The Golden Ratio and the Fibonacci Sequence La proporción áurea y la secuencia de Fibonacci

1. La Geometría y sus
Aplicaciones
Actividad 1.1
La razón de oro y la serie de Fibonacci
G. Edgar Mata Ortiz

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La geometría es considerada la primera disciplina científica propiamente
hablando; se desarrolló a partir de necesidades prácticas, pero se formalizó y
se organizó con base en el método axiomático deductivo desde el siglo III a. C.
Actualmente se ha abandonado su estudio para dar paso a formas de
aprendizaje orientadas a las aplicaciones y no a su fundamentación teórica, no
obstante, algunos temas se siguen estudiando con el enfoque planteado por
Euclides en Los Elementos.
Contenido
Introducción .............................................................................................................................................................2
Otra forma de calcular las medidas de los segmentos.........................................................................................3
La cultura y las artes.............................................................................................................................................3
El rectángulo áureo. .................................................................................................................................................4
Aplicaciones del rectángulo áureo. ......................................................................................................................5
La serie de Fibonacci.................................................................................................................................................6
Desarrollo de la serie de Fibonacci.......................................................................................................................7
Relación de la serie de Fibonacci con la proporción áurea..................................................................................7
Uso de Excel para obtener el valor de .............................................................................................................7
Observaciones y conclusiones..................................................................................................................................8
Bibliografía................................................................................................................................................................9
A la izquierda una página del libro “Los
Elementos” de Euclides.
A la derecha, una página del libro de
Apolonio, “Las cónicas”

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Introducción
“Los Elementos” de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que
contienen el desarrollo de la geometría a partir de 5 postulados y, mediante
proposiciones lógicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.
En el libro 6, la proposición 30, plantea dividir un segmento en extrema y media
razón, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la
división del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la división de la
parte mayor entre la menor. Geométricamente:
Dado un segmento AB:
Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
El procedimiento geométrico es interesante, sin embargo, por ahora, es
preferible “convertir” este problema geométrico a uno algebraico.
Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:
𝐴𝐵 = 1
Y tomaremos como incógnita la longitud del segmento AC: 𝐴𝐶 = 𝑥
Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: 𝐵𝐶 = 1 − 𝑥
Sustituyendo estos valores en la proporción queda:
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
∴
𝟏
𝒙
=
𝒙
𝟏 − 𝒙
Resuelve la expresión algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el
siguiente espacio:
Expresión algebraica simplificada: _____________________________________
Resultado: ________________________________________________________
Interpretación: ____________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
La Geometría
Todas las antiguas
civilizaciones desarrollaron
conceptos matemáticos,
generalmente relacionados
con necesidades prácticas.
Sin embargo, el pueblo
griego, desarrolló una
forma de hacer
matemáticas que era
diferente a todos los
demás; se basó en el
razonamiento lógico y
transformó radicalmente y
para siempre el significado
de esta ciencia.
La referencia más confiable
que tenemos de la
matemática griega es el
libro: “Los Elementos”
escrito por Euclides
alrededor de 300 a. C.
Este libro desarrolla los
conceptos geométricos
mediante el método
axiomático deductivo.
Es el libro científico más
editado de todos los
tiempos.
La razón de oro y la serie de
Fibonacci
A B
A BC
La Geometría y su
origen

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Otra forma de calcular las medidas de los segmentos.
Cambio de estrategia algebraica. ¿Qué sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos
como incógnita (x), la medida del segmento AC?
Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes líneas.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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La cultura y las artes.
La cultura griega ha tenido una fuerte influencia en las obras de numerosos artistas, un ejemplo interesante de
este hecho es la pintura de Raphael, “La Escuela de Atenas”. En ella se encuentran representados los más
importantes filósofos y científicos de la antigüedad clásica.
Elabora una síntesis de, al menos, 500 palabras, en la que indiques quiénes son estos personajes, así como sus
aportaciones a nuestra civilización. Puedes encontrar más información en la siguiente dirección:
http://www.authorstream.com/Presentation/licmata-3018126-golden-ratio/

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El rectángulo áureo.
El rectángulo áureo se caracteriza porque la razón del lado mayor, al menor, es igual al número áureo:
 = 1.618033…
En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectángulo áureo utilizando solamente una
regla no graduada y un compás, conforme a la figura siguiente:
1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida
2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado
3. Utiliza el compás con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno
de los vértices del lado opuesto, C o D.
4. Utiliza la prolongación de la base AB y traza un arco de círculo tomando centro en M y señalando el
punto P sobre la prolongación del lado AB.

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5. Con una abertura del compás igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en
dirección al punto P.
6. Con una abertura del compás igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte
al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.
7. Une los puntos P y Q.
8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.
9. El rectángulo APQD es un rectángulo áureo.
10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AB (o el AD) debe ser igual a 1.618033…
Aplicaciones del rectángulo áureo.
Por mucho tiempo se ha afirmado que
las proporciones de este rectángulo son
“armoniosas” por naturaleza y que,
cualquier diseño que esté basado en el
valor de  = 1.618033…, será
visualmente atractivo. Es posible que
estas afirmaciones carezcan de bases
científicas sólidas, pero, debido a la
popularidad de estas creencias,
numerosos diseñadores modernos
utilizan estas proporciones en sus
creaciones, de modo que podremos
encontrar diversos diseños de logotipos,
páginas web, portadas de libros y
revistas, entre muchos otros productos,
que están elaborados con base en el
rectángulo áureo y/o el valor de .

