Tema 33 evolucion calculo diferencial

Tema 33. Evolución histórica del cálculo diferencial.
Pablo Redondo
4 de abril de 2010
Contents
1 Introducción. 3
2 La Grecia Clásica. 3
2.1 Lo innitamente pequeño y lo innitamente grande. . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Áreas y volúmenes: Eudoxio y Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 El método de exhausción para un segmento parabólico. . . . . . . . . . . . 4
3 La Edad Moderna. 5
3.1 Tangentes, máximos y mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Origen del concepto de función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Nacimiento del Cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Derivadas, tangentes, integrales y supercies. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Newton y Leibniz. 9
4.1 Unicación Cálculo Diferencial e Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Comparaciones entre Newton y Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Sucesores de Newton y Leibniz. Siglo XVIII 13
5.1 Las lecciones sobre integración de Johann Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Inglaterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 La forma dada por Euler al Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3.1 El análisis de los innitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3.2 El Cálculo Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Lo que quedaba sin resolver: las cuestiones de fundamentos. 16
6.1 Las tres cuestiones fundamentales del cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 La crítica de Berkeley a los fundamentos del cálculo. . . . . . . . . . . . . 17
1

Tema 33. Evolución histórica del cálculo diferencial. 2
6.3 Los límites y otros intentos de resolver los problemas de fundamentos. . . . 18
6.3.1 La solución actual al problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3.2 Otras respuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 La aparición del análisis matemático y su fundamentación. 19
7.1 La llegada del análisis matemático moderno. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 Funciones arbitrarias y los fundamentos del análisis. . . . . . . . . . . . . . 20
7.2.1 Funciones arbitrarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2.2 La fundamentación del cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.3 El impacto de las series de Fourier en el análisis matemático. . . . . . . . . 21
7.4 El análisis de Cauchy: límites, innitésimos y continuidad. . . . . . . . . . 22
7.4.1 Sobre el cálculo diferencial de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.5 Series de Fourier, convergencia y avances en los fundamentos. . . . . . . . . 24
7.6 El impacto de Riemann y Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.6.1 La importancia de la propiedad de uniformidad. . . . . . . . . . . . 25
7.6.2 Clasicación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.6.3 Renamientos de los métodos de demostración y el cálculo diferencial. 26
8 Unicación y demarcación:
dos ayudas gemelas para el progreso. 27
8.1 En resumen... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1 Introducción.
El origen del Cálculo Diferencial se sitúa en la Europa del s. XVII, estando su histo-
ria y resultados íntimamente relacionados con el Cálculo integral. Ambas ramas de las
Matemáticas se engloban en el denominado Cálculo Inmitesimal.
La historia del Cálculo Innitesimal está íntimamente ligada a la necesidad de re-
solver muchos problemas que se planteaban en Física. Un referente clásico de prob-
lema físico asociado al Cálculo Diferencial es la obtención de las ecuaciones de movimiento
de un cuerpo y, por ejemplo, su velocidad o su aceleración instantánea, cuyo valor depende
de un límite. En general, el Cálculo Diferencial trata problemas como el trazado de tan-
gentes, determinación de máximos y mínimos relativos, cálculo del radio de curvatura de
una curva, estudio del orden de contacto de curvas planas, etc. El Cálculo Integral surge
por la necesidad de hallar el área de determinadas regiones del plano. La determinación
de áreas y volúmenes es una de las principales aplicaciones del Cálculo Integral, aunque
en la actualidad existen otras muchas.
2 La Grecia Clásica.
2.1 Lo innitamente pequeño y lo innitamente grande.
Las consideraciones de índole innitesimal son tan antiguas como la matemática misma.
En la Grecia Clásica, la Matemática está absolutamente supeditada a la Geometría. En
ella podemos encontrar el origen del Cálculo Integral, pues el cálculo de áreas interesó
mucho a los grandes autores de la época. Propiamente el Cálculo Diferencial no obtuvo
grandes resultados ni suscitó tanto interés; al respecto sólo se conserva de interés un
método de construcción de la recta tangente a una curva que realizó Arquímedes de
Siracusa (287 - 212 a. C) para la espiral que lleva su nombre.
2.2 Áreas y volúmenes: Eudoxio y Arquímedes.
Las magnitudes que se estudian en el Cálculo Innitesimal (áreas, volúmenes, tiempo...)
son continuas. Demócrito de Abdera (s.IV a.C), es considerado el creador de la teoría
atómica, que considera la existencia de unas partículas últimas en la constitución del
Universo. Su obra matemática no fue conocida hasta que se encontró en 1906 un libro de
Arquímedes, Método, que consideraba a Demócrito el primer matemático que estableció
que el volumen de un cono y de una pirámide era la tercera parte, respectivamente, de
un cilindro o de un prisma con la misma base y alturas. Para alcanzar estas conclusiones
consideró estos sólidos formados por innumerables capas paralelas; en el cono o en la
pirámide el tamaño de las capas disminuiría gradualmente hasta llegar a un punto. Pese
a dar la solución al cálculo de tales volúmenes, se sentía confuso pues razonaba que si

(dichas capas) son desiguales, el cono no será liso, sino irregular, con escalones y asperezas
y si son iguales el cono será un cilindro, lo que es contradictorio.
Esta observación pregura la labor de Arquímedes, que es considerado el inventor
del Cálculo Integral. Dio demostraciones, que durante muchos siglos fueron consideradas
rigurosas, para encontrar áreas, volúmenes y centros de gravedad de curvas y supercies,
círculos, esferas, cónicas y espirales.
El método que empleó es el método de exhausción, atribuido a Eudoxio, que puede
describirse del siguiente modo.
2.3 El método de exhausción para un segmento parabólico.
El método de integración que se consideraba ideal durante la primera mitad del siglo
XVII era el método de exhausción que había sido inventado por Eudoxo y perfeccionado
por Arquímedes. El nombre es desafortunado porque la idea central del método es la de
evitar el innito, y por lo tanto este método no lleva a un agotamiento de la gura a
determinar, como veremos en el esbozo de la idea que hay tras él. Básicamente la idea es
aproximar por regiones poligonales interiores y exteriores el área que se quiere calcular,
anando cada vez más la aproximación de forma que la diferencia entre la poligonal
interior y exterior se haga tan pequeña como queramos. Podemos ver entonces aquí los
orígenes de los pasos al límite.
Arquímedes obtuvo mediante este método, que el área bajo un segmento parabólico es
un tercio del área del rectángulo que lo circunscribe. Así, la obra de Arquímedes conduce
a la actual denición del concepto de integral.
Queremos calcular el área bajo un segmento de parábola según el método de exhaus-
ción, pero eso sí, con notación actual. Sea una parábola de ecuación y = x2
denida en
el intervalo [0, b].
Se toma una región poligonal interior y otra exterior. Supongamos, en general, una di-
visón en n bandas rectangulares: cada base tendrá longitud b/n. La altura de la banda
k-ésima será:
Para Ak : (k ·
b
n
)2
y para Ak : ((k − 1) ·
b
n
)2
Sean s y S las áreas encerradas bajo las poligonales interiores y exteriores respectivamente.
Está claro que el área A bajo la parábola verica
s ≤ A ≤ S

Por otra parte:
s =
b3
n3
(02
+ 12
+ 22
+ . . . + (n − 1)2
)
S =
b3
n3
(12
+ 22
+ 33
+ . . . + n2
)
Como la suma de los n primeros números al cuadrado es
n3
3
+ n2
2
+ n
6
y la suma de los n-1
es
n3
3
− n2
2
+ n
6
, Arquímedes llega a que si
b3
n3
(02
+ 12
+ 22
+ . . . + (n − 1)2
) ≤ A ≤
b3
n3
(12
+ 22
+ 33
+ . . . + n2
) ∀n ∈ N
Necesariamente A sólo puede ser
b3
3
.
1
3 La Edad Moderna.
Durante toda la Edad Media no hay avances en esta disciplina. Hará falta la adopción
de la simbología algebraica para reavivar el interés por el antiguo método de exhausción,
pues simplicaba mucho su aplicación.
3.1 Tangentes, máximos y mínimos.
Durante los siglos XVI y XVII, en la resolución de problemas de tangentes, máximos y
mínimos aparecen métodos o soluciones previas a las dadas por el cálculo innitesimal
(sin acudir al uso del innito), veamos algunos ejemlos de las soluciones propuestas.
El problema de la inversa de la tangente. Muchos matemáticos del s. XVII vieron
que la diferenciación debía tener una inversa, pero fueron incapaces de concretar sus
intuiciones en un teorema. Descartes había instado a los matemáticos aún por nacer a
resolver lo que llamó el problema inverso de la tangente: construir una curva a partir de
las tangentes, llegando a sugerir que ningún matemático podría resolver el problema.
El método de Descartes de determinación de la normal. Descartes desarrolló un
método para obtener la normal a una curva en un punto:
'habré conseguido aquí dar una introducción suciente al estudio de las curvas,
cuando haya dado un método general para trazar una línea recta formando ángulos
rectos con una curva en un punto elegido arbitrariamente sobre ella. Y me atrevería
a decir que éste no es sólo el problema más útil y más general que conozco en
geometría, sino incluso que yo haya deseado conocer.
1Cuando n sea sucientemente grande los términos de grado 1 y 2 no pueden con el de grado 3,
cuyo coeciente es 1/3.

