Este documento trata sobre análisis de señales aleatorias, incluyendo procesos aleatorios, correlación, densidad espectral de potencia y ruido. Explica conceptos como energía y potencia de señales, autocorrelación, funciones de distribución y densidad, y estacionariedad. Además, introduce la densidad espectral de potencia como una herramienta para caracterizar propiedades espectrales de señales aleatorias.

1. Análisis de Señales-Curso 2012
Procesos Aleatorios
Correlación y Densidad Espectral
Ruido

2. Energía de la señal(1)

Debido a los distintos tipos de señales físicas que
actúan en los sistemas, se definió el término energía
de la señal, para TC:
∞
E = ∫ x(t ) dt
2
−∞

Si x(t) es una tensión, las unidades son V2.S, falta
dividir por R para ser la energía. Es decir la energía
de la señal es proporcional a la energía física.

3. Energía de la señal(2)


De acuerdo a lo anterior la energía de
la señal es proporcional a la energía
real y la constante de proporcionalidad
es R. Para un tipo diferente de señal, la
cte. de proporcionalidad será diferente.
Para el caso discreto
∞
E = ∑ x[n]
−∞
2

4. Potencia de la señal(1)


En muchas señales ni la integral ni la
sumatoria anterior convergen, la
energía de la señal es infinita pues no
está limitada en tiempo.
En estas señales es conveniente tratar
con la potencia promedio de la señal en
vez de con la energía

5. Potencia de la señal(2)
1 T /2
2
P = lím ∫
x(t ) dt
T →∞ T −T / 2
1 N −1
2
P = lím
∑N x[n]
N →∞ 2 N n = −
1
P=
T
∫
T /2
−T / 2
2
x(t ) dt
Tiempo continuo
Tiempo discreto
Señales periódicas

6. Señales de Energía
Energía finita
Señales de Potencia
Potencia promedio finita
(no nula)
Señales de Energía
Potencia promedio nula
Señales de Potencia
Energía total infinita
No periódicas
Aleatorias y periódicas
Señales de Energía
Señales de Potencia

7. Correlación


Señales de Energía
En TC
∞
R xy (τ ) = ∫−∞ x(t ) y (t + τ )dt

En TD
R xy [m] =
∞
∑ x[n] y [n + m]
n = −∞

8. Correlación


Señales de Potencia
En TC
1
R xy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt
T →∞ T
T

En TD
1
R xy [m] = lim
N →∞ N
∑ x[n] y [n + m]
n= N

9. Autocorrelación

Señal de Energía
∞
R xx (τ ) = ∫−∞ x(t ) x (t + τ )dt
∞
R xx [m] =
∑ x[n]x[n + m]
n = −∞
R xx (0) =
∞
∫ x (t )dt
2
−∞
R xx [0] =
∞
∑ x [ n]
n = −∞
2

10. Autocorrelación

Señal de Potencia
1
R xy (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t + τ )dt
T →∞ T
T
1
R xy [m] = lim
N →∞ N
1 2
R xx (0) = lim ∫ x (t )dt
T →∞ T
T
∑ x[n]x[n + m]
n= N
1
R xx [0] = lim
T →∞ N
∑ x [ n]
2
n= N

11. Función Distribución
F x ( x1) = P{ X ≤ x1}
F X (x)
1
Continua
12
x
F X (x)
1
Algunas
propiedades
F X (∞ ) = 1
0 ≤ F X ≤1
F X ( x1) < F X ( x 2) con x1 < x 2
P{ x1 < X < x 2} = F X ( x 2) − F X ( x1)
Discreta
-1
-0,4 -0,1
1
x

12. Función densidad
f x (x ) = d F x (x ) / d x
Algunas
propiedades
f X (x)
Continua
1/12
f X ( x) ≥ 0
x
12
f X (x)
0,2
0,1
-1
-0,4 -0,1
∫f
X
( x)dx = 1
−∞
0,4
0,3
∞
1
Discreta
x
x2
P{ x1 < x ≤ x 2} = ∫ f X ( x)dx
x1

13. Operaciones de una variable
aleatoria

Valor esperado
∞
E[ x] = X = ∫ x f X ( x)dx variable aleatoria continua
−∞
N
E[ x] = ∑ xiP ( xi )
variable aleatoria discreta
i =1

Momentos

Momentos alrededor del origen
∞
mn = E[ X ] = ∫−∞ X f X ( x)dx
n
n
m0=1 Area bajo la curva
m1 = X

14.  Momentos centrales
µ n = E[( X − X ) ] = ∫
∞
( x− X)
−∞
n
µ0=1 Area bajo la curva
n
f X ( x)dx
µ1=0
 Varianza
∞
σ = E[( X − X ) ] = ∫−∞ ( X − X ) f X ( x)dx =
2
X
2
= E[( X 2 − 2 X X + X 2)]
2
= E[ X 2] − X 2 = m2 − m1
2

15. Función distribución y densidad
conjunta

Las probabilidades de 2 eventos (c/u)
A = { X ≤ x } y B = { Y ≤ y}
F X ( x) = P{ X ≤ x} y F Y ( y ) = P{Y ≤ y}

