EAN Guia 1 de matemática para estudiantes de cualquier carrera.

1. Matemática I
Guía de ejercicios
Primer cuatrimestre de 2.019

2. Unidad
1
2
Unidad 1: Fundamentos de Algebra I
Conjunto de números. Clasificación numérica. Números reales. Potenciación y Radicación: Propiedades,
aplicación. Logaritmos. Expresiones algebraicas. Polinomios: operaciones. Regla de Ruffini.
Factorizaciones más usuales: factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o
diferencia de potencias de igual grado
Números Reales
El conjunto de los Números Reales, se representan con la letra R, y está integrado por:
• N: El conjunto de los Números Naturales
• Z: El conjunto de los Números Enteros
• Q: El conjunto de los Números Racionales
• I: El conjunto de los Números Irracionales
Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica:
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe
una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
1) Clasificar los siguientes números reales:
a) 0 b) 5
 c)
2
3
d) 15
e) π f) -8 g) 3
12
1 h) 3̂
,
0
2) Nombrar dos números:
a) Reales b) Irracionales c) Racionales negativos
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
2
3
5,5
-3,5
2
1
R
I
Q
Z
N

3. Unidad
1
3
d) Enteros e) Racionales que no sean positivos
Propiedades:
Potenciación:
 Potencia de exponente cero: 1
0

a por definición, siendo 0

a
 Potencia de exponente uno: a
a 
1
 Potencia de exponente negativo: n
n
a
a
1


(siendo)
 Potencia de exponente negativo:
n
n
a
b
b
a














(siendo 0

a y 0

b )
 Potencia de otra potencia:   m
n
m
n
a
a .

 Producto de potencias de igual base:
m
n
m
n
a
a
a 

.
 Cociente de potencias de igual base:
m
n
m
n
a
a
a 

 Distributiva respecto de la multiplicación:   n
n
n
b
a
b
a .
. 
 Distributiva respecto de la división: n
n
n
b
a
b
a







 Toda potencia de exponente fraccionario se puede expresar como raíz: n
n
a
a 
/
1
 Toda potencia de exponente fraccionario se puede expresar como raíz:  m
n
n m
n
m
a
a
a 

Radicación:
 Raíz de raíz: m
n
n m
a
a .

 Distributiva respecto de la multiplicación: n
n
n
b
a
b
a .
. 
 Distributiva respecto de la división: n
n
n
b
a
b
a :
: 
 Simplificación de índices: n m
r
n r
m
a
a 
. .
Eliminación del radical:
 si n es impar a
a
n n

 si n es par a
a
n n

Recordar:
 n
a donde “n” es el índice o radical, y “ a ” es el radicando
 si n es impar siempre existe n
a
 si n es par n
a existirá si 0

a
Propiedades no válidas:   n
n
n
b
a
b
a 

 n
n
n
b
a
b
a 



4. Unidad
1
4
3) Decidir si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:
a) 2
22
1
 b) 3
33
1
 c)  
3
1
3
1



d) 1
20


 e)
25
9
3
5
2








f)   8
2
3



g) 3
12
4 

 h)
3
1
3̂
,
0  i)
a
a
1
1


j) a
a 
2
k)   n
m
n
m
a
a .
 l) no existe a

4) Expresar como potencia las siguientes operaciones:
a) 

  3
2
6
3
3
3 b) 

 
 2
2
2
2
5
.
5
5
5
c) 


 
7
7
7 2
3
d)       






 1
5
2
2
2
2
e)   
    





4
2
3
2
2
2 f)  
  
 6
2
/
1
3
g)    
      






4
0
3
3
6
3
3
3
:
3 h) 









1
3
2
3
2
2
2
2
i) 














0
4
5
1
j) 





















5
/
9
2
3
3
2
3
2
k) 











3
3
2
1
3
5
2
5
2
5
5
5
2
l) 





 





 






 

 5
3
5
3
:
5
3
5
3
5) Expresar con exponente fraccionario:
a) 3
2 b) 5 5
3 c) 4 5
3 d)  
3 6
1 

6) Suponiendo que a,b Є lR>0. Reducir a su mínima expresión:
a) 

a
a
a 2
/
1
2
b)  
  

 1
3
2
a c)  

4
a
d)  
  


 1
2
4
.
. a
a
a e) 










