicos
de importaciones complementarias. Por todo ello la estabilidad
en el tiempo y en el espacio del modelo sufre menoscabo, lo que
le debilita como instrumento en proyecciones, simulaciones o
análisis de impactos.
Yalabras clave: M odelo Input-Output, Estabilidad de los coeficientes, Análi-
sis de impactos, Formulación del modelo, Importaciones complernenta-
rias, Multiplicadores.
En los cincuenta años que lleva funcionando el rnodelo de Leontief en la
ciencia económica, muchas han sido las críticas efectuadas asi como las me-
joras introducidas, aunque esencialmente el modelo apenas haya variado del
dehnido en 1^41. Las ventajas principales del método consisten en su senci-
llez y sus posibilidades emplricas, que a su vez se tornan en sus mayores
inconvenientes.

2. E.STADtSTICA ESP'A!'`1ULA
Continuamente se ha cuestionado tanto la validez de los supuestos como
la representatividad del sistema. Si bien las constantes aplicaciones en todos
los campos, durante ya muchos años, dan fe de su papel de herramienta de
trabajo fundamental para el economista actual.
En esencia la cuestión es muy simple. EI métado de Leontief es una po-
tente ayuda al análisis económico, especialmente si se necesita un modelb
sectorial rnuy desagregado, pero todo usuario deb^e conocer suficientemente
sus limitacianes si intenta obtener a partir de él conclusiones válidas. A me-
nudo se observa que hay economistas que pretenden sacar más partido al
método del que en realidad puede ofrecer, cayendo en la tentación de con-
vertirlo en panacea en los estudios interindustriales.
No se trata aqui de entrar en la crítica de las múltiples supuestos de par-
tida, su proporcionalidad y linealidad, las distorsiones que se derivan de la
agregación o de la valoración, o en los problemas y deficiencias que se cons-
tatan a la hora de elaborar una tabla input-output, base estadistica del mo-
delo. Tan sólo se va a centrar este articulo en los peligros que se corre al
utilizar la matriz inversa elaborada a base de los coe^cientes tecnológicos
para estudias tales como los de interrelaciones, impactos, multiplicadores, si-
mulaciones y demás clásicas explotaciones input-out put.
1. EL MODELO EN ECONOMIAS CERRADAS
Es el modelo al que en realidad se acude para explicar el método. Al
tratarsé de economías cerradas se supone que no existe comercio exterior, lo
cual nunca es exacto a no ser que se ref era a la economía mundial, y tiene
sobre todo una intencionalidad pedagógica,
De esta forma, partiendo de una tabla input-output se llega a las siguien-
tes identidades por filas y rama a rama:
xi l +x12 +... +xin +DF'1 = X 1
x21 +x2^+..,+x2„+DF2=Xz
............................ ..
x„^ +x„2+...+x„„+DF„=X„
cuyas notaciones son las usuales (*).
De^niendo el coeficiente técnico como se hace normalmente, es decir,
* A veces la c^emanda final, aquí denatada como D^', se suele representar por Y A1 final del
artículo se detallan las n^taciones utilizacias.

3. SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LA MATR12 INVERSA DE LEO[YTIEF EN ECONOMIAS ABIERTAS 47
una fracción constante y estrictamente proporcional de la producción de la
rama productiva. se tiene que:
x;;
a`' X
^
y sustituyendo en (1):
ai^ X i+c^12 X2+...+a1„ Xn+DFi =X 1
Q 2 1 .X 1 -i- CI 2 2 X 2 -i- ...-i- C12 n X n + D F^= X 2s s • • • . • • • • • • r • • • • • . . . • . . • . . • • . • . . • • • • • • • • e •
Q^1 X 1+Q^Z X^2+...+Clnn X^+'^.Fn"xn
que en forma matricial resulta:
AJ^+DF=X
despejando el vector de producciones X:
(I ---A)X --DF
X = (I - A) ^ 1 DF
(2)
(3)
(4)
(5)
(6}
La ecuación (6) es la relación fundamental del modelo input-output en su
versión estática, según la cual la producción de cada rama productiva de-
pende de un nivel determinado de la demanda final.