Definimos el evento conjunto
F X ,Y ( x, y ) = P{ X ≤ x , Y ≤ y}
2
∂ F X ,Y ( x, y )
f X ,Y ( x, y ) =
∂x ∂y
{ X ≤ x , Y ≤ y}
Función distribución conjunta
Función densidad conjunta

16. Independencia estadística

Dos eventos x e y son estadísticamente
independientes si:
P{ X ≤ x; Y ≤ y} = P{ X ≤ x} P{Y ≤ y}
F X ,Y ( x, y ) = F X ( x) F Y ( y )
f X ,Y ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y )

17. Motivación





Encontramos señales aleatorias
Deseadas (comunicación bits)
No deseadas (ruido)
Deseamos trabajar en el tiempo
¿ Cómo describimos estas señales en
el tiempo ?

18. Procesos aleatorios.Concepto




Una variable aleatoria X función de las
salidas s de un experimento.
Ahora función de s y t x(t,s)
La familia de funciones X(t,s) es
llamado un proceso aleatorio.
Si t es fijo (t1) y s variable, tenemos una
variable aleatoria.

19. Proceso aleatorio
xn+1(t)
t1
Variable aleatoria
Xn(t)
Xn-1(t)
t
t1
t1
t
t

20. Clasificación de PA (1)

X y t contínuos
X(t)
PA contínuo
Ej. Ruido térmico
t

X discreta y t contínuo
X(t)
PA discreto
Ej. Bits
t

21. Clasificación de PA (2)

X continuo y t discreto
aleatoria contínua
secuencia
X(t)
t
Ej. Ruido térmico muestreado

22. Clasificación de PA (3)

X discreto y t discreto
aleatoria discreta
secuencia
X(t)
t
Ej. Bits muestreados

23. Procesos determinísticos y no
determinísticos


Si los valores futuros de cualquier muestra
del PA no se pueden “predecir” de sus
valores pasados, entonces el PA es llamado
no-determinístico
En cambio cuando los valores futuros se
pueden predecir de sus valores pasados
entonces el PA es llamado determinístico.
X (t ) = A cos (ω 0 t + θ )
A, ω 0 , ó θ pueden ser VA

24. Funciones densidad y
distribución
F x ( x1 ; t1) = P{ X (t1) ≤ x1}
F x ( x1 , x 2 ; t1 , t 2) = P{ X (t1) ≤ x1 , X (t 2) ≤ x 2}
f x ( x1 ; t1) = d F x ( x1 ; t1) / d x1
f x ( x1 , x 2 ; t1 , t 2) = ∂ F x ( x1 , x 2 ; t1 , t 2) /(∂ x1 ∂ x 2)

25. PA independiente
PA estacionario



En un PA si fijamos el tiempo, tenemos una
VA. Esta tiene propiedades estadísticas:
valor medio, varianza,etc.
Si hacemos esto para N t distintos
obtenemos N VA con sus propiedades
estadísticas.
Decimos que el PA es estacionario si sus
propiedades estadísticas no cambian con el
tiempo.

26. PA independiente

Dos PA X(t) e Y(t) son estadísticamente
independientes si:
'
'
f X ,Y ( x1 , t1 ; y1 , t1) = f X ( x1 , t1) f Y ( y1 , t1)

27. Proceso Estacionario de
primer orden
f X ( x1 ; t1) = f X ( x1 ; t1 + ∆)
Para cualquier t1 y ∆.
En consecuencia f X ( x1 ; t1) es
independiente de t1
__
E[ X (t )] = X = constante

28. PE de segundo orden
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2) = f X ( x1 , x 2 ; t1 + ∆, t 2 + ∆)
Para todo t1, t2 y ∆. Consecuencia de lo anterior
R XX (t1 , t 2) = E[ X (t1) X (t 2)]
τ = t1 − t 2
R XX (t1 , t1 + τ ) = E[ X (t1) X (t1 + τ )] = R XX (τ )

29. PE en sentido amplio
__
E[ X (t )] = X = constante
E[ X (t ) X (t + τ )] = R XX (τ )
Un PE de orden 2 es estacionario en sentido amplio.

30. Autocorrelación

Si el proceso aleatorio es estacionario
en sentido amplio
R XX (τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )]

Y tiene las siguientes propiedades

31. Propiedades
(1)R XX (τ ) ≤ R XX (0)
(2)R XX (−τ ) = R XX (τ )
2
(3)R XX (0) = E[ X (t )]

32. Otras propiedades
__
( 4) E[ X (t )] = X ≠ 0
tiene un término cte =
( 5) X (t )
R XX (τ )
( 6) X (t )
__ 2
X
Si tiene una componente periódica
también tiene una componente
periódica con el mismo período
Si es ergódico, valor medio 0 y
sin componente periódica
lim R XX (τ ) = 0
τ →∞