5
9
6
8
5
.
.
a
a
a
a f) 
 3
/
5
9
3
/
2
.
.
. a
a
a
a
a
g)   
1
3
.
.
2 b
a
ab h)     
 0
2
5
3
.
.
.
. b
b
a
b
a i)
 
  



9
3
/
10
5
/
6
1
.
.
b
b
b
b

5. Unidad
1
5
7) Decidir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta:
a) √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0, 𝑦 𝑏 ≥ 0
b) √
𝑎
𝑏
=
√𝑎
√𝑏
𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0, 𝑦 𝑏 ≥ 0
c) √𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − √𝑏 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0, 𝑦 𝑏 ≥ 0
d) √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0, 𝑦 𝑏 ≥ 0
e) (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
f) teniendo en cuenta la respuesta anterior (𝑎 −
𝑏)2
=……………………………………………………
g)
𝑎+𝑏
𝑏
= 𝑎 h)
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑎
𝑏
+1 i)
𝑎
𝑎+𝑏
=
1
𝑎
j)
𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑎
𝑏
+ 1 k) (𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
l) teniendo en cuenta los ítems anteriores 𝑎2
− 𝑏2
=………………………………………………….….
m) √𝑎2 = 𝑎 n) ∄ √𝑎
𝑛
para 𝑛 ∈ 𝑁 𝑦 𝑛 𝑝𝑎𝑟
8) Simplificar las siguientes expresiones:
a) √50 b) √20.000 c) √625 d) √64
5
e) √
27
4
9) ¿Cuáles respuestas son verdaderas?
a)
2
3
es = 0,667 ≅ 0,667 =
14
21
b)
3
20
es ≅ 0,15 = 0,15 ≅ 0,1 ≅ 0,2
10) Aproximar usando dos decimales:
√50
2
3
√64
5 1
700
Recordar que, cuando se hacen aproximaciones en un problema, se tiene que tener en cuenta:
- el tema que se está tratando
- qué representan los valores con los que se hacen los cálculos y los resultados
- toda magnitud debe tener “sentido”

6. Unidad
1
6
11) Resolver
a) (
2
3
)
2
:
16
27
b) (3 + 23
) 2
. (
11
3
)
−3
c) (
2
3
:
8
9
)
−1
.
3
4
d) √25: 5 + 4 e) √7.8 + 4 + 4
3
f) √2. (1 − 36: 72)
g) √32 + 22 h)
(2−22)
2
√125
3 : (
5
2
)
−3
i) √
1
32+42 + (52/3
)
−6
j) (√32 − 4.2 + 21)
0
-1 k) √− (
2
3
)
2
: (
2
3
)
2
5
l)
(5−3)4
4
Logaritmos
Propiedades de los logaritmos: válidas para 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 𝑦 𝑐 ≥ 0
𝑙𝑜𝑔𝑎(0) = ∄
𝑙𝑜𝑔𝑎(1) = 0
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎) = 1
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) + 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑐)
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏: 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑐)
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏𝑛) = 𝑛 . 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏)
12) Calcular los siguientes logaritmos sin usar calculadora:
a) 16
log2 b) 1
log2 c)
2
1
log2 d) 16
log4 e) 27
log3
f) 10000
log g) 49
log7 h) e
ln i) 000
.
000
.
100
log
Si 𝑎𝑥
= 𝑏
Entonces 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑥
Gráficamente: loga b = x
Teniendo las consideraciones correspondientes