2. EL MODEL+O EN ECONOMIAS ABIERTAS
La consideración del comercio exterior introduce en el modelo las impor-
taciones, al igual que las exportaciones, aunque su papel es más marginal,
Según estb, la tabla input-output resultante hace aparecer una parte de
las importaciones en la matriz interindustrial por tratarse de productos in-
termedios necesarios para la actividad productiva que se desarrolla en ese
país o región, y el resto de las irnportaciones, que forzosamente serán bienes
finales, así como las exportaciones en la matriz de demanda flnal. General-
mente la tabla suele separar los flujos en filas distintas según sean internos o
importaciones. En deflnitiva, cualquier tabla input-output no es más que la
superposición de dos tablas, una con claro contenido interno y la otra exter-
no, dando por adición una tabla de recursos totales. De aquí que se pueden
elaborar identidades contables del modelo para, por ejemplo, dos sistemas
distintos: el interno y el total.

4. aH
2.1. Mclúelv intE^rnc^
ESTADfSTiCA E5PAÑC^LA
Surge de la consideración exclusiva de las relaciones internas de la eco-
nomía sin tener en cuenta las importaciones. Las exportaciones se incluyen
ya que se trata de producción interna no utilizada en el interior, por lo que
se contabiliza en la demanda final sin considerar la naturaleza de los bienes
exp^ortados (bienes finales o intermedios).
De este modo, sumando para cada rama por filas en la tabla input-out-
put interna resulta:
^c ;^ +x 12-+-...+x ñ +DF^=X ^
.x ^^"1 +x ^^'^+...+x ^„+DF ^v=X2
x ^,;, +xñz-^-...+_Y „+DFn-Xn
(7)
Para seguir desarrollando el modelo ya no es posible utilizar el coeficien-
te técnico, definido en (2^, puesto que los imputs relevantes son los naciona-
les (x ^; ). Por tanto se necesita definir un nuevo coeficiente de naturaleza in-
terior que ligue la producción con las necesidades de inputs intermedios in-
ternos:
X N
^ ^ - -----
X^
Es evidente que este coeficiente ya no tiene un carácter tecnológico, con lo
que su estabilidad sufre menoscabo.
Como se puede observar:
u^j-
X;^ XN+^Cl^
N (9)X - U ^^ + mi^
^
C1^^U^j-i'1'ttj
Para considerar estable este coeficiente interno, además de aceptar todos
los supuestos del modelo, que permite 1a estabilidad de1 coeficiente técnico,
es necesario suponer también estable la relación de inputs importados sobre
producción. Aceptando esta nueva restricción, el modelo se desarrolla de
manera similar a1 caso cerrado. Sustituyendo u N en las identidades de (7).
u^^`1 X 1-^- tx ^2 X 2-^- ... -^- u í^n X„+ D F^= X 1
u^, X,+u^2 X2 +...+u^„X„ +DF^= X 2
... ....... ..................... .. ...
Llñl X 1 +C1^2X2^ ...+uñ X„+DFñ=X„
(10}

5. SOB^tE LA U77L1ZACIÓN DE i.A MATRIZ [NVERSA DE LEONTT£F EN ECUNOMÍAS ABIERTAS 49
que en forma matricial
A"X+DF^^'=X
X=(1-- A"' )^ ^ D F^^'
Es decir, el modelo interno hace depender la producción del nivel de de-
manda final de origen interno o nacional a través de unos parámetros que
resultan de invertir la matriz (1-- A"), matriz que sólo contabiliza valores
nacionales.
La utilización de este modelo en estudios ex-post estructurales na ofrece
demasiados problemas ya que muestra una relación que se ha dado efectiva-
mente en la realidad. La única restricción es que los aspectos que mide son
internos; pero incluso puede también incorporar estudio^ sobre los efectos al
exterior mediante el análisis de los requerimientos de importaciones por uni-
dad de demanda flna1. Naturalmente, todos estos estudios son parciales pues
nada dicen sobre los efectos multiplicadores que se crean en el exterior debi-
do a las importaciones realizadas.
