Planificación de la producción

Planificación de la Producción
1. Introducción
2. Modelos lineales de planificación
3. Modelos con costes fijos y
variables
4. Planificación jerarquizada

1. Introducción
La planificación de la Producción consiste en la descripción
de las cantidades a producir en cada uno de los períodos
de tiempo, de forma que no se vulneren las limitaciones de
capacidad de las instalaciones y se disponga de suficientes
productos para satisfacer la demanda de los mismos
Elementos de los planes de producción:
 Horizonte de planificación
 Capacidad de producción instalada
 Tasa de producción
 Stocks

1. Introducción
Características de la Planificación de la Producción:
Objetivo → responder a la demanda
Criterio de economía → minimizar costes totales
Nivel de decisión → agregado
Consideraciones generales:
1. En el horizonte de planificación, la capacidad instalada se supone
básicamente constante y los planes de producción han de respetarla
2. Los pedidos deben satisfacerse sin retraso, por lo que no deben
planificarse situaciones en las que existan pedidos pendientes por
no haber suficientes unidades disponibles de producto

1. Introducción
EJEMPL
O
Mes (t) Demanda (Dt) Días
1 183 21
2 161 19
3 104 20
4 74 12
5 164 21
6 231 19
7 249 14
8 139 12
9 50 20
10 91 21
11 149 21
12 255 16
1850 216
Inventario Inicial (I0) = 30
Inventario Final (I12) = 0
Mes
(t
)
Demanda efectiva
(dt)
Día
s
Dem.
Acum.
Días
Acum
.
1 153 21 153 21
2 161 19 314 40
3 104 20 418 60
4 74 12 492 72
5 164 21 656 93
6 231 19 887 112
7 249 14 1136 126
8 139 12 1275 138
9 50 20 1325 158
10 91 21 1416 179
11 149 21 1565 200
12 255 16 1820 216
1820 216

1. Introducción
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
21 40 60 72 93 112 126 138 158 179 200 216
Dias
DemandaEfectiva

1. Introducción
Tasa Prod. Diaria=1820/216=8.43
Tasas Prod. Diaria=
(1) 1275/138=9.24
(2) (1820-1275)/(216-138)=6.99
T.P. 1 T.P. 2
Mes (t) Tasa Prod. (Xt) Prod. Acum. Stocks Tasa Prod. (Xt) Prod. Acum. Stocks
1 177 177 24 194 194 41
2 160 337 23 176 370 56
3 169 506 88 185 554 136
4 101 607 115 111 665 173
5 177 784 128 194 859 203
6 160 944 57 176 1035 148
7 118 1062 -74 129 1164 28
8 101 1163 -112 111 1275 0
9 169 1331 6 140 1415 90
10 177 1508 92 147 1561 145
11 177 1685 120 147 1708 143
12 135 1820 0 112 1820 0
652 1164

1. Introducción
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
21 40 60 72 93 112 126 138 158 179 200 216
Dias
Produccion

1. Introducción
DATOS:
• Coste unitario de producción: c=90 €/unid
• Coste unitario de mantenimiento: h=24 €/unid·año
• Coste unitario de cambio de tasa: s=700 €/cambio
• Coste unitario de retraso: B=12 €/unid retrasada
ALTERNATIVAS ESTUDIADAS:
T.P.1 (tasa constante):
CT = 90 · 1820 + 24 · (652 / 12) + 700 · 0 + 12 · 186 = 163800 + 3543 €/año
T.P.2 (tasa variable):
CT = 90 · 1820 + 24 · (1073 / 12) + 700 · 2 + 12 · 0 = 163800 + 3727 €/año
Se elige el primer plan de producción

1. Introducción
Costes de Planificación
Costes de Producción
Costes de Mantenimiento de Stocks
Costes de Ruptura de Stocks
Costes de la Variación de la Capacidad
Costes de la Variación de la Tasa de Producción
Costes de Mano de Obra
Consideraciones sobre los Costes
Difícil acceso a datos de costes en las empresas: sólo costes fijos y
variables a nivel contable; diferente a costes incrementales del plan
Costes marginales (por unidad de producto fabricado y almacenado)
se representan como costes lineales respecto a producción y stock
Costes de preparación al iniciar series son no lineales; se han de
considerar si superan el 10% de los costes totales
Si se trabaja al límite de la capacidad, los costes son no lineales

