Libro de geometria para libro

C2
= a2
+
b2
+
Página 1
X = - b ± √b2
– 4 a c
2 a

INTRODUCCIÒN.
Es muy probable que si tú no eres “bueno” o “buena” para las
matemáticas, estimado alumno(a), te sientas un poco inquieto(a) cuando
piensas que al rendir un examen tendrás que enfrentarte con problemas
que pondrán a prueba tu capacidad de razonar con símbolos, números y
figuras que te han dado siempre mucho que hacer durante tu vida
escolar. Es verdad que los conocimientos necesarios para resolver esos
problemas son de nivel básico, a lo sumo, correspondientes a primer año
de Enseñanza Media. Pero así y todo podrías sentirte inseguro si eres de
los jóvenes que no han hecho buenas migas con la matemática, creyendo
que ésta es misteriosa, hermética, cuyos misterios son accesibles sólo
para los que se han dedicado a estudiarlas y tienen ya una tradición de
“matemáticos(as)” a través de todos sus estudios.
Tú sabes que la matemática tiene que ver con los números, con
conjuntos, con figuras, con símbolos, y con operaciones que debes
aprender a efectuar con todas esas cosas. Como estas estudiando
matemática desde los primeros años de tu vida, has ido familiarizándote
con ella, y puedes, por ejemplo, sumar y multiplicar, buscar comunes
denominadores, calcular porcentajes, averiguar las áreas de triángulos,
cuadriláteros y círculos, determinar perímetros de las figuras geométricas
recién mencionadas, potenciar o radicar expresiones bastantes
complicadas o dar valores numéricos o símbolos según alguna regla.
Pero tal vez abrigues íntimas dudas acerca del significado de todo eso. A
lo mejor, eres capaz de plantearte alguna ecuación sin tener idea clara de
lo que pasa realmente con los números dentro de ella. También es posible
que tengas curiosidad por saber quién inventó la matemática -¡Bendita
sea esa curiosidad!- o incluso deseas averiguar qué es en verdad la
matemática: ¿es una ciencia? ¿Es una técnica? ¿Es una rama de la
lógica?
Muy bien: podemos comprender cuestiones teóricas acerca de esta
ciencia; pero ¿por qué hay algunos(as) que son “malos(as)” para la
matemática? ¿De qué depende que algunos(as) tengan tanta facilidad
para aprenderla, y otros(as), en cambio, no sólo sean “negados(as)”, sino
que la detesten francamente? ¿Hay que tener una habilidad especial,
como el buen oído musical?
En efecto, todos(as) nos hemos planteado alguna vez esas preguntas
fundamentales. Te advertimos que no hay una respuesta fácil, pero es
excelente que te la plantees porque, como sabes, la curiosidad es la
madre del conocimiento, y si te has cuestionado las cosas en esa forma,
ello significa que reconoces un punto oscuro que te interesa dilucidar. Lo
peor sería no experimentar ninguna incertidumbre, pues eso querría decir
que el tema no sólo es desconocido para ti, sino absolutamente
incomprensible y ajeno a tu entendimiento. Y la matemática no es tal.
Espero que este libro te ayude a resolver problemas de la vida diaria y
que sirva para razonar los problemas que se te presenten, y saber que se
les puede buscar una o varias soluciones.
El autor.

GEOMETRÌA EUCLIDIANA:
PUNTO Y LÌNEA.
Todo lo que ocupa algún lugar en el espacio, como una
caja, un làpiz, una pelota, etc., se llama CUERPO. Ese lugar o
porciòn de espacio ocupado, se denomina volumen del cuerpo.
La parte exterior de los cuerpos se llama SUPERFICIE.
Asì, se dice que el alumno escribe en la superficie del pizarròn
o del cuaderno, que la criada quita el polvo de la superficie de
los muebles, que el pintor pinta la superficie de las paredes,
etc.
Las superficies estàn generalmente limitadas por lìneas
que forman su contorno o Perímetro. Asì, las caras del cubo
estàn limitadas por las Aristas.
Las lìneas, las superficies y los volúmenes se llaman
Formas Geomètricas, y su estudio se denomina GEOMETRÌA.
Los cuerpos tienen tres dimensiones o medidas: largo o
longitud, ancho o anchura y alto o altura. Esta ùltima
dimensiòn se llama a veces grueso, espesor o profundidad.
Las superficies tienen tan sòlo dos dimensiones: largo y
ancho.
Las lìneas no tienen màs que una dimensiòn, que es la
longitud.
Las dimensiones se miden con las medidas de longitud.
Grueso
Alto
Largo

PUNTO.- La punta de una aguja, de un alfiler o de un làpiz, dan
idea del punto. El encuentro o cruce de dos lìneas forma
tambièn un punto.
El punto no tiene ninguna dimensiòn; pero en la pràctica
se señala con un pequeño trazo que es algo extenso, como el
pinto de la i, (.), o con el cruce de dos rayitas (X).
LÌNEA; SUS CLASES.- El punto, al moverse, forma una lìnea.
Asì, la punta de un làpiz al deslizarse en el papel, el gis al
apoyarse en el pizarròn, trazan lìneas.
La lìnea puede ser recta, quebrada, curva o mixta.
LINEA RECTA.- Un hilo bien tirante, el doblez de una hoja de
papel, las aristas de una regla, las esquinas de las paredes, dan
idea de la lìnea recta.
Ejemplos: El metro recto, un cordòn tirante, la letra I, la recta
AB, como se ve en la figura:
N M
A B
La lìnea recta, o simplemente recta, es el camino màs
corto que hay entre dos puntos, como se ve en la figura.
Por dos puntos sòlo puede pasar una recta, y por un
punto puede pasar un nùmero indefinido de rectas.
SEGMENTO RECTILÌNEO.- La recta puede prolongarse por sus
dos lados, por eso su longitud es indefinida. Pero cuando se
considera una porciòn limitada de una recta, se tiene un
segmento rectilíneo.

Ejemplo: la recta MN es indefinida y el segmento AB es
limitado.
M N
A B
LÌNEA QUEBRADA.- La lìnea compuesta de varias partes rectas
que siguen diferentes direcciones, se llama lìnea quebrada.
Ejemplos: El metro plegable no extendido, los dientes de una
sierra, la letra M, la lìnea ABCDE.
Y
B C X Z
A D E W
La medida de una lìnea quebrada es igual a la suma de
sus segmentos.
Ejemplo: la medida de la lìnea ABCDE es igual a
AB + BC + CD + DE.
La figura formada por una lìnea quebrada cerrada, se llama
polìgono. XYZW.
LÌNEA CURVA.- La lìnea que no tiene ninguna de sus partes
recta, se llama lìnea curva, o simplemente curva.
Ejemplo: el metro de cinta o un hilo que no estèn tirantes, el
contorno de una moneda o de una rueda, la letra O, la lìnea
AMG, de la figura.
Se puede medir aproximadamente la longitud de una lìnea
curva, considerándola como compuesta de una multitud de
pequeños segmentos rectilìneos, tales como AB = A’B’, BC =
B’C’, etc.

La figura formada por una lìnea curva cerrada, cuyos puntos
distan igualmente de un punto interior llamado centro, se
denomina CIRCUNFERENCIA.
C D G A
B M
A E F
B
A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’
Una parte limitada de circunferencia, se llama ARCO.
En la figura el arco es AB.
LÌNEA MIXTA.- Lìnea mixta es la que està formada de parte
recta y de parte curva.
Ejemplos: Una hoz, la letra R, la lìnea ABCD.
C D
A B
.O

DEFINICIONES GENERALES:
ÀNGULO.- Es la abertura comprendida entre dos rectas que se
encuentran en un punto. Estas rectas se llaman lados del
àngulo, y el punto de encuentro de denomina vértice. Ver las
figuras siguientes.
B
Lado
Vértice A bisectriz
D
Lado
C
El àngulo suele designarse con la letra del vértice o con tres
letras. Si se usan tres letras, se coloca siempre la del vértice en
medio; el àngulo A ò BAC.
La recta que, partiendo del vértice, divide el àngulo en dos
partes iguales, se llama “Bisectriz” del àngulo, o sea la recta
AD en la figura anterior.
Dos ángulos son iguales cuando estàn igualmente
abiertos. Si se colocan dos ángulos uno encima del otro, los
dos coinciden, es decir, se cubren exactamente.
Los ángulos iguales pueden tener sus lados desiguales,
pues el tamaño de un àngulo no depende de la magnitud de
sus lados, sino de la abertura mayor o menor comprendida
entre ellos; ver los relojes:

RECTAS PERPENDICULARES Y OBLICUAS.-
Si se dobla una hoja de papel dos veces sobre sì misma,
como se indica en la figura, de manera que sus bordes se
correspondan, se forman cuatro ángulos que coinciden, y que,
por tanto son iguales. Al desplegar la hoja, los dobleces
forman dos rectas que se dicen son perpendiculares entre sì, o
sea que forman 4 àngulos de 900
.
E
Dos rectas son “PERPENDICULARES” entre sì, cuando se
cortan formando cuatro àngulos iguales, o se encuentran
formando àngulos iguales; como las rectas AB y OD.
Cuando los àngulos formados por dos rectas son desiguales,
se dice que las rectas son “OBLICUAS” entre sì; como las
rectas AB y O E.
D E
A O B A O B
Rectas perpendiculares y oblicuas.
C
A B
O
D

POSTULADOS DE LA GEOMETRÌA EUCLIDIANA:
1. Es posible trazar una lìnea recta desde un punto cualquiera a
otro punto cualquiera.
2. Es posible prolongar por continuidad en lìnea recta una recta
ilimitada.
3. Para cada centro y radio, es posible describir su círculo.
4. Todos los àngulos rectos son iguales entre sì.
5. Si una recta incidente sobre dos rectas hace àngulos internos y
de la misma parte menores que dos rectos, prolongadas estas
dos rectas indefinidamente coincidiràn por la parte en que estèn
los àngulos menores que dos rectos.
En los primeros tres postulados se asegura que dados algunos
elementos, puntos, por ejemplo, se pueden construir otros elementos,
rectas, por ejemplo, pero ningún postulado asegura que esos objetos
construidos sean ùnicos. Por ejemplo, el primer postulado dice que se
puede trazar una recta desde un punto cualquiera, pero no dice que
esa es la ùnica recta que se puede trazar por esos dos puntos. Sin
embargo, la unicidad de esos objetos es una necesidad en algunas
demostraciones hechas por Euclides, pero èl nunca la asume de
manera explicita.
El cuarto postulado no formula la existencia de àngulos rectos, sòlo
dice que en caso de haber uno o màs àngulos rectos, ellos serìan
iguales. En realidad, la existencia de estos àngulos se prueba
mediante un teorema.
El quinto postulado, conocido como el de las paralelas a pesar de
que en èl no se hace referencia a paralelas, es el màs famoso de estos
cinco postulados, pues de un lado garantiza que dos rectas que se
cortan tienen un punto en comùn. Incluso desde su formulaciòn, que
se le reconoce a Euclides, entre los griegos hubo quienes no vieron
con buenos ojos este postulado, pues adolecía de falta de evidencia,
ya que involucra una acciòn que se puede extender en el tiempo, pues
se requiere prolongar indefinidamente dos rectas. De otro lado, la
forma de este postulado, diferente a la de los otros cuatro en cuanto
que utiliza una frase condicional: “. . . . Si un hecho sucede, entonces
otro hecho debe suceder. . .” insinùa que màs bien era un teorema y
que se podìa demostrar a partir de los otros cuatro postulados.
BISECTRIZ DE UN ÀNGULO.-
Dado el àngulo ABC, siempre es posible hallar una recta que divida
el àngulo en dos àngulos iguales. Tal recta se llama Bisectriz de
àngulo.
PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA BISECTRIZ CON REGLA Y
COMPAS.
Se coloca la punta del compàs en el punto donde se cruzan las rectas
que forman el àngulo, el cual queremos dividirlo en dos àngulos
iguales, a este punto le llamaremos Vértice.

Se abre el compàs a una medida cualquiera, y se traza un arco de
circunferencia entre las dos rectas, después se coloca la punta del
compàs en el primer arco y con la misma abertura del compàs, se traza
otro arco de circunferencia dirigido al centro de las dos rectas, y
después se hace lo mismo con el otro arco, y se hacen coincidir los
arcos.
Enseguida traza una lìnea desde el vértice a la uniòn de los arcos,
como se observa en la siguiente figura:
.θ1 Bisectriz
.θ
Vértice • .θ2
Donde θ = θ1 + θ2.
RECTAS PARALELAS.
Paralelo, la. (Del Lat. parallēlos, y este del gr. παράλληλος). Adj.
Geom. Dicho de dos o más líneas o planos: Equidistantes entre sí y
que por más que se prolonguen no pueden encontrarse. || 2.
Correspondiente o semejante. || 3. m. Cotejo o comparación de una
cosa con otra. || 4. Comparación de una persona con otra, por escrito o
de palabra.
RECTAS PERPENDICULARES.
Perpendicular. (Del Lat. perpendiculāris). Adj. Geom. Dicho de una
línea o de un plano: Que forma ángulo recto con otra línea o con otro
plano.
Perpendicularmente. adv. m. Rectamente, derechamente, sin torcerse
a un lado ni a otro.
900

Rectas perpendiculares a otra recta.
L1 L2 L3 L4
90o
90o
90o
90o
L
Las rectas L1, L2, L3, Y L4. Son rectas perpendiculares a la recta L. y
esas rectas a la ves son paralelas entre sì.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
En la construcciòn del punto medio P del segmento AB resulta una
recta L que es perpendicular al segmento AB, y que divide al segmento
en dos segmentos AP y BP de igual longitud.
Para trazar una mediatriz con regla y compàs sigue los siguientes
pasos:
Traza un segmento de recta AB.
Coloca la punta del compàs el extremo A. Abre el compàs una medida
mayor que la mitad del segmento y marca dos arcos de circunferencia
hacia los lados del segmento AB y repite esta operación desde el
punto B y has que coincidan los arcos de circunferencia, como se ve
en la figura.
L
A P B

CIRCULO INSCRITO A UN TRIÀNGULO.
El círculo inscrito en un triàngulo cualquiera, es aquel que queda
exactamente dentro de èl, tocando tres puntos de la circunferencia con
tres segmentos del triàngulo. Y se traza de la siguiente manera:
Traza las bisectrices de los àngulos del triàngulo, y observaras que
ellas se juntan en un punto coincidente (punto de intersecciòn), como
se muestra en la figura. Después abre tu compàs a una distancia
perpendicular a uno de los segmentos del triàngulo.
Incetro
CIRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIÀNGULO:
Es aquel que queda fuera del triàngulo, pasando exactamente por
los vértices del triàngulo, este circulo se forma trazando las
mediatrices del los segmentos de recta del triàngulo, y donde se
juntan estas, serà el centro de la circunferencia, abre tu compàs del
centro a cualquier vértice y gíralo hasta que pase por los tres vértices,
como se muestra en la figura.
Circuncentro

CLASES DE ÀNGULOS.- Los àngulos pueden ser rectos,
agudos y obtusos.
Los àngulos agudos y obtusos se llaman tambièn àngulos
oblicuos.
Tomados dos a dos, los àngulos se clasifican en
opuestos por el vértice, adyacentes, complementarios y
suplementarios.
ÀNGULO RECTO.- es el que tiene sus lados perpendiculares
entre sì.
Ejemplos: los àngulos formados por las manecillas de un reloj
que señala las 3 ò las 9, el àngulo mayor de una escuadra, el
àngulo mayor de una escuadra, las esquinas de los libros, el
àngulo BAC.
ÀNGULO AGUDO.- es el que tiene menor abertura que el
àngulo recto.
Ejemplos: los àngulos formados por las manecillas que señala
las 2 ò las 10, los àngulos menores de una escuadra, los
àngulos formados por un compàs poco abierto, el àngulo BAC.
ÀNGULO OBTUSO.- es el que tiene mayor abertura que el
àngulo recto.
Ejemplos: los àngulos mayores formados por las manecillas de
un reloj que señala las 4 ò las 8, los formados por un compàs
muy abierto, el àngulo BAC.
B D B B D
A C A C A C
Àngulo recto. Àngulo agudo. Àngulo obtuso.