Es más problemático utilizar este modelo para estudios de impacto, si-
mulaciones, o cualquier otro análisis ex-ante o que suponga algún tipo de
proyección y por tanto requiera estabilidad en sus coeficientes. Suponer que
se van a mantener estables las relaciones de inputs importados sobre produc-
ción es una hipótesis excesivamente fuerte y un estudio de esta naturaleza só-
lo permitiría ligeras aproximaciones que habria que tomar con reservas.
Igualrnente hay que señalar que la demanda final que considera el modelo es
la interna, por lo que cualquier simulación necesitaría estimar previamente
qué parte de la demanda fínal debe importarse.
Con todo, el modelo interno, a pesar de sus limitaciones, resulta el ade`
cuado para analizar la estructura interna de una economía, es decir, para
descubrir el entramado de flujos existentes entre sus sectores productivos y,
por tanto, es aplicable en estudios de tipologías sectoriales, jerarquización,
complejos industriales o niveles de interdependencia globales de la economía.
Sin embargo, no es aconsejable para otros tipos de análisis.
2.2. E1 modelí^ bc^sado en vulores totules
En este caso se consideran los flujos completos intersectoriales, ya pro-
vengan del interior o bien sean importados. Así pues, los equilibrios conta-
bles por filas se refieren al total del output o empleos, es decir, la produc-
ción más las importaciones de productos equivalentes.

6. SU ESTAD^STiCA ESPAÑULA
Su desarrallo formal seria el siguiente:
x^, +x1z+...+ x,,,+DF, =X, +M,
xZl + x22+...+x2„+DF2=X 2+M2
................................ ..
x„, +xñ2+...+X„„+DF„ =X„+M„
En este sistema sí es posible utilizar el coeficiente técnico verdadero a^; .
Introduciéndole en (12}:
Q, 1 X í+'C1,2 X Z+...+U,„X„=X 1+M1
U2i X 1 -}-UZ2X2+-...+aZnX„^X^+M2
.........................................
CI„, X 1+U„^Xz+...+GI^„^n=r^n+.M„
que en forma matricial resulta:
AX+DF=X+11r1 (^4)
(1-- A) X -= DF - M (15)
X = (1- A) - ' ( DF' - M) (16)
En este caso el sistema relaciona el nivel de producción con la demanda
hnal neta de importaciones totales tanto intermedias como hnales pero
adolece de dos incoherencias importantes:
a) E1 vector (DF - M) puede tener entre sus valores algunas con signo
negativo, lo cual origina un problema de interpretación económica ya que se
puede entender que ante incrementos de la demanda final la resultante pue-
da ser una producción negativa.
b) Las importaciones representadas por M incluyen tanto las realizadas
para cubrir directamente la demanda hnal como las intermedías, necesarias
para la praducción. Es lógico aceptar que las primeras son un elemento exó-
geno al modelo; pero no ocurre lo mismo can las importaciones de bienes
intermedios cuyo nivel depende del nivel de producción. En otras palabras,
la matriz inversa de Leontief total no indica el incremento de producción
ante incrementos unitarios de la demanda final ya que hay una parte de M
que varía en función de la producción, es decir que
L1 M_ ^ ^
11DF
Así pues, el total de importaciones se puede dividir en dos partes: una
endógena al rnodelo (M ^) de productos intermedios cuyo nivel viene deter-

7. SOBRE LA ili1LIZACI(5N DE LA MATRIZ INVEI!ZSA DE LEON'TiEF EN ECONOMtA5 ABIERTAS S^
minado por el de producción y la otra exógena al modelo fM F) que recoge
las importaciones destinadas a la demanda final. Es decir:
11^I = M^+ M^
Al quedar M^ determinada por la producción:
M F= [rn^; ] X
(17)
{ 18)
Es fácil determinar que [m^;] es una matriz n x n cuyos elementos quedan
de^nidos por:
x,^;
m i., - ^
^
Es decir los elementos que se deberian mantener constantes para aceptar
la estabilidad del modelo interno.
