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- 1. SISTEMAS LINEALES TABLAS Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
- 2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad Señal Transformada ROC ( )tx ( )tx1 ( )tx2 X s( ) ( )sX1 ( )sX2 R R1 R2 Linealidad ( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩ Desplazamiento en el tiempo ( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R Desplazamiento en el dominio s ( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R ( es decir, s está en la ROC si s-s0 está en R) Escalado en el tiempo ( )x at 1 a X s a ROC escalada (es decir, s está en la ROC si s/a está en R) Conjugación ( )tx* ( )** sX R Convolución ( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩ Diferenciación en el dominio del tiempo. ( )d x t dt sX s( ) Al menos R Diferenciación en el dominio s ( )−tx t ( ) d ds X s R Integración en el dominio del tiempo. ( )x d t τ τ −∞∫ ( ) 1 s X s Al menos { }{ }R s∩ >Re 0 Teoremas del valor inicial y final. Si para t < 0 y no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en( ) 0tx = ( )tx 0t = , entonces ( ) ( )ssXLim0x x ∞→ + = ( ) ( )ssXLimtxLim 0st →∞→ =
- 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES SEÑAL TRANSFORMADA ROC ( )δ t 1 Todo s ( )u t 1 s { }Re s > 0 ( )− −u t 1 s { }Re s < 0 ( ) ( ) t n u t n− − 1 1 ! 1 sn { }Re s > 0 ( ) ( )− − − − t n u t n 1 1 ! 1 sn { }Re s < 0 ( )e u tt−α 1 s + α { }Re s > −α ( )− −− e u ttα 1 s + α { }Re s < −α ( ) ( ) t n e u t n t − − − 1 1 ! α ( ) 1 s n + α { }Re s > −α ( ) ( )− − − − −t n e u t n t 1 1 ! α ( ) 1 s n + α { }Re s < −α ( )δ t T− e sT− Para todo s [ ] ( )cosω0t u t s s2 0 2 + ω { }Re s > 0 [ ] ( )senω0t u t ω ω 0 2 0 2 s + { }Re s > 0 [ ] ( )e tt−α ωcos 0 u t ( ) s s + + + α α ω 2 0 2 { }Re s > −α [ ] ( )e tt−α ωsen 0 u t ( ) ω α ω 0 2 0 2 s + + { }Re s > −α ( ) ( ) n n n dt td tu δ = n s Para todo s ( ) ( ) ( ) vecesn n tu**tutu =− n s 1 Re{s} > 0
- 4. PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie ( ) ( ) ty tx Periódicas de periodo T y frecuencia fundamental T20 π=ω ak bk ( ) tjk k kT 0 eatx ω ∞ −∞= ∑= ( )∫ ω− = T tjk k dtetx T 1 a 0 x(t) Señal par ( ) ( )∫ ω= 2T 0 0k dttkcostx T 2 a Obtención de coeficientes x(t) Señal impar ( ) ( )∫ ω−= 2T 0 0k dttksentx T j2 a Linealidad ( ) ( )tyBtxA + kk bBaA + Desplazamiento en el tiempo ( )0ttx − 00tjk k ea ω− Desplazamiento en frecuencia ( ) tjM 0 etx ω Mka − Conjugación ( )tx* ∗ −ka Inversión de tiempo ( )tx − ka− Escalamiento en el tiempo ( ) 0,tx >αα (Periódica de periodo T/α) ka Convolución periódica ( ) ( )∫ ττ−τ T dtyx kk baT Multiplicación ( ) ( )tytx ∑ ∞ −∞= − p pkpba Diferenciación ( ) dt tdx k0 ajkω Integración ( )∫ ∞− ττ t dx (de valor finito y periódica solo si a 00 = ) k 0 a jk 1 ω Simetría conjugada para señales reales. ( )tx Señal real [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ϕ−=ϕ = −= = = − − − − ∗ − kk kk kmkm keke kk aa aa aIaI aRaR aa Señal real y par x(t) real y par ak real y par Señal real e impar x(t) real e impar ak imaginaria e impar Relación de Parseval para señales periódicas ( )[ ] ( ) ∑∫ ∞ −∞= == k 2 kT 2 m adttx T 1 txP
- 5. COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL PERIÓDICA COEFICIENTES ( ) tjk k k 0 eatx ω +∞ −∞= ∑= ak ( ) tj 0 etx ω = ≠∀ =∀ = 1k0 1k1 ak tcos 0ω 1k,0a; 2 1 aa k11 ≠∀=== − tsen 0ω 1k,0a; j2 1 aa k11 ≠∀==−= − ( ) 1tx = 0k,0a;1a k0 ≠∀== ( ) ( )∑ ∞ −∞= −δ= n nTttx k T 1 ak ∀= Onda cuadrada periódica ( ) ( )pulsodelanchura mTt Atx m τ τ − ∏= ∑ ∞ −∞= ó ( ) ( ) (txTtxy 2Tt2,0 2t,A tx =+ <<τ τ< = ) ( ) π τωτ = π τω = 2 k csin T A k 2/ksen Aa 00 k Onda triangular periódica ( ) ( )pulsodelanchura2 mTt Atx m τ τ − ∆= ∑ ∞ −∞= π τωτ = 2 k csin T A a 02 k ( ) tcos mTt Atx pω⋅ τ − ∏= ∑ ∞ ∞− τ π ω+ωτ + τ π ω−ωτ = 2 k csin T2 A 2 k csin T2 A a p0p0 k
- 6. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES Propiedad Señal Transformada de Fourier x(t) ( )ty X(ω) ( )ωY ( ) ( )∫ ∞ ∞− ω ωω π = deX 2 1 tx tj ( ) ( )∫ ∞ ∞− ω− =ω dtetxX tj x(t) Par ( ) ( )∫ ∞ ω=ω 0 dttcostx2X Ecuaciones x(t) Impar ( ) ( )∫ ∞ ω−=ω 0 dttsentxj2X Linealidad a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω) Desplazamiento en el tiempo x(t-t0) ( ) 0tj eX ω− ω Desplazamiento en frecuencia ( ) tj 0 etx ω X(ω-ω0) Conjugación x* (t) X* (-ω) Inversión de tiempo x(-t) X(-ω) Escalado de tiempo y frecuencia x(at) ω a X a 1 Convolución x(t)∗y(t) X(ω) Y(ω) Multiplicación x(t) y(t) ( ) ( )[ ] 1 2π ω ωX Y∗ Diferenciación en el tiempo ( ) dt txd ( )j Xω ω Integración ( )∫ ∞− ττ t dx ( ) ( ) ( )ωδπ+ω ω 0XX j 1 Simetría conjugada para señales reales x(t) Señal real ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ω−ϕ−=ωϕ ω−=ω ω−−=ω ω−=ω ω−=ω ∗ XX XX XIXI XRXR XX mm ee Simetría para señales reales y pares x(t) Señal real y par ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] X R X X R X X e e ω ω ω ω ϕ ω π = = = ± 0 Simetría para señales reales y pares x(t) Señal real e impar ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] X j I X X I X X m m ω ω ω ω ϕ ω π= = = ± 2 Descomposición par e impar de señales reales ( ) ( ){ } ( )[ ] ( ) ( ){ } ( )[ ]realtxtxpImtx realtxtxPartx I p = = ( ){ } ( ){ }ω ω XImj XRe ( ) ( ) ( ) ( ) f t G G t f DUALIDAD ↔ ↔ − ω π ω2 Relación de Parseval para señales no periódicas ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ωω π == dX 2 1 dttxtxE 22