7. Unidad
1
7
j) 001
.
0
log k)  
000
.
000
.
000
.
10
log
log f)
6
ln 
e
13) Transformar a notación de logaritmos las siguientes expresiones:
a) 52
= 25 b) 45
= 1.024 c) 107
= 10.000.000
d) 20
= 1 e) 3−2
=
1
9
14) Sean 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ 𝑅 > 0. Utilizando las propiedades, reducir a la mínima expresión:
a) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑎
𝑏
) + 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) b) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏5) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏)
c) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏3
. 𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏4) d) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎. 𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎)
e) 𝑙𝑜𝑔𝑎
(
𝑏
𝑎
)
3
− 𝑙𝑜𝑔𝑎
(
𝑏4
𝑎
) f) 𝑙𝑜𝑔𝑎
(
𝑏.𝑐5
𝑏
) + 𝑙𝑜𝑔𝑎
(
𝑏
𝑐4
)
15) Resolver los siguientes logaritmos utilizando las propiedades:
a) 𝑙𝑜𝑔2
(
1
27
) + 𝑙𝑜𝑔2
(54) b) 3 log(2) + log(5) + 𝑙𝑜𝑔 (
1
25
) − log(4)
c) 3 ln(4) − 6 ln(4) + 2ln(2) d) 2. 𝑙𝑜𝑔3 (
√729. 33
243 . √27
3 )
e) 𝑙𝑜𝑔 (
3
5
)
2
− 𝑙𝑜𝑔 (
2
52) + log (
20
9
) f) 𝑙𝑜𝑔4
(√
5.3
57
6
) −
1
6
𝑙𝑜𝑔4
(3) + 𝑙𝑜𝑔4(80)
Cambio de base:
16) Calcular los siguientes logaritmos, pasándolos a base “2”:
a) 𝑙𝑜𝑔4
(32) b) 𝑙𝑜𝑔4
(2) c) 𝑙𝑜𝑔8
(32) d) 𝑙𝑜𝑔32
(8) e) 𝑙𝑜𝑔16
(512)
17) Sabiendo que el 𝑙𝑜𝑔4
(𝑎) = 7, calcular:
a) 𝑙𝑜𝑔2
(
4
𝑎
) b) 𝑙𝑜𝑔16
(
2𝑎
64
) c) 2. 𝑙𝑜𝑔2(√𝑎
4
)
d) 𝑙𝑜𝑔4 (
𝑎3
256
) e) 3. 𝑙𝑜𝑔64(√𝑎
4
) f) −10𝑙𝑜𝑔2 (
𝑎1/5
√16
10 )
𝑙𝑜𝑔𝑎
(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥)
𝑙𝑜𝑔𝑏
(𝑎)

8. Unidad
1
8
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es aquella formada por números y letras; vinculados por medio de las operaciones
aritméticas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.
Los números se llaman coeficientes y las “letras” parte literal
18) ¿Cuáles de los siguientes monomios son semejantes?
9x2
ab 2x2
az ab 9x2
az a2
b3
xab x2
az
5z 3xa2
b3
-a2
b3
-20x2
az 10x2
az -x2
ab -2x2
ab
1xab 5a2
b3
-10z x2
ab ma2
b3
9ab xab
19) ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios de una variable?
a) x2
ab + 2xa2
b3
+ x2
a = b) 9x2
+ 5x+ x2
z = c) 9x3
- 3x + x2
=
d) 5xa2
b3
= e) 9x2
= f) 12
Polinomios
Se conoce como polinomio de grado “n” a la expresión:
0
1
1
2
2
1
1 ..........
)
( a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
P n
n
n
n 




 

Donde:
n
a , 1

n
a .... 2
a , 1
a , 0
a son los coeficientes del polinomio, y pertenecen a R :
0

n
a para que “tenga grado n”
𝑛 ∈ 𝑵𝟎 todas las potencias deben ser enteras positivas o “0”
20) Dados los polinomios: P(x) = x2
− 1 Q(x) = x + 2 R(x) = −x3
+ x2
− 3
a) Determinar el grado y el coeficiente principal de cada uno de ellos.
b) Calcular: P(-1); P(3); P(0); Q(4); Q(2); R(4); R(-4); R(1)
21) Sean los polinomios P(x)= x4
– 2x2
+x y Q(x)= x2
– 1. Realizar las siguientes operaciones:
a) -2P b) x2
- Q c) P . Q
d) -P - Q e) P : ( x - 1) f) x ( -P + Q)
g) (Q + x3
) Q h) Q2
i) P : (Q - x2
)