Sustituyendo { 17) y(18) en (14) resulta:
AX + DF= X +M^^+ [mi;] X (19)
y desarrollando:
(1-A+[m^,])X -- D1^,-MF.
X = {1- (A - Cm^; ])) -' (DF - M ^^)
Es inmediato el ver que:
A-[m^;]=A"
DF- MF^= DF"
Con lo que se llega a que:
X = (I - A ") -' DF N
Que es la expresión { 11) del modelo interno. Es decir, el desarrollo de las
identidades del modelo indica que si no se realizan supuestos adicionales,
para determinar la relación entre producción y nivel de demanda linal los
únicos coeficientes rigurosamente utilizables son los interiores. Estos cae^-
cientes no tienen una clara signi^cación tecnológica pero sí relacionan co-
rrectamente las variables del modelo.
Llegados a este punto hay que plantearse el signi^cado de la inversa de

8. 52 ESTAD^S"TICA ESPAIVOLA
Leontief basada en coef2cientes totales. Para ello retomando el modelo a
partir de (19) y despejando el segundo miembro del modelo clásico
(1 _ A)-' DF; y dado que [m;;] .X^ = ME.
X=( I-- r4 )-'( DF -- M E-- M F^)
(1-A)-' D,F=X +(1-.4)^' ME+(1--A)'' MF^
(21)
Es decir, los parámetros de la matriz inversa total de Leontief valoran,
ante cambios unitarios de la demanda hnal:
El incremento habido en la producción.
Más el incremento de producción en el exterior de Ias importaciones
intermedias, considerando que las economias extranjeras poseen las mismas
estructuras de coste que las nacionales.
Más el incremento de producción creado en el exterior debido a las
importaciones de bienes finales suponiendo, igualmente, que la estructura de
costes es idéntica que en el interior.
Según esto, y ciñéndonos a análisis input-output clá.sicos, los estudios de
tipo descriptivo de la estructura productíva y sus relaciones internas se ana-
lizan a través del modelo interior. La matriz inversa total debe valorar, en
principio, las relaciones totales que se crean en todas las economías relacio-
nadas con la que se estudia y pretende dar una visión estructural y tecnoló-
gica de las relaciones directas e indirectas de cada rama con todas las de-
más, independientemente de donde se sitúen geográficamente, sin embargo,
la información disponible se refiere exclusivamente a la estructura costes sec-
toriales de la economía que se investiga. El modelo, en estas condiciones,
aplica la estructura de costes internos a las importaciones, o dicho de otro
modo, supone idéntica tecnología en todas las economias relacionadas.
En principio esta hipótesis no es realista, hecho comprobado en estudios
empiricos. Por otro lado, incluso teóricamente, el hecho de importar ciertos
bienes parece suponer que en ellos se da algo distinto que no está presente
en la estructura de producción interna, ya sea porque ese producto no exista
y por tanto la tabla no puede representar su estructura de costes o por-
que otra estructura permite mejores precios que hacen más competitivo al
producto o porque la producción interna es insuficiente. En los dos primeros
casos e incluso muy probablemente en el tercero, la información de que se
dispone no es válida para representar la estructura de costes de las importa-
ciones.
Pero aunque este supuesto es una restricción importante para la utiliza-
ción de la matriz inversa total en los estudios de estructura pr©ductiva, exis-
te otra limitación mucho mayor, que incluso cuestiona la validez del simple
cálculo de la matriz inversa. La cuestión se refiere a que si bien en teoria el

9. S^C)^BRE LA U'i'ILCZ.ACi6N DE LA MATRIZ INVERSA DE LEONTIEF EN ECONOMÍAS ABIERTAS S3
modelo relaciona estructura de costes de cada producto, cualquier tabla re-
quiere una agregación de bienes en rnayor o menor medida formando un
conglomerado de empresas que producen mercancías convencionalmente si-
milares, que es lo que se Ilama rama productiva. La información que afrece
la tabla sobre estructura de costes se ref ere a la rama y no es más que una
media ponderada de las estructuras de costes de cada producto incluido y
elaborado por las unidades económicas agregadas en la rama.