1. Introducción
Modelos de Planificación
Se usan para analizar los diversos planes alternativos de
producción
Consideran todos los planes que satisfacen la demanda prevista
sin sobrepasar la capacidad disponible
El modelo selecciona entre los planes de producción con el criterio
de valoración de los costes relevantes
Elementos de los Modelos de Planificación
Horizonte de planificación
Parámetros: demanda y consumo marginal de capacidad
Variables: tasa de producción
Relaciones: entre producción y demanda; inventarios
Capacidad
Especificaciones: signos de variables

Características:
Todas las relaciones son lineales
Los costes que intervienen son
marginales
El uso de la capacidad es lineal

Modelo 1: Un concepto de producto y una fuente de producción
•Variables
Xt : cantidad a producir en el período t
It : inventario al final del período t
•Parámetros
Dt : demanda a satisfacer en el período t
I0 : inventario inicial en el primer período
IL : inventario al final del horizonte de planificación
•Limitaciones de capacidad
Kt : número máximo de unidades que se pueden producir en el período t
IM : capacidad máxima de almacenamiento entre períodos
•Costes marginales
pt : coste de producir una unidad en el período t
ht : coste de mantener en almacén una unidad durante el período t

Min Σ (ptXt + htIt)
s.a. It-1 + Xt – It = Dt
0 ≤ Xt ≤ Kt para t = 1, 2, ... ,L
0 ≤ It ≤ IM para t = 1, 2, ... ,L
I0,IL fijados
L
t=1

Representación mediante grafo del modelo
Se muestra un nodo por cada período del horizonte
que es un sumidero de las cantidades correspondientes
a su demanda.
Cada uno de ellos está relacionado con un nodo que
es la fuente de producción.
Existen arcos, que ligan los nodos de los períodos, por
los que circula el inventario resultante en cada período
El problema es encontrar un flujo que satisfaga las
limitaciones de circulación por los arcos al mínimo coste

F
1
2
t
L
X1
(k1
, p1
)
X2
(k2
, p2
)
Xt (kt, pt)
XL (kL , pL )
I1
I2
It
IL
D1
D2
Dt
DL
(IM, h1)
(IM, h2)
(IM, ht)
(IM, hL)

Modelo 2: Un concepto de producto y varias fuentes de producción
Intervienen los mismos conceptos de antes más la diversidad que
introduce la consideración de las N fuentes (j = 1,2,...,N) donde se puede
obtener el producto
Sea así:
Xjt : cantidad obtenida en el período t de la fuente j
Kjt : número máximo de unidades que se pueden obtener de la fuente j
en el período t
pjt : coste de obtener una unidad de la fuente j en el período t
SSt : stock de seguridad en t por debajo del cual no queremos situarnos

Min Σ (Σ pjtXjt + htIt)
s.a. It-1 + Σ Xjt – It = Dt t = 1, 2, ... ,L
0 ≤ Xjt ≤ Kjt t = 1, 2, ... ,L
SSt ≤ It ≤ IM t = 1, 2, ... ,L
I0,IL fijados
L
t=1
N
j=1
j

Representación mediante grafo del modelo
Los nodos de la izquierda son fuentes
Los nodos de la derecha son de transbordo, en los
cuales han de quedarse las cantidades Dt
Sobre los arcos que unen los nodos de producción con
los de consumo circula la producción Xjt, y en ellos se
indica la capacidad del arco Kjt, y el coste unitario pjt por
cada unidad que discurre por él
En los arcos que unen nodos sucesivos de consumo
circulan los inventarios It. En ellos se indican tres
cantidades: IM (capacidad de almacenaje), SSt (stock de
seguridad mínimo) y ht (coste unitario de inventario)

1
j
N
1
X11 (k11, p11)
XN1
(kN1
, pN1
)
Xj1 (kj1, pj1)
D1
I1
1
j
N
t
X1t (k1t, p1t)
XNt
(kNt
, pNt
)
Xjt (kjt, pjt)
Dt
It
1
j
N
L-1
X1L-1 (k1L-1, p1L-1)
XNL-1
(kNL-1, pNL-1)
XjL-1 (kjL-1, pjL-1)
DL-1
IL-1
1
j
N
L
X1L (k1L, p1L)
XNL
(kNL
, pNL
)
XjL (kjL, pjL)
Dl
It-1
(IM, SS1, h1)
(IM, SSt, ht)

