UCLM matematicas

1. MÉTODOS MATEMÁTICOS Y
ESTADÍSTICOS
PARTE MATEMÁTICAS

2. TEMA 1
Algebra matricial.El modelo de crecimiento de Von
Neumann.
1.1.- Breve exposición del modelo con identificación de
conceptos y procedimientos matemáticos.
1.2.- Repaso: Álgebra matricial I (matrices y determinantes).
1.3.- Aplicación: Matriz inversa de Leontief. Aproximación por
desarrollo en serie.
1.4.- Matrices particionadas.
1.5.- Repaso: Álgebra matricial II (valores y vectores propios).
1.6.- Aplicación: Cálculo de la raíz de Frobenius.
1.7.- Ejemplo / aplicación económica (Excel).

3. 1.1.- BREVE EXPOSICIÓN DEL MODELO DE VON NEUMANN
Objetivo del modelo:
Dada una economía representada por sus transacciones
intersectoriales calcular “la tasa máxima de crecimiento”
correspondiente, así como los sistemas de cantidades y
precios que lo hacen posible.

4. Hipótesis del modelo:
-Proceso circular de la producción con tres singularidades:
-Sólo capital circulante que incluye bienes intermedios y consumo de
subsistencia de los trabajadores (bocadillo y mono de trabajo que se
entrega a los trabajadores al entrar en la fábrica).
-Varias técnicas posibles para cada bien. n bienes, m procesos, siendo
m>n.
-Producción conjunta como norma. Cada rama produce varios bienes.
-Rendimientos constantes de escala. Resultado de coeficientes técnicos fijos.
-No hay limitaciones de factores o recursos, ni siquiera de trabajo.
-Salario y consumo nulo (hablamos de salarios y consumo como “participación
del excedente”)
-Todo el beneficio es ahorrado e invertido. B=S=I. (Se asume que no hay
problemas de demanda efectiva)
-Sólo se producen mercancías básicas. (Utilizo el término más riguroso de
Sraffa. A Von Neumann le molestaban las mercancías que podían expandirse
más deprisa que la media, las identifica con bienes libres y las elimina
dándoles un precio nulo).

5. Adaptación de algunas hipótesis.
Vamos a modificar las hipótesis del modelo:
-Producción simple: homogeneizamos las ramas con las técnicas al uso de
manera que la matriz resultante es simétrica (cada rama se identifica con un bien)
-Para cada bien existe una técnica dominante. (Damos por resuelto el problema
de la elección entre técnicas alternativas).
-Existe capital fijo. El capital circulante (que induce a confusión por problemas de
doble contabilización) lo transformamos en capital fijo indirecto.
Ya conocemos el método: k=kd(I-A)¯¹

6. La tecnología de la economía aparece resumida en una matriz K.
De hecho no tenemos una sola matriz K, sino n·m matrices de
coeficientes técnicos.
El primer paso consiste en la selección de la tecnología preferible entre
todas las alternativas para cada bien.
Nos fijamos en sus máximos valores característicos (^(1), ^(2)…) y
escogemos la matriz tecnológica que lo tiene menor.
Lo hacemos así pues ^(i) es una medida inversa de la “productividad”
global de la matriz.
Llamaremos ^ al máximo valor propio de la matriz escogida como la
más productiva.
Planteamiento del modelo

7. A partir de esa matriz obtenemos los siguientes resultados:
1.- La tasa de crecimiento: g^ será la “tasa máxima de
crecimiento” correspondiente a una tecnología dada bajo el
supuesto de que el consumo es nulo (está fijado en el
mínimo de subsistencia).
Está g^ será el inverso del máximo valor característico
correspondiente a la matriz K.
g^=1/^

8. 2.- La Tasa de beneficio: r^ será una “tasa máxima” de
beneficio correspondiente a una tecnología dada y aun
salario nulo (sólo salario de subsistencia que viene
expresado en el bocadillo y mono de trabajo que se da a los
obreros al entrar en la fábrica), es la que permite financiar g^
.
r^ =g^=1/^

9. 3.- La Composición del producto final neto (q) que hacen
posible crecer a g^ : Las cantidades han de estar en una
proporción determinada para que no se desperdicie nada del
excedente, esto es para que todo él pueda ser reinvertido y
todas las ramas puedan crecer al máximo ritmo.
Esto será posible si la tasa de excedente de todos los bienes
es la misma.
La composición del producto viene dado por el vector propio
de K o vector característico por la derecha correspondiente
a la matriz K.

10. 4.-Los precios relativos (p) que permitirán a cada empresa
y rama obtener r^ y autofinanciar el proceso de expansión
a tasa g^:
Estos precios coincidirán con el vector propio de la
transpuesta de K o vector característico por la izquierda de
la matriz K.