- 7. EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL TRANSFORMADA ( ) tjk k kT 0 0 eatx ω ∞ −∞= ∑= ( )∑ ∞ −∞= ω−ωδπ k 0k ka2 x(t) = A ( )2π δ ωA ( ) tj 0 Aetx ω = ( )0A2 ω−ωδπ x(t) = A cos ω0 t ( ) ( )[ ]00A ω+ωδ+ω−ωδπ x(t) = A sen ω0 t ( ) ([ ]00A j ω+ωδ−ω−ωδ )π Pulso rectangular ( ) ( )x t A t anchura del pulso= ∏ τ τ ó ( ) τ> τ< = 2t,0 2t,A tx ( ) ( ) π ωτ τ= ω τω =ω 2 csinA 2senA2 X Pulso triangular ( ) ( )pulsodelanchura2 2 t Atx τ τ ∆= ( )X A sincω τ ωτ π = 2 2 ( ) ( )∑ ∞ −∞= −δ= n nTttx ∑ ∞ ∞− π −ωδ π T k2 T 2 ( ) t Wtsen tx π = ( ) >ω <ω =ω W,0 W,1 X x(t) = A δ(t) A x(t) = A δ(t-t0) 0tj eA ω− u(t) ( )ωπδ+ ωj 1 ( ) ( ) { } 0aRe,tuetx at >= − ω+ ja 1 ( ) ( ) { } 0aRe,tutetx at >= − ( )2 ja 1 ω+ ( ) ( ) ( ) { } 0aRe,tue !1n t tx at 1n > − = − − ( )n ja 1 ω+
- 8. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z Propiedad Señal Transformada z ROC [ ] [ ] [ ]nx nx nx 2 1 ( ) ( ) ( )zX zX zX 2 1 2 1 R R R Expresión x[n] ( ) [ ]∑ ∞ −∞= − = k n znxzX R Linealidad [ ] [ ]nxbnxa 21 + ( ) ( )zXbzXa 21 + Al menos la intersección de R1 y R2 Desplazamiento en el tiempo [ ]0nnx − ( )zXz 0n− R, excepto para la posible adición o supresión del origen Escalado en el dominio z [ ] [ ] [ ]nxa nxz nxe n n 0 nj 0ω ( ) ( ) ( )zaX zzX zeX 1 0 j 0 − ω− Rz R 0 Versión escalada de R (es decir, |a|R = el conjunto de puntos{|a|z} para z en R Inversión en el tiempo [ ]nx − ( )1 zX − R invertida (es decir, R-1 = el conjunto de puntos z-1 , donde z está en R Expansión en el tiempo ( )[ ] [ ] ≠ = = rkn,0 rkn,rx nx k para algún entero r ( )k zX k1 R es decir, el conjunto de puntos k1 z donde z está en R Conjugación [ ]nx* ( )** zX R Convolución [ ] [ ]nx*nx 21 ( ) ( )zXzX 21 Al menos la intersección de R1 y R2 Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )zXz1 1− − Al menos la intersección de R y |z|>0 Acumulación [ ]∑ −∞= n k kx ( ) ( )1 z1 zX − − Al menos la intersección de R y |z|>1 Diferenciación en el dominio z [ ]nnx ( ) dz zXd z− R Teorema del valor inicial Si x[n] = 0 para n < 0, entonces, [ ] ( )zXLim0x z ∞→ =