Modelo con demanda efectiva
dt recoge las necesidades efectivas de producto en cada período
Si en algún período t, el valor de la demanda efectiva saliera
negativo, se hace dt igual a cero; debiendo tenerse en cuenta el
stock resultante (tras satisfacer la demanda) para calcular el valor
de la demanda efectiva del siguiente período
La demanda efectiva del primer período es:
d1 = D1 – I0 + SS1
La demanda efectiva de los períodos intermedios es:
dt = Dt + SSt - SSt-1
La demanda efectiva del último período es:
dL = DL + IL + SSL - SSL-1

Min Σ (Σ pjtXjt + htIt)
s.a. It-1 + Σ Xjt – It = dt t = 1,...,L
0 ≤ Xjt ≤ Kjt j=1,...,N ; t = 1,...,L
0 ≤ It ≤ IMt t = 1,...,L
I0 = IL = 0
L
t=1
N
j=1
J=1
N

EJEMPLO
Datos por período Datos de las fuentes de producción
• Capacidad de almacenamiento: 75 unidades
• Coste de mantenimiento en stock: 8.5 u.m./unidad período
Período Demanda Stock
seguridad
1 174 8
2 118 12
3 257 16
4 310 14
5 212 15
Fuentes Coste
Unitario
Capacida
d
1 14 156
2 21.5 53
3 23 50

Para resolverlo, se opera iterativamente sobre los centros
de consumo, del primero al L, sucesivamente
En cada uno actúan como fuentes las que corresponden a
ese período, y las de los anteriores que puedan emplearse
Los costes unitarios de las producciones están
incrementados en los de mantenimiento cuando proceden de
stocks correspondientes a producciones realizadas en
períodos anteriores al considerado

Período Demanda
efectiva
Per. Fte. Coste Orden Capacida
d en t
Usados
en t
Capacida
d disp.
t+1
Cap.
alm. t+1
1
D1=174
SS1=8
182
11
12
13
14
21.5
23
1
2
3
156
53
50
156
26
---
---
27
40
67
2
D2=118
SS2=12
122
21
22
23
12
13
14
21.5
23
30
31.5
1
2
3
4
5
156
53
50
27
40
122
---
---
---
---
34
29
---
---
---
63
3
D3=257
SS3=16
261
31
32
33
21
22
14
21.5
23
22.5
30
1
2
4
3
5
156
53
50
34
29
156
53
18
34
---
---
---
32
---
27
59
4
D4=310
SS4=14
308
41
42
43
33
22
14
21.5
23
31.5
38.5
1
2
3
4
5
156
53
50
32
27
156
53
50
32
17
---
---
---
---
10
61
5
D5=212
SS5=15
213
51
52
53
22
14
21.5
23
47
1
2
3
4
156
53
50
10
156
53
4
---
---
---
46
10
60

En la tercera columna se indican las fuentes de producción
disponibles
La cuarta columna indica el coste unitario por unidad producida,
incluyendo si es preciso el coste de mantenimiento, asociado a la
correspondiente fuente de la columna anterior
La siguiente columna indica el número que la corresponde en la
ordenación de las fuentes de menor a mayor coste
Las tres siguientes columnas indican la capacidad de producción
disponible, la asignación de la producción y la capacidad no consumida
y que puede ser usada en períodos posteriores
La asignación de la producción a cada fuente se realiza según indique
su número de orden, es decir, desde la más barata hasta que se
satisfaga la demanda del período o se agote la capacidad de producción
en cuyo caso se sigue asignando a la siguiente fuente más barata

•Las 182 unidades demandadas en el primer período se producen a partir de la fuente 1 (156
unidades) y de la fuente 2 (las 26 restantes), quedando agotada la capacidad de la fuente 1
•La capacidad disponible de las fuentes 2 y 3 para períodos futuros son de 27 y 50 unidades
•La capacidad de almacenamiento en el período 1 será la máxima menos el stock de
seguridad del período, es decir, 67 unidades. Por ello la capacidad de producción disponible
para el siguiente período de la fuente 3 será 40 en lugar de 50 ya que si no fuese así podría
ocurrir que la producción al final del período no cabe físicamente en el almacén
•En el segundo período están abiertas las tres fuentes más las del período anterior que
quedaron con capacidad disponible
•A los costes de estas últimas habrá que añadirle el coste de mantenimiento en stock
Plan de producción Inventarios
X11=156 X21=26 X31=0 I1=8
X12=156 X22=17 X32=0 I2=63
X13=156 X23=53 X33=50 I3=65
X14=156 X24=53 X34=50 I4=14
X15=156 X25=53 X35=4 I5=15