Formalmente, haciendo el supuesto de que una rama agrupa exclusiva-
mente dos productos con estructura de costes diferentes, el coeficiente técni-
co de cada producto será:
xi, ^ x^,z
ac. ^--^ _ y a;, 2- X--_
1 2
y el de Ia rama:
_xi,1+2 x i,1 +`xi,2 ai,1 X1+Ui,2X2
ai,l +2- X1+2
, ^1 ^X2 ._`
Ji,i ^.^2
Es decír:
a^ + -a^ X1 +a^ X2 -i.^ 2 `,' X1 +x2 !'z X1 +X2
Lo que indica que el coeficiente técnico de la rama es la media de los
coeficientes técnicos de cada producto agregado ponderada por la participa-
ción en la producción de la rama de cada uno.
Si se utiliza la matriz inversa total y por tanto la matriz de coehcientes
técnico totales, es obligado que la proporción en valor de producción de ca-
da producto incluido en la rama sea idéntica en la economía estudiada y en
el resto del mundo. Es decir, para que el modelo sea aplicable, además de la
hipótesis de idéntica tecnológica es necesario suponer que la proporción de
productos incluidos en cada rama y los importados equivalentes sea también
idéntica, lo cual es totalmente improbable.
Un ejemplo extremo, pero presente en todas las tablas de España, es
muy ilustrativo de la incoherencia que se comete al calcular la matriz inver-
sa total con estos supuestos. Algunas de las actividades que se suelen agre-
gar en las Tablas Input-Dutput españolas, tanto nacional como regional-
mente, son la prospección, extracción y refino de petróleo; salvo una mínima
cantidad, la rama resultante relaciona la estructura de costes del refinado,
cuyo input principal es el crudo de petróleo importado en su rnayoría

10. ESTADÍSTICA ESPAÑC)LA
y que en este caso aparece, por tanta, en el reemplea. De utilizarse la matriz
inversa total, el modelo, al calcular tos efectos indirectos (debidos al crudo),
aplica la estcuctura de inputs del refino al propio crudo, creando un bucle
en el reempleo totaimente incoherente, y dando unos resultados distorsiona-
dos y falsos. Lo que acurre en este caso es que en la estructura de costes
interna la p^roparción de refino es mucho mayor que la del crudo de petró-
leo y, sin embargo, la irnportación es básicamente de crudo, que tiene una
estructura diametralmente diferente. El modelo utiliza los coeficientes medios
internos ^sesgados hacia el refino) para calcular el arrastre indirecto que
crearía el crudo. Este es un ejemplo rnuy extremo, pero la distorsión existe
en todas las importacianes intermedias en mayor o menor medida.
En definitiva, en estudios empiricos donde la estructura de costes secto-
rial es una agregación de varios productos, la utilizaci©n de la matriz inver-
sa totai, sin madificaciones, no está justificada. Sólo es posible superar las
limitaciones de este enfaque si se dispone de un modelo multinacional (y
rnultírregianal en su caso) y aún asi siempre existirán estructuras de costes
no representadas. Cuando se dispone exclusivamente de una tabla nacional
o regional,, en estudios de estructura productiva es preferible limitarse a in-
vestigar la estructura interior a partir del modelo interno y las ligazones con
el exterior a partir de las necesidades de importación por unidad de deman-
da final. Otra alternativa sería renunciar a considerar los efectos indirectos y
utili2ar la matriz de coeficientes técnicas en lugar de la inversa, lo que per-
mite analizar relacYOnes sectoriales técnicas de forma válida.