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Entre los argumentos más importantes para afirmar que las
proporciones del rectángulo áureo son “naturalmente”
atractivas, se dice que estas proporciones son comunes en la
naturaleza; de alguna forma se afirma que la naturaleza “utiliza”
estas proporciones en el diseño de los seres vivos.
Algunos investigadores consideran que todas estas afirmaciones
carecen de fundamento, por ejemplo: George Markowski, en
“Misconceptions about the Golden Ratio”, señala, uno por uno,
los conceptos erróneos que las personas emplean para justificar
sus afirmaciones.
Este documento se encuentra en la siguiente dirección:
https://goldennumber.net/wp-content/uploads/George-Markowsky-Golden-Ratio-Misconceptions-MAA.pdf
Elabora un ensayo de 600 palabras acerca de los argumentos a favor, y en contra, de la creencia en la armonía
del rectángulo áureo, incluye dos ejemplos del uso de dicho rectángulo; uno de ellos en la antigüedad, y otro
actual.
La serie de Fibonacci y su relación con la proporción áurea.
Leonardo de Pisa es el nombre real de “El hijo de Bonaccio” = Filis Bonaccio = Fibonacci. Nació en Pisa
alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivió su niñez en el norte de África, donde
aprendió el sistema de numeración arábigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, publicó el libro; “Liber Abaci” o
Libro del Ábaco, en el que explica el sistema de numeración arábigo e incluye un problema que,
posteriormente, se volvió famoso: el problema de la reproducción de dos conejos.
Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos años, pasó desapercibida, hasta que
el matemático Edouard Lucas, en los últimos años del siglo XIX, redescubrió este problema y lo atribuyó a su
autor original.
Investiga y anota en las siguientes líneas la redacción del problema de la reproducción de los dos conejos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
En el siguiente espacio, explica el proceso de solución del problema de los dos conejos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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Desarrollo de la serie de Fibonacci.
La regla para construir la serie es muy sencilla, comienza con 1, 1, y los siguientes elementos se obtienen
sumando los dos términos anteriores, es decir, 1+1=2, por lo que la serie queda: 1, 1, 2. El siguiente término se
obtiene de la suma 1+2=3, obteniéndose: 1, 1, 2, 3, y así sucesivamente. Continúa la serie en el espacio
siguiente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Relación de la serie de Fibonacci con la proporción áurea.
Estos dos conocimientos, uno de geometría que se encuentra en “Los Elementos”
escrito en el siglo III a. C. y otro de aritmética, desarrollado en el siglo XII d. C.
están relacionados: La división de dos números consecutivos de la serie de
Fibonacci tiende al valor de  = 1.618033…
En la siguiente tabla, anota los valores de las divisiones indicadas, observa que los
resultados se van aproximando, cada vez más, al valor de 
Uso de Excel para obtener el valor de 
Elabora una hoja de cálculo en Excel, en la que obtengas los primeros 200 elementos de la sucesión de
Fibonacci y efectúa las divisiones de cada pareja de números consecutivos para observar cuál es el mejor valor
de  que podemos obtener de mediante este procedimiento.
1 34 34/21 = 1597 1597/987 =
1 1/1 = 55 55/34 = 2584 2584/1597 =
2 2/1 = 89 89/55 = 4181 4181/2584 =
3 3/2 = 144 144/89 = 6765 6765/4181 =
5 5/3 = 233 233/144 = 10946 10946/6765 =
8 8/5 = 377 377/233 = 17711 17711/10946 =
13 13/8 = 610 610/377 = 28657 28657/17711 =
21 21/13 = 987 987/610 = 46368 46368/28657 =

9. La Geometría y sus Aplicaciones La razón de oro y la serie de Fibonacci
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Investiga el proceso para construir las siguientes figuras; la primera es la espiral áurea, y la segunda, se
construye con cuadrados cuyas medidas de los lados se toman de la serie de Fibonacci. Traza las figuras en
AutoCAD y explica sus semejanzas y diferencias en el recuadro de la derecha.
Observaciones y conclusiones.
El conocimiento científico, cuando no se comprende con
claridad, puede dar lugar a interpretaciones o
generalizaciones erróneas o sin fundamento. Es necesario
comprender claramente los conceptos en estudio para
facilitar su aplicación.
La geometría es una antigua disciplina científica; se consolidó
con base en el método axiomático desde el siglo III a. C. y
constituye la base sobre la cual se han desarrollado otras
ramas de la matemática.
Las necesidades prácticas dan lugar a la generación de conocimiento empírico que, posteriormente, es validado
y fundamentado para consolidarse como un conjunto de leyes científicas las cuales, a partir de ese momento,
podrán aplicarse a otras situaciones con la confianza de que se ha verificado su validez.
La supuesta armonía del rectángulo áureo no puede considerarse conocimiento científico, ya que existen
argumentos a favor y en contra de su validez y no se dispone de evidencia suficiente para afirmar o refutar
estas afirmaciones.
Explicación de las semejanzas y diferencias
geométricas de las figuras.

10. La Geometría y sus Aplicaciones La razón de oro y la serie de Fibonacci
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Bibliografía