Modelo 3: Varias líneas de productos y limitaciones de capacidad
Xit : cantidad obtenida de la línea i en el período t ; siendo i=1,2,...N líneas
de productos y t=1,2,...,L períodos en la planificación
Kt : capacidad disponible en el período t
mi : consumo de capacidad por cada unidad obtenida de la línea i
IMt : inventario máximo permisible en el período t
pjt : coste marginal de producción de una unidad de la línea i en t
Ijt : stock resultante de la línea i a satisfacer en el período t
Djt : demanda de la línea i a satisfacer en el período t
SSit : stock de seguridad de la línea i en el período t
hjt : coste unitario de mantener en stock una unidad de la línea i en t

Min Σ Σ (pitXit + hitIit)
s.a. Xit + Ii,t-1 – Iit = Dit i=1,...,N ; t=1,...,L
Σ miXit ≤ Kt t=1,...,L
Σ Iit ≤ IMt t=1,...,L
Xit ≥ 0 i=1,...,N ; t=1,...,L
Iit ≥ SSit i=1,...,N ; t=1,...,L
L
t=1
N
i=1
N
i=1
N
i=1

Comentarios
Es un modelo completo de programación lineal
Se resuelve mediante algoritmos como el simplex
El término “línea de productos” corresponde al
resultado de agregar un conjunto de productos en un
solo concepto que representa a todos ellos en la
planificación
Para una planificación sobre L períodos, la selección
de N líneas para la planificación da lugar a un modelo
con (N+2)L restricciones, más las acotaciones
inferiores. Intervienen 2NL variables de planificación

3. Modelos con costes fijos y variables
Modelo 1: Modelo sin limitaciones de capacidad
•Variables
Xt : cantidad a producir en el período t
It : inventario al final del período t
•Parámetros
Dt : demanda a satisfacer en el período t
•Costes de producción
p : coste variable por unidad producida
St : coste fijo por iniciar una serie de producción en el período t
ht : coste de mantener en stock una unidad durante el período t
Representando mediante:
1 si X>0
δ(X) =
0 si X=0

Min Σ (St δ(Xt) + htXt)
s.a. It-1 + Xt – It = Dt t = 1, 2, ... ,L
Xt, It ≥ 0 t = 1, 2, ... ,L
I0, IL fijos
L
t=1

Comentarios
Es superfluo incluir los costes marginales de producción ya que
cualquier plan ha de cubrir toda la demanda durante el horizonte L
La cantidad a producir es
Σ Dt + IL – I0
con un coste p por cada unidad
En el plan de producción óptimo sólo se produce en los períodos
que se inician con inventario nulo
Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda
de un número completo de períodos
L
t=1

Método eficiente de resolución
Se resuelve iterativamente para t=1, 2, ..., L
F(t) = min F(j-1) + Sj + Σ hi Σ Dk
Siendo F(0)=0 y los sumatorios en los que el extremo superior es
menor que el inferior son nulos
Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda
de un número completo de períodos
t-1 t
i=j k=i+1

EJEMPLO
Períodos 1 2 3 4 5 6
Demandas 29 14 47 10 60 32
Costes de lanzamiento 40 75 100 50 40 35
Costes de mantenimiento 1 1 1 2 1 1
t=1 F(1) = 40
t=2 F(1) + S2 = 40 + 75 = 115
S1 + h1D2 = 40 + 14 = 54 ← F(2)=54
t=3 F(2) + S3 = 54 + 100 = 154
F(1) + S2 + h2D3 = 40 + 75 + 47 = 162
S1 + h1(D2+ D3) + h2D3 = 40 + (14 + 47) + 47 = 148 ← F(3)=148