- 9. TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES Secuencia x[n] Transformada z X(z) ROC [ ]nδ 1 Todo z [ ]mn −δ m z− Para todo z excepto 0 (si m > 0) o infinito (si m < 0) [ ]nu 1 z1 1 − − 1z > [ ]1nu −−− 1 z1 1 − − 1z < [ ]nuan 1 az1 1 − − az > [ ]1nuan −−− 1 az1 1 − − az < [ ]nunan ( )21 1 az1 az − − − az > [ ]1nunan −−− ( )21 1 az1 az − − − az < ( )[ ] nuncos 0Ω [ ] 2 0 1 0 1 zcosz21 cosz1 −− − +Ω− Ω− 1z > ( )[ ] nunsen 0Ω [ ] 2 0 1 0 1 zcosz21 senz −− − +Ω− Ω 1z > ( )[ ] [ ]nuncosr 0 n Ω [ ] [ ] 221 0 1 0 zrzcosr21 zcosr1 −− − +Ω− Ω− rz > ( )[ ] [ ]nunsenr 0 n Ω [ ] [ ] 221 0 1 0 zrzcosr21 zsenr −− − +Ω− Ω rz >
- 10. SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO Propiedad Señal periódica Coeficiente [ ] [ ] ny nx Periódicas con periodo N y frecuencia fundamental Ω0=2π/N k k b a Periódicas de periodo N Ecuaciones [ ] ∑= π = Nk njk k N 2 eanx [ ]∑= − π = Nn njk k N 2 enx N 1 a Linealidad [ ] [ ]nxBnxA 21 + kk bBaA + Desplazamiento de tiempo [ ]x n n− 0 0N 2 njk k ea π − Desplazamiento en frecuencia [ ] njM N 2 enx π Mka − Conjugación [ ]nx∗ ∗ −ka Inversión en el tiempo [ ]nx − ka− Escalado en el tiempo ( )[ ] [ ] = valoresderesto mdemultiplon ,0 ,mnx nx m (periódica de periodo mN) 1 m ak (vistas como periódicas de periodo mN) Convolución periódica [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ = −=⊗= Nr rnyrxnynxnz kk baN Multiplicación [ ] [ ]nynx ∑ = − Nr rkr ba Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( ) k N2jk ae1 π− − Suma consecutiva [ ]∑ −∞= n k kx (de valor finito y periódica sólo si a0=0) ( ) ( )N2jk k e1 a π− − Simetría conjugada para señales reales. [ ] alRenx [ ] [ ] [ ] [ ] kk aa kk kk kk kk aa aImaIm aReaRe aa − ϕ−=ϕ = −= = = − − − ∗ − Señales reales y pares [ ]x n REAL y PAR ak real y par Señales reales e impares [ ]x n REALe IMPAR ak imaginaria e impar Descomposición par e impar de señales reales [ ] [ ]{ } [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx realnxnxParnx I p = = [ ] [ ]k k aImj aRe Relación de Parseval para señales periódicas [ ] ∑∑ == == Nk 2 k Nn 2 m anx N 1 P
- 11. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS SEÑAL COEFICIENTES n N 2 jk Nk k ea π = ∑ ak nj 0 e Ω aperiódicaseñalirracional 2 )b( valorotro,0 ,N2m,Nm,mk,1 a N m2 )a( 0 k 0 ⇒ π Ω ±±= = π =Ω ncos 0Ω aperiódicaseñalirracional 2 )b( valorotro,0 ,N2m,Nm,mk,2/1 a N m2 )a( 0 k 0 ⇒ π Ω ±±±±±= = π =Ω nsen 0Ω aperiódicaseñalirracional 2 )b( valorotro,0 ,N2m,Nm,mk,j2/1 ,N2m,Nm,mk,j2/1 a N m2 )a( 0 k 0 ⇒ π Ω ±−±−−=− ±±= = π =Ω [ ] 1nx = ±±= = valorotrocon,0 N2,N,0k,1 ak [ ] ( )∑ ∞ −∞= −δ= k kNnnx k N 1 ak ∀= Onda cuadrada periódica [ ] [ ] [nxNnxy 2NnN,0 Nn,1 nx 1 1 =+ ≤< ≤ = ] ( )( )[ ] ( )[ ] ,N2,N,0k, N 1N2 a ,N2,N,0k, N2k2senN NNk2sen a 1 k 2 1 1 k ±±= + = ±±≠ π +π =