9. Unidad
1
9
Regla de Ruffini:
Es una técnica o método para dividir un polinomio P(x), por un binomio de la forma x – r. Donde 𝒓 ∈ 𝑹
Ejemplo:
Sea 𝑃(𝑥) = 5𝑥4
– 3𝑥3
+ 6𝑥– 1, realizar 𝑃(𝑥) (x– 2)
22) A) Realizar las siguientes divisiones entre polinomios, utilizando la regla de Ruffini:
a) (x2
+ 6x + 9):(x-3) = b) (x2
- 5x):(x+4) =
c) (x5
- 2x2
+ x4
):(x+2) = d) (x4
– 5x2
+ 4):(x-2) =
e) (x3
– 2x2
+ 4x + 7):(x+1) = f) (x7
– 6x2
+1):(x-1) =
B) ¿Son exactas las divisiones anteriores? ¿Por qué?
23) Escribir como producto de factores las siguientes expresiones algebraicas, sacado factor común:
Sumar o restar
según los signos
Coeficientes
del cociente
5 – 3 0 6 − 1
10 14 28 68
P(x) : (x - r) =
Dividendo Divisor
Recordar:
P(x) : (x - r) = Q(x) . r + R
Q(x) es el “resultado”
(cociente de la división)
R es el resto
5 7 14 34 67
2
Resto
Coeficientes del polinomio P(x), completo
y ordenado en forma decreciente
Q(x) R
r
P(x)
Coeficientes
Coeficientes
𝑃(𝑥): (x– 2) = C(x) = 5x3
+ 7x2
+ 14x + 34
R = 67

10. Unidad
1
1
0
a) 8a - 4b + 16c = b) 9x3
- 6x2
+ 12x5
- 18x7
c) 9x2
ab - 3xa2
b3
+ x2
az = d) 36x4
- 48x9
=
e) 9x2
+ 6x – 3 = f) a3
x4
– 5 a2
x3
+ a2
x2
– a3
x =
24) Escribir como producto de factores las siguientes expresiones algebraicas, utilizando diferencia de
cuadrados:
a) x2
– 1 = b) 9x2
– 4 = c) 25 - x4
=
d) 36x4
- 100 = e) 9x4
– 1 = f) a2
x2
– b2
=
25) Escribir como producto de factores las siguientes expresiones algebraicas, utilizando el trinomio
cuadrado perfecto:
a) x2
+ 6x + 9 = b) x2
- 10x + 25 =
c) x2
- 2.x.y2
+ y4
= d) x4
– 4x2
+ 4 =
e) 9x4
– 6x2
+1 = f) a2
x2
– 2abx + b2
=
26) Escribir como producto de factores las siguientes expresiones algebraicas, utilizando suma o diferencia
de potencias de igual grado:
a) x5
+ 32 = b) x3
- 8 =
c) b4
- 81 = d) x4
+ 16 =
e) x7
+ 1 = f) x7
- y7
=
g) -125 + x3
= h) -x6
+ 64 =
27) Factorizar los siguientes polinomios:
a) x4
- 2x2
+ 1 = b) 5x3
+ 40 = =
c) x4
- 10x3
+ 25x2
= d) 125x4
– 5x2
=
e) 6x7
– 6x2
= f) -x6
y3
+ 64y3
=
28) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales:
a) 


6
3
4
2
x
x
b)
x
x
x
x
12
4
81
9
2
3


=
c) 




x
x
x
x
15
5
9
6
2
2
d) 




25
)
20
4
)(
25
10
(
2
2
x
x
x
x

11. Unidad
1
1
1
e)
 
 
  




x
x
x
x
x 18
6
:
27
18
3
9
3
2
2
29) Realizar las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas:
a) 





8
2
3
9
4
2
x
x
x
x
b) 





8
8
10
2
5
2
3
x
x
x
x
x
c) 







4
2
2
4
4
8
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
d) 






12
3
3
3
1
2
3
2
2
x
x
x
x
x
30) Realizar las siguientes divisiones de expresiones algebraicas:
a) 




x
x
x
x
x
x
5
5
2
:
5
5
2
2
2
4
3
b) 





9
3
1
:
3
1 2
3
x
x
x
x
x
31) Realizar las siguientes operaciones con expresiones algebraicas, y expresarlas en forma factorizada:
a) 


 2
2
2 x
x
x
b) 




 4
4
2
4 2
2
x
x
x
x
x
c) 


 x
x
x
x
3
3
6
4
2
3
d) 







5
3
1
3
1
2
1
2
x
x
x
x
e) 