La idea del método pasa por suponer conocida la recta normal a la curva en el punto
deseado P, y utilizar la ecuación de la circunferencia tangente en P (cuyo centro estará
sobre la normal), y otra circunferencia arbitraria secante a la curva en P y en otro punto.
Combinando las ecuaciones de ambas circunferencias se busca una solución doble a la
ecuación resultante, pues será en ese momento en el que la circunferencia auxiliar corte
en un único punto a la curva. Determinando ahora el centro de la circuferencia podremps
trazar la normal.
OBSERVACIÓN: asociado a este método obtiene Hudde una regla para hallar raíces
dobles.
El método de Robervall para las tangentes. En los últimos 1630, Robervall y
Torricelli descubrieron un método para el cálculo de tangentes utilizando argumentos
cinemáticos. Se apoya en dos ideas básicas: la primera es la de considerar una curva
como la trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneamente,
y la segunda es la de considerar la tangente en un punto como la dirección del movimiento
en ese punto. Trabajan además con las velocidades de cada movimiento.
Al tomar la dirección instantánea de cada movimiento como conocida, evitaron tanto
Roberval como Torricelli el uso de innitesimales en su método.
El método de Fermat para los máximos y los mínimos. Hacia 1636 Fermat daba
el primer método general conocido para determinar máximos y mínimos, que presentaba
además otra característica notable: la idea de dar un incremento a una magnitud que
podríamos interpretar como variable independiente.
Fermat ilustraba su método hallando un punto E de un segmento CD, que hace
máxima el área de un rectángulo CE · ED. Consideremos CD = b y llamemos x al punto
buscado. Hay que minimizar la expresión x(b − x).
Fermat considera un incremento e y adiguala la expresión con el incremento a la
expresión inicial:
(x + e)(b − (x + e)) ≈ x(b − x)
Eliminando términos comunes a los miembros queda
be ≈ 2xe + e2

Dividiendo entre e
b ≈ 2x + e
Eliminando los términos que aun contengan e, tendremos b = 2x, luego x = b/2.
Si reproducimos el método de Fermat para una f(x) a maximizar, tendremos:
f(x + ∆x) − f(x) ≈ 0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
≈ 0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x ∆x=0
≈ 0
Lo anterior signicaría extrapolar demasiado al contenido estricto del método: Fermat
no pensaba en una cantidad como una función ni en el incremento como un innitésimo,
su método es estrictamente algebraico.
Con todo, el método no quedaba justicado: en aquel momento no se obervó que el
proceso importante de la cuestión estaba en
lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
= 0
Para Fermat era más importante ver que un método funcionaba en la práctica, que el
dar una demostración del mismo. Así, extendió el proceso a otros problemas, consiugiendo
el cálculo de tangentes, centros de gravedad y la ley de los senos de la refracción.
3.2 Origen del concepto de función.
La noción de función surge con fuerza tras adoptarse el sistema de numeración dec-
imal, con el cálculo simbólico y por las posibilidades de observación y medición
conseguidas a través de los nuevos instrumentos. Fue a partir del siglo XVI cuando
aparecieron los primeros símbolos para la suma, resta, producto, identidad, etc. que mu-
chos de ellos aún se conservan hoy. La Física, en su exploración de los diversos tipos de
movimiento y con la introducción en el Renacimiento de la noción de variable temporal,
provocó el nacimiento del concepto de función; indispensable para el Cálculo Diferencial.
3.3 Nacimiento del Cálculo.
Fue precisamente Galileo (s. XVI - XVII) uno de los pioneros en interesarse por el aspecto
dinámico de la Naturaleza y en buscar leyes para el movimiento. Galileo introdujo la
expresión para la distancia que recorre un cuerpo que cae libremente en el vación s = gt2
/2
a partir de experiencias concretas; (cuenta la historia que dejando caer objetos desde lo
alto de la torre de Pisa). Dedujo también que las trayectorias de los graves son parabólicas.
El alemán Kepler (s. XVI - XVII), estaba interesado en la forma de los toneles de
vino y demostró que de todos los paralelepípedos rectos de baes cuadradas inscritos en

una esfera, el cubo es el mayor. Observó además, que cuando se acercaba al volumen
máximo, el cambio era cada vez más pequeño: las funciones varían lentamente en
los entornos de sus máximos y sus mínimos.
En el s. XVII, dentro del avance general de las ciencias, nace el Cálculo Innitesimal.
Cavalieri, discípulo de Galileo, desarrolla el método de los indivisibles. Considera un
áre constituida por un número indenido de rectas paralelas equidistantes y un volumen
compuesto por un número indenido de áreas planas paralelas; a estos elementos los
denomina indivisibles de área y volúmen respectivamente. Según el teorema de Cavalieri,
si dos sólifos tienen igual altura y si las secciones por planos paralelos a las bases y a la
misma distancia de ellas siempre están en una razón dada, los volúmenes de los dos sólifos
también están en esa razón.
3.4 Derivadas, tangentes, integrales y supercies.
El concepto de derivada surgió principalmente como resultado de muchos esfuerzos di-
rigidos a resolver dos problemas: calcular la recta tangente a una curva y encontrar la
velocidad de un movimiento no uniforme. Pierre de Fermat, (s. XVII), generaliza
los resultados de Cavalieri, pero sobre todo se le debe el concepto de derivada, idea central
del Cálculo Diferencial. Fermat observó que una curva tiene en cada uno de sus puntos
una dirección denida que puede venir dada por la tangente, y ésta ha de ser horizontal
en los máximos y en los mínimos de la curva. Por tanto, el problema de localizar los
extremos se reduce al de buscar dónde son horizontales las tangentes. De ahí se
llega al problema más general de hallar la dirección de la tangente en un punto arbitrario
de la curva. Resolverlo le condujo a la idea rudimentaria de derivada. Para Fermat es
sólo un articio de cálculo, pero llegó a la expresión de la tangente en un punto y estudió
los puntos en los que la tangente cortan a la curva (puntos de inexión).
La relación entre el área bajo una curva y la tangente a la misma aparece en varios
autores: Torricelli, Roberval, Pascal... pero fue Isaac Barrow (s.XVII), quien generalizó
los resultados mediante métodos geométricos que, para él, no poseían las abominables
cargas del cálculo.
Antes de Newton y Leibniz, quien más hizo por introducir métodos analíticos en el
cálculo fue el británico John Wallis (s. XVII). En su Aritmetica Innitorum introduce
sistemáticamente las series innitas, trata de denir el concepto de innites-
imal como recíproco del innito y avanza el concepto aritmético de límite de
una función, (tal y como lo conocemos hoy), como un número al que se aproxima la
función de modo que la diferencia entre este número y la función puede hacerse menor
que cualquier cantidad jada de antemano y que se anularía cuando el proceso continuase
hasta el innito; la forma de denirlo es vaga, pero contiene la idea correcta.