t=4 j=4: F(3) + S4 = 148 + 50 = 198
j=3: F(2) + S3 + h3D4 = 54 + 100 + 10 = 164 ← F(4)=164
j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4) + h3D4 = 40 + 75 + 57 + 10 = 182
j=1: S1 + h1(D2+D3 +D4) + h2 (D3+D4) + h3D4 = 40 + 71 + 57 + 10 = 178
t=5 j=5: F(4) + S5 = 164 + 40 = 204 ← F(5)=204
j=4: F(3) + S4 + h4D5 = 148 + 50 + 120 = 318
j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5) + h4D5 = 54 + 100 + 70 + 120 = 344
j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4 + D5) + h3(D4 + D5) + h4D5 = 40 + 75 + 117 + 70 + 120 = 422
j=1: S1+ h1(D2+D3 +D4 +D5)+ h2 (D3+D4 +D5)+ h3(D4 +D5)+ h4D5 = 40+131+117+70+120=478
t=6 j=6: F(5) + S6 = 204 + 35 = 239
j=5: F(4) + S5 + h5D6 = 164 + 40 + 32= 236 ← F(6)=236
j=4: F(3) + S4 + h4(D5+ D6) + h5D6 = 148 + 50 + 184 + 32 = 414
j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5 + D6) + h4(D5 + D6) + h5D6 = 54 + 100 + 102 + 184 + 32 = 472
j=2: F(1)+S2+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6= 40+75+149+102+184+32 = 582
j=1: S1+h1(D2+D3+D4+D5+D6)+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6 =

El plan de producción con menor coste es de 236
Para determinar el plan óptimo de producción se recorre hacia atrás el
procedimiento de solución:
Para el último período t=6 la producción que ha dado lugar al coste mínimo de
236 se realiza en el período cinco, luego X5=92; X6=0
Nos vamos al período t=4 donde el coste mínimo se ha dado en el período
tres, luego X3=57; X4=0
Reiterando el razonamiento vamos al período t=2 donde el coste mínimo se
ha dado en el período uno, luego X1=43; X2=0
El mejor plan corresponde a la secuencia (1, 0, 1, 0, 1, 0)

Modelo 2: Consideración de las limitaciones de capacidad
•Variables
Xit : cantidad a producir del producto i en el período t
Iit : inventario resultante del producto i al final del período t
•Parámetros
Dit : demanda del producto i a satisfacer en el período t
•Limitaciones de capacidad
Kt : capacidad total disponible en el período t
ait : capacidad empleada en el período t al iniciar una serie de producción de i
bit : capacidad marginal empleada por unidad de i producida en t
•Costes de producción
pit : coste variable por unidad producida de i en el período t
hit : coste de mantener en almacén una unidad i durante el período t
S : coste fijo de iniciar la serie del producto i en el período t

Min Σ Σ (Si δ(Xit) + piXit + hiIit)
s.a. Ii,t-1 + Xit – Iit = Dit t = 1, 2, ... ,L
Σ (ai δ(Xit) + biXit ) ≤ Kt t = 1, 2, ... ,L
Xit ≥ 0 ; Iit ≥ 0
N
i=1 t=1
L
i = 1, 2, ... , N
N
i=1

Comentarios
La limitación de capacidad puede obligar a adelantar la producción
a otros períodos previos, al no haber en algunos de ellos suficiente
capacidad como para acomodar la producción a la demanda sólo con
criterios de costes
La obtención de la solución óptima de este modelo es muy difícil
puesto que es no lineal tanto en las restricciones como en la función
objetivo

 Debido a que las previsiones de datos (demandas) para realizar el
plan de producción son tanto menos fiables cuanto más alejadas
están, lo deseable es extraer las características esenciales sobre los
efectos a medio plazo de las decisiones de producción a corto plazo.
Por ello debe emplearse un número reducido de conceptos de
producto. Así se realiza el plan agregado o jerarquizado
 Tras la planificación jerarquizada de la producción y la decisión de
cuánto producir de cada concepto de producto se desagregan estos
conceptos en las cantidades a producir de cada uno de los productos
finales reales. Este plan detallado se denomina plan maestro de
producción

 La desagregación del plan de producción se hará
en dos etapas:
 Desagregación según costes fijos

A partir de la cantidad a fabricar de un concepto en el primer
periodo (X*
) se tienen en cuenta los costes fijos de cada
producto o familia para calcular las cantidades a fabricar de
cada uno en el primer periodo (Y*
)