- 12. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO Propiedad Señal Transformada [ ] [ ] ny nx ( ) ( ) Ω Ω Y X Periódicas de periodo 2π Ecuación [ ] ( )∫ π Ω ΩΩ π = 2 nj deX 2 1 nx ( ) [ ]∑ ∞ −∞= Ω− =Ω n nj enxX Señal periódica [ ] ∑ = π = Nk njk k N 2 eanx (señal periódica, N) ( ) ( )∑ ∞ −∞= π −Ωδπ=Ω k N 2 k ka2X Señal periódica [ ] [ ]Nnxnx += (señal periódica) ( )0k kX N 1 N 2 kX N 1 a Ω= π = Linealidad [ ] [ ]nybnxa + ( ) (Ω+ )Ω YbXa Desplazamiento en el tiempo [ ]0nnx − ( ) 0nj eX Ω− Ω Desplazamiento en frecuencia [ ] nj 0 enx Ω ( )0X Ω−Ω Conjugación [ ]nx∗ ( )Ω−∗ X Inversión en tiempo [ ]nx − ( )Ω−X Expansión en tiempo ( )[ ] [ ] = valoresderesto kdemultiplon ,0 ,knx nx k ( )ΩkX Convolución [ ] [ ]nynx ∗ ( ) (Ω⋅ )Ω YX Multiplicación [ ] [ ]x n y n⋅ ( ) ( )∫ π θθ−Ωθ π 2 dYX 2 1 Diferenciación en tiempo [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )Ω− Ω− Xe1 j Acumulación [ ]∑ −∞= n m mx ( ) ( ) ( )∑ ∞ −∞= Ω− π−Ωδπ+ − Ω k j k20X e1 X Diferenciación en frecuencia [ ]nnx ( ) Ω Ω d dX j Simetría conjugada para señales reales [ ] REALnx ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )Ω−Ω ∗ ϕ−=ϕ Ω−=Ω Ω−−=Ω Ω−=Ω Ω−=Ω XX XX XImXIm XReXRe XX Simetría para señales reales pares [ ]x n REAL y PAR ( )ΩX real y par Simetría para señales reales impares [ ]x n REALe IMPAR ( )ΩX imaginaria pura e impar Descomposición par e impar de señales reales [ ] [ ]{ } [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx realnxnxParnx I p = = ( )[ ] ( )[ ]Ω Ω XImj XRe Relación de Parseval para señales aperiódicas [ ] ( )∫∑ π ∞ −∞= ΩΩ π == 2 2 n 2 dX 2 1 nxE [ ] ( ) [ ] ( )[ ] Ω=− Ω→← Xanx Xnx DUALIDAD k TF
- 13. EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS SEÑAL COEFICIENTES n N 2 jk Nk k ea π = ∑ ∑ ∞ −∞= π −Ωδπ k k N k2 a2 nj 0 e Ω ( )∑ ∞ −∞= π−Ω−Ωδπ k 0 k22 ncos 0Ω ( ) ([ ]∑ ∞ −∞= π−Ω+Ωδ+π−Ω−Ωδπ k 00 k2k2 ) nsen 0Ω ( ) ([ ]∑ ∞ −∞= π−Ω+Ωδ−π−Ω−Ωδ π k 00 k2k2 j ) [ ] 1nx = ( )∑ ∞ −∞= π−Ωδπ k k22 [ ] ( )∑ ∞ −∞= −δ= k kNnnx ∑ ∞ −∞= π −Ωδ π k N k2 N 2 [ ] 1anuan < Ω− − j ae1 1 [ ] > ≤ = 1 1 Nn,0 Nn,1 nx ( )[ ] ( )2sen Nsen 2 1 1 Ω +Ω π<< ππ = π W0 Wn csin W n Wnsen ( ) ( ) πΩ π≤Ω≤ ≤Ω≤ =Ω 2periododeperiódicaX W,0 W0,1 X [ ]nδ 1 [ ]nu ( )∑ ∞ −∞= Ω− π−Ωδπ+ − k j k2 e1 1 [ ]0nn −δ 0nj e Ω− ( ) [ ] 1anua1n n <+ ( )2j ae1 1 Ω− − ( ) ( ) [ ] 1anua !1r!n !1rn n < − −+ ( )rj ae1 1 Ω− −