4 Newton y Leibniz.
4.1 Unicación Cálculo Diferencial e Integral.
Ambos matemáticos fueron los primeros en comprender la verdadera importancia de la
relación entre el Cálculo Diferencial e Integral y los fundieron en una única
teoría. Newton, entre 1664 y 1666 (pero no publicado hasta 1687), y Leibniz sobre 1675,
de manera independiente crearon un Cálculo Innitesimal; sus respectivos sistemas eran
muy diferentes en lo que se reere a las ideas y al estilo, pero los dos incluyen tanto de lo
que hoy consideramos esencial en el Cálculo que la expresión invención del Cálculo está
justicada en amblos casos. La disputa de tal honor no fue, sin embargo, incruenta, pues
surgió una querella entre los seguidores de Newton y de Leibniz por mutuas acusaciones
de plagio que se convirtió en un enfrentamiento entre los propios protagonistas.
Históricamente el tipo Leibniziano de cálculo utilizando diferenciales, mostró tener más
éxito que el cálculo uxional de Newton. El enfrentamiento entre ambos grupos llevó a
más de un siglo de enemistades entre los matemáticos ingleses y los del continente, con la
consiguiente falta de cooperación cientíca.
En los trabajos de Newton y Leibniz estaba el germen del concepto de límite, aunque
en rigor, ni ellos ni los matemáticos del siglo XVII apreciaron la necesidad de dicho
concepto. No concebían ninguna diferencia entre Álgebra y Análisis y contemplaban el
Cálculo Innitesimal como una extensión del Álgebra.
4.2 Newton.
Isaac Newton fue alumno de Barrow y fue contratado para sustituirle en Cambrige en
1669. En principio no publicó sus descubrimientos por un miedo excesivo a la crítica
de sus colegas, hasta que le estimularon algunos como Barrow o el astrónomo Edmund
Halley. Newton se interesó mucho más en la ciencia en general que en las matemáticas
en particular. En lo referente al Cálculo, generalizó las ideas ya adelantadas por muchos
otros, estableció métodos y mostró interrelaciones entre problemas clásicos, como los de
la tangente y el área. Aunque progresó en el Cálculo razonando analíticamente, incluso
él pensaba que la Geometría era necesaria para dar una demostración rigurosa.
Su Método de las uxiones considera a las funciones como uyentes dependientes de un
parámetro y las derivadas como uxiones, denotando la función y sus sucesivas derivadas
por x, ˙x, ¨x,... Todo ello le sirve para trazar tangentes, hallar máximos y mínimos, puntos
de inexión, determinar centro y radios de curvatura...
Entre los innumerables resultados que obtuvo Newton, dio un método general para
obtener cálculos relativos de variables (cocientes incrementales para variaciones in-
nitesimales), demostró que el área puede obtenerse como el procedimiento in-
verso a éste (aunque esto era conocido en casos especiales y confusamente previsto por
predecesores de Newton, él vio que era general), aplicó el método para obtener el área

encerrada bajo muchas curvas y para resolver otros problemas que pueden descomponerse
en sumaciones.
Tras demostrar que la derivada del área es el valor de la función y armar
que el recíproco es cierto, Newton estableció la regla de que si el valor de la función
es una suma de términos, entonces el área es la suma de las áreas que resultan de cada
uno de esos términos. En expresión moderna, la integral de una suma de funciones es la
suma de las integrales de las funciones por separado.
Desarrolló la utilizacíón de las series innitas y las usó para integrar funciones in-
tegrando término a término y, fundamentalmente, para obtener aproximaciones válidas
dentro de un error prejado en el valor numérico de dichas integrales.
Para ejemplicar el modo que que Newton desarrolló sus teorías del Cálculo Diferen-
cial, vemos en su Tractatus de Quadratura Curvarum que para introducir la derivada, por
ejemplo de xn
, deja uir x hasta x + o y se convierte en
(x + o)n
= xn
+ noxn−1
+
n2
− n
6
o2
xn−2
+ . . .
El incremento de xn
es (x + o)n
− xn
, y el de x es o, con lo que su cociente, el cociente
de los eincrementos, será
(x + o)n
− xn
o
= nxn−1
+
n2
− n
6
oxn−2
+ . . .
Ahora, Newton hace desvanecer los incrementos, quedando la última proporción como
nxn−1
. Obviamente concuerda este resultado con el de la derivada de xn
. Esta teoría
denominada razón primera de los incrementos nacientes y razón última de los incremen-
tos evanescentes está muy cerca del concepto de límite, pero es ambigua en el término
desvanecer. Newton dice que lo importante no son las uxiones en sí, sino sus razones.
4.3 Leibniz.
Muchos de los resultados de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) se encuentran en
anotaciones suyas hechas desde 1673 en adelante, aunque no publicó artículos de Cálculo
hasta 1687.
Como ya comentamos, Leibniz también dedicó buen tiempo de estudio al que se plante-
aba como uno de los problemas más importantes de la matemática del siglo XVII: el de
encontrar métodos para determinar la cuadratura de curvas. Fue durante el
curso de estos estudios que utilizó por primera vez los símbolos y d, explorando además
las reglas operativas a que obedecen las reglas de cuadratura. Veamos las tres ideas
principales que le guiaron en sus investigaciones de 1675.
Construcción de un lenguaje simbólico universal. (Characteristica generalis). Un
lenguaje mediante el que se pudieran escribir con símbolos y fórmulas todos los procesos

de argumentación y razonamiento; símbolos que deberían obedecer ciertas reglas de com-
binación entre ellos que vendrían a garantizar la corrección de los argumentos formulados
en este lenguaje.
2
Sus dx, dy y
dy
dx
se utilizan todavía hoy. Introdujo la notación log x, dn
para la
diferencial n-ésima y el ya clásico símbolo de integración que representa una S estilizada
para simbolizar la suma de todos los recintos innitamente pequeños de una integral
Sucesiones de diferencias. En sus estudios sobre sucesiones numéricas a1, a2, a3, . . . y
sus sucesiones de diferencias primeras asociadas, b1 = a1−a2, b2 = a2−a3, b3 = a3−a4, . . .
Leibniz se había dado cuenta de la relación
b1 + b2 + . . . + bn = a1 − an+1
lo que signica que las sucesiones de diferencias se podían sumar fácilmente.
Estos resultados no eran nuevos del todo pero le hicieron darse cuenta de que el formar
las sucesiones de diferencias y las sucesiones de sumas eran operaciones inversas una de
la otra. Tal idea adquirió todo su signicado cuando la aplicó a la geometría.
Según Leibniz podemos considerar una curva como denida por una sucesión de orde-
nadas equidistantes y. Si su distancia es 1, la suma de esas ordenadas da una aproximación
de la cuadratura de la curva, y la diferencia entre dos ordenadas sucesivas nos da aproxi-
madamente la pendiente. Cuanto menor sea la unidad 1, mejor será la aproximación; así,
si la unidad pudiera ser innitamente pequeña, estas aproximaciones se harían exactas; en
tal caso la cuadratura sería igual a la suma de las ordenadas, y la pendiente de la tangente
sería igual a la diferencia de dos ordenadas sucesivas. De esta manera, de la reciprocidad
de las operaciones tomar sumas y tomar diferencias, sacó Leibniz la conclusión de que las
determinaciones de cuadraturas y de tangentes eran también operaciones inversas una de
la otra.
Así, esta idea sugería ya un cálculo innitesimal de sumas y diferencias de ordenadas
mediante el cual podían ser determinadas cuadraturas y tangentes y en el que estas
2Esto explica en buena medida su interés por el simbolismo y la notación en matemáticas.