33. Ejemplo
4
R XX (τ ) = 25 +
1 + 6τ 2
___
E[ X (t )] = X = 25 = 5
2
σ = E[ X (t )] − ( E[ X (t )]) = 29 − 25 = 4
2
X
2

34. Promedios en el tiempo y
Ergodicidad

Definimos
T
1
A[.] = lim
∫T[.]dt
T →∞ 2T
−

Consideremos los siguientes promedios
1
x = A[ x(t )] = lim
T →∞ 2T
__
T
∫ x(t )dt
−T
1
R xx (τ ) = A[ x(t ) x(t + τ )] = lim
T →∞ 2T
T
∫ x(t )x(t
−T
+ τ )dt

35. Promedios en el tiempo y
Ergodicidad


Para una muestra del proceso, las dos
integrales dan 2 números como
resultado. Si todas las funciones del
proceso son consideradas, entonces
son va y
R xx (τ )
x
__
__
__
E[ x ] = X
E[R xx (τ )] = R XX (τ )

36. Ergodicidad
__
__
x=X
R xx (τ ) = R XX (τ )
Promedios temporales iguales a promedios
estadísticos

37. Medida de funciones de
correlación
Delay
Producto
Delay
∫

38. Motivación





Vimos Correlación
Antes trabajamos en t y f para señales
determinísticas y sis. lineales
Ahora con señales aleatorias
¿ Dominio de f ?
Propiedades espectrales
TF para
señales determinísticas

39. Densidad Espectral de
Potencia

Para un pa X(t), siendo
xT(t)
x(t)
-T<t<T
0
en otra parte
T
Satisface ∫−T xT (t ) dt < ∞ con T finito, tiene
TF y aplicando el T. de Parseval
1
E (T ) = ∫ x (t )dt =
−T
2π
T
2
T
∫
∞
−∞
2
X T ( w) dw

40. DEP(2)

Dividiendo por 2T
1
P (T ) =
2T

1
2
(t )dt =
∫−T x
2π
T
Haciendo T
esperado
2
∫
X T ( w)
∞
2T
−∞
dw
∞ y tomando valor
2
P XX
1
= lim
T →∞ 2T
1
E[ X 2 (t )]dt =
∫−T
2π
T
∫
∞
lim
−∞
T →∞
X T ( w)
2T
dw

41. DEP(3)

Finalmente definimos la DEP
2
S XX ( w) = lim
T →∞
P XX
1
=
2π
∫
∞
E[ X T ( w) ]
2T
S XX ( w)dw
−∞

42. Propiedades
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
S XX ( w) ≥ 0
X (t ) real
S XX (− w) = S XX ( w)
S XX ( w) es real
1 ∞
( w)dw = A{ E[ X 2 (t )]}
∫−∞ S XX
2π

43. Relación entre Función de
Autocorrelación y Densidad Espectral de
Potencia
∞
S XX ( w) = ∫−∞ R XX (τ ) e
− jwτ
dτ
1 ∞
jwτ
R XX (τ ) =
∫−∞ S XX (w) e dw
2π
o R XX (τ ) ↔ S XX ( w)

44. Sistemas lineales con
entradas aleatorias
x(t) estacionario en sentido amplio
LTI
X(t)
h(t)
y(t)=X(t)*h(t)
H(w)
RYY (τ ) = R XX (τ ) ∗ h(−t ) ∗ h(t )
RYX (τ ) = R XX (τ ) ∗ h(−t )
R XY (τ ) = R XX (τ ) ∗ h(t )

45. RYY (t , t + τ ) = E[Y (t )Y (t + τ )]
∞
∞
−∞
−∞
= E[ ∫ h(u ) X (t − u )du ∫ h(v) X (t + τ − v)dv]
=∫
∞
∫
∞
−∞ −∞
E[ X (t − u ) X (t + τ − v)]h(u )h(v)dudv
∞
∞
RYY (τ ) = ∫−∞ ∫−∞ R XX (τ + u − v)h(u )h(v)dudv
RYY (τ ) = R XX (τ ) * h(τ ) * h(−τ )
2
S YY ( f ) = H ( f ) S XX ( f )

46. DEP de la respuesta
S YY ( w) = S XX ( w) H ( w)
2

47. Ruido Blanco
•
Tiene todas las f, como la luz blanca, es
estacionario en sentido amplio :
( f ) = N 0 = K = cte
S NN
2
(τ ) = N 0 δ (τ )
R NN
2
•
No es realizable
∫
∞
S NN ( f )df = ∞
−∞

48. Ruido térmico



Debido a la agitación térmica
Resistencia “ruidosa”
Su circuito equivalente
Tensión de
ruido
R sin ruido
2 KTΛf
R
e =
π
2
n

49. Ej. 2 R en serie
R1
R1
≡
R2
e
2
n1
R2
e
2
n2
≡
Requi = R1 + R 2
= e21 + e2 2
e
n
n
2
n

50. 2 K [T 1 R1 + T 2 R 2] Λf = 2 K [T equi ( R1 + R 2)Λf
T 1 R1 + T 2 R 2
T equiv =
R1 + R 2

51. Temperatura equivalente de
ruido
Red ruidosa
Pent
Psal=Pent.G+PN
Red libre de ruido
Psal=PentTotal.G
KTeq∆f