1
1
:
2
2
)
( 3
x
x
x
x = f)
4
x
4
:
2
x
1
2
x
1
2











12. Unidad
2
12
Unidad 2: Álgebra Lineal I
Vectores y Matrices
Vectores. Definición. Producto escalar y producto vectorial: Operaciones. Matrices. Clasificación.
Operaciones con matrices. Determinantes. Métodos para el cálculo de determinantes. Regla de Sarrus. Matriz
adjunta. Matriz inversa. Condiciones de existencia. Método de Gauss Jordan.
Vectores:
Un vector es un segmento orientado. Posee módulo, dirección y sentido. Se representa gráficamente con una
“flecha”
Módulo de un vector 𝑨
⃗
⃗ : - se expresa: |𝑨
⃗
⃗ |
- es la longitud del segmento orientado que lo define
- es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero
- fórmula de cálculo:
1) Consideremos los vectores en R2
:
𝐴 = (2; −3) 𝐵
⃗ = (−1;2) 𝐶 = (3; 3) 𝐷
⃗
⃗ = (−1; 0) 𝐸
⃗ = (0; 2) 𝐹 = (0; 0)
a) Representarlos en el plano
b) Hallar sus módulos
Sentido
Vector
Se expresa: - en R2
, como un par ordenado: 𝐴 = (𝐴𝑥;𝐴𝑦)
- en R3
como una terna ordenada: 𝐴 = (𝐴𝑥;𝐴𝑦; 𝐴𝑦)
|𝑨
⃗
⃗ | = √𝑨𝒙
𝟐
+ 𝑨𝒚
𝟐
en R2
|𝑨
⃗
⃗ | = √𝑨𝒙
𝟐
+ 𝑨𝒚
𝟐
+ 𝑨𝒛
𝟐
en R3

13. Unidad
2
13
2) Hallar los módulos de los siguientes vectores de R3
:
𝐴 = (−2;0; 1) 𝐵
⃗ = (−1; 0; 1) 𝐶 = (1; 1; −2) 𝐷
⃗
⃗ = (3; 0; 0) 𝐸
⃗ = (0; 0; 2) 𝐹 = (0; −8;0)
3) Sean los vectores: 𝐴 = (2; 3) 𝐵
⃗ = (−1;4) 𝐶 = (1; −3)
Calcular analíticamente y gráficamente:
𝐴
⃗
⃗ + 𝐵
⃗
⃗ 𝐴
⃗
⃗ − 𝐵
⃗
⃗ 2𝐶
⃗ 2𝐴 + 3𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶 − 2𝐵
⃗
⃗ −𝐵
⃗
⃗
4) Sean los vectores: 𝐴 = (3; 0; −1) 𝐵
⃗ = (1; −1; 1) 𝐶 = (4; −3; −2)
a) Calcular analíticamente:
𝐴
⃗
⃗ + 𝐵
⃗
⃗ 𝐴
⃗
⃗ − 𝐵
⃗
⃗ 2𝐶
⃗ 2𝐴 + 3𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶 − 2𝐵
⃗
⃗ −𝐵
⃗
⃗
5) Sean 𝐴 = (0; 3); 𝐵
⃗ = (1; −1) 𝑦 𝐶 = (𝑎; 2). Encontrar el valor de "𝑎" para que se cumplan las
siguientes igualdades:
a) 𝐴 + 𝐵
⃗ = 𝐶 b) 2𝐵
⃗ = 𝐶 c) 𝐶 − 𝐵
⃗ = 𝐴 d) 𝐴 = 𝐶 + 𝐵
⃗
Versor:
Es un vector de módulo uno, también llamado vector unitario
 Los versores canónicos se denotan: - en R2
:  
0
,
1

I y  
1
,
0

J .
- en R3
: 𝐼 = (1; 0; 0), 𝐽 = (0; 1; 0) y 𝐾 = (0; 0; 1)
 Versor asociado a un vector 𝑨
⃗
⃗ , 𝒗𝑨
⃗⃗⃗⃗ : es el vector unitario, con la misma dirección que un vector 𝑨
⃗
⃗
𝒗𝑨
⃗⃗⃗⃗ =
𝑨
⃗
⃗
|𝑨|
6) Encontrar los versores asociados a cada vector:
a) 𝐴 = (1; 1) 𝐵
⃗ = (−1; 4) 𝐶 = (0; −2) 𝐷
⃗
⃗ = (−5;5)
b) 𝐴 = (−5; 1; −1) 𝐵
⃗ = (1; 0; 1) 𝐶 = (0; −6;−2) 𝐷
⃗
⃗ = (−3;0; 0)
Vectores paralelos
Dos vectores 𝑨
⃗⃗ 𝒚 𝑩
⃗⃗ son paralelos, si son múltiplos. Cumplen con: 𝑨
⃗⃗ = 𝒌 𝑩
⃗⃗ (Donde 𝑘 ∈ 𝑅, es un
número)