determinaciones aparecían como procesos inversos. La idea hacía asimismo plausible el
que, de la misma manera que en las sucesiones la determinación de diferencias es siempre
posible, pero no la determinación de sumas, así en el caso de las curvas las tangentes son
siempre fáciles de hallar pero no así las cuadraturas.
Leibniz dio reglas para la diferencial de sumas, productos y cocientes de funciones y
para la función xn
. En este último caso esboza la demostración para n entero positivo, pero
dice que la regla es válida para cualquier n; para las demás reglas no dio demostraciones.
La mayor crítica que se hace al trabajo de Leibniz es que fue tan incompleto y frag-
mentario, aunque rico en sugestiones y profundo, que resultaba difícilmente inteligible.
Afortunadamente los hermanos Bernoulli, Jacques y y Jean, con quienes mantenía cor-
respondencia, pulieron sus esquemáticos trabajos y aportaron una cantidad inmensa de
nuevos desarrollos. Leibniz reocnoció que el Cálculo era tanto de ellos como suyo.
4.4 Comparaciones entre Newton y Leibniz.
Tras las contribuciones de ambos, el Cálculo dejó de ser una extensión de la Geometría
para convertirse en una ciencia independiente con capacidad para manejar una cantidad
amplia de problema propios.
Con ellos se produjo un importante cambio respecto a sus predecesores: la alge-
brización del Cálculo. Las notaciones y técnicas del Cálculo permitían tratar mediante
un mismo sistema matemático muchos problemas geométricos y físicos diferentes.
Otra contribución sustantiva de ambos es la reducción a cuestiones de difenreciación
y antidiferenciación los problemas relativos a cambios instantáneos, tangentes, extremos,
cuadraturas...
La distinción principal entre el trabajo de los dos es que Newon trató esencialmente el
límite del cociente de los incrementos cuando éstos se hacían cada vez más pequeños. Por
otra parte, Leibniz trató directamente con los incrementos innitamente pequeños en x y
en y, es decir, con diferenciales y determinó las relaciones entre ellos. Esta diferencia reeja
la orientación física de Newton, en la que un concepto como el de velocidad es central, y
crea el concepto de uxión, y la preocupación losóca de Leibniz por las partículas últimas
de la materia que llamó mónadas.; su concepto fundamental será el de diferencial. Como
consecuencia, Newton resolvió problemas de áreas y volúmenes pensando enteramente
en términos de cambio relativo. Para él, la diferenciación era básica; este proceso y su
inverso resolvían todos los problemas del cálculo y, de hecho, el uso de la sumación para
obtener un área, un volumen o un centro de gravedad aparece raramente en sus trabajos.
Leibniz, en cambio, pensaba primero en términos de sumación aunque calculara mediante
antidiferenciación.
Otra diferencia entre los dos cálculos es la que se reere al concepto de integral y al
papel del teorema fundamental. Para Newton el objeto de la integración era hallar la
cantidad uente de una uxión dada; sí pues, en su versión del cálculo el teorema funda-

mental del cálculo era una consecuencia inmediata y trivial de la denición de integral.
Leibniz en cambio veía la integración como una suma y, por lo tanto, para él el teorema
fundamental del cálculo era consecuencia de la relación inversa que hay entre las opera-
ciones de sumar y de tomar diferencias. Los Bernoulli, sin embargo, reinterpretaron la
integral de Leibniz como la inversa de la diferenciación, así que durante todo el siglo XVIII
el teorema fundamental del cálculo fue una consecuencia inmediata de la denición de la
integración.
Pese a que hemos destacado la mayor ecacia del método de Leibniz, la dirección del
Análisis de los siglos posteriores estuvo marcada en mayor medida por las aplicaciones que
Newton hizo del Cálculo que por las del matemático alemán, cuya preocupación principal
era dar reglas de cálculo, fórmulas y diseñar tablas.
Newton usaba libremente series para representar funciones incluso en ecuaciones difer-
enciales sencillas, mientras que Leibniz, aunque no tuviera más remedio que usar desar-
rollos en serie cuando no sirvieran las funciones algebraicas, prefería la forma cerrada.
Comparados con la forma moderna del cálculo observamos otras diferencias. En primer
lugar, mietras que los cálculos tanto de Newton como de Leibniz se referían a variables, el
cálculo moderno trabaja con funciones. En segundo lugar, la diferenciación viene denida
en el cálculo moderno de distinta forma a como lo estaba en el siglo XVIII, pues asocia a
una función otra función derivada de ella, la derivada, denida mediante el concepto de
límite. En tercer lugar, y al contrario que ocurría en el cálculo del s. XVIII, el análisis
moderno ha conseguido un tratamiento del problema de la fundamentación del cálculo,
que ha sido aceptado en general, y que pasa por una denición precisa de los números
reales, en lugar del concepto vago de cantidad que tuvo que servir como base del análisis
hasta 1870, para desembocar en el concepto de límite bien denido.
5 Sucesores de Newton y Leibniz. Siglo XVIII
5.1 Las lecciones sobre integración de Johann Bernoulli.
En 1742 publicaba Johann Bernoulli, más de 50 años después de haberlas escrito las
lecciones que había dado a l'Hôpital sobre el método de las integrales. Estas lecciones
pueden considerarse como un buen resumen de las ideas vigentes en torno a 1700 sobre
las integrales y su uso en la resolución de problemas.
Bernoulli comienza deniendo la integral como la inversa de la diferencial. Esta con-
cepción de la integral diere de la de Leibniz, que la consideraba como una suma de
cantidades inntamente pequeñas. Pasa a explicar a continuación que el uso principal
del cálculo integral está en la determinación de áreas; para ello hay que considerar dicho
área como dividida en partes innitamente pequeñas. Tales partes son las diferenciales
de dichas áreas, y lo que queremos hacer es hallar su expresión por medio de letras deter-
minadas y una única cantidad indeterminada, es decir, una expresión f(u)du, donde u es

una variable. El área buscada es entonces igual a la integral f(u)du.
La siguiente aplicación del método de integración está en el denominado método inverso
de las tangentes: determinar una curva a partir de una propiedad dada de sus tangentes
(ecuación diferencial)
5.2 Inglaterra.
En Inglaterra surgieron dos insignes matemáticos: Colin McLaurin (1698 - 1746) y Brook
Taylor (1685 - 1731), que al buscar aplicaciones del Cálculo desarrollado por Newton
estudiando los desarrollos en serie que él empleaba, obtienen las fórmulas que llevan sus
nombres para aproximar el valor de una función en el entorno de un punto a partir de sus
sucesivas derivadas en el mismo.
5.3 La forma dada por Euler al Análisis.
A Euler debemos dos textos con los que estudiaría una generación de matemáticos: In-
troducción al análisis de los innitos y Textos sobre Cálculo Diferencial; en ambos, la
función es el centro de estudio del análisis.
5.3.1 El análisis de los innitos.
La construcción del Análisis fue en gran medida obra de Euler (1707 - 1783), entendiendo
por Análisis la rama de la matemática que engloba los métodos innitesimales de cálculo
diferencial e integral y las series. El origen geométrico de las variables se fue haciendo
más remoto, y así el cálculo fue cambiando hasta convertirse en una disciplina que se
ocupaba simplemente de fórmulas. Euler vino a reforzar esta transición al armar ex-
plícitamente que el análisis es una rama de la matémática que trabaja con expresiones
analíticas y especialmente con funciones, que denía de la manera siguiente: una función
de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de una manera arbitraria
por esa variable y por números y cantidades constantes. Así, las expresiones algebraicas
en general, e incluso las series innitas fueron consideradas como funciones; las constantes
y las cantidaes variables podían tomar, dicho sea de paso, valores imaginarios o complejos.
Euler emprendió la tarea de hacer un inventario y clasicar todo esta vasto campo de
funciones en la primera parte de su Introducción al análisis de los innitos. Su ón tiene
la intención de ser un panorama de los conceptos y métodos del análisis y de la geometría
analítica que son preliminares necesarios para el estudio del cálculo diferencial e integral.
Euler hizo de este panorama una demostración magistral de cómo introducir tanto análisis
como fuera posible sin usar ni diferenciación ni integración. En particular introduce las
funciones trascendentes elementales, la función exponencial, el logaritmo (com inversa
de la exponencial), las funciones trigonométricas y sus inversas sin recurrir al cálculo
integral, evitando en lo posible las argumentaciones geométricas en favor de las analíticas

y realizando un estudio de las propiedades de las funciones trascendentes elementales por
medio de sus desarrollos en series innitas, lo que no es pequeña proeza dado que el
logaritmo se consideraba tradicionalmente ligado a la cuadratura de la hipérbola y las
funciones trigonométricas al cálculo de la longitud del arco de circunferencia.
Para ello Euler tuvo que utilizar en su Introducción algunos procedimientos propi-
amente innitesimales, como por ejemplo el desarrollo binomial y otros métodos, y la
sustitución en las fórmulas de números innitamente grandes o innitamente pequeños
por otros.
Así, el seno de un ángulo por ejemplo, ya no es un segmento, sino simplemente un
número, la ordenada de un punto de la circunferencia unidad, o bien el número denido
por la serie
sen x = x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ . . .
5.3.2 El Cálculo Diferencial.
La obra de Euler Textos sobre el cálculo diferencial comienza con dos capítulos sobre el
cálculo de diferencias nitas, y a continuacion introduce el cálculo diferencial como un
cálculo de diferencias innitamente pequeñas, volviendo así a una concepión más afín a
la de Leibniz ue a las de l'Hôpital: El análisis de los innitos... no será otra cosa que
un caso especial del método de diferencias expuesto en el primer capítulo, que se presenta
cuando las diferencias que previamente habíamos supuesto nitas se toman innitamente
pequeñas.
Para Euler el cálculo diferencial es el método de determinar las ratios de los incre-
mentos evanescentes de las funciones respecto a los de las variables independientes. Euler
considera que las cantidades innitamente pequeñas son, de hecho, iguales a cero, pero
pueden tener entre sí razones nitas; en su opinión la igualdad 0 · n = 0 implica que 0/0
puede valer n en algunos casos y 0 el cálculo diferencial investiga precisamente los
valores de tales `razones entre ceros.
Euler introduce un cambio en el cálculo leibniciano que lo aproxima a los incrementos
evanescentes de Newton. Introduce el cociente de incrementos
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
que dará origen a la derivada de una función, concepto que iba a sustituir a las diferenciales
dy y dx que ocupabab puestos de honor en el cálculo de Leibniz.
La introducción de la derivada implica un cambio subyacente en el concepto de función:
cuando la función se entendía com una relación entre las variables x e y, los conceptos
claves eran dx y dy; cuando la función empezó a entenderse como una aplicación que a
un número x le hace corresponder otro f(x), el concepto clave pasó a ser el de derivada.
(Euler fue quien comenzó a escribir las funciones como f(x). Este cambio que introduce