En los estudios de impactos y proyecciones la problemática es ligeramen-
te diferente. Se puede estar interesado en calcular los efectos totales que se
producirian en el mundo ante incrementas de demandas finales de una eco-
nomia concreta. Este cálcula no es posible disponiendo de una sala tabla, ya
que además de todos los supuestos del madelo, poco reales para estudios ex-
ante, son también relevantes las restricciones señaladas anteriormente. Sin
embarga, es factible pensar en utilizar ía matriz inversa total en el cá,lculo de
efectos cuando se hace el supuesto adicional de que el incrementa de pro-
ducción debida a variaciones en la demanda final se cubre íntegramente con
producción interiar. En esencia se trata del tema clá.sico de sustitucíón de
importaciones, y el modelo permite calcular un valor potencial, si todos los
arrastres se quedan en ei interior. Se trata de un supuesto poco realista, pero
a1 menos aporta una valoración del efecto máximo o impacto potencial, que
unido a un valor medio, que se consigue a través del modelo interno --es
decir, suponiendo que el porcentaje de inputs importados permanece cons-
tante enriquece los estudios de impactos y proyecciones. Estos cálculos se-
rian igualmente muy útiles para estudiar la articulación real y potencial de
un sector en 1a economía, lo que significaría una importante ayuda en pro-
gramas de mejora de articulación interna a de medidas para sustitución de
importaciones.

11. S4BRE l.A UT[LIZACtÓN DE LA MATRIZ INVERSa DE LEONTIEF EN ECUNOMfAS ABIERTAS 55
Incluso en estos casos, la matriz inversa total no es utilizable, pues a na-
die se le escapa que existen bienes que en ningún caso se pueden producir
en el interior, como son ejemplo claro los recursos naturales, si la economía
no dispone de ellos.
Par tanto, es necesario depurar previamente la matriz de coeficientes téc-
nicos de las importaciones denorninadas complementarias. La matriz resul-
tante A* estaría formada par filas de A en aquellos productos sustitutivos y
de A" en en aquellos complementarios. La inversa (1-- A*) -1 daría infarma-
ción sobre el impacto potencial en la economía ante variaciones unitarias de
la demanda flnal si existe sustitución total de importaciones sustitutivas. La
comparación entre (1- A* )-^ y(1- A") ^ 1 permite el estudio de lás desarti-
culaciones evitables y de las ramas que debieran especialmente sustituir im-
portaciones.
Con todo, conviene reflexionar sobre qué tipo de importaciones se pue-
den considerar complementarias y cuáles sustitutivas. Su significado parece
claro pero no resulta tan fácil asignar cada producto importado a uno u
otro grupo; ambos conceptos se sitúan en extremos y la mayoría de los pro-
ductos importados se ubican entre ellos.
En primer lugar hay productas que son tipicamente complementarios; se
trata sobre todo de praductos naturales, de índole agrícola y minera, cuya
presencia es imprescindible en los procesos productivos y de las que se care-
ce en el espacio económico considerado. Ejemplos son el crudo de petróleo,
el café, minerales, etc.
En el otro extremo se sitúan las producciones que se elaboran en el inte-
rior con la misrna estructura y tecnología. Las importaciones de estos bienes
se consideran sustitutivas; sin embargo, hay que analizar detalladamente las
productos, ya que lo que a primera vista puede parecer sustitutivo puede ser
también complementario.
Por ejemplo, la calidad exigida en un proceso productivo puede hacer
que un mismo producto (como algún tipo de acero) se elabore dentro de las
fronteras y a la vez se importe en base a su diferente calidad. En realidad
esta importación seria complementaria aunque el fenómeno de la agregación
puede velar su verdadero carácter.
Igualmente se debe considerar que el proceso de fragmentación del mer-
cado mediante el marketing y la marca comercial hace que productos que a
primera vista parecen sustitutivos adquieran un cierto tinte de complementa-
riedad. Este hecho se observa en una gran proporción de bienes finales, y
gradualmente va haciendo su aparición en bienes intermedios.
Aún en el caso de que los productos internos y externos fuesen de la
misma naturaleza, calidad y marca, puede haber diferencias en precios, cos-

12. Sb ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
tes de los factores, etc. Así pues, el ejem^^lo de importación sustitutivo puro
es dificil de encontrar, aún cuando existen productos que se acercan mucho
más a este concepto que al de complementario.