Se han de considerar dos criterios al desagregar:
 Criterios de Admisibilidad
 Criterios de Costes
 Desagregación en productos finales

A partir de la cantidad a fabricar de una familia ya considerados
los costes fijos y variables (Y*
), se calcula las cantidades
exactas a fabricar de cada producto de esa familia para el
primer periodo (Zk)

 Plan de producción sin costes fijos: X*
it
 Se considera solo el primer periodo de un concepto: X*
= X*
i1
 Este concepto está compuestos por M familias cada una con un coste fijo: Sj
 Hay que calcular la cantidad a producir de cada familia: Yj
X*
= Y1 + Y2 + ... + YM
 Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de inventario:
 Criterios de Costes: costes fijos o de preparación de la familia
siendo el numerador la demanda total de la familia j en todos los periodos que
dividido por la cantidad a fabricar representa el nº de preparaciones a realizar








−=
−+=
≤≤
jjj
jjj
j
IIMCS
ISSD
Y
},0max{CI
CSCI
j
jj
j
j
j
Y
DT
SjfamiliafijoCoste ⋅≡
Desagregación según costes fijos (1/3)

 Modelo a resolver:
0
,...1CSCI
s.a
SMin
jj
M
1j
*
M
1j
j
≥
=≤≤
=
⋅
∑
∑
=
=
j
j
j
j
j
Y
MjY
XY
Y
DT
 Datos: Sj, DTj, CIj, CSj, X*
 Variables: Yj
 Resolución mediante Lagrangiana:
 Tiene que cumplir las CIj y CSj
*
1
X
DTS
DTS
Y M
j
jj
jj
j ⋅
⋅
⋅
=
∑=

 Método de resolución:
1: Calcular todos los Yj según fórmula: j=1,...,M
2: Calcular:
3:
)(};:{
)(};:{
∑
∑
−
+
∈
−
∈
+
−=<=
−=>=
Jj
jjjj
Jj
jjjj
YCICIYjJ
CSYCSYjJ
γ
β
1;;:
1;;:
**
**
airYXXJjCIYsi
airYXXJjCSYsi
Jj
jjj
Jj
jjj
∑
∑
−
+
∈
−
∈
+
−=∈∀=<
−=∈∀=>
γβ
γβ

 Plan de producción de una familia: Y*
 Para el cálculo de Y*
se consideraron los costes fijos y variables
 Esta familia está compuesta por P productos finales
 Hay que calcular la cantidad a producir de cada producto: Zk
Y*
= Z1 + Z2 + ... + ZP
 Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de
inventario:
 No hay criterios de costes pues ya se consideraron






−=
−+=
≤≤
kkj
kkk
k
IIMCS
ISSD
Z
},0max{CI
CSCI
k
kk
Desagregación en productos finales (1/4)

 El criterio de eficiencia se basará en que los productos se acaben simultáneamente;
los tiempos de agotamiento de los productos de una familia al final sean
similares:
∑
∑
=
=
−+
=≡
+=
−+
≡
−
=≡
P
k
k
P
k
kk
k
k
k
k
kkk
k
kk
D
SSIY
TAF
TA
D
Z
D
SSIZ
D
SSI
1
1
*
k
)(
familiaoagotamientdemedioTiempo
despuesoagotamientdeTiempo
TAantesoagotamientdeTiempo

 El modelo a resolver tiende a minimizar los tiempos de agotamiento de los productos
respecto al tiempo medio de agotamiento de toda la familia:
0
s.a
)(Min
*
1
2
1
≥
≤≤
=
−+
∑
∑
=
=
k
kkk
P
k
k
k
k
P
k
k
Z
CSZCI
YZ
TAF
D
Z
TA

 Método de resolución:
1: Calcular todos los Zk=Dk·(TAF – TAk)
2: Calcular:
3:
)(};:{
)(};:{
∑
∑
−
+
∈
−
∈
+
−=<=
−=>=
Kk
kkkk
Kk
kkkk
ZCICIZkK
CSZCSZkK
γ
β
1;;;:
1;;;:
***0*
***0*
airZYYKkZCSKkCIZsi
airZYYKkZCIKkCSZsi
Kk
kkkkk
Kk
kkkkk
∑
∑
−
+
∈
−
∈
+
−=∈∀=∈∀=<
−=∈∀=∈∀=>
γβ
γβ

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