Euler acercará los conceptos del cálculo diferencial de Leibniz a la idea de límite
que luego servirá para fundamentarlo.
Para obtener las derivadas calcula los cocientes incrementales y anula los términos con
diferencias de mayor grado.
Ejemplo. Obtención de la derivada de lnx. Sea y = lnx, entonces dy = ln(x +
dx) − lnx, con lo que
dy = ln(
x + dx
x
) = ln(1 +
dx
x
)
Desarrollando en serie:
y =
dx
x
−
d2
x
x2
+
d3
x
x3
− . . .
deshechando los cocientes de grado mayor que 1, tenemos y = dx
x
Y así procede en general,
por desarrollos en serie y eliminación.
Euler abordará el cálculo de máximos u mínimos, el desarrollo de funciones como series
de potencias, la suma de series y las ecuacions diferenciales. En el caso de las ecuaciones
diferenciales, los factores integrantes, los métodos sistemáticos para resolver ecuaciones
lineales de orden superior con coecientes constantes, la distinción entre solución partic-
ular y general, están entre sus contribuciones.
6 Lo que quedaba sin resolver: las cuestiones de fun-
damentos.
6.1 Las tres cuestiones fundamentales del cálculo.
El problema principal que quedó sin resolver a lo largo de todo el siglo XVIII fue la
fundamentación del cálculo. Gran cantidad de propiedades contradictorias se le atribuían
al concepto fundamental del cálculo, el de diferencial. Según uno de los postulados de
l'Hôpital, una cantidad podía incrementarse en un diferencial sin incrementarse nada en
absoluto. Sin embargo, este postulado era necesario para deducir las reglas del cálculo,
donde las diferenciales de orden superior deben considerarse como despreciables con re-
specto a las diferenciales ordinarias, y análogamente las diferenciales ordinarias tienen
que despreciarse con respecto a cantidades nitas. Las diferenciales tienen propiedades
que parecen claramente autocontradictorias. Esto nos conduce a las siguientes cuestiones
fundamentales del cálculo, tal como vieron muchos matemáticos desde Leibniz.
CF 1: ¾Existen cantidades innitamente pequeñas? La mayor parte del los que
aplicaban el cálculo de Leibniz llegaron a convencerse de que la respuesta era armativa,
con lo que consideraron las reglas del cálculo demostradas de una forma suciente. Con
todo, hay una forma más sosticada de considerar la cuestión que el mismo Leibni, por
ejemplo, adoptó:

CF 2: ¾Se puede garantizar que es seguro el uso de cantidades innitamente
pequeñas en el cálculo? A esta pregunta Leibniz no le encontró una respuesta satis-
factoria.
En el cálculo de uxiones de Newton también había un problema de fundamentos
sin resolver. Newton armaba que su cálculono dependía de la existencia de cantidades
innitamente pequeñas; su concepto fundamental era el de uxión, la velocidad de cambio
de una variable que puede ser considerada como aumentando o disminuyendo con el
tiempo. Ahora bien, en el uso concreto del cálculo uxional lo importante no son las
uxiones en sí, sino sus razones. Así por ejemplo, se halla la tangente a una curva
mediante el argumento de que la razón de la ordenada a la subtangente es igual a la razón
de las uxiones de la ordenada y de la abscisa respectivamente: y/σ = ˙y/ ˙x, siendo σ la
subtangente.
Newton explica que la razón de las uxiónes ˙y/ ˙x es igual a la primera o a la última de
las razones de los incrementos o decrementos de y y de x respectivamente. Considera que
tales razones disminuyen ambas hacia cero o aumentan ambas desde cero. En el primer
caso habla de su razón última, que alcanzan justo cuando se desvanece en el cero o en la
nada, y en el segundo caso habla de su razón primera que es la que tienen justamente al
llegar a ser, nada más surgir del cero o de la nada.
Obviamente el concepto de límite está implícito en este razonamiento, pero la formu-
lación, dada como estál deja importantes resquicios a la duda, ya que en tanto que los
incrementos existen, su razón no es su razón última, y cuando ya han cesado de existir
no tienen ninguna razón entre sí en absoluto. Se presenta entonces una tercer cuestión
fundamental:
CF 3: ¾Existen las razones primeras o últimas?
6.2 La crítica de Berkeley a los fundamentos del cálculo.
La mayoría de los matemáticos que trabajaban con las ténicas del cálculo a principios del
XVIII no se preocuparon mucho de las cuestiones de fundamentos. La primer discusión
ampliamente difundida sobre tales fundamentos fue debida a las críticas de un profano
en la materia, sobre las pretensiones de los matemáticos de que su ciencia estanba basada
en fundamentos sólidos y podía, por tanto, llegar a alcanzar la verdad; nos referimos al
lósofo y obispo George Berkeley. Así, examina si los objetos, principios e inferencias
del análisis modernos están formulados de manera más clara, o deducidos de manera más
evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe.
Berkeley expone la vaguedad que rodea a las cantidades innitamente pequeñas, a
los incrementos evanescentes y sus razones, a las diferenciales y a las uxiones de orden
superior. Critica también la inconsistencia lógica que supone trabajar con incrementos
pequeños que, para empezar se suponen distintos de cero con objeto de poder dividir por

ellos, y nalmente se consideran iguales a cero para librarse de ellos.
Berkeley, consciente del la corrección de las conclusiones a las que llegaba el cálculo,
explicaba este éxito que inclinaba a los matemáticos a creer en la certeza de su ciencia,
por medio de una compensación de errores, implícita en la aplicación de las reglas del
cálculo. Según él, el matemático llega. bien que no a la ciencia, sí a la verdad, porque
no puede llamarse ciencia cuando se procede a ciegas y se llega a la verdad no sabiendo
cómo ni por qué medios.
6.3 Los límites y otros intentos de resolver los problemas de fun-
damentos.
6.3.1 La solución actual al problema.
Las críticas de Berkeley fueron el comienzo de un largo debate sobre los fundamentos del
cálculo. Antes de entrar en el debate generado, recordemos cómo se resuleve el problema
de los fundamentos en el cálculo diferencial moderno.
La forma moderma del cálculo se ocupa de funciones y asocia a cada función f su
derivada f , que es a su vez una función denida por el concepto de límite:
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
Los preliminares en que se apoya este enfoque fueron desarrollados a lo largo de los
siglos XVIII y XIX, y jugaron diferentes papeles segun los distintos puntos de vista sobre
las cuestiones de fundamentos que se adoptaron durante este periodo. Es interesante dar
un vistazo a la lista de estos preliminares; son, en resumen, los siguientes:
1. la idea de que el cálculo tiene que ver con funciones (más que con variables);
2. la elección de la derivada como el concepto fundamental del cálculo diferencial (en
lugar de la diferencial);
3. la consideración de la derivada como función;
4. el concepto de límite y, en particular, el límite de una función cuando la variable
independiente se comporta de una cierta manera señalada explícitamente (y así, en
vez de hablar simplemente del límite de la variable dependiente p, se hace indicación
explícita tal como limh→0 p(h))
6.3.2 Otras respuestas.
Euler consideraba que el cálculo se ocupaba de funciones, pero para él el concepto principal
era todavía el de la diferencial, a la que consideraba igual a cero pero pudiendo tener
razones nitas cuando se comparaba con troas diferenciales. Obviament este punto de