Todos estos elementos indican que hay que actuar con cautela cuando se
pretenda crear una matriz de impactos potenciales, A pesar de ello y con
ciertas reservas, la elaboración y estudio de matrices de impactos bajo diver-
sas hipótesis de suscitución de importaciones son útiles en el análisis input-
output y perrniten situar cotas superiores en las proyecciones.
3. C'ONCLUSI(JNES
En la actualidad es muy común la publicación de la matriz inversa total
al editar unas Tablas Input-Output. Se ha pretendido a lo largo de este arti-
culo demostrar que la utilidad de esta matriz es nula y que puede inducir a
error a cualquier usuario. En cualquier caso es una fuente de confusión e
incoherencia. Esta conclusión debe ser evidente para cualquier persona que
haya profundizado en los elementos de análisis input-output, aunque es de
temer que haya estudios basados en tablas que no hayan tenido en cuenta
estas limitaciones.
En realidad los supuestos del modelo de Leontief, como los de casi todas
las herramientas de análisis económico, son útiles y se cumplen con bastante
rigor cuando se realizan estudios ex-post, pero son deficientes cuando se tra-
ta de realizar proyecciones, simulaciones o cualquier análisis ex-ante. A pe-
sar de ello, en favor del análisis input-output está el hecho de considerar la
desagregación sectorial y las relaciones intersectoriales como elementos rele-
vantes del sistema, sumados a los más clásicos de los inputs primarios {capi-
tal y trabajo) que en otros análisis de estructura productiva son los únicos
cansiderados.
NOTACICJN UTILIZADA
a} Matrices y vectores
X = vector de producciones sectoriales (n x l).
I= matriz identidad (n x n).
A = Matriz de coeficientes técnicos totales (n x n).
DF= vector de demanda hnal total (n x 1).
A^'-- rnatriz de coeficientes internos (n x n).
DF ^= vector de demanda finai de origen interno (n x 1).

13. SOBRE^ I.A LI'1'[1.17A^`I(")N UE: L.A MATRI7_ lNVERSA DE L.FC)NTIEF f^N F:C^C.)N(7M^AS ABIFRTAS 57
1^1- vector de importaciones equivalentes tutales (n x 1).
M^^ = vector de importaciones int^:rmedias (n x 1).
M^-- vector de importaciones de bienes para la dernanda final {n x 1).
[m;^] = matriz de coeficientes de importación intermedia (n X il ).
A*= matriz de coellcientes técnicos depurada de importaciones com-
plementarias (n x n).
b) Elemer^tos
n= número de sectores considerados. ^
x; f-- compras intermedias totales del sector j al i.
X; = producción del sector j.
. _^ ^,
u;; = coeficiente técn^co total - '-- •
X^
DF; = demanda final total del sector i.
X;; - compras intermedias del sector ^ al i de origen interno.
XN
u,^' = coeficiente interno --'-'
X^
_x^; = compras intermedias del sector j al i de origen externo (Importa-
ciones intermedias).
M^ = importaciones equivalentes totales del sector i.
M;f^ = importaciones intermedias del sector i.
M t^^ importaciones finales de productos del sector i.
.^c^-^
m;^; = coeficientes de importación intermedia ---^^
X^
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Espuñolu, 41, 21-d0.
SCJ M MARY
ON THE USE OF THE LEONTIEF IN^ERSE MATRIX IN
OPEN ECONOMIES
The main object of this article is to demonstrate the imposibi-
lity of using the Leontief inverse matrix, which is elaborated in
base of the technical coef^icients, when there is an interindustrial
trade relationship with the rest of the world.
The useful coefficients in the analysis really are the internal
coefficients or the approach ta the total coefricients obtained from
the technical coefficients matrix of complementary imports.
As result, the model estability in time and space decreases,
which impaires it as an instrument in projections, simulations or
impact analysis.
Key wor^s•: Input-Output model, Coefficients stability, Impacts analysis,
Complernentary imports, Multipliers.
AMS 1980 Subject classification: 90 A 17.