Sistemas de EDO

2. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE PRIMER ORDEN
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SISTEMAS DE EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER
ORDEN
DEFINICI ´ON
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que
contenga n variables dependientes x1, x2,..., xn se dice que es lineal si se
puede escibir de la forma.
dx1
dt
= a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · · + a1n(t)xn + f1(t)
dx2
dt
= a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · · + a2n(t)xn + f2(t)
...
...
dxn
dt
= an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · · + ann(t)xn + fn(t)

4. SISTEMAS DE EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN
SISTEMAS DE EDO
NOTA
En el caso en que fi(t) = 0 para i = 1, 2, ..., n entonces se dice que le sistema
es homog´eneo; de lo contrario se dice que es un sistema no homog´eneo.
EJEMPLO
El siguiente es un sistema lineal de 3 ecuaciones diferenciales con 3
incognitas (sistema 3x3).
x1 = 3x1 − 3x2 + x3 + 2t
x2 = 2x1 − 2x2 + e−3t
x3 = x1 − x2 + x3
Dado que los coeficientes de cada variable son constantes, se dice que es un
sistema lineal con coeficientes constantes no homog´eneo.

5. SISTEMAS DE EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN
REPRESENTACI ´ON MATRICIAL
El sistema de ecuaciones diferenciales se puede representar de matricialmente
de la forma X = AX + F. donde X, A y F son las matrices:
X =





x1
x2
...
xn





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





, F(t) =





f1(t)
f2(t)
...
fn(t)





EJEMPLO
El sistema lineal de 3 ecuaciones diferenciales con 3 incognitas del ejemplo
anterior, se escribir´a de forma matricial X = AX + F como:
d
dt


x1
x2
x3

 =


3 −3 1
2 −2 0
1 −1 1




x1
x2
x3

 +


2t
e−3t
0



6. SISTEMAS DE EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN
SOLUCI ´ON DE UN SISTEMA DE EDO
Una soluci´on a un sistema de ecuaci´ones diferenciales es un vector
X =


x1
x2
x3


cuyas componentes son funciones derivables que satisfacen las condiciones
del sistema en un intervalo dado.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICI ´ON
Sea X1, X2,...,Xk un conjunto de vectores soluci´on de un sistema de EDO
homog´eneo en un intervalo I. Entonces la combinaci´on lineal
X = c1X1 + c2X2+, ..., +ckXk
donde c1, c2,...,ck son constantes arbitrarias, es tambi´en una soluci´on del
sistema.

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.