vista deja todavía sin contestar la cuestión fundamental CF3; de hecho no parece que
Euler estuviera demasiado interesado en los problemas de fundamentos.
La idea de compensación de errores lanzada por Berkeley fue desarrollada por Carnot
entre otros. Otro punto de vista básicamente distinto es el debido a Joseph Louis
Lagrange, quien suponía que para toda función f y para todo x se podía desarrollar
f(x + h) en una serie
f(x + h) = f(x) + Ah + Bh2
+ Ch3
+ . . .
Así, Lagrange denía la fución derivada f (x) sencillamente como el coeciente de h
en este desarrollo. Esta propuesta llegó a tener cierto apoyo, aunque como solución a los
problemas de fundamentos no es válida: no siempre puede realizarse ese desarrollo y aun
así quedaría la cuestión de la convergencia. Con todo, este enfoque fue muy fructífero:
consideraba al cálculo como una teoría sobre funciones y sus derivadas, las cuales eran
otra vez funciones.
A la larga, el enfoque que triunfó para resolver las cuestiones de fundamentos fue
el del uso de la idea de límite. Robins y D'Alembert consideraban los límites de las
variables como los valores limitadores a los que dichas variables se pueden aproximar tan
cerca como se quiera. Segun d'Alembert, una magnitud se dice que es límite de otra
magnitud cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier magnitud
dada, por pequeña que ésta sea, aunque la primera magnitud no pueda superar a la segunda
magnitud. Así, interpretaremos dy/dx no como una razón de diferencias sino como el
límite de una razón de difenrecias nitas. Robins y d'Alembert no fueron los primeros
en formular el concepto de límite. De hecho aparece ya implícitamente en la antigua
matemática griega (véase, el método de exhausción), y Simon Stevin estuvo muy cerca
también de formularlo. Con todo, el enfoque a base de los límites fue sólo uno más entre los
muchos planteamientos posibles del problema. La razón por la que fue necesario esperar
hasta que se reconoción el valor de la teoría de límites está en el hecho de que tanto
Robins como d'Alembert consideraron sólo límites de variables; en esta forma el concepto
aparecía aún muy poco claro, y la oscuridad que presentaba sólo podía eliminarse una vez
que el concepto se aplicase a funciones bajo condiciones de comportamiento de la variable
independiente especicadas de forma explícita.
7 La aparición del análisis matemático y su fundamentación.
7.1 La llegada del análisis matemático moderno.
Una característica del análisis matemático tal y como se estudia hoy en un primer curso
universitario, es su aparente autonomía del álgebra y la geometría. Otra característica
destacable reside en la unicación que permite dar la teoría de límites en la que se apoya,
a ramas de la matemática aparentemente muy separadas unas de otras.

El estudio de las ecuaciones diferenciales y su solución fue una de las aplicaciones más
importantes del cálculo. Tal característica se mantuvo en el siglo XIX, y de una manera
muy especial al irse presentando una utilización creciente de las ecuaciones en derivadas
parciales con condiciones de contorno.
A nales del XVIII, tanto el álgebra como la teoría de series y el cálculo se consider-
aban parte del análisis matemático. La consolidación de tal síntesis fue debida en gran
parte a Augustin Louis Cauchy, ya en el s. XIX, que al hablar del análisis matemático,
estaba hablando de: funciones reales e imaginarias, series convergentes y divergentes, res-
olución de ecuaciones, descomposición en fracciones racionales, continuidad de funciones,
propiedades de las cantidades innitamente pequeñas (que son base del cálculo innites-
imal), teoría de límites. En sus lecciones sobre cálculo innitesimal, Cauchy pretendía
conciliar el rigor, con la sencillez que resulta de la aplicación directa de cantidades inni-
tamente pequeñas, continuando así la tradición iniciada por Lagrange y Laplace y que se
llega hasta nuestros días.
Los siguientes progresos importantes en el análisis matemático fueron debidos a Karl
Weierstrass y a su escuela (hacia 1860), a la que se debe quizá más que a la época de
Cauchy, el que el análisis matemático tomara la forma que puede verse ahora en los
primeros capítulos de los textos modernos. Más adelante, cabe destacar a un grupo de
matemáticos italianos encabezados por Peano, que reinterpretaron la obra de Weierstrass
aplicándole las nuevas técnicas de la lógica matemática.
7.2 Funciones arbitrarias y los fundamentos del análisis.
7.2.1 Funciones arbitrarias.
Euler había sido responsable de importantes perfeccionamientos y desarrollos del cálculo
de Leibniz, aunque sus fundamentos no estuvieran sucientemente claros. Una de las
dicultades importantes relativas a la fundamentación era sobre el tipo de funciones
que se podían utilizar en el cálculo, problema que se presentaba de una forma muy
destacada al analizar el fenómeno de la cuerda vibrante. Obtenida la llamada ecuación de
ondas
∂2
y
∂x2
=
1
c2
∂2
y
∂t2
,
donde y es el desplazamiento vertical en el instante t del punto de abscisa x de una cuerda
uniforme sujeta por sus extremos a dos puntos del eje x distantes π entre sí. La solución
era
y = f(x + ct) + g(x − ct),
donde f y g quedaban determinadas por las condiciones iniciales.
Lo que resultaba discutible eran el tipo de funciones que podían admitirse como solu-
ciones. Según Euler debían admitirse funciones con picos ( e incluso funciones completa-
mente arbitrarias), para poder representar la posición inicial de la cuerda al tañerla, pero

d'Alembert contestaba que en tales puntos no existiría la segunda diferencial y entonces
no podría aplicarse en ellos la ecuación.
Daniel Bernoulli propone unas solución dada por una combinación de vibraciones
sinusoidales, con lo que da una ecuación en términos de una serie innita de senos, y
Lagrange presenta un análisis nuevo del problema defendiendo la interpretación hecha
por Euler, pero deduciéndola de un modo distinto, aunque acabe llegando a fórmulas
similares a las de Bernoulli con una importante manipulación de series.
7.2.2 La fundamentación del cálculo.
Lagrange arma que toda función puede ser desarrollada en una serie de Taylor
f(x + i) = a0 + a1i +
1
2!
a2i2
+ · · ·
y que sus coecientes diferenciales (a los que llamaba funciones derivadas), venían denidas
como los coecientes a0, a1, a2, ... del desarrollo anterior. lagrange armaba que tales co-
ecientges podían ser calculados por métodos que están libres de cualquier consideración
a los innitamente pequeños, a las cantidades evanescentes, a los límites y a las uxiones
y se reducen al análisis algebraico de cantidades nitas.
Lagrange demostraba los teoremas básicos del cálculo pero sólo pudo obtener las fun-
ciones derivadas por métodos algebraicos para funciones sencillas. Aunque el énfasis que
puso en las series de potencias y su terminología de función derivada, así como las nota-
ciones f (x), f (x), ... para ella tuvo gran aceptación, pocos matemáticos adoptaron su
punto de vista.
A nales del XVIII, la Academia de Berlín convocó un premio para una teoría clara y
precisa de lo que se llama el innito en matemáticas, cuyo ganador, Simon Lhulier, aportó
un estudio serio y laborioso sobre los límites al estilo de d'Alembert. En su tratamiento
del cálculo diferencial dene la derivada de la manera moderna: dy/dx es el límite del
cociente de las diferencias y debe ser leído como un símbolo único y no como una razón.
También se trabajó a nales del XVIII sobre la continuidad de las funciones, y comienza
a verse un giro hacia una interpretación de carácter geométrico de las funciones. Una
función podía presentar un punto anguloso o incluso un punto de retroceso en su gráca,
dos expresiones podían tener la misma tangente en el punto de unión de sus grácas, etc.
Este giro hacia la geometría fue un paso intermedio importante en el progreso hacia
el análisis matemático.
7.3 El impacto de las series de Fourier en el análisis matemático.
A principios del XIX, presenta Fourier una monografía sobre la transmisión del calor.
Básicamente la ecuación de difusión que satisface la temperatura y de un punto de abscisa