14. Unidad
2
14
7) Sea 𝐴 = (−2; 5), hallar un vector 𝐵
⃗ que satisfaga las condiciones pedidas:
a) sea paralelo a 𝐴, ¿es único?
b) sea paralelo a 𝐴, pero de sentido contrario, ¿es único?
c) tenga la misma dirección y diferente sentido que 𝐴
d) tenga diferente dirección que 𝐴
e) sea un vector unitario con la misma dirección y sentido que 𝐴
f) ¿Son únicos los vectores hallados anteriormente? JUSTIFICAR (analizar el procedimiento analítico y la
idea geométrica)
8) Sean: 𝐴
⃗
⃗ = (1; −3) y 𝐵
⃗ = (−1; 4), encontrar un vector 𝐶
⃗ tal que:
a) 𝐶 − 𝐵
⃗ = 0
b) 2𝐴 + 𝐶 = 𝐵
⃗
9) ¿Cuáles de los siguientes vectores tienen igual módulo?
𝐴 = (−1;3) (√10) 𝐵
⃗ = (2; 2) (√8) 𝐶 = (0; 5) (5) 𝐷
⃗
⃗ = (−3;4) (5)
𝐸
⃗ = (2; −2) (√8) 𝐹 = (−3; −1) (√10) 𝐺 = (−5; 0) (5) 𝐻
⃗
⃗ = (3; 3) 3√2
Componentes de un vector 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : son las coordenadas del vector: 𝑩
⃗⃗ – 𝑨
⃗⃗
10) Sean los vectores: 𝐴 = (1; 1); 𝐵
⃗ = (2; −3) 𝑦 𝐶 = (−4; 0)
a) representar a cada vector en R2
b) calcular analíticamente los vectores y representarlos en el plano:
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
11) Consideremos 𝐴 = (1; −1; −1) y 𝐵
⃗ = (2; 5; −1)
a) Hallar las componentes de los vectores 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
b) Hallar BA
y
AB , ¿tienen alguna relación?
12) Sea 𝐴
⃗
⃗ = (−1; 1; −1); hallar un vector 𝐵
⃗
⃗ , tal que 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , tenga componentes (−1; 0; 3). ¿Es único el vector
𝐵
⃗
⃗ ?

15. Unidad
2
15
13) Sea 𝐴
⃗
⃗ = (4; 0; −1). Hallar:
a) un vector 𝐵
⃗
⃗ , paralelo a 𝐴
⃗
⃗ . ¿Es único el vector 𝐵
⃗
⃗ ?
b) un vector 𝐵
⃗
⃗ , paralelo a 𝐴
⃗
⃗ y de módulo 2. ¿Es único el vector 𝐵
⃗
⃗ ?
c) un vector 𝐵
⃗
⃗ , paralelo a 𝐴
⃗
⃗ , de módulo 2 y de sentido opuesto. ¿Es único el vector 𝐵
⃗
⃗ ?
Producto escalar o interno de dos vectores 𝑨
⃗⃗ 𝒚 𝑩
⃗⃗ :
Es producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman:
𝑨
⃗⃗ ∙ 𝑩
⃗⃗ = |𝑨| ∙ |𝑩| ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶
Como consecuencia de la definición se obtiene:
i) el producto escalar es conmutativo: 𝐴
⃗
⃗ ∙ 𝐵
⃗
⃗ = 𝐵
⃗
⃗ ∙ 𝐴
⃗
⃗
ii) dos vectores son perpendiculares (forman entre sí un ángulo de 90°) si su producto escalar es nulo (0)
iii) mediante las componentes de los vectores 𝐴
⃗
⃗ 𝑦 𝐵
⃗
⃗ , el producto escalar entre ellos se expresa como:
Si 𝐴 = (𝐴𝑥; 𝐴𝑦) y 𝐵
⃗ = (𝐵𝑥;𝐵𝑦) (dos vectores de R2
), entonces se puede expresar:
𝑨
⃗⃗ ∙ 𝑩
⃗⃗ = 𝑨𝒙. 𝑩𝒙+𝑨𝒚. 𝑩𝒚
Es similar para vectores en R3
14) Dados los vectores de R3
: 𝐴 = (0; −2; 1); 𝐵
⃗ = (−3; −1; 1) y 𝐶 = (1; 0; 1), calcular:
1) Los siguientes productos escalares:
a) 𝐴 . 𝐴 b) |𝐴| c) 𝐴 . 𝐵
⃗ d) 𝐵
⃗
⃗ . 𝐴
⃗
⃗
e) 𝐴
⃗
⃗ . 𝐶 f) 𝐴. (𝐵
⃗ + 𝐶) 𝑔) 𝐴 . 𝐵
⃗ + 𝐴 . 𝐶
2) Los ángulos entre los vectores: a)