ÀNGULOS OPUESTOS POR EL VÈRTICE.- dos àngulos
opuestos por el vértice cuando tienen el mismo vértice y los
lados del uno son prolongación de los lados del otro; los
àngulos AOC y DOB, AOD y COB, como se observa en las
figuras.
ÀNGULOS ADYACENTES.- dos àngulos son adyacentes
cuando tienen el mismo vértice, un lado comùn y los otros dos
en lìnea recta; los àngulos AOC y COB, como se observa en la
figura.
A D C
O
C B A O B
Àngulos opuestos por àngulos adyacentes.
El vértice.
ÀNGULOS COMPLEMENTARIOS.- dos àngulos son
complementarios cuando su suma es igual a un àngulo recto;
los àngulos AOB y BOC.
ÀNGULOS SUPLEMENTARIOS.- dos àngulos son
suplementarios cuando su suma es igual a dos àngulos rectos;
los àngulos A’O’B’ y B’O’C’.
C B B’
O A C’ O A’
Àngulo complementario. Àngulo suplementario.

PROPIEDADES DE LOS ÀNGULOS:
Los àngulos que tienen el mismo complemento son
iguales; porque les falta lo mismo para valer un àngulo recto.
Los àngulos que tienen el mismo suplemento son iguales;
porque les falta lo mismo para valer dos àngulos rectos.
Los àngulos opuestos por el vértice son iguales; porque
tienen el mismo suplemento.
Los àngulos adyacentes son suplementarios; porque
juntos valen dos àngulos rectos.
MEDIDA DE LOS ÀNGULOS:
Si se tiene un compàs completamente cerrado, sus ramas
forman un àngulo nulo; pero, a medida que se va abriendo, el
àngulo crece; y si la rama móvil da una vuelta completa, un
punto cualquiera de ella describe una circunferencia.
Considerando esta circunferencia dividida en 360 partes
iguales, cada una de dichas partes se llama grado, y es la
unidad de medida de àngulos.
La circunferencia tiene 360 grados, y la cuarta parte o
cuadrante, que corresponde al àngulo recto, mide 90 grados.
El grado se representa abreviadamente por un pequeño cero
colocado a la derecha y parte superior de los nùmeros (0
).
Un àngulo tiene tantos grados cuantas sean las divisiones
comprendidas entre sus lados; el àngulo AOB tiene 450
, porque
abarca 45 divisiones entre sus lados.
90O
B
45O
A
180O
0O
y 3600
270O
0

Se define un grado (0
) como la medida del àngulo central
subtendido por un arco igual a 1/360 de la circunferencia.
Un minuto (′) es a 1/60 de un grado.
Un segundo (″) es 1/60 de un minuto.
10
= 60′ = 60″
Ejemplos: convertir los siguientes grados a grados, minutos
y segundos:
1350
= 1340
59’
60’’.
2800
= 2790
59’ 60’’.
46.300
= en este caso multiplica por 60 los decimales
y queda 460
18’ 00’’ ò 460
17’ 60’’.
57.50
= 570
30’ 00’’ ò 570
29’ 60’’.
34.560
= 340
33’ 36’’. en este problema al multiplicar .56 x 60 dà
igual a 33.6, se toman los 33 como segundos y se vuelve a
multiplicar 0.6 x 60 = 36 y se toman como segundos.
En el caso contrario donde se encuentren minutos y segundos,
se realiza de la siguiente forma:
480
30’ los minutos se dividen entre 60 y el resultado se lo
sumas a los grados, asì 30/60 = 0.5 y queda 48.50
.
1230
47’ = 1230
(47 / 60) = 123.78330
.
2250
15’ 30’’ = 2250
15’ (30/60) = 2250
15.5’ = 225.25830
.
Se define un radiàn (rad) como la medida del àngulo central
subtendido por un arco cuya longitud es igual a la del radio de
la circunferencia.
La longitud de la circunferencia es igual a 2π (radios) y
subtiende un àngulo de 3600
.
Entonces 2 π rad = 3600
de donde,
1 radiàn = 1800
= 57.2960
= 570
17’ 45’’

π
1 grado = π rad = 0.017453 rad
1800
Para convertir radianes a grados se multiplica por 1800
/ π.
7 π rad = 7 π rad x 1800
= 1050
.
12 12 π rad
3 π rad = 3 π rad x 1800
= 77.14280
= 770
08’ 34’’.
7 7 π rad
2 rad = 2 rad x 1800
= 3600
= 38.1970
= 380
11’ 49’’.
3 3 π rad 9.4248
Para convertir de grados a radianes, se multiplica por π rad
1800
500
= 500
x π rad = 5 π rad = 0.277777 rad.
1800
18
900
= 900
x π rad = π rad = 1.5708 rad.
1800
2
900
= π/2 rad
450
= π rad/4
1800
= π rad 3600
= 2 π rad
r
2700
= 3π /2
EJERCICIOS:
0
1
rad.
r

Convertir de radianes a grados.
3 π rad = 3 π rad x 1800
= 31.760
.
17 17 π rad
8 π rad = 8 π rad x 1800
= 1600
= 1590
59’ 60’’.
9 9 π rad
1 rad = 1 rad x 1800
= 1800
= 19.090
= 190
05’ 55’’.
3 3 π rad 9.4248
Convertir de grados a radianes.
800
= 800
x π rad = 8 π rad = 1.3963 rad.
1800
18
2700
= 2700
x π rad = 3π rad = 4.7124 rad.
1800
2
Convertir los siguientes àngulos a grados, minutos y
segundos.
40.300
= 400
18’ 00’’
12.1250
= 120
07’ 30’’
56.870
= 560
52’ 12’’
Convertir los siguientes àngulos a grados.
600
52’ 30’’ = 60.8750
1250
45’ 22’’ = 125.7560
330
15’ 25’’ = 33.25690

PARES DE ÀNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL O
SECANTE.
Cuando dos rectas se cortan por una secante se forman ocho àngulos,
cuatro en cada punto de intersecciòn.
RECTA SECANTE.- Una recta transversal, tambièn llamada secante es una
recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos diferentes, ver
la figura siguiente:
E
A 1 2 B
4 3
C 5 6
8 7 D
F
ÀNGULOS OPUESTOS POR EL VÈRTICE.
Los dos pares de àngulos que no son adyacentes reciben el
nombre de àngulos opuestos por el vértice y son los àngulos 1 y 3; 2 y 4;
5 y 7; 6 y 8.
ÀNGULOS INTERNOS.
Son los àngulos 3, 4, 5, y 6.
ÀNGULOS EXTERNOS.
Son los àngulos 1, 2, 7, y 8,
ÀNGULOS CORRESPONDIENTES.
Son dos àngulos situados del mismo lado de la transversal y del
mismo lado de las rectas, uno de los àngulos es exterior y el otro interior.
Hay cuatro pares de àngulos correspondientes:
1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.
ÀNGULOS ALTERNOS INTERNOS.
Son pares de àngulos no contiguos ni adyacentes situados entre
las dos rectas, interiores con diferentes vértices en lados opuestos a la
secante: 3 y 5; 4 y 6.

ÀNGULOS ALTERNOS EXTERNOS.
Son pares de àngulos no contiguos ni adyacentes situados fuera de
rectas, exteriores con diferentes vértices en lados opuestos a la secante.
Son los àngulos 1 y 7; 2 y 8.
ÀNGULOS CONJUGADOS.
Son dos àngulos internos, o dos àngulos externos, situados en un
mismo semiplano respecto a la secante.
Conjugados interiores: 3 y 6; 4 y 5.
Conjugados exteriores: 2 y 7; 1 y 8.
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.
F
A 1 2 B
4 3
C 5 6 D
8 7
Toda secante forma con dos paralelas àngulos correspondientes iguales.
1 = 5; 3 = 7; 2 = 6; 4 = 8.
Àngulos alternos internos iguales:
4 = 6; 3 = 5.
Àngulos alternos externos iguales:
1 = 7; 2 = 8.
Toda secante forma con dos paralelas àngulos conjugados internos y
externos:
Conjugados interiores: 3 + 6 = 1800
y 4 + 5 = 1800
Conjugados exteriores: 2 + 7 =1800
y 1 + 8 = 1800
EJERCICIO DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.

F
A X 600
B
Y Z
C 1200
W D
R T
Hallar los valores de los àngulos:
X = 1200
R = 600
Y = 600
W = 600
Z = 1200
T = 1200
¿Cuàles son los àngulos correspondientes iguales?
X = 1200
Y = R = 600
W = 600
Z = T = 1200
¿Cuàles son àngulos alternos internos iguales?
Y = W Z = 1200
¿Cuàles son àngulos alternos externos iguales?
X = T R = 600
¿Cuàles son los àngulos Conjugados interiores?
Z + W = 1200
+ 600
= 1800
Y + 1200
= 600
+ 1200
= 1800
Utilizando regla y transportador trazar los siguientes àngulos:

A. 300
B. 600
C. 900
D. A + 1200
E. A + B + C
F. 3600
G. 3150
A B
C D
E F
G
Calcular el valor de los àngulos mostrados en los trazos.

X 300
Y 1300
X = 1500
Y = 500
800
A = 1000
A B B = 1000
C C = 800
X = 860
X + 8 = 940
X + 8 X
750
X = 750
Y = 650
X Z = 400
Y Z 1400
Hallar el valor del àngulo X.

5 X
X/2
3 X
5 X
X/2 2 X 3 X
A B
La suma de los àngulos La suma de los àngulos es
Es 900
. 1800
.
Por lo tanto: Por lo tanto:
5 X + X/2 + 3 X + X/2 = 900
2 X + 5 X + 3 X = 1800
9 X = 900
X = 100
10 X = 1800
X = 180
5 (100
) = 500
2 (180
) = 360
100
/2 = 50
5 (180
) = 900
3 (100
) = 300
3 (180
) = 540
X + 2 Y
2 X 4 Y
3 X – 20
920
C D
2 X = 3 X – 20 X + 2 Y + 4 Y = 1800
2 X – 3 X = - 20 X + 6 Y = 1800
X = 200
X + 2 Y = 920
Por lo tanto: resolviendo el sistema:
2 X = 2 (200
) = 400
X = 480
3 X – 20 = 600
– 200
= 400
Y = 220
Calcula sin usar transportador el valor de los ángulos.

47° a = 47°, b = 133°, c = 133°. Por ser opuestos
c b
a
z y x = 58° son suplementarios de40° y 82°
y =40° son opuestos de 40°
40° x 82° z =140° es suplementario de y
118° m p =118° es opuesto de 118°
o p m = 62° es suplementario de 118°
r n o =62° es opuesto de m
n = 53° es opuesto de 53°
53° s s =127° es suplementario de 53°
r = 127° es opuesto de s
Ejercicio: obtener los ángulos:
∠ m 57° porque es opuesto a 57°
∠ n 53° porque es opuesto a o 57° o
∠ o 123° porque es suplementario de 57° n m
∠ p 57° por que es alterno interno de m
∠ q 123° porque es opuesto a r p q
∠ r 123° porque es alterno externo de o r s
∠ s 57° porque es alterno externo de 57°

5 X + 8
Y
3 X + 36
3 X + 36 = 5 X + 8 por lo tanto:
3 X – 5 X = 8 – 36 3 X + 36 = 42 + 36 = 780
- 2 X = - 28 5 X + 8 = 70 + 8 = 780
X = 28/2 X = 140
Y = 5 X + 8 Y = 780
3 X – 20
2 X
Y
3 X – 20 + 2 X = 1800
3 X + 2 X = 180 + 20
5 X = 200 X = 200/5 X = 400
Y = 1800
– 400
Y = 1400
Trazar un círculo inscrito y un circunscrito en los siguientes
triàngulos:

Recuerda que para trazar el círculo inscrito, deberás de marcar las
bisectrices y para el circunscrito las mediatrices.
TRIANGULO:

Entre las superficies planas fundamentales para el estudio de la
Geometría se encuentra el Triàngulo.
Triángulo: es el espacio limitado por tres rectas que se cortan. Tiene Tres
Lados, Tres Àngulos y Tres Vértices.
El Triàngulo es el polìgono de menos lados que hay.
En el siguiente Triàngulo, los vértices los denotamos como ABC.
A
B C
El orden en que acomodes las letras de los vértices no tiene importancia.
CLASIFICACIÒN DE LOS TRIÀNGULOS:
Triángulo acutángulo: es aquel triángulo que tiene sus tres ángulos
agudos.
700
500
600
Triángulo equiángulo: es aquel triángulo que tienen todos sus ángulos
iguales.
600
600
600
Triángulo equilátero: es aquel triángulo que tiene sus tres lados iguales.
4 4
4
Triángulo escaleno: es aquel triángulo que tiene sus tres lados
desiguales.

5
3
4
Triángulo isósceles: es aquel triángulo que tiene dos lados iguales.
Triángulo oblicuángulo: es aquel triángulo que no es rectángulo.
Triángulo obtusángulo: es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso.
1100
300
500
Triángulo rectángulo: es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO:

MEDIANA.- Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del
lado opuesto.
Baricentro
Baricentro.- centro de gravedad del triàngulo.
MEDIATRIZ.- Es una lìnea perpendicular trazada desde el punto medio de
cada lado.
Circuncentro.
Circuncentro.- punto de intersecciòn de las tres mediatrices, este punto
es el centro del cìrculo circunscrito al triàngulo.
BISECTRIZ.- Es la recta que divide partiendo desde un vértice, al àngulo
en dos partes iguales.
Incentro.
Incentro.- punto donde se interceptan las bisectrices, o sea, el centro del
cìrculo inscrito en el triàngulo.

ALTURA.- Es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o
a su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. En
un triàngulo obtusàngulo, las alturas correspondientes a los lados del
àngulo obtuso quedan fuera del triàngulo.
Ortocentro.
PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS:
 La altura correspondiente a la base de un triàngulo isósceles es
tambièn la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triàngulo.
 En dos triàngulos congruentes, a àngulos congruentes se oponen
lados congruentes y viceversa. Estos lados y àngulos se llaman
homòlogos.
 En todo triàngulo, un lado es menor que la suma de los otros dos
y mayor que su diferencia.
 En todo triàngulo, a mayor lado se opone mayor àngulo y
viceversa.
 En dos triàngulos que tienen dos lados respectivamente
congruentes, y no congruente el àngulo comprendido, a mayor
àngulo se opone mayor lado.
POSTULADOS Y TEOREMAS:
1.- La suma de los tres àngulos de un triàngulo es de 1800
.
2.- Si dos àngulos de un triàngulo son iguales a dos àngulos de otro
triàngulo, entonces los terceros àngulos tambièn son iguales.
3.- Cada àngulo de un triàngulo equilàtero es de 600
.
4.- No puede haber màs de un àngulo recto u obtuso en cualquier
triàngulo.
5.- Los àngulos agudos de un triàngulo rectàngulo son complementarios.

6.- Un àngulo externo de un triàngulo es igual a la suma de los dos
àngulos internos remotos (que no tienen el mismo vértice que el àngulo
externo) del triàngulo.
Àngulo 1. B
A C
El àngulo “1”, es igual a la suma del àngulo A y C, porque los tres tienen
vértices diferentes.
7.- postulado Lado Lado Lado (LLL). Sì tres lados de un triàngulo son
iguales en longitud a tres lados de otro triàngulo, entonces los triàngulos
son congruentes (misma forma y mismo tamaño).
8.- Postulado Lado Àngulo Lado (LAL). Sì dos lados y el àngulo que
forman en el triàngulo son iguales a dos àngulos en medida a dos lados y
al àngulo que forman en otro triàngulo, entonces los triàngulos son
congruentes.
9.- Postulado Àngulo Lado Àngulo (ALA). Sì dos àngulos y su lado
compartido de un triàngulo son iguales a dos àngulos y su lado
compartido de otro triàngulo, entonces los triàngulos son congruentes.
10.- Postulado Ângulo Àngulo (AA). Sì dos àngulos de un triàngulo son
iguales a dos àngulos de otro triàngulo, entonces los triàngulos son
semejantes (misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño).
11.- Sì dos lados de un triàngulo son iguales, entonces los àngulos
opuestos a esos lados tambièn son iguales; y, sì dos àngulos de un
triàngulo son iguales, entonces los lados opuestos a esos àngulos
tambièn son iguales.
12.- Un triàngulo equilàtero es tambièn equiàngulo, y un triàngulo
equiàngulo es tambièn equilàtero.
13.- Un triàngulo equilàtero tiene tres àngulos de 600
.
14.- La Bisectriz del àngulo del vértice de un triàngulo isósceles es la
Bisectriz perpendicular de la base del triàngulo.

15.- Teorema de semejanza LLL. Sì los lados de un triàngulo son
proporcionales a los lados correspondientes de otro triàngulo, entonces
los triàngulos son semejantes.
16.- Teorema de semejanza LAL. Sì dos lados de un triàngulo son
proporcionales a dos lados de otro triàngulo y los àngulos que forman en
cada triàngulo son congruentes, entonces los triàngulos son semejantes.
17.- Teorema de Proporcionalidad de triàngulos. Sì una recta es paralela a
un lado de un triàngulo y corta a los otros dos lados, entonces divide
esos dos lados proporcionalmente y crea dos triàngulos semejantes.
C
B 2 3 D
1 4
A E
Sì BD ‫װ‬ AE entonces; àng. 1 = àng. 2, àng.4 = àng. 3.
BC = DC y BC = DC, y ∆ ACE ~ ∆ BCD
AC EC BA DE
EJEMPLO:
BC = 20, AC 28, CD = 22 ENTONCES:
20 = 22 despejamos: EC = 22 x 28 = 30.8
28 EC 20
18.- Sì una recta BD bisecta un àngulo de un triàngulo, entonces divide al
lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Sì BD bisecta al àngulo B entonces:
B
1 2
A D C

Âng. 1 = àng. 2
AD = AB
DC BC
EJEMPLO: AB = 20, BC = 24, AD = 13
13 = 20 despejando. DC = 13 X 24 DC = 15.6 AC = 28.6
DC 24 20
19.- El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un
triàngulo tiene las siguientes propiedades:
a. es paralela al tercer lado.
b. mide la mitad de la longitud del tercer lado.
B
R1 R2
A C
CUADRILATEROS:
TODOS LOS CUADRILATEROS TIENEN 4 LADOS, PERO TOMAN
DIVERSOS NOMBRES SEGÙN SU FORMA.
Los principales son los siguientes:
El cuadrado.
El rectàngulo.
El rombo.
El romboide.
El trapecio.
El trapezoide.
Los cuatro primeros se llaman tambièn paralelogramos, porque
tienen sus lados opuestos paralelos.
Como todo cuadrilátero puede siempre descomponerse en dos
triàngulos por medio de una de sus diagonales, resulta que la suma de
sus àngulos es igual a cuatro àngulos rectos, o sea, a 3600
.
CUADRADO.- Llámese cuadrado el paralelogramo que tiene los lados
iguales y los àngulos rectos. (Ver figura).

PROPIEDADES DEL CUADRADO:
1. El cuadrado es un polìgono regular, porque tiene
sus lados y àngulos iguales
2. Las diagonales son iguales, se cortan
perpendicularmente y en su punto medio.
Estas propiedades y la mayor parte de las siguientes pueden
comprobarse por medio de doblados apropiados, o por medio de recortes
que se hacen coincidir.
D C D C
O O
A B A B
Cuadrado Rectàngulo
RECTÀNGULO.- Llàmese rectàngulo o cuadrilongo el paralelogramo que
tiene los lados contiguos desiguales y los àngulos rectos.
El lado mayor del rectàngulo se denomina longitud o base, y el
menor, anchura o altura.
PROPIEDADES DEL RECTÀNGULO:
1. los lados opuestos son iguales.
2. Las diagonales son iguales, se cortan oblicuamente y en su
punto medio.
ROMBO.- El rombo es un paralelogramo que tiene los lados iguales y los
àngulos oblicuos.
Puede tomarse como base del rombo cualquiera de los lados, y por
altura, la perpendicular a la base, trazada desde un punto cualquiera del
lado opuesto a ella. En la figura la base AB y la altura DE.
PROPIEDADES DEL ROMBO:
1. Los cuatro lados son iguales.
2. Las diagonales son desiguales, se cortan perpendicularmente y
en su punto medio.
3. Los àngulos consecutivos son suplementarios, y los àngulos
opuestos son iguales.
D C D C
0 0
A E B A E B

ROMBOIDE.- El romboide es un paralelogramo que tiene sus lados
contiguos desiguales y los àngulos oblicuos.
La base del romboide es el lado mayor, y la altura es la
perpendicular a la base, trazada desde un punto cualquiera del lado
opuesto a ella, en la figura la base AB y la altura DE.
PROPIEDADES DEL ROMBOIDE:
1. Los lados opuestos son iguales.
2. Las diagonales son desiguales, se cortan oblicuamente y en su
punto medio.
3. Los àngulos consecutivos son suplementarios, y los àngulos
opuestos son iguales.
TRAPECIO.- Llàmese trapecio el cuadrilàtero que tan sòlo tiene dos lados
paralelos.
Los lados paralelos del trapecio se llaman bases, y la perpendicular
trazada desde la base menor a la base mayor, se denomina altura.
En la figura, las bases AB y DC y la altura DE.
Base Media de un trapecio es la recta que une los puntos medios de los
lados no paralelos; es paralela a las dos bases e igual a su semisuma; en
la figura, la base media MN.
Si un trapecio tiene dos àngulos rectos, se llama trapecio
rectàngulo.
Si tiene los lados no paralelos iguales, se denomina trapecio
isósceles.
D C D C D C
M N 0
A E B A B A B
Trapecio. Trapecio rectàngulo trapecio isòseles.
CUADRILATEROS
Son las figuras de cuatro lados.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS
3.- PARALELOGRAMOS.- Lados opuestos, iguales y paralelos

2.- TRAPECIO.- 2 lados paralelos.
3.- TRAPEZOIDES.- Ningún lado paralelo.
PROPIEDAD DE PARALELOGRAMOS
a) Los diagonales se interceptan en su punto medio
b) Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
c) Los ángulos opuestos son congruentes.

d) La suma de los ángulos internos es de 360°
e) Los ángulos contiguos de un paralelogramo, son suplementarios
f) Los diagonales de un rombo, son bisectrices de sus ángulos internos
g) Las diagonales de un rombo forman 4 ángulos de 90°
TEOREMA 1
La sumatoria de los ángulos interiores son igual 360°
TEOREMA 2
En todo paralelogramo los lados opuestos y los ángulos internos son
iguales.
TEOREMA 3
En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio.
Axiomas.
Todo ángulo esta formado por dos líneas.
Un ángulo solo pude tener uno y solamente un vértice.

Todo ángulo llano tiene 180°.
Todo ángulo recto tiene 90°.
Todo triángulo tiene tres lados y tres ángulos.
Todo cuadrilátero tiene cuatro lados y cuatro ángulos.
POLIGONOS:
Polígono. (Del gr. πολύγωνος). Porción de plano limitada por líneas
rectas. Unidad urbanística constituida por una superficie de terreno,
delimitada para fines de valoración catastral, ordenación urbana,
planificación industrial, comercial, residencial, etc.
Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo a sus lados como:
Triàngulo 3 lados.
Cuadrilàtero 4 lados.
Pentàgono 5 lados.
Hexàgono 6 lados.
Heptàgono 7 lados.
Octàgono. 8 lados.
Eneàgono. 9 lados.
Decàgono 10 lados.
Los polìgonos se denotan escribiendo en forma consecutiva los puntos
extremos de los segmentos de recta, no importando el sentido en que los
mencionen. Ejemplo: ABCDE ò AEDCB ò DEABC.
A
B E
C D
Los polìgonos estàn formados por los puntos de sus lados (segmentos
de recta) y los vértices.
Las diagonales de un polìgono son segmentos de recta cuyos puntos
extremos son vértices del polìgono, excepto sus lados.

Los àngulos internos son aquellos cuyo vértice y cuyos lados tambièn
pertenecen al polìgono.
Àngulos internos = nùmero de vértices.
Los polìgonos Regulares son: Aquellos cuyos lados tienen la misma
longitud y cuyos àngulos interiores son iguales.
Triàngulo equilàtero, cuadrado, pentàgono y hexàgono regulares, etc.
Los polìgonos irregulares màs conocidos son:
Cualquier triàngulo que no sea equilàtero, el rectàngulo, rombo, trapecio,
etc.
POLIGONOS CÒNCAVOS.- Son los que tienen por lo menos un àngulo
interior mayor de 1800
.
1 3
2
7
4
6 5
Si te fijas el àngulo 2 es mayor de 1800
.
POLIGONOS CONVEXOS.- Son los que no tienen ningún àngulo mayor de
1800
, todos son menores de 1800
.

ÀNGULOS INTERNOS DE UN POLIGONO.- La suma de los àngulos
interiores de un polìgono convexo es: (n – 2) 1800
.
Donde n = nùmero de lados.
A
B C
D E
Si te fijas en este Pentàgono las diagonales que parten del vértice A
forman 3 triàngulos, que son 2 menos que los nùmeros de lados del
pentàgono (5).
Para este ejemplo, la suma de los àngulos internos es:
(n – 2) 1800
= (5 – 2) 1800
= (3) 1800
= 5400
.
ÀNGULOS EXTERNOS DE UN POLIGONO.- Se forman cuando se
prolongan los lados del polìgono pasándolos por los vértices.
A
1
5
B E
2
4
C 3 D
La suma de los àngulos exteriores = 3600
.

RESUMEN DE POLIGONOS.
Polìgono.- es aquella superficie plana encerrada dentro de un contorno
formado por segmentos unidos en sus extremos.
 Cada uno de los segmentos se denomina “lado”.
 El punto de uniòn de cada par de segmentos se denomina àngulo.
 El nùmero de lados y àngulos ha de ser mayor o igual a tres.
Algunas propiedades de los polìgonos:
 La suma de los àngulos interiores de un polìgono de “n” lados es
igual a 1800
(n – 2).
 En un polìgono convexo la suma de los àngulos exteriores es de
3600
.
 Nùmero de diagonales de un polìgono es D n = n (n – 3)/2.
A =102.10
A + B + C + D + E = 1800
(5 – 2) = 5400
E = 126.60
B = 128.10
D = 82.70
C = 100.50
A = 101.20
B = 82.50
E = 43.50
C = 73.00
D =59.80

A + B + C + D + E = 3600
. n = 6 D n = 6 (6 – 3)/2 D n = 18/2 = 9 diagonales.
CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA.
Es el área plana e interior de una circunferencia y tiene área exclusiva.
Es una curva cerrada plana cuyos puntos mantienen una distancia
constante llamada radio, un punto fijo llamado centro.
Circunferencia: Una circunferencia es la frontera de una región redonda
en un plano. Curva plana cerrada cuyos puntos equidistante de otro, se le
llama centro situado en el mismo plano, limita la superficie del círculo.
RADIO.- Segmento que parte del centro de cualquier circunferencia a un
punto de la misma.
DIÁMETRO.- Es la línea que cruza la circunferencia sin cortarla y pasando
por el centro.
TANGENTE.- Es un segmento que toca a la circunferencia en un punto
llamado de tangencia por fuera de ella.
SECANTE.- Es un segmento que corta a la circunferencia en dos punto
sin pasar por el centro.
CUERDA.- Es el segmento que toca a la circunferencia en dos puntos sin
cortarla y sin pasar por el centro.

FLECHA.- Segmento que queda limitada entre la cuerda y la
circunferencia.
ARCO.- Línea curva limitada por dos puntos de la circunferencia.
Axiomas.
En toda circunferencia o círculo se puede trazar un número indefinido de
radios y diámetros.
Todos los diámetros y radios de una misma circunferencia son iguales.
El diámetro es el doble del radio y es la mayor de las cuerdas.
El centro de la circunferencia es el centro de simetría de la cuerda.
El diámetro divide la circunferencia y el círculo en dos partes iguales,
llamadas respectivamente semicircunferencia y semicírculo.
PROPIEDADES DEL RADIO Y DEL DIAMETRO.
 En toda circunferencia, se puede trazar un nùmero indefinido de
radios y de diámetros.
 Todos los radios de una circunferencia son iguales y los
diámetros tambièn.
 El diámetro es doble del radio y es la mayor de las cuerdas.
 El diámetro divide la circunferencia y el circulo en dos partes
iguales, llamadas respectivamente semicircunferencias y
semicírculos.
 El radio y el diámetro son perpendiculares a las tangentes
trazadas en sus extremos.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS.
Las principales posiciones relativas de dos circunferencias son:
1. Exteriores, cuando todos los puntos de cada una de ellas estàn
fuera de la otra.

C C’
2. secantes, cuando tienen dos puntos comunes.
C C’
3. tangentes exteriores, cuando tienen un solo punto comùn y los
demàs puntos de cada una estàn fuera de la otra.
4. tangentes interiores, cuando tienen un solo punto comùn y la
una està dentro de la otra.

5. interiores, cuando todos los puntos de una de ellas estàn dentro
de la otra. Si ambas tienen el mismo centro, se llaman
concèntricas, y si lo tienen diferente, excèntricas.
C C’ C
La parte del cìrculo comprendida entre dos circunferencias
concèntricas, se llama corona o anillo circular.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. Sì con una cuerda se da la vuelta a
un aro o a una rueda, se ve que su perímetro, o sea, la longitud de su
circunferencia, es algo màs de 3 veces la longitud de su diámetro.
En la pràctica, para hallar la longitud de la circunferencia, se
multiplica el diámetro o el doble del radio por el nùmero 3.1416, que suele
representarse por la letra griega  (Pi).
Llamando “C” la longitud de la circunferencia, “d” diámetro y “r” el
radio, se tiene:
C = d x 3.1416 =  d.
C = 2 r x 3.1416 = 2  r.
0
.r
2  r
A B
Longitud de la circunferencia.

Ejemplo: Sì las ruedas de una bicicleta tiene 0.30 metro de radio, ¿Cuàl
es la longitud de su circunferencia?
Utilizamos la formula C = 2  r.
Nos queda: C = 2 x 3.1416 x 0.30
C = 1.885 metro.
DEFINICIONES Y PROPIEDADES RELATIVAS A LOS POLIGONOS
REGULARES.- Ya se ha visto que los polìgonos regulares tienen sus
lados y àngulos iguales.
Todo polìgono regular puede inscribirse en una circunferencia,
haciendo que sus lados sean cuerdas de la misma.
E D
F O C
A B

Todo polìgono regular puede circunscribirse a una circunferencia,
haciendo que sus lados sean tangentes a la misma.
E D
F 0 C
A P B
Cuando un polìgono està inscrito en una circunferencia, la
circunferencia està circunscrita al polìgono; y recìprocamente, cuando
el polìgono està circunscrito, la circunferencia està inscrita.
CENTRO de un polìgono regular es el centro de la circunferencia
inscrita o circunscrita.
RADIO de un polìgono regular es la recta que une el centro con
cualquiera de los vértices; dicha recta es igual al radio de la
circunferencia circunscrita al polìgono (OA) ò (OB).
APOTEMA de un polìgono regular es la perpendicular trazada desde el
centro a cualquiera de sus lados; dicha recta es igual al radio de la
circunferencia inscrita en el polìgono (OP).
ÀNGULO en el centro de un polìgono regular es el àngulo formado por
dos radios consecutivos; dicho àngulo es igual a 3600
dividido entre el
nùmero de lados del polìgono (AOB).
DIVISIÒN DE LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES Y
CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES.
 Dividir una circunferencia en 4 y en 8 partes iguales y construir
un cuadrado y el octàgono regular inscritos.
Se trazan dos diámetros perpendiculares y se unen sus extremos
dos a dos. Dividiendo en dos partes iguales los arcos
correspondientes a los lados del cuadrado, la circunferencia
resulta dividida en 8 partes iguales, y uniendo los puntos de
divisiòn, se obtiene el octàgono regular inscrito.

D
A O C
B
D
D’ C’
A O C
A’ B’
B
 Dividir una circunferencia en 6 y en 3 partes iguales y construir
el hexàgono regular y el triàngulo equilàtero inscritos.
Observando que los àngulos en el centro del hexàgono regular
son iguales a 3600
/6, o sea, 600
, se deduce que los otros dos
àngulos del triàngulo isósceles FOE son tambièn iguales a 600
.
Por tanto, ese triàngulo es equilàtero, y su base FE, que es uno de
los lados del hexàgono, es igual al radio de la circunferencia.
Basta pues llevar 6 veces sobre la circunferencia una abertura de
compàs igual al radio y unir los puntos de divisiòn, para formar el

hexàgono regular, o unirlos de dos en dos, para obtener el
triàngulo equilàtero.
ÁNGULO CENTRAL.- Es aquel formado entre 2 radios y medido desde el
centro de la circunferencia.
A
Àng. AOB
O B
Àng. A B
ÁNGULO INSCRITO.- Es el que está formado por dos cuerdas que no
pasan por el centro de la circunferencia, y su vértice se encuentra en un
Punto de la misma.
Y la medida del àngulo serà igual a la mitad de la medida del arco.
Àng. ABC = A C
2 A
B C

ÁNGULO EXTERIOR.- Formado por dos rectas secantes que se cortan
fuera de la circunferencia.
El àngulo exterior serà igual a la resta del arco mayor menos el menor
entre dos.
Àng. E = A B – C D
2
B
C
E
D
A
PROYECTO DE EXAMEN PARCIAL DEL TEMA DE
GEOMETRIA EUCLIDIANA.
1.- ¿Cuál es la línea que es perpendicular a otra en su punto medio: (a)
a). mediatriz b). bisectriz c). mediana d). seno
2.- un triàngulo rectàngulo es aquel que: (b)
a). donde todos sus lados son iguales.
b). donde 2 àngulos son agudos y otro es recto.
c). donde sus ángulos son obtusos.
d). donde ningún àngulo es igual.
3.- el resultado del siguiente àngulo 45.3 0
en grados, minutos y segundos es:
(b)
a). 450
48’ 00’’ b). 450
18’ 00’’ c). ninguno d). 450
15’ 30’’

4.- ¿Cuál es el valor de X de la siguiente figura? (c)
a). 110° b). 70° c). 50° d). 60°
5.-De la siguiente figura: ¿cuánto vale B? (c)
a) 17° b) 77° c) 54° d) 23°
6.- la expresión que usamos para convertir grados a radianes es: (a)
a). π / 1800
b). 1800
/ π c). 900
– 23 radianes d). 2π
7.- (B)
A B
S 2
1
L
T
D C
130°
X
Y
Z
230 A
B
770

En la figura anterior, AD ║ BC, y la recta L corta los lados AD y BC en los puntos
S y T. Si la medida del àngulo 1 es 75º. ¿Cuàntos grados mide el àngulo 2?
A). 15
B). 75
C). 90
D). 105
E). 180
650
X0
400
1200
8.- En la figura anterior, ¿Cuàntos grados mide el àngulo X? (A)
A). 15
B). 40
C). 55
D). 65
E). 80
9. (A)
.po
qo
L1
.ro
so
.to
uo
L2
.vo
wo
Si en la figura anterior, las rectas L 1 y L 2 son paralelas y estàn
cortadas por la recta “a”, ¿Cuàl de los enunciados NO es
necesariamente correcto?

A). v < q
B). v = u
C). p = t
D). p > u
E). t = s

TRIGONOMETRÌA:
ES LA ENCARGADA DE ESTUDIAR TODO LO RELACIONADO
CON LADOS Y ÀNGULOS DE LOS TRIÀNGULOS.
TEOREMA DE PITÀGORAS:
Hipotenusa “c”.
Cateto “a”.
Cateto “b”.
EL TEOREMA DE PITAGORAS DICE:
“el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado
de sus catetos”.
C2
= a2
+ b2
.
Despejes: c = √ a2
+ b2
a = √ c2
- b2
b = √ c2
- a2
. b2
. a2

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
Las funciones trigonomètricas son las siguientes:
Seno del àngulo = cateto opuesto.
Hipotenusa
Coseno del àngulo = cateto adyacente
Hipotenusa
Tangente del àngulo = cateto opuesto.
Cateto adyacente
Cotangente del àngulo = cateto adyacente.
Cateto opuesto
Secante del àngulo = hipotenusa.
Cateto adyacente
Cosecante del àngulo = hipotenusa.
Cateto opuesto.
B
.a c
cateto opuesto de A
C A
.b cateto adyacente de A
con el siguiente triàngulo rectàngulo, hallar las
funciones trigonomètricas de los ángulos agudos.
Las funciones se anotaràn como vienen en la calculadora:
Sin A = a. Sin B = b.
.c .c
Cos A = b. Cos B = a.
.c .c
Tan A = a. Tan B = b.
.b .a
Cot A = b. Cot B = a.
.a .b
Sec A = c. Sec B = c.
.b .a
Csc A = c. Csc B = c.
.a .b

*nota: las flechas indican que la función de un àngulo es igual
a otra funciòn del otro àngulo agudo.
Anotaciones importantes, sobre como encontrar lados
o ángulos de un triàngulo rectàngulo:
1.- cuando en un triàngulo rectàngulo tienes 2 lados, puedes
usar las formulas del teorema de Pitágoras.
2.- cuando tienes un àngulo y su lado opuesto, puedes utilizar
la funciòn trigonomètrica “sin”, y calculas la hipotenusa.
3.- cuando tienes un àngulo y su lado adyacente, puedes
utilizar la funciòn trigonomètrica “cos”, y calculas la
hipotenusa.
4.- cuando tienes un àngulo y la hipotenusa, puedes utilizar el
“sin” o “cos” para calcular un cateto.
5.- cuando tienes los dos catetos y quieres encontrar el àngulo,
tienes que utilizar la “tan”.
6.- cuando tienes un cateto y la hipotenusa, tienes que utilizar
el “sin” o “cos” para calcular el àngulo.
* la suma de los ángulos interiores de un triàngulo es igual a 1800
.
En la calculadora tienes que hacer la relaciòn que existe entre
los catetos, cateto con la hipotenusa, y despuès presionar la
tecla shift., inv.,2nd., o arc. Dependiendo la calculadora.
Ejemplo 1: calcular “c” y los ángulos agudos “A” y “B”.
B
.a = 4 c =
C b = 3 A
c = √ 42
+ 32
c = √ 16 + 9 √ 25 c = 5.
Tan A = 4/3 = 1.333. . . . .
Àngulo A = shift tan 1.333. . . . A = 53.130
.
Àngulo B = 900
– 53.130
B = 36.870
.
Σ = 900
.
El àngulo C siempre mide 900
en los triàngulos rectángulos.

Ejemplo 2: Calcular “c”, “b” y el àngulo A.
B = 300
.c a = 80
.b
Cos 300
= 80/ c c = 80 / cos 300
c = 92.38.
Tan 300
= b/ 80 b = 80 * tan 300
b = 46.19.
Àngulo A = 900
– 300
A = 600
.
Ejemplo 3: Encontrar “a”, “c” y B.
.b = 250 A = 450
.a c
B
Tan 450
= a / 250 a = 250 * tan 450
a = 250.
Cos 450
= 250 / c c = 250 / cos 450
c = 353.6.
Àngulo B = 900
– 450
B = 450
.

PROBLEMAS RAZONADOS.
1.- ¿Cuàl es la longitud de la sombra proyectada por un árbol de 20
metros de altura cuando el sol se ha elevado 300
sobre el horizonte?
20 mts.
300
.b =?
La funciòn trigonomètrica que nos sirve para encontrar este dato es:
Tan 300
= 20 mts. / b
Despejando, nos queda:
. b = 20 / tan 300
b = 34.64 mts.
2.- Un edificio de 100 mts de altura proyecta una sombra de 120 mts de
longitud. Encontrar el àngulo de elevación del sol.
100 mts
.θ =?
120 mts
Utilizamos la funciòn tangente:
Tan θ = 100 mts = 0.8333 θ = 0.8333 inv tan θ = 39.800
.
120 mts

3.- Una escalera se encuentra recargada contra la pared de una casa, de
modo que del pie de la escalera a la casa hay 10 mts. ¿A què altura del
suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuàl es la longitud
de la misma, si forma un àngulo de 450
con el suelo?
Tan 450
= a / 10 mts.
C .a = 10 x tan 450
.a =?
.a = 10 mts.
450
10 mts
Recuerda que si en un triàngulo rectàngulo uno de sus àngulos agudos es de 450
,
los dos catetos son iguales.
C = √ 102
+ 102
c =√200 c = 14.14 mts. Longitud de la escalera.
4.- Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 80
mts, el àngulo de depresiòn de una embarcación es de 250
. ¿A què
distancia del faro està la embarcación?
250
80 mts
b 250
Tan 250
= 80 mts / b
. b = 80 mts / tan 250
b = 171.56 mts.

5.- Encontrar la altura de una persona si el àngulo de elevación de su
cabeza crece desde 200
hasta 500
cuando otra persona avanza 5 mts hacia
los pies de la persona.
a
200
500
5 mts b
Si observas el dibujo, se forman 2 triàngulos rectàngulos. Tomaremos
cada uno de ellos con la funciòn tangente.
Tan 200
= a . Tan 500
= a .
5 + b b
Ahora despejamos “a” que es la incògnita que nos interesa:
. a = Tan 200
(5 + b) a = Tan 500
b
.a = 0.3639 (5 + b) a = 1.1917 b
.a = 1.8195 + 0.3639 b
Nos resultan 2 ecuaciones con dos incógnitas, las cuales podemos
resolver por cualquier mètodo.Utilizamos el mètodo de reducciòn:
Quitamos la incògnita “b”.
.a = 1.8195 + 0.3639 b (- 1.1917)
.a = + 1.1917 b (0.36390)
Y nos queda de la siguiente manera:
- 1.1917 a = - 2.1683 – 0.4337
+ 0.3639 a = + 0.4337
- 0.8278 a = - 2.1683
Despejando “a”
.a = - 2.1683 a = 2.6 mts.
- 0.8278

6.- Un árbol quebrado por el viento, forma un triàngulo rectàngulo con el
suelo. ¿Cuàl era la altura del árbol, si la parte que ha caìdo hacia el
suelo forma con èste un àngulo de 500
, y si la parte del tronco que ha
quedado en pie tiene una altura de 2 mts?
C
2 mts
500
.b
Sen 500
= 2 mts / c
C = 2 mts c = 2.61 mts.
Sen 500
Este resultado es el de la parte del árbol que cayo al suelo. A este valor
hay que sumarle los 2 mts de la parte del tronco que ha quedado en pie.
.altura total = 2.61 mts + 2 mts = 4.61 mts.

ROSA DE LOS VIENTOS.
N
NNW NNE
NW NE
WNW ENE
W E
WSW ESE
SW SE
SSW SSE
S

ROSA DE LOS VIENTOS:
Es la circunferencia del compás que representa las direcciones
de los vientos e indica los rumbos o direcciones posibles. El
sistema cuadrantal la divide en 32 partes de 0 º, a 90 º, a partir
del norte y sur hacia el este y oeste. Los 4 puntos cardinales
son N, S, E y W. Los 4 puntos Laterales son NE, SE, NW, SW
Los 8 puntos intermedios son los llamados colaterales: NNE,
ENE, ESE, SSE, SSW, WSW, WNW, NNW
Las 16 cuartas se sitúan entre los puntos citados, y se
designan N 1/4 NE (norte cuarta al noroeste), NW 1/4N
(noroeste cuarta al norte), etc.
El sistema circular es el más usado en la actualidad por su
mayor sencillez y menor error.
En resumen:
Puntos cardinales:
Norte = 00
y 3600
Este = 900
Sur = 1800
Oeste = 2700
Puntos Laterales:
Noreste = 450
Sureste = 1350
Suroeste = 2250
Suroeste = 3150
Puntos Colaterales:
NNE =22.50
y asì todos los demàs puntos se les va sumando
22.50
.
Rumbo. (Del latìn. rhombus, rombo). Dirección considerada o
trazada en el plano del horizonte, y principalmente cualquiera
de las comprendidas en la rosa náutica. Tambièn es un Camino
y senda que alguien se propone seguir en lo que intenta o
procura.

LA ORIENTACIÒN DE UN PUNTO “B” RESPECTO A UN PUNTO
“A”, en un plano horizontal, se define, generalmente, como el
àngulo (siempre agudo) que forman la recta Norte – Sur que
pasa por A y la semirrecta cuyo origen es A y que pasa por B.
La orientación se lee, entonces, desde las semirrectas Norte o
Sur hacia el Este o hacia el Oeste.
En aeronáutica, la orientaciòn de B respecto de A suele
expresarse como el àngulo formado por la semirrecta AB y la
semirrecta que, orientada hacia el norte, tiene su origen en A.
este àngulo se mide, a partir del norte, en el mismo sentido que
el del movimiento de las agujas del reloj.
AZIMUT.- Es el àngulo formado de Norte a Norte.
N N
B
E
E
A
S S
N 350
E S 350
E
N N
B
E
E
A
S S
350
1450

VECTORES. Toda cantidad fìsica, como la fuerza o la
velocidad, que posee magnitud, direcciòn y sentido, recibe el
nombre de cantidad vectorial. Una cantidad vectorial se puede
representar mediante un segmento de recta dirigido (flecha)
llamado vector. La direcciòn y sentido del vector son los de la
cantidad dada, y la longitud del vector es proporcional a la
magnitud de la cantidad.
EJEMPLOS:
1.- La velocidad de un aeroplano es de 200 millas/ hora N 400
E.
su velocidad aparece representada por el vector AB de la
figura:
2.- Un bote de motor navega durante 3 horas a razòn de 20
millas/ hora en direcciòn N 400
E. ¿Què distancia hacia el Norte
y què distancia hacia el Este ha recorrido?
N C
B 3 horas (20 millas/hora) = 60 millas.
400
60 millas
E
A
Sen 400
= CB / 60 CB = 60 SEN 400
CB =38.57 millas.
COS 400
= AC / 60 CA = 60 COS 400
CA = 45.96 millas.
N
400
B
200 millas/ hora
E

3.- Tres barcos estàn situados de tal manera que A se
encuentra a 225 millas directamente al norte de C, y B a 375
millas directamente al Este de C. ¿Cuàl es la orientaciòn a). De
B respecto de A y b). De A respecto de B?
N
A
225 N
C B E
375
Tan A = 375 / 225 = 1.66667 A = 590
.
.a) la orientaciòn de B respecto de A (àngulo SAB) es S 590
E.
.b) la orientaciòn de A respecto de B (àngulo N’BA) es N 590
W.
4.- Desde un barco que navega a 16.5 millas / hora hacia el
Norte, se observan directamente hacia el Este los restos de un
naufragio K y una torre de observación T. Una hora mas tarde,
la orientaciòn del barco respecto a los restos del naufragio es
S 340
40’ E y respecto a la torre es de S 650
10’ E. Encontrar la
distancia entre los restos del naufragio y la torre.
A
340
40’
650
10’
16.5
C
K T
Tan 340
40’ = CK / 16.5 CK = 16.5 Tan 340
40’ CK = 11.41.
Tan 650
10’ = CT / 16.5 CT = 16.5 Tan 650
10’ CT = 35.65.

Entonces para calcular la distancia entre el naufragio y la torre
es:
KT = CT – CK = 35.65 – 11.41 KT = 24.24 millas.
5.- Desde un barco que navega directamente hacia el Este se
observa una luz cuya orientaciòn es N 620
10’ E. Cuando el
barco ha recorrido 2250 metros, la orientaciòn es N 480
25’ E. Si
el barco mantiene el mismo derrotero, ¿Cuàl serà la menor
distancia a que se encontrarà la luz?
N L
620
10’ Y
480
25’
2250 metros B X C
Se buscan los àngulos interiores a los triàngulos trazados.
Àngulo LAB = 270
50’ àngulo LBC = 410
35’
Tan 270
50’ = Y / 2250 + X Tan 410
35’ = Y / X
Utilizando el sistema de ecuaciones con dos incògnitas:
Y = LC = 2934 metros.

LEY DE SENOS Y COSENOS:
Estas leyes se utilizan para los triàngulos oblicuángulos u
obtusángulos, pero tambièn se pueden usar para los
rectángulos.
Los triàngulos oblicuàngulos los podemos encontrar de la
siguiente forma:
A .A
.b c b c
C a B C a B
Características:
1.- donde sus 3 ángulos son agudos.
2.- donde 1 àngulo es obtuso y 2 agudos.
3.- las letras de los lados y ángulos puedes ponerlas donde
quieras, pero teniendo en cuenta que la letra minúscula debe
quedar opuesta a la mayúscula.
4.- la suma de los ángulos interiores es igual a 1800
.
LEY DE LOS SENOS:
. a . = . b . = . c .
Sin A sin B sin C
LEY DE LOS COSENOS:
.c2
= a2
+ b2
– 2 a b cos C
.a2
= c2
+ b2
– 2 c b cos A
.b2
= c2
+ a2
– 2 c a cos B.
DESPEJES DE FORMULAS:

LEY DE LOS SENOS:
.a = b * sin A. a = c * sin A.
Sin B sin C
.b = a * sin B. b = c * sin B.
Sin A sin C
.c = a * sin C. c = b * sin C.
Sin A sin B
A = a * sin B. inv sin. A = a * sin C. inv sin.
.b .c
B = b * sin A. inv sin. B = b * sin C. inv sin.
.a .c
C = c * sin A. inv sin. C = c * sin B. inv sin.
.a .b
LEY DE LOS COSENOS:
.c = √a2
+ b2
– 2 a b cos C.
.a = √c2
+ b2
– 2 c b cos A.
.b = √c2
+ a2
– 2 c a cos B.
A = a2
– b2
– c2
. inv cos.
- 2 c b
B = b2
– a2
– c2
. inv cos.
- 2 c a
C = c2
– b2
– a2
. inv cos.
- 2 a b
EJEMPLOS: calcular a, A y B.

A
.c = 25 b = 10
B a C = 300
.
B = b * sin C. inv sin.
.c
Sustituyendo:
B = 10 * sin 300
. inv sin. B = 11.530
.
25
A = 1800
– (300
+ 11.530
) A = 138.470
.
a = b * sin A. = 10 * sin 138.470
. a = 33.17.
Sin B sin 11.530
B
.a =50 c = 30
C b = 40 A =
A = a2
– b2
– c2
. inv cos.
- 2 c b
A = 502
– 402
– 302
. inv cos. A = 900
.
- 2* 30* 40
B = b2
– a2
– c2
. inv cos.
- 2 c a
B = 402
– 502
– 302
. inv cos. B = 53.130
.

2 *50*30
tambièn puedes usar la ley de los senos:
B = b * sin A. inv sin.= 40*sin 900
=.inv sin = 53.130
.
.a 50
C = 1800
– (900
+ 53.130
) C = 36.870
.
Puedes observar que este triàngulo es rectàngulo, y como ves, tambièn se
puede hacer con estas leyes; pero toma en cuenta que los oblicuàngulos no se
pueden hacer con el teorema de Pitágoras, ni con las funciones trigonomètricas.
B
.a =50 c
C b = 80 A
750
.c = √a2
+ b2
– 2 a b cos C.
.c = √502
+ 802
– 2 *50 *80 cos 750
. c = 82.64.
A = a * sin C. inv sin.= 50* sin 750
. inv sin A = 35.760
.
.c 82.64
B = 1800
– (82.640
+ 35.760
) B = 61.600
.
GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

Las graficas de funciones trigonomètricas, se grafican,
tabulando valores en radianes o en grados, es mas
recomendable hacerlo en radianes, para usar centímetros en
nuestra escala.
Te recomiendo usar la siguiente tabla con los valores en
radianes hasta 3 π. Sustituirlos en “x”.
EJEMPLO: graficar la funciòn Y = sin X
Sustituyendo valores en la funciòn:
X 0 1.0 1.3 1.6 2.0 2.3 2.6 π 3.3 3.6 4.0 4.3 4.6 5.0
Y 0 0.8 0.9 1.0 0.9 0.7 0.5 0 -.2 -.4 -.8 -.9 - 1 -.9
X 5.3 5.6 6.0 2 π 6.6 7.0 7.3 7.6 8.0 8.3 8.6 9.0 3 π
Y -.8 -.6 -.3 0 0.3 0.7 0.8 0.9 1.0 0.9 0.7 0.4 0
La grafica queda de la siguiente forma:
para las otras funciones trigonomètricas utiliza la misma tabla
con los mismos valores:

EJERCICIO 1: calcular “c” y los ángulos agudos “A” y “B”.
B

a = 40 c =
C b = 30 A
c = √ 402
+ 302
c = √ 1600 + 900 √ 2500 c = 50.
Tan A = 40/30 = 1.333. . . . .
Àngulo A = shift tan 1.333. . . . A = 53.130
.
Àngulo B = 900
– 53.130
B = 36.870
.
Σ = 900
.
El àngulo C siempre mide 900
en los triàngulos rectángulos.
EJERCICIO 2: Calcular “c”, “b” y el àngulo A.
B = 600
.c a = 12
.b
Cos 600
= 12/ c c = 12 / cos 600
c = 24.
Tan 600
= b/ 12 b = 12 * tan 600
b = 20.78.
Àngulo A = 900
– 600
A = 300
.
EJERCICIO 3: Encontrar “a”, “c” y B.

b = 300 A = 450
.a c
B
Tan 450
= a / 300 a = 300 * tan 450
a = 300.
Cos 450
= 300 / c c = 300 / cos 450
c = 424.26.
Àngulo B = 900
– 450
B = 450
.
TRIÀNGULOS OBLICUÀNGULOS:
EJERCICIO 1: calcular a, A y B.
A
.c = 350 b = 200
B a C = 300
.
B = b * sin C. inv sin.
.c
Sustituyendo:
B = 200 * sin 300
. inv sin. B = 16.600
.
350
A = 1800
– (300
+ 16.600
) A = 133.400
.

a = b * sin A. = 200 * sin 133.400
.a = 508.64.
Sin B sin 16.600
B
.a =48 c = 29.9
C b = 39.9 A =
A = a2
– b2
– c2
. inv cos.
- 2 c b
A = 482
– 39.92
– 29.92
. inv cos. A = 85.620
.
- 2* 29.9* 39.9
B = b2
– a2
– c2
. inv cos.
- 2 c a
B = 39.92
– 482
– 29.92
. inv cos. B = 55.970
.
- 2 *48*29.9
tambièn puedes usar la ley de los senos:
B = b * sin A. inv sin.= 39.9*sin 85.620
=.inv sin = 55.970
.
.a 48
C = 1800
– (85.620
+ 55.970
) C = 38.410
.
Puedes observar que este triàngulo es rectàngulo, y como ves, tambièn se
puede hacer con estas leyes; pero toma en cuenta que los oblicuàngulos no se
pueden hacer con el teorema de Pitágoras, ni con las funciones trigonomètricas.
B
.a =60.2 c

C b = 90.4 A
650
.c = √a2
+ b2
– 2 a b cos C.
.c = √60.22
+ 90.42
– 2 *60.2 *90.4 cos 650
. c = 128.04.
A = a * sin C. inv sin.= 60.2* sin 650
. inv sin A = 37.120
.
.c 90.4
B = 1800
– (128.040
+ 37.120
) B = 14.840
.
PROBLEMAS RAZONADOS:

1.- Una persona recorre 500 mts a lo largo de un camino que tiene una
inclinación de 200
respecto a la horizontal. ¿Què altura alcanza respecto al
punto de partida?
500 mts
.a
200
Sen 200
= a / 500 mts a = 500 (sen 200
) a = 171.0 mts.
2.- La distancia entre dos edificios de techo plano es de 60 mts. Desde la
azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 mts se observa la
azotea del otro con un àngulo de elevación de 400
. ¿Cuàl es la altura del
edificio màs alto?
.a
400
.a t
40 mts.
60 mts.
Tan 400
= a / 60 mts a = 60 (Tan 400
) a = 50.34 mts.
.a t = 50.34 mts + 40 mts a t = 90.34 mts.
3.- Una escalera de mano, cuyo pie està en la calle, forma un àngulo de
300
con el suelo cuando su extremo superior se apoya en un edificio
situado en uno de los lados de la calle, y forma un àngulo de 400
cuando
se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de
la escalera es de 50 mts. ¿Cuàl es el ancho de la calle?

50 mts 50 mts
300
400
.b 1 b 2
Cos 300
= b 1 / 50 mts Cos 400
= b 2 / 50 mts
.b 1 = 50 (Cos 300
) = 43.30 mts. b 2 = 50 (Cos 400
) = 38.30 mts.
Ancho de la calle = b 1 + b 2 = 43.30 + 38.30 = 81.60 mts.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:

PARA PODER ENCONTRAR LAS IDENTIDADES MÀS
IMPORTANTES, NOS AYUDAREMOS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS Y DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
B
.a c
C .b A
Seno àngulo = cateto opuesto.
Hipotenusa
Coseno àngulo = cateto adyacente
Hipotenusa
Tangente àngulo = cateto opuesto.
Cateto adyacente
Cotangente àngulo = cateto adyacente. inversas
Cateto opuesto
Secante àngulo = hipotenusa. 1/X
Cateto adyacente
Cosecante àngulo = hipotenusa.
Cateto opuesto.
Relaciones inversas:
1. Sin θ = 1/ csc θ. 4. Csc θ = 1/ sin θ.
2. Cos θ = 1/ sec θ. 5. Sec θ = 1/ cos θ.
3. Tan θ = 1/ ctg θ. 6. Ctg θ = 1/ tan θ.
Relaciones de producto:

7. sen θ * csc θ = 1 8. cos θ * sec θ = 1
9. tan θ * ctg θ = 1 10. sen θ * ctg θ = cos θ
11. cosθ * tan θ = sin θ 12. sen θ = tan θ
cos θ
13. cos θ = ctg θ 14. cos θ = sin θ
sin θ ctg θ
15. sin θ = cos θ
tan θ
Relaciones pitagóricas:
16. sin2
θ + cos2
= 1
17. sin2
θ = 1 – cos2
θ
18. cos2
θ = 1 – sin θ
19. csc2
θ = 1 + ctg2
θ
20. csc2
θ – ctg2
θ = 1
21. ctg2
θ = csc2
– 1
22. sec2
θ = tan2
θ + 1
23. sec2
θ – tan2
θ = 1
24. tan2
θ = sec2
θ – 1
OPERACIONES CON RELACIONES FUNDAMENTALES
E IDENTIDADES:

EFECTUAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES INDICADAS:
(Sen X + Cos x – 2) + (3 Cos X – 2 Sen X + 3) =
Sen X – 2 Sen X + Cos X + 3 Cos X – 2 + 3 =
- Sen X + 4 Cos X + 1.
(Sen X + Cos X) 2
Sen2
X + 2 Sen X Cos X + Cos2
X =
Sen2
θ + Cos2
θ = 1
2 Sen X Cos X + 1.
(Sen w + Cos w) (Sen w – Cos w)
Sen2
w – Cos2
w.
1 + . 2 . = Sen X + 2.
Sen X Sen X
1 + Sen X + . 2 . = Cos2
X + Sen X Cos X + 2
Cos X Cos2
X Cos2
X
(Tan 3 X – 1)3
Tan3
3 X – 3 Tan2
X + 3 Tan X – 1.
Factorizar las siguientes expresiones:
Sen2
A + 2 Sen A = Sen A (Sen A + 2).
Sen2
X – Cos2
X = (Sen X + Cos X) (Sen X – Cos X).
Tan2
B – 5 Tan B + 6 = (Tan B – 3) (Tan B – 2).
Sec2
Y – 4 Csc2
Y = (Sec Y + 2 Csc Y) (Sec Y – 2 Csc Y).
1 – Cos3
X = (1 – Cos X) (1 + Cos X + Cos2
X).
8 Tan3
W + 64 = (2 Tan W + 4) (4 Tan2
W – 8 Tan W + 16).

Simplificar cada una de las siguientes expresiones:
Con frecuencia es conveniente transformar en una forma
màs simple una expresión dada que contiene funciones
trigonomètricas.
Se recomienda cambiar todas las funciones en otras que
contengan Sen y Cos.
Sec X – Sec X Sen2
X
En èste caso primero hay que factorizar:
Sec X (1 – Sen2
X)
Ahora buscamos identidades que nos puedan servir:
. 1 . (Cos2
X) = Cos X.
Cos X
Sen θ Sec θ Cot θ
Buscamos las identidades correspondientes:
Sen θ 1 Cos θ = 1.
Cos θ Sen θ
Sen 2
X (1 + Cot 2
X)
Sen 2
X Csc2
X =
Sen2
X 1 = 1.
Sen2
X
Tan2
X Cos2
X + Cot2
X Sen X
Sen2
X Cos2
X + Cos2
X Sen X
Cos2
X Sen2
X
Sen2
X + Cos2
X = 1.
Tan A + Cos A
1 + Sen A

Sen A + Cos A =
Cos A 1 + Sen A
Calculamos el comùn denominador:
Sen A (1 + Sen A) + Cos2
A =
Cos A (1 + Sen A)
Sen A + Sen2
A + Cos2
A =
Cos A (1 + Sen A)
Sen A + 1 = 1 = Sec A.
Cos A (1 + Sen A) Cos A
Verificar las siguientes Identidades Trigonomètricas:
Para tener èxito en la verificación de identidades se requiere:
A. Completa familiaridad con las relaciones fundamentales.
B. Completa familiaridad con los procedimientos de
factorizaciòn y con operaciones fundamentales del
álgebra.
C. Mucha pràctica y ejercicios.
Sec2
θ + Csc2
θ = Sec2
θ Csc2
θ
1/Cos2
θ + 1/Sen2
θ =
Sen2
θ + Cos2
θ = 1 * 1 = Sec2
θ Csc2
θ.
Cos2
θ Sen2
θ Cos2
θ Sen2
θ
Tan4
θ + Tan2
θ = Sec4
– Sec2
θ
Tan2
θ (Tan2
θ + 1) = Tan2
θ Sec2
θ = (Sec2
– 1) Sec2
θ
Sec4
θ – Sec2
θ.
Tambièn puedes empezar con el otro lado y veràs que se
cumple la igualdad. Asì,
Sec4
θ – Sec2
θ = Sec2
θ (Sec2
θ – 1) = Sec2
θ Tan2
θ
(1 + Tan2
θ) Tan2
θ = Tan2
θ + Tan4
θ.

Sen X . + 1 + Cos X = 2 Csc X
1 + Cos X Sen X
Sen2
X + (1 + Cos X)2
= Sen2
X + 1 + 2 Cos X + Cos2
X
Sen X (1 + Cos X) Sen X (1 + Cos X)
2 + 2 Cos X = 2 (1 + Cos X) = 2 Csc X.
Sen X (1 + Cos X) Sen X (1 + Cos X)
Sec A – Csc A = Tan A – 1
Sec A + Csc A Tan A + 1
1 / Cos A – 1 /Sen A =
1 / Cos A + 1 / Sen A
Multiplicamos por Sen, el numerador y denominador.
Sen A – 1
Cos A = Tan A – 1
Sen A + 1 Tan A + 1
Cos A
EJERCICIOS DE AFIRMACION. FACTORIZACIÒN:
FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
FACTOR O MONOMIO COMÙN:

1. Sen2
X + Sen X Cos X = Sen X (Sen X + Cos X).
2. Tan X + Tan2
X = Tan X (1 + Tan X).
3. 4 Sen2
X – 12 Sen X + 8 Sen3
X = 4 Sen X (Sen X – 3 + 2
Sen2
X).
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
1. 36 – 100 Sen2
X = (6 + 10 Sen X) (6 – 10 Sen X).
2. 25 Sec2
X – 1 = (5 Sec X + 1) (5 Sec X – 1).
3. 144 Ctg4
X – 25 Csc4
X = (12 Ctg2
X + 5 Csc2
X) (12 Ctg2
X – 5 Csc2
X).
DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS:
1. 1 – Cos3
X = (1 – Cos X) (1 + Cos X + Cos2
X)
2. 8 Sen3
X + 1 = (2 Sen X + 1) (4 Sen2
X – 2 Sen X + 1)
3. 27 Tan6
X– 8 = (3 Tan2
X – 2) (9 Tan4
X + 6 Tan2
X + 4)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
1. Sec2
X + 10 Sec X + 25 = (Sec X + 5)2
2. Csc2
X – 12 Csc X + 36 = (Csc X – 6)2
3. Tan2
X – 20 Tan X Sec X + 100 Sec2
X = (Tan X – 10 Sec
X)2
TRINOMIO DE LA FORMA X2
+ b X + C:
1. Cos2
X – 5 Cos X + 6 = (Cos X – 3) (Cos X – 2)
2. Tan2
X - 5 Tan X – 6 = (Tan X – 6) (Tan X + 1)
3. Sen2
X– 7 Sen X + 12 = (Sen X – 3) (Sen X – 4)
TRINOMIO DE LA FORMA a X2
+ b X + C:
1. 2 Sen2
X + 3 Sen X – 2 = (2 Sen X – 1) (Sen X + 2)
2. 3 Cos2
X - 5 Cos X – 2 = (3 Cos X + 1) (Cos X – 2)
3. 6 Csc2
X + 7 Csc X + 2 = (2 Csc X + 1) (3 Csc X + 2)
EJERCICIOS DE OPERACIONES CON FRACCIONES:
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones y
simplificar:
1. Sen X – 2 + 3 Sen X + 2 =
4 6
3 Sen X – 6 + 6 Sen X + 4 = 9 Sen X – 2
12 12
2. Sen X – 2 Cos X + Cos X – Sen X =
5 Sen X 3 Cos X

3 Sen X Cos X – 6 Cos2
X + 5 Sen X Cos X – 5 Sen2
X
15 Sen X Cos X
8 Sen X Cos X – 6 Cos2
X – 5 Sen2
X
15 Sen X Cos X
3. Tan X – Sec X + Sec X – a + 2 a – Tan X =
Tan X Sec X a Sec X a Tan X
= a Tan X – a Sec X + Tan X Sec X – a Tan X + 2 a Sec X –
Tan X Sec X .
a Tan X Sec X
a Sec X = 1 .
a Tan X Sec X Tan X
4. . 1 . + . 1 . + . 1 . =
3 Sen X + 3 2 Sen X – 2 Sen2
X– 1
3 (Sen X + 1) 2 (Sen X – 1) (Sen X + 1) (Sen X- 1)
.2 (Sen X – 1) + 3 (Sen X + 1) + 6 . =
6 (Sen X + 1) (Sen X – 1)
2 Sen X – 2 + 3 Sen X + 3 + 6 =
6 (Sen X + 1) (Sen X – 1)
5 Sen X + 7 .
6 (Sen X + 1) (Sen X – 1)
COORDENADAS EN EL ESPACIO.

Geometría del espacio: A diferencia de la geometría plana, o de
dos dimensiones, que estudia las figuras cuyas partes están
todas en mismo plano, la geometría del espacio o de tres
dimensiones tratan las propiedades de las figuras cuyas partes
no están todas en un mismo plano.
Y
Z’
X’ X
Z
Y’
En la figura, se muestra lo siguiente:
En un sistema de coordenadas en el espacio, los ejes
continuos X, Y y Z son los ejes positivos y los punteados son
los negativos X’, Y’ y Z’.
Las coordenadas de un punto en el espacio es (x, y, z).
La figura que resulta al trazar el punto, siempre serà un
poliedro (Sólido limitado por superficies planas.)
Para trazar un punto en el eje de coordenadas en el espacio,
tomaremos como ejemplo los siguientes:
Trazar los puntos A (5, 4, 3) y B (- 4, 6, 5).
Seguimos los puntos asì; primero el valor de las “x”, seguidos
de “y” y al ùltimo el de “z”.
En el punto A caminamos 5 cm hacia la derecha, subimos 4 cm
y después 3 con el eje “z”.

Y
B
A
X’ X
Z
Y’
Para calcular la distancia entre el Origen y el Punto, se calcula
con la siguiente formula:
.d o p = √x2
+ y2
+ z2
.d o A = √(5)2
+(4)2
+ (3)2
= √25 + 16 + 9 = √50 = 7.07 cm.
.d o B = √(- 4)2
+(6)2
+ (5)2
= √16 + 36 + 25 = √77 = 8.77 cm.
Para calcular la distancia entre dos puntos:
.d P1 P2 = √(x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
+ (z2 – z1)2
A (5, 4, 3) y B (- 4, 6, 5)
.d A B = √ (- 4 – 5)2
+ (6 – 4)2
+ (5 – 3)2
.d A B = √ 81 + 4 + 4 = √ 89 = 9.43
GEOMETRÌA ANÀLITICA:

La geometría analítica es una parte de las matemàticas
que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente
los problemas de la geometría.
Tambièn estudia la relaciòn que existe entre el álgebra y
la geometría, como consecuencia de la asociación de nùmeros
con puntos y de ecuaciones con figuras geomètricas.
En este tema se pueden conocer una ecuaciòn y poder
deducir su gràfica, o tambièn conociendo su gràfica determinar
la ecuaciòn. A estos dos problemas se les conoce como los
“problemas fundamentales de la Geometría Analítica”.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES O
CARTESIANAS.
En forma general se dice que la posición de un lugar cualquiera
sobre la superficie de la tierra se identifica conociendo la
“latitud” y “longitud” de ese lugar, esto es, un Sistema de
Coordenadas.
A cada punto de un plano le asociamos una pareja de nùmeros,
llamados coordenadas. Estas coordenadas son simplemente
las distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas. Una
de ellas horizontal, llamada “eje de las “x”, y la otra vertical,
llamada “eje de las “y”. el punto de intersecciòn de los ejes se
le llama “origen”, y se representa por la letra “o”.
Y
II CUADRANTE I CUADRANTE
(- x, + y) (+ x, + y)
X
O
III CUADRANTE IV CUADRANTE
(- X, - y) (+ x, - y)
Un punto en un eje coordenado lo definimos: p (X, Y).

Y
.y2 P2
(y2 – y1)
.θ
.y1 P1
(x2 – x1)
X
.x1 .x2
Distancia entre 2 puntos p1 (x1, y1) y p2 (x2, y2).
Formula: dp1 p2 = √ (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
.
Punto medio:
P m (x1 + x2, y1 + y2)
2 2
Pendiente (m) y àngulo de inclinación (θ):
.m = y2 – y1.
x2 – x1
.θ = m inv tan.
Perímetro de un triàngulo o polìgono:
P = d1 + d2 + d3 +. . . . . . + d n
Àrea de triàngulos o polìgonos:
Cambia el signo.

X1 Y1
X2 Y2
A = X3 Y3
X4 Y4
X1 Y1
2
A = {(x1*y2) + (x2*y3) + (x3*y4) + (x4*y1) – ((x2*y1) + (x3*y2) +
(x4*y3) + (x1*y4)}.
Àngulos interiores:
.α = m2 – m1 inv tan.
1 + m1*m2
Ejemplo: dados los puntos A(3, 2), B(- 2, 5) y C(0, - 4); calcular:
1.- lugar geomètrico.
2.- puntos medios.
3.- perímetro.
4.- pendiente y àngulo de inclinación.
5.- Àrea.
6.- Àngulo interior A.
Y
B
A
X
C
2.- Punto medio: A(3, 2), B(- 2, 5) y C(0, - 4)
P m (x1 + x2, y1 + y2)

2 2
P m A B (3 – 2 , 2 + 5) = (0.5, 3.5).
2 2
P m B C (- 2 + 0 , 5 – 4 ) = (- 1, 0.5).
2 2
P m A C (3 + 0 , 2 – 4 ) = (1.5, - 1).
2 2
3.- Perìmetro: P = d1 + d2 + d3 +. . . . . . + d n
Distancia entre 2 puntos p1 (x1, y1) y p2 (x2, y2).
d A B = √ (- 2 – 3)2
+ (5 – 2)2
= √ 25 + 9 = 5.8 u.
d B C = √ (0 + 2)2
+ (- 4 – 5)2
= √ 4 + 81 = 9.2 u.
d A C = √ (0 – 3)2
+ (- 4 – 2)2
= √ 9 + 36 = 6.7 u.
.Σ = 21.7u.
• u = unidades (metros, centímetros, pies, pulgadas, etc.).
4.- Pendiente (m) y àngulo de inclinación (θ):
.m = y2 – y1.
x2 – x1
.θ = m inv tan
.m AB = 5 – 2. = 3 = - 0.6.
- 2 – 3 - 5
.θ AB = - 0.6 inv tan = -30.960
+ 1800
= 149.030
.
.m BC = - 4 – 5. = - 9 = - 4.5.
0 + 2 2
.θ BC = - 4.5 inv tan = -77.470
+ 1800
= 102.530
.

m AC = - 4 – 2. = - 6 = +2.
0 – 3 - 3
.θ AC = 2 inv tan = 63.430
.
Àrea del triàngulo: A(3, 2), B(- 2, 5) y C(0, - 4).
Cambia el signo.
X1 Y1
X2 Y2
A = X3 Y3
X4 Y4
X1 Y1
2
Cambia el signo.
+3 +2
- 2 +5
A = 0 - 4 = 15 + 8 + 0 + 4 + 0 + 12 = 39 = 19.5 u2
.
+3 +2 2 2
2
6.- Àngulo interior A.
1 + m1*m2
B
.m2
A .αA
.m1
C
1 + m1*m2
.m AB = 5 – 2. = 3 = - 0.6.
- 2 – 3 - 5
+
Giro

m AC = - 4 – 2. = - 6 = +2.
0 – 3 - 3
.αA = + 2 + 0.6 inv tan. = – 13 inv tan. Α = 85.60
.
1 + (- 0.6) (+2)
• NOTAS IMPORTANTES SOBRE ESTE TEMA:
• Cuando se pida la pendiente de otro segmento de recta que
sea paralela a otra, su pendiente serà m2 = m1. y si es
perpendicular serà m2 = - 1/ m1.
• En el àrea, al multiplicar de abajo para arriba, se le cambia el
signo a lo que te dè la ley de los signos.
• Para calcular el àngulo interior de un triàngulo o polìgono,
toma en cuenta la abertura del ángulo en sentido contrario al
de las manecillas del reloj, y fíjate que donde abre serà el m1
y donde llega serà el m2.
• En donde aparece inv tan, recuerda que es el shift, 2nd, inv,
o arc. Dependiendo de la calculadora, que es tan – 1
.
EJERCICIO DE COORDENADAS RECTANGULARES:
GRAFICAR LOS SIGUIENTES PUNTOS EN EL EJE DE
COORDENADAS Y DESPUES ENCONTRAR LAS DISTANCIAS

QUE HAY ENTRE LOS SIGUIENTES PUNTOS: A (2, 1), B (0, 5),
C (- 2, 3), D (- 4, 0), E (0, - 5)
HALLAR LAS DISTANCIAS: AB, BC, CD, DE, AC, Y CE
FORMULA: d p1p2 = √ (X2 – X1)2
+ (Y2 – Y1)2
.d AB = √ (0 – 2)2
+ (5 – 1)2
= √ 4 + 16 = √ 20 = 4.47 U.
d BC = √ (- 2 – 0)2
+ (3 – 5)2
=√ 4 + 4 = √ 8 = 2.82 U.
d CD = √ (- 4 + 2)2
+ (0 – 3)2
= √ 4 + 9 = √ 13 = 3.60 U.
d DE = √ (0 + 4)2
+ (- 5 – 0)2
= √ 16 + 25 = √41 = 6.40 U.
d AE = √ (0 – 2)2
+ (- 5 – 1)2
= √ 4 + 36 = √ 40 = 6.32 U.
PERIMETRO = 4.47 + 2.82 + 3.60 + 6.40 + 6.32 = 23.61 U.
CALCULAR EL PERIMETRO Y EL AREA DEL POLIGONO.
FORMULAS: PARA EL PERIMETRO ENCUENTRA LAS
DISTANCIAS Y SUMA LOS RESULTADOS. FORMULA DEL
AREA.
X1 Y1 al multiplicar se le cambia el
signo.
X2 Y2
X3 Y3 al multiplicar se respeta el
signo.
X4 Y4
X1 Y1 =
2
ANEXAR HOJA MILIMETRICA CON EL TRAZO DEL POLIGONO.
Y TAMBIEN CALCULAR LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS
SEGMENTOS.

PM (x1 + x2 , y1 + y2)
2 2
A (2, 1), B (0, 5), C (- 2, 3), D (- 4, 0), E (0, - 5)
AREA:
2 1
0 5
- 2 3
- 4 0
0 - 5
2 1 = 10 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 10 + 12 + 0 + 10 = 62 =
31 U2
.
2 2 2
CALCULAR LOS PUNTOS MEDIOS AB, CD, Y AE.
PMAB (1, 3) PMBC (- 1, 4) PMCD (- 3, 1.5) PMDE (- 2, - 2.5)
PMEA (1, -2)
CALCULAR LAS PENDIENTES Y ÀNGULOS DE INCLINACIÒN
DE:
.m AB = 5 – 1 = 4 = - 2. θ = 116.560
.
0 – 2 - 2
.m BC = 3 – 5 = - 2 = 1. θ = 450
.
-2 – 0 - 2
.m CD = 0 – 3 = - 3 = 1.5. θ = 56.300
.
- 4 + 2 - 2
.m DE = - 5 – 0 = - 5 = - 1.25. θ = 128.650
.
0 + 4 4
HALLAR EL ÀNGULO INTERIOR “B”.
.α B = 1 – (- 2) = 3 = - 3 INV TAN α B = 71.560
.
1 + (1) (- 2) - 1
LA LINEA RECTA:
FORMA GENERAL:

A X + B Y + C = 0.
En los problemas mas comunes que se realizan para
resolverlos, se pueden encontrar los siguientes casos:
1.- cuando te dan un punto que pasa por la lìnea recta y su
pendiente o àngulo de inclinación; y se utiliza la siguiente
expresión: Y – Y1 = m ( X – X1).
Ejemplo 1: hallar la ecuación de la lìnea recta, que pasa por el
punto P (3, 4) y pendiente m = 2.
Y – 4 = 2 (X – 3)
Y – 4 = 2X – 6 2X – Y – 6 + 4 = 0 2X – Y – 2 = 0.
Su lugar geomètrico es:
Y
63.430
P (3, 4)
X
punto P (4, - 2) y pendiente m = - 1.
Y + 2 = - 1 (X – 4)
Y + 2 = - 1 X + 4 X + Y – 4 + 2 = 0 X + Y – 2 = 0.
Y

X
450
P (4, - 2)
2.- cuando nos pidan encontrar la ecuación de la recta, que
pase por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2).
Y – Y1 = Y2 – Y1.
X – X1 X2 – X1.
Ejemplo: hallar la ecuación de la lìnea recta que pasa por los
puntos A (3, 0) y B (- 2, 4).
Sustituimos en la formula:
Y – 0 = 4 – 0. y . = 4 .
X – 3 - 2 – 3. X – 3 - 5
- 5 Y = 4 X – 12 4 X + 5 Y – 12 = 0.
Y
B (- 2, 4)
141.320
A (3, 0) X
punto P (4, 2) y que es paralela a la recta que pasa por P (1, 5) y
m = 2/3.

Y
(1, 5) 33.70
(4, 2) 33.70
X
Cuando 2 rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.
Por lo tanto m1 = 2/3 y m2 = 2/3.
Entonces: y – y1 = m (x – x1)
Y – 2 = 2/3 (X – 4)
3 Y – 6 = 2 X – 8 2 X – 3 Y – 2 = 0.
punto P (4, 2) y que es perpendicular a la recta que pasa por P
(1, 5) y m = 2/3.
Su lugar geomètrico es: m = 2/3
Y 900
(1, 5)
m = - 3/2
(4, 2)
Cuando 2 rectas son perpendiculares, sus pendientes son
inversas y con signo contrario:
Por lo tanto m1 = 2/3 y m2 = - 3/2.
Entonces: y – y1 = m (x – x1)
Y – 2 = - 3/2 (X – 4)

2 Y – 4 = - 3 X + 12 3 X + 2 Y – 16 = 0
EJERCICIOS DE LA LINEA RECTA.
1.- HALLAR LA PENDIENTE Y LA INCLINACION DE LA RECTA
QUE PASA POR LOS PUNTOS A (- 2, 0) Y B (2, 3)
.m AB = 3 – 0 = 3 = 0.75 θ AB = 36.860
.
2 + 2 4
2.- EMPLEANDO EL CONCEPTO DE PENDIENTE VERIFICA
QUE LOS PUNTOS P (- 2, 3), Q (1, 2) y R (4, 1) SON
COLINEALES.
.m PQ = 2 – 3 = - 1 = - 0.3333
1 + 2 3
.m QR = 1 – 2 = - 1 = - 0.3333
4 – 1 3
COMO LAS PENDIENTES SON IGUALES, ENTONCES SON COLINEALES.
3.- SI LA RECTA L1 PASA POR LOS PUNTOS A (- 4, 2) y B (4, -
1), Y LA RECTA L2 PASA POR C (6, - 5) y D (- 3, 29),
DETERMINA SI L1 y L2 SON PARALELAS, PERPENDICULARES
O SE CORTAN OBLICUAMENTE.
.m AB = - 1 – 2 = - 3 = - 0.375
4 + 4 8
.m CD = 29 + 5 = 34 = 3.7777
- 3 – 6 - 9
LAS LINEAS SE CORTAN OBLICUAMENTE.
4.- SI LOS PUNTOS A (-1, - 8), B (4, 7) y C (8, - 5) SON LOS
VERTICES DE UN TRIANGULO RECTANGULO.
A.- ENCUENTRA LA MEDIDA DEL ANGULO A.
B.- LA MEDIDA DEL ANGULO B.
C.- LA MEDIDA DEL ANGULO C.
.m AB = 7 + 8 = 15 = 3
4 + 1 5
.m BC = - 5 – 7 = -12 = - 3
8 – 4 4
.m AC = - 5 + 8 = 3 = 0.3333
8 + 1 9
.α A = 3 – (0.33333) = 2.666667 = 1.333333 INV TAN α A = 53.130
.
1 + (3) (0.33333) 2

α B = - 3 – (3) = - 6 = 0.75 INV TAN α B = 36.860
.
1 + (- 3) (3) - 8
.α C = 0.3333 – (- 3) = 3 = ∞ INV TAN α C = 900
.
1 + (0.33333) (- 3) 0
CUANDO REALICES UNA DIVISIÒN ENTRE CERO, QUIERE DECIR QUE ES 900
.
5.- ENCUENTRA LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR
EL PUNTO P (-5, 1) Y QUE TIENE UNA PENDIENTE IGUAL A 7.
Y – 1 = 7 (X + 5)
Y – 1 = 7 X + 35 7 X – Y + 36 = 0.
6.- HALLAR LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR LOS
PUNTOS:
X (- 10, - 7) y W (- 6, - 2)
Y + 7 = - 2 + 7
X + 10 - 6 + 10
4 (Y + 7) = 5 (X + 10)
4 Y + 28 = 5 X + 50 5 X – 4 Y + 22 = 0.
LA CIRCUNFERENCIA:
FORMA GENERAL: X2
+ Y2
+ D X + E Y + F = O

Para realizar este tipo de problemas y poder llegar a la
ecuación de la circunferencia, hay que tomar en cuenta, que en
todos los problemas debes de tener el centro y el radio.
Para calcular la ecuación de la circunferencia se tiene la
siguiente expresión:
(X – h)2
+ (Y – k)2
= r2
. Donde C (h, k) y radio “r”,
Ejemplo 1: hallar la ecuación de la circunferencia de centro el
punto (3, 2) y radio 2.
Y
X
(X – 3)2
+ (Y – 2)2
= (2)2
X2
– 6 X + 9 + Y2
– 4 Y + 4 = 4 se agrupan los tèrminos.
X2
+ Y2
– 6 X – 4 Y + 9 = 0.
Ejemplo 2: hallar la ecuación de la circunferencia de centro el
punto (3, 0) y radio 3.
Y
.r =
2
(3, 2)
. r = 3
C (3, 0)

(X – 3)2
+ (Y – 0)2
= (3)2
X2
– 6 X + 9 + Y2
= 9 se agrupan los tèrminos.
X2
+ Y2
– 6 X = 0.
Ejemplo 3: hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
diámetro es el segmento que une los puntos (2, 4) y (-3, - 2).
Pasos a seguir para resolver este problema:
1.- Calcular la distancia entre los puntos y dividirlo entre 2,
para que nos dè el radio “r”.
Y
(2, 4)
X
(-3, -2)
D = √ (X2 – X1)2
+ (Y2 – Y1)2
.
D = √ (-3 – 2)2
+ (-2 – 4)2
= √ 25 + 36 = √ 61

Ahora para calcular el radio:
.r = √ 61. (Se deja asì la raìz pues no es exacta).
2
2.- El centro lo calculamos con los puntos medios:
P m (2 – 3 , 4 - 2) = C (-1/ 2, 1).
2 2
3.- Ahora que ya tenemos el centro y el radio sustituimos en:
(x – h)2
+ (y – k)2
= r2
(X + 1/ 2)2
+ (Y – 1) = (√61/2)2
X2
+ X + 1/ 4 + Y2
– 2 Y + 1 = 61/4
Multiplicamos todo por 4, para eliminar los denominadores:
4 X2
+ 4 X + 1 + 4 Y2
– 4 Y + 4 = 61
ORDENAMOS DE FORMA GENERAL:
4 X2
+ 4 Y2
+ 4 X – 4 Y – 56 = 0.
EJEMPLO 4.-
Hallar la ecuaciòn de la circunferencia que pasa por los puntos:
A (2, - 2) B (- 2, - 4) C (4, 2).
Soluciòn:
Como los tres puntos pasan por la misma circunferencia,
entonces los podemos sustituir en su forma general.
X2
+ Y2
+ D X + E Y + F = 0
Sustituimos cada punto;
(2)2
+ (- 2)2
+ 2 D – 2 E + F = 0
(- 2)2
+ (- 4)2
– 2 D – 4 E + F = 0
(4)2
+ (2)2
+ 4 D + 2 E + F = 0
Efectuamos operaciones:

2 D – 2 E + F = - 8 (a)
- 2 D – 4 E + F = - 20 (b)
4 D + 2 E + F = - 20 (c)
Como puedes observar obtuvimos un sistema de ecuaciones
con tres incògnitas.
Utilizaremos el mètodo de reducciòn para resolverlo.
Juntar la ecuaciòn (a) y (b) eliminando F
2 D – 2 E + F = - 8
2 D + 4 E – F = 20
4 D + 2 E = 12. (d)
Ahora juntamos (a) y (c) eliminando tambièn F
2 D – 2 E + F = - 8
- 4 D – 2 E – F = 20
- 2 D – 4 E = 12. (e )
Juntamos (d) y (e ) y resolvemos el sistema
4 D + 2 E = 12
- 4 D – 4 E = 24
- 2 E = 36 E = 36/ -2 E = - 18.
Sustituimos en (d).
4 D + 2 (- 18) = 12
4 D = 12 + 36 D = 48/4 D = 12.
Sustituimos en (a)
2 (12) – 2 (- 18) + F = - 8
24 + 36 + F = - 8
F = - 8 – 36 – 24 F = - 68.
La ecuaciòn de la circunferencia queda:
X2
+ Y2
+ 12 X – 18 Y – 68 = 0.
Hay problemas relacionados con la circunferencia donde te dan la
ecuaciòn de la misma y tienes que buscar el centro y el radio, podemos
hacerlo con las siguientes formulas:

C (- D, - E) r = √ D2
+ E2
– 4 F
2 2 2.
Ejemplo 5.- hallar el centro y el radio de la circunferencia:
X2
+ Y2
– 4X + 8 Y – 14 = 0
Si observas la forma general deducimos que:
X2
+ Y2
+ DX + E Y + F = 0
D = - 4 E = + 8 F = - 14
C (- D, - E) r = √ D2
+ E2
– 4 F
2 2 2.
C (- -4, - 8) r = √ (-4)2
+ (8)2
– 4 (-14)
2 2 2.
C (2, - 4) r = √ 16 + 64 + 56 r = √ 136. = 5.831 u.
2 2.
Y
X
C (2, - 4)
.r = 5.8
EJERCICIOS DE LA CIRCUNFERENCIA.

1.- DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE
SATISFACE LAS CONDICIONES DADAS:
a).- centro el origen y radio = 4
X2
+ Y2
= 16 X2
+ Y2
– 16 = 0.
b).- centro el punto (2, -2) y radio = 6
(X – 2)2
+ (Y + 2)2
= 36X2
– 4 X + 4 + Y2
+ 4 Y + 4 – 36 = 0
X2
+ Y2
– 4 X + 4 Y – 28 = 0.
c).- centro el origen y pasa por el punto (3, 4)
. r = √ 32
+ 42
= √ 25 = 5 X2
+ Y2
– 25 = 0.
d).- de centro el punto (2, - 1) y pasa por el punto (2, 3).
.r = 4 (X – 2)2
+ (Y + 1)2
= 42
X2
– 4 X + 4 + Y2
+ 2 Y + 1 – 16 = 0
X2
+ Y2
– 4 X + 2 Y – 11 = 0.
e).- de diámetro el segmento que une los puntos (-3, 1) y (3, 1)
.d = 6; r = 3. C (0, 1) (X – 0)2
+ (Y – 1)2
= 32
X2
+ Y2
– 2 Y – 8 = 0.
2.- ENCONTRAR LAS COORDENADAS DEL CENTRO Y EL
RADIO DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES
CIRCUNFERENCIAS.
a).- X2
+ Y2
+ 4 X – 6 Y – 3 = 0
C (- 2, 3). .r =8..
b).- X2
+ Y2
– 6 X + 2 Y – 15 = 0
C (3, - 1). .r =10.
c).- X2
+ Y2
+ 8 X – 4 Y + 4 = 0
C (- 4, 2). .r =8.
d).- X2
+ Y2
+ 6 X – 2 Y + 6 = 0
C (- 3, 1). .r =4.
LA PARÀBOLA:
Es el lugar geomètrico de todos los puntos en el plano
cartesiano cuya distancia a un punto fijo llamado “foco” es
igual a su distancia a una recta fija llamada directriz “d”.