x en un cuerpo unidimemsional, en el instante t, tiene la forma
∂2
y
∂x2
=
∂y
∂t
Resolviendo y poniendo la condición inicial de que y = f(x), para t = 0, obtiene la serie
de Fourier de f
f(x) = a0 +
∞
r=1
(arcosrx + brsenrx), x ∈ [0, 2π].
Más allá del cálculo de los coecientes la discusión se centró en la forma en que la serie
representaba a la función, dado que entraban en juego cuestiones de periodicidad, de
los intervalos de denición..., y se analizaban ciertas funciones que, entre otros Euler,
negaban que pudieran representarse mediante una serie trigonométrica. Así, la serie de
Fourier generalmente diere de la función que la dene fuera del intervalo de denición.
Todas estas ideas están muy alejadas de una concepción algebraica del cálculo, y en
realidad están pidiendo una vuelta a la geometría.
Junto con el problema de la representabilidad aparecía el problema de la convergen-
cia, pero éste último quedó relegado a un segundo plano. Laplace recoge los análisis
de Fourier, y en sus estudios sobre la representabilidad de funciones obtiene soluciones
dadas por integrales, con lo que aparece entonces un tipo funciones que iba a tener cada
vez más relevancia: una función denida por medio de una representación integral, que
constituyeron un estímulo para algunos de los trabajos de Cauchy.
7.4 El análisis de Cauchy: límites, innitésimos y continuidad.
Hacia 1820 se maniesta el interés de Cauchy en la fundamentación del análisis de variable
real. Formula una teoría de límites con mucho más detalle que cualquiera de las anteriores,
utilizando la siguiente deniciónde límite:
Cuando los valores que va tomando sucesivamente una variable particular se
aproximan indenidamente a un valor jo, de tal manera que acaban por
diferir de él en tan poco como queramos, entonces este último valor recibe el
nombre de límite de todos los anteriores.
Así, para Cauchy un innitésimo, una cantidad que se hace innitamente pequeña, es
aquella cuyo valor disminuye indenidamente hasta converger al límite cero. Con estas
deniciones, quedan aún abiertas algunas cuestiones importantes del análisis de Cauchy:
parece como si hubiera una cantidad variable cuyos valores numéricos tendieran hacia cero,
parece que tal cantidad debe existir de alguna manera. En el análisis moderno, la variable
x es un símbolo, que representa a cierta valor, pero no existe como cantidad variable. La
escuela de Weierstrass dará esta apreciación según la cual hablar de lo innitamente
pequeño no presupone la existencia de valores innitamente pequeños.

Su siguiente denición, básica desde nuestro punto de vista, es la de continuidad de
una función f(x):
La función f(x) permanecerá continua con respecto a x entre los límites da-
dos, si entre estos límites un incremento innitamente pequeño de la variable
siempre produce un incremento innitamente pequeño de la función misma.
Una característica a destacar del análisis de Cauchy es la de que no se apoya en consid-
eraciones geométricas. Utilizando la teoría de límites como punto de partida de
las deniciones de propiedades básicas, y la aritmética de desigualdades como
mecanismo principal en las demostraciones, consiguió Cauchy llevar al análisis
a una situación de autonomía respecto a la geometría y al álgebra.
7.4.1 Sobre el cálculo diferencial de Cauchy.
Cauchy rechaza la creencia de Lagrange en la serie de Taylor como fundamento del cálculo,
tanto por las cuestiones referentes a la convergencia como porque no todas las funciones
admite tal desarrollo en todos los puntos.
Procede del modo siguiente en su deniciónd e la derivada:
Consideremos una función continua f(x) y sea i un innitesimal; entonces,
por la continuidad de f, f(x + i) − f(x) es también un innitésimo y si la
razón entre ellos tiende a un límite, entonces ese límite es la función derivada
f (x) de Lagrange:
f (x) = lim
i→0
f(x + i) − f(x)
i
Las derivadas las maneja del mismo modo.
Un problema que se plantea entonces es saber si toda función continua es diferenciable.
Dentro de los sitemas de comienzos del XIX las propiedades de continuidad y diferencia-
bilidad no estaban claramente denidos, y los innitésimos podían permitir interpretar
un pico en la curva como un recodo curvilíneo innitamente apretado.
Cauchy da su propia prueba del teorema del valor medio del cálculo diferencial, pero
Weierstrass observa más adelante la falta de rigor de su demostración. Básicamente la
clave estaba en la falta de una estructura clara para la recta real al demostrar teoremas
de existencia como el del valor medio.
El análisis de Cauchy: la convergencia de series. La teoría de series es una parte
importante del análisis matemático de Cauchy: por primera vez incluye las series en
unidad completa con el cálculo, apoyándose en la base común de la teoría de límites.
Con todo, nos limitamos a observar algunas de sus aportaciones. De un lado, Cauchy
habla de la convergencia en sí:

Para que una serie sea convergente es necesario y suciente que, para valores
innitamente grandes del número n, las sumas sn, sn+1, sn+2, ... dieran del
límite s, y en consecuencia entre sí, en cantidades innitamente pequeñas.
Nuevamente, una demostración rigurosa de la suciencia de esta condición, asegura la
existencia de un límite, para lo que necesita un conocimiento preciso de la estructura de
la recta real.
7.5 Series de Fourier, convergencia y avances en los fundamentos.
Fourier había probado la convergencia de algunas series particulares, pero no consiguió
una demostración general. Dirichlet estudia también estas sucesiones y concluye que la
solución pasa por buscar condiciones sucientes sobre la función, para las que pueda de-
mostrase la convergencia, con lo que se proponía una nueva tarea al análisis matemático:
obtener condiciones sucientes cada vez más generales para la convergencia de las series de
Fourier. Esto implicaba claramente considerar funciones con una innidad de valores ex-
tremos, de discontinuidades y/o de valores innitos en un intervalo nito, y estos estudios
ocuparon un lugar prominente en el desarrollo posterior del análisis matemático.
Hacia 1837, Dirichlet insistía en la necesidad de utilizar un concepto muy general de
función, no ligado necesariamente a expresión analítica alguna. Como por ejemplo la cono-
cida como función de Dirichlet, que no deja de ser la función característica de los números
racionales; era consciente además de la necesidad que planteaba este tipo de funciones, de
discutir los principios fundamentales del análisis innitesimal. La consideracíón de este
tipo de funciones va a suponer un revulsivo para las teorías sobre integración.
Comienzan entonces a analizarse distintos tipos de convergencia, y en particular la
relevancia de la que se denominaría convergencia uniforme, que iba a justicar la
conservación de determinadas propiedades en los pasos al límite.
7.6 El impacto de Riemann y Weierstrass.
La contribución más importante a la teoría de series después de Dirichlet, fue la de Bern-
hard Riemmann en su trabajo de 1854 sobre series trigonométricas, entre los que entre
otras cuestiones analiza el concepto de integral, y la representabilidad de funciones me-
diante series. Riemann consiguió establecer (siguiendo a Dirchlet), que una serie condi-
cionalmente convergente puede reoredenarse para que converja a cualquier valor dado.
Construyó además funciones con una cantidad innita de discontinuidades, y optó por
buscar condiciones necesarias de convergencia.
A Weierstrass y a sus alumnos les debemos la mayor parte de lo que constituye la
fundamentación rigurosa del análisis matemático que se enseña hoy.
Puede decirse, que la historia del análisis matemático durante el último tercio
del siglo XIX es en gran medida la historia de los matemáticos que se pusieron