AB b)

BC c)

AI d)

AJ e)

AK
15) Sean los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (2; −1; −1) y 𝐵
⃗
⃗ = (0; −1; 2), encontrar el ángulo entre ambos
16) Decidir si los siguientes pares de vectores son perpendiculares o no.
a) 𝐴
⃗
⃗ = (2; −1) 𝐵
⃗
⃗ = (1; 2)
b) 𝐴
⃗
⃗ = (2; −1) 𝐵
⃗
⃗ = (4; 2)
c) 𝐴
⃗
⃗ = (2; −1; 1) 𝐵
⃗
⃗ = (1; 2; −1)

16. Unidad
2
16
17) Encontrar un vector 𝐵
⃗
⃗ en el plano que sea perpendicular a 𝐴
⃗
⃗ = (5; −1). ¿Es único?
18) Encontrar el valor de a Є R, para que los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (−1; 3; 2) 𝐵
⃗
⃗ = (𝑎; 2𝑎; −2); sean
perpendiculares.
19) Hallar todos los valores de “b”, para que los siguientes vectores resulten perpendiculares:
a) 𝐴
⃗
⃗ = (5; −𝑏) 𝐵
⃗
⃗ = (𝑏; 2)
b) 𝐴
⃗
⃗ = (1; 𝑏) 𝐵
⃗
⃗ = (4; −𝑏)
c) 𝐴
⃗
⃗ = (2; 𝑏; −3) 𝐵
⃗
⃗ = (7; 2; −1)
20) Sea 𝐴
⃗
⃗ = (−1; 2; −2)
a) encontrar un vector perpendicular a 𝐴
⃗
⃗ , ¿es único?
b) ¿es posible encontrar tres vectores perpendiculares a 𝐴
⃗
⃗ , de módulo 3, cuya componente x sea 2?
En caso afirmativo dar ejemplos
Producto vectorial o externo de dos vectores 𝑨
⃗
⃗ 𝒚 𝑩
⃗⃗ , es el vector 𝐶 que tiene:
i) módulo igual al producto de los módulos de 𝐴
⃗
⃗ 𝑦 𝐵,
⃗⃗⃗ por el seno del ángulo que forman
ii) dirección perpendicular al plano determinado por las direcciones de los vectores 𝐴
⃗
⃗ 𝑦 𝐵
⃗
⃗
21) Sean los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (−3; 0; 2) y 𝐵
⃗
⃗ = (0; 1; 1), encontrar un vector 𝐶
⃗ , perpendicular a ambos
22) Para los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (0; 2; −1) 𝐵
⃗
⃗ = (−1; 3; −1) 𝐶
⃗ = (0; 6; 0), calcular:
a) 𝐴
⃗
⃗ × 𝐵
⃗
⃗ b) 𝐵
⃗
⃗ × 𝐴
⃗
⃗ c) 𝐶 × 𝐼 d) 3𝐴
⃗
⃗ × 𝐵
⃗
⃗ e) 𝐴
⃗
⃗ × 𝐶 f) 𝐶 × (−𝐵
⃗ )
23) Sean 𝐴
⃗
⃗ = (−1; 1; 1) y 𝐵
⃗
⃗ = (−1; −1; 1), calcular:
a) 𝐴
⃗
⃗ . 𝐵
⃗
⃗ b)

AB c) 𝐴
⃗
⃗ × 𝐵
⃗
⃗ d) ¿Cuáles de