En este tema tenemos que tener en cuenta el lugar geomètrico
que ocupa la paràbola para saber que formulas y forma
usaremos.
Antena parabólica. Domo del centro magno.
REPRESENTACION GEOMETRICA DE LA PARÀBOLA:
Paràbola con vértice en el origen V (0, 0).
Y
Lado recto.
F
.a
X
V(0, 0)
.a
directriz.
*
Ahora veremos las formas y formulas para poder resolver
problemas relacionados con parábolas con V(0, 0).
* La directriz se localiza a una distancia “a” del vértice, pero en
sentido contrario al foco.
PARA VERTICE EN EL ORIGEN.
FORMAS GENERALES: LUGAR GEOMÈTRICO:
Y2
= 4 a X.

Foco:
F (a, 0)
Directriz. 0 F
X = - a
Lado recto:
L. R. = 4 a
Y2
= - 4 a X.
Foco:
F (-a, 0)
Directriz. F 0 X
X = + a
Lado recto:
L. R. = 4 a
X2
= 4 a Y.
Foco:
F (0, a) F
Directriz.
Y = - a
Lado recto:
L. R. = 4 a 0
X2
= - 4 a Y.
Foco:
F (0, -a) 0
Directriz.
Y = + a
Lado recto: F
L. R. = 4 a
PARA VERTICE FUERA DEL ORIGEN: V(h, k)
FORMAS GENERALES: LUGAR GEOMÈTRICO:

(y – k)2
= 4 a (x – h).
Foco:
F (h + a, k) V F
Directriz.
X = h – a
Lado recto:
L. R. = 4 a 0
(y – k)2
= - 4 a (x – h).
Foco:
F (h - a, k)
Directriz. F V
X =h + a
Lado recto: 0
L. R. = 4 a
(x – h)2
= 4 a (y – k).
Foco: F
F (h, k + a)
Directriz.
Y = k – a V
Lado recto:
L. R. = 4 a 0
(x – h)2
= - 4 a ( y – k). 0
Foco:
F (h, k -a) V
Directriz.
Y = k + a
Lado recto:
L. R. = 4 a F
Ejemplos:
1.- Hallar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y
la ecuación de la directriz, de la paràbola:

Y2
= 8 X.
Relaciona esta ecuación con la forma general a la que pertenece:
Y2
= 4 a X.
De esto obtenemos el L. R. 4 a = 8 . a = 8/4 a = 2.
F (a, 0) F (2, 0).
Ecuación de la directriz X = - a X = - 2.
Ahora, encontremos su lugar geomètrico.
Y
.d
a = 2 4 a = 8 L. R.
X = - 2 V
F X
.a = 2
Recuerda siempre que la paràbola se abre hacia donde se
encuentra el foco.
2.- Hallar la ecuación de la paràbola cuyo F (0, - 3) y ecuación
de la directriz Y = + 3.

Los datos que nos dan los graficamos:
.d
F
Asì podemos determinar la forma que tendrà esta paràbola, y
usamos la siguiente formula:
X2
= - 4 a Y
.a = 3 X2
= - 4 (3) Y X2
+ 12 Y = 0.
3.- Hallar la ecuación de la paràbola de vértice en V (4, 3) y foco
en f (4, 4).
Y
F
V
.d
0 X
Usaremos la expresión:
(X – h)2
= 4 a (Y – k).
En este problema tomamos del vértice los datos:

h = 4 k = 3.
.y a = 4 – 3 a = 1.
Sustituimos y resolvemos:
(X – 4)2
= 4 (1) (Y – 3).
X2
– 8 X + 16 = 4 Y – 12. X2
– 8 X – 4 Y + 28 = 0.
4.- Dada la ecuación de la paràbola Y2
– 6 Y – 16 X + 41 = 0,
encuentra: a). su ecuación en su forma reducida; b). las
coordenadas del vértice; c). las coordenadas del foco, y d). la
ecuación de la directriz.
.a)- completar el trinomio cuadrado perfecto:
Dejemos del lado izquierdo los tèrminos que contienen la
variable “Y2
” y “Y”.
Y2
– 6 Y = 16 X – 41
Ahora dividamos el coeficiente que tiene “Y” lo elevamos al
cuadrado y lo sumamos e los dos miembros de la ecuaciòn.
(- 6/2)2
. Y2
– 6 Y + (- 6/2)2
= 16 X – 41 + (- 6/2)2
resolvemos:
Y2
– 6 Y + 9 = 16 x – 32. factorizamos y nos queda:
Forma reducida: (Y – 3)2
= 16 (X – 2).
De aquì deducimos el vértice, coordenadas del foco, ecuaciòn
de la directriz y longitud del lado recto.
V (2, 3) L. R = 16. F (2 + 4, 3) F (6, 3).
TRAZAR UNA PARÀBOLA CON REGLA Y COMPÀS.
Dados la directriz y el foco de una paràbola es posible
determinar, empleando solamente regla y compàs, los puntos
de la paràbola que se consideren necesarios. Para ello,

trazamos a la derecha de “t” cualquier recta “l” paralela a èsta.
Esta recta està a cierta distancia de la directriz. Tomando como
radio esa distancia y al foco como centro, trazamos una
circunferencia que cortarà a “l” en los puntos P y P’. Estos dos
puntos, por definición, pertenecen a la paràbola. Repitiendo
este proceso se puede trazar con precisiòn la curva.
.d t
V f
EJERCICIOS DE LA PARÁBOLA.
1.- PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PARÁBOLAS
ENCUENTRA LAS COORDENADAS DEL FOCO, LA LONGITUD
DEL LADO RECTO Y LA ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ.

a).- Y2
= 16 X
L. R. = 16 a =4 F (4, 0) DIRECTRIZ. X = - 4.
b).- Y2
= - 16 X
L. R. = 16 a =4 F (- 4, 0) DIRECTRIZ. X = + 4
c).- X2
= 24 Y
L. R. = 24 a =6 F (0, 6) DIRECTRIZ. Y = - 6
d).- 2 X2
= - 8 Y
L. R. = 4 a =1 F (0, - 1) DIRECTRIZ. Y = +1
2.- HALLAR LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA QUE
SATIZFAGA LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
a).- coordenadas del foco (5, 0)
Y2
= 20 X.
b).- coordenadas del foco (0, - 4)
X2
= - 16 Y.
c).- directriz X = 6
Y2
= - 24 X.
d).- directriz Y = - 2
X2
= 8 Y.
3.- HALLAR LA ECUACION DE LA PARÁBOLA DE:
a).- foco (3, - 8) y vértice (3, - 2)
(X – 3)2
= - 24 (Y + 2)
X2
– 3 X + 9 + 24 Y + 48 = 0 X2
– 3 X + 24 Y + 57 = 0.
b).- foco (4, 2) y vértice (0, 2)
(Y – 2)2
= 16 (X – 0)
Y2
– 4 Y + 4 – 16 X = 0 Y2
– 4 Y – 16 X + 4 = 0.
4.- ENCUENTRA LA ECUACION DE LA PARÁBOLA Y LAS
COORDENADAS DEL VERTICE DE LAS SIGUIENTES
PARABOLAS.
a).- Y2
– 4 Y + 8 X – 28 = 0
(Y – 2)2
= - 8 (X – 4) V(4, 2).
LA ELIPSE:
Una elipse es el lugar geomètrico de los puntos tales que
la suma de sus distancias dirigidas a dos puntos fijos es
constante.

Los puntos fijos reciben el nombre de focos.
E2 P
V1 C V2
F 1 F2
E1
Dada la distancia que separa a los focos y el valor de la
suma constante F1 P + F2 P, resulta sencillo construir la elipse.
Se colocan dos tachuelas sobre el papel en los puntos F1 y F2,
que estàn separados por la distancia dada. Se toma un hilo,
atàndose a las tachuelas por sus extremos, de tal manera que
se obtenga una espira de longitud F1 P + F2 P + F1 F2. Después
se coloca la espira sobre las tachuelas y se inserta un làpiz
dentro de ella de tal modo que el hilo estè siempre tenso;
finalmente, se recorre con el làpiz todos los puntos que
cumplan con esta condiciòn. La curva resultante es la elipse
requerida.
El punto medio del segmento acotado por los focos se
llama Centro de la elipse. El segmento V1 v2 acotado por los
puntos de intersecciones de la elipse con la recta que pasa por
los focos, es el eje mayor de la elipse, mientras que el
segmento E1 E2 acotado por las intersecciones de la elipse con
la perpendicular al eje mayor que pasa por el centro es el eje
menor. El segmento acotado por las intersecciones de la elipse
con las perpendiculares al eje mayor que pasan por los focos
se llama lado recto de la elipse. Los puntos V1 V2 reciben el
nombre de vértices.
FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÒN DE UNA ELIPSE.
Los puntos fijos reciben el nombre de focos.
Y
P (x, y)

X
V1 C V2
F1 (- c, 0) F2 (c, 0)
Obtendremos ahora la ecuaciòn de una elipse con centro en el
origen de un sistema de coordenadas y tal que su eje mayor
estè sobre el eje “x”.
Sea “c” la distancia que separa al centro de los focos y
sea 2 a la suma de las distancias que separan un punto de la
elipse de los focos. Entonces, las coordenadas de los focos
son: (- c, 0) y (c, 0) y por definición F1 P + F2 P = 2 a
X2
+ Y2
= 1.
.a2
b2
Cuando los focos estèn sobre el eje “Y” la ecuaciòn es:
X2
+ Y2
= 1.
.b2
a2
Longitud del lado recto = 2 b2
.a
La excentricidad “e” de una elipse se define mediante la
igualdad: e = c
.a
Puesto que a > c, este nùmero es menor que 1.
.c = √ a2
– b2
.a a
La excentricidad de una elipse que es casi circular (a ≈ b) es
muy cercana a cero, mientras que la correspondiente a una
elipse muy alargada (a muy grande comparada con b) es
aproximadamente 1. Ejemplos:

24
0 25
. a = 25, b = 24 e = √ 252
- 242
= 7 = 0.28.
25 25
7
0 25
. a = 25, b = 7 e = √ 252
- 72
= 24 = 0.96.
25 25
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y
cuyos focos son los puntos
F (3, 0) y F’ (-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje
x es el punto (5, 0).

Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a =
5 y como c = 3 se tiene que, b2 = 5 2
- 3 2
y por tanto b = ± 4.
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1 (5, 0),
V2 (-5,0), V3 (0,4) y V4 (0, -4). Además, su ecuación viene dada
por:
X2
+ Y2
= 1 X2
+ Y2
= 1.
52
42
25 16
2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:
25x2
+ 4y2
= 100
Solución:
La ecuación: 25x2
+ 4y2
= 100, puede escribirse en las formas
equivalentes:
X2
/4 + Y2
/25 = 1 ¿por que?

X2
/ 22
+ Y2
/ 52
= 1.
La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el
origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además,
los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado, C2
= 25 – 4 = 21, de donde C = ±√ 21 y en
consecuencia, los focos se encuentran localizados en los
puntos F (0, √21) y F’ (0, - √21).
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1 (2, 0), V2 (5,
0), V3 (-2, 0) y V4 (-5, 0).
Ver figura:
3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse
que tiene por ecuación:
4x2
+ y2
–16x + 2y + 13 = 0
Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formas
equivalentes:
(4 X2
– 16) + (Y2
+ 2 Y) = - 13

4 (X2
– 4 X + 4 – 4) + (Y2
+ 2 Y + 1 – 1) = - 13 (Completar el trinomio).
4 (X – 2)2
– 16 + (Y + 1)2
– 1 = - 13. (Factorizar y simplificar).
4 (X – 2)2
+ (Y + 1)2
= 4
(X – 2)2
+ (Y + 1)2
= 1 (Dividir por 4).
12
22
Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el
punto C (2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene
por ecuación x = 2 (ver figura).
Los vértices son los puntos V1 (2, 1), V2 (2, -3), V3 (3, -1) y
V4 (1, -1).
Como c = √ b2
– a2
= √3, se tiene que los focos están localizados
en los puntos F 1 (2, - 1 + √3) y F’ (2, - 1 - √3).
LA HIPÈRBOLA.
Una hipèrbola es el lugar geomètrico de los puntos tales que la
diferencia de sus distancias no dirigidas a dos puntos dados es
constante. Los puntos dados reciben el nombre de “focos”.
Una hipèrbola està formada por dos ramas. Para los puntos que
estàn sobre una de ellas tenemos F1 P – F2 P igual a la constante dada,

mientras que para los puntos que estàn sobre la otra rama, F2 P – F1 P es
igual a dicha constante.
P P
F1 F2
Y
C
F1 V1 V2 F2
El punto medio C de la recta que une los focos se llama Centro de la
hipèrbola (ver figura).
El segmento V1 V2, acotado por las intersecciones de la hipèrbola con la
recta que pasa por los focos, recibe el nombre de eje transverso y los
puntos V1 y V2 son los vértices de la hipèrbola. El segmento acotado por
las intersecciones de la hipèrbola con una recta perpendicular al eje
transverso y que pasa por uno de los focos se llama lado recto de la
curva.
Las coordenadas de los focos, de la hipèrbola cuyo centro es el origen
son las siguientes:
F 1 (- c, 0) F 2(c, 0)
.c = es la distancia del centro a un foco y sea 2ª la diferencia de las
distancias de un punto de la hipèrbola a los focos.
FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÒN DE UNA HIPÈRBOLA.
Cuando los focos se encuentran en el eje “X”.

X2
– Y2
= 1.
.a2
b2
Si los focos estàn en el eje “Y”
Y2
– X2
= 1.
.a2
b2
Longitud del lado recto L. R = 2 b2
.a
Excentricidad e = c
.a
EJEMPLOS:
ENCONTRAR LA ECUACIÒN DE UNA HIPÈRBOLA CON CENTRO EN EL
ORIGEN, CON UN EXTREMO DEL EJE TRANSVERSO EN (0, 6) Y DE
EXCENTRICIDAD 5/3.
Puesto que su centro està en el origen y tiene un vértice sobre el eje “Y”,
la hipèrbola debe estar en la posición que se muestra en la figura y su
ecuaciòn serà de la forma Y2
- X2
= 1
.a2
b2
Y
V (0, 6)
X
C (0, 0)
La distancia del centro al vértice es a = 6. La excentricidad es:
.e = c = 5 entonces; c = 10, pero b2
= c2
– a2
; b2
= 64.
.a 3
Entonces la ecuaciòn es: Y2
– X2
= 1.
36 64
GLOSARIO:
Altura de un triángulo: es la longitud de la perpendicular
trazada sobre la base desde el vértice opuesto.

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