a aplicar las técnicas de Weierstrass a los problemas propuestos por Riemann.
7.6.1 La importancia de la propiedad de uniformidad.
Convergencia uniforme: la n-ésima suma parcial dista de su valor límite una cantidad
aproximadamente igual para todos (o casi todos) los valores de la variable independiente.
Weierstrass habla de forma informal sobre convergencia uniforme, pero la utiliza para
analizar la denibilidad de funciones en términos de series de potencias. Además, presenta
también un criterio de convergencia uniforme (que ahora denominamos criterio M de
Weierstrass).
La demostración de Weierstrass contiene de forma implícita una suposición tácita del
que hoy conocemos como Teorema de Heinte-Borel, de que de todo conjunto cerrado
y acotado que poseea un recubrimiento abierto, puede extraerse un subrecubrimiento
(abierto) nito. Resultado que también había supuesto Heine en su prueba de que toda
función continua y acotada sobre un intervalo cerrado nito es uniformemente continua.
El estudio de los distintos tipos de convergencia trajo consigo la reconstrucción de los
fundamentos del análisis.
Analizar las funciones arbitrarias de Dirichlet lleva a Lipschitz a estudiar la posible dis-
tribución de sus singularidades sobre la recta real, introduciendo algunas ideas primitivas
acerca de la teoría de la medida y de la teoría de conjuntos. Sobre tales discontinuidades
impuso la condición de que estuvieran situadas en la unión nita de intervalos de longitud
total arbitrariamente pequeña. (La `contribución a la integral de estos intervalos sería
a su vez arbitrariamente pequeña, lo que supone una petición de principio en la cuestión
de la generalización de las condiciones de integrabilidad.)
7.6.2 Clasicación de funciones.
Riemann aceptó la condición muy general de lo que era una función, dada por Dirchlet,
y se dedicó a buscar funciones que tuvieran una cantidad innita de discontinuidades o
de otros puntos excepcionales, pero que tuvieran también una integral denible y/o una
serie trigonométrica convergente.
Los seguidores de Weierstrass abordaron la construcción de expresiones analíticas que
denan funciones con innitas oscilaciones y discontinuidades en un intervalo nito, y se
dedicaron a estudiar qué consecuencias tenía la existencia y propiedades de estas funciones
para el análisis matémático.
Así, la clasicación de funciones, iba a estar basada entonces en la condensación de
singularidades, presentada por Hankel en 1870. Lo mismo que con Lipschitz, puede verse
aquí la teoría de conjuntos en un estado naciente.
Analizando este tipo de funciones, Darboux señala que parece difícil señalar una car-
acterística general que permita reconocer si una función tiene primitiva.

Weierstrass da un ejemplo de función continua no diferenciable en ningún punto
σ(x) =
∞
n=0
an
cos(bn
πx)
Cuando 0 a 1 la serie es uniformemente convergente y por lo tanto σ es continua.
Weierstrass demostró que no es derivable en ningún punto si
b es un entero impar y ab 1 +
3π
2
7.6.3 Renamientos de los métodos de demostración y el cálculo diferencial.
La formulación verbal de la idea de límite dada por Cauchy no permitía poner de man-
iesto explícitamente la relación funcional que hay entra las variables que entran en la
denición. Weierstrass popularizó la costumbre de expresar esta relación en la forma
, δ.
Una parte importante del programa de Weierstrass consistía en la introducción de
una denición precisa de los números irracionales. Entre otras motivaciones para esta
denición estaba la de garantizar que se podía suprimir totalmente el uso de los innitesi-
males. Sin embargo, aún era más importante la necesidad de demostrar de forma rigurosa
algunos teoremas como los del valor medio. Un lema especialmente importante para la
demostración de estos teoremas era el teorema de Bozano - Weierstrass que venía a ase-
gurar que todo conjunto innito y acotado de números reales tiene al menos un punto
de acumulación. Weierstrass hizo también uso efectivo de estos resultados en el cálculo
diferencial.
Más adelante se observó que lo que necesitaba ser generalizado era el concepto básico
de derivada de una función continua denida como el límite del cociente incremental,
introduciendo los conceptos de derivadas superior e inferior (en relación con los límites
superiores e inferiores), a derecha y a izquierda. A partir de la existencia o no de estas
derivadas y de sus mutuas igualdades o desigualdades se podía estudiar por n, de una
manera adecuada la diferenciabilidad de funciones continuas.
Además, el estudio de los límites inferiores y superiores intensicó mucho el estudio
de los límites en general. Entre otros, Peano se ocupó del estudio de las diferencias
entre estos tipos de límites. Su interés en las cuestiones de fundamentos del análisis
fueron notables, aunque entre sus aportaciones cabe destacar su insitencia en la necesidad
de elaborar un lenguaje simbólico adecuado para expresar con precisión las sutilezas del
análisis matemático.

8 Unicación y demarcación:
dos ayudas gemelas para el progreso.
¾Cómo podemos medir el progreso en el conocimiento matemático? Un criterio lo
constituye el alcance y nivel de generalidad de una teoría matemática (que se puede aplicar
a sus deniciones y teoremas, la cantidad de soluciones que permite dar a determinados
problemas...) Por ejemplo el cálculo de Leibniz permitió dar solución a clases más amplias
de problemas que los métodos utilizados previamente durante el s. XVII, y la relación
inversa entre diferenciación e integración amplió enormemente el campo de aplicabilidad
de estos métodos.
Así también, la transformación del cálculo en una parte del análisis basada en el
concepto de límite, dará lugar al mismo proceso de extensión en las sucesivas deniciones
de la integral, en las consecuencias de la introducción de la teoría de conjuntos y en los
estudios sobre los fundamentos de matemáticas.
Desde el punto de vista del rigor, un teorema sólo es todo lo válido que permita
su demostración. Un elemento importante en la estimación del nivel de rigor de una
demostración está en el examen crítico de las deniciones en las que se apoya, pues aquí
sed encuentra el lugar donde se detiene la cadena de hipótesis; antes o después llegamos
a alguna denición que se expresa necesariamente en términos de conceptos no denidos
previamente. Y así nos encontramos con que dos teorías matemáticas rivales pueden ser
valoradas en términos de si ciertos resultados fundamentales se demuestran como teoremas
basados en deniciones más profundas de otras ideas, o si tienen que darse por supuestos
de entrada. Por ejemplo, el cálculo diferencial de Cauchy tiene unas raíces más profundas
que el de Lagrange, debido a que en el primero el desarrollo en serie de Taylor constituye
un teorema, mientras que en el de Lagrange se considera como una hipótesis de partida.
Las deniciones juegan otro papel importante: introducen distinciones nuevas. Por
ejemplo, la introducción de la convergencia uniforme, introduce una distinción sobre la
convergencia (a secas), que hasta entonces se había pasado por alto, y con respecto a la
cual los trabajos anteriores resultan incoherentes.
Así, en los estudios sobre fundamentos, una mayor generalidad surge de distinciones
cada vez más nas (de ahí la expresión unicación y demarcación).
8.1 En resumen...
Las mismas técnicas del cálculo comenzaron siendo un cajón de sastre de técnicas en
buena medida geométricas que los cálculos de Newton y Leibniz vinieron a unicar. No
obstante, el propio cálculo de Leibniz padecía de serias ambigüedades en la dención de las
diferenciales de orden superior y en la dependencia de las expresiones, que las utilizaban de
la manera particular de hacer particiones innitesimales de los dominios de las variables.
Como consecuencia de estas dicultades, el cálculo de Leinbniz se vió sustituido por el

de Euler, con una o varias variables consideradas como variables independientes por el
criterio de su partición innitesimal uniforme y las variables restantes consideradas como
dependientes funcionalmente de las primeras. Cauchy, a su vez, en la necesidad de un
planteamiento nuevo basado en la teoría de límites, unicicando así, el cálculo, la teoría de
convergencia para series, y la teoría general de funciones, para formar el nuevo análisis
matemático. Pero se trataba solamente en esta etapa de un análisis de límites simples,
mientras que algunos de los problemas más importantes requerían de una teoría de límites
múltiples (o, de una manera general, métodos de variación múltiple), situación ante la que
el análisis vacilaba. La obra de Dirichlet sobre series de Fourier, (quizá el más notable
pero en absoluto único problema de la época que involucraba límites múltiples), dio una
pista a seguir en el análisis utilizando límites múltiples, camino que recorrieron nalmente
con éxiot Weierstrass y sus continuadores, incluyendo entre sus logros el tratamiento de
los distintos tipos de convergencia de series, el estudio detallado de las estructura de la
recta real, diversos métodos nuevos de demostración (especialmente para los teoremas de
existencia) y una amplia utilización del simbolismo puramente matemático, entr otros.
Al poner tanto énfasis en la distinción entre límites simples y múltiples, intentamos
poner en cuestión algunos delos calicativos que se suelen aplicar al análisis matematico.
La expresión aritmetización del análisis, por ejemplo, se utilizó mucho a nales del XIX
para indicar que tanto las deniciones como los métodos de demostración se reducían al
manejo de números reales y a la aritmética de desigualdades entre ellos. Sin embargo,
esta expresión apenas nos sirve para resaltar las nuevas características, porque se podría
aplicar con igual motivo a las manipulaciones con diferenciales durante el siglo anterior.
Más recientemente se habla de las deniciones tipo ( , δ), que servirían para hablar
del análisis de Cauchy, pero resultan poco útiles al poder aplicarse tanto al análisis de
límites simples de Cauchy como al de límites múltiples ( , δ, N x, . . .) introducido por
Weierstrass como reconstitución fundamental del análisis de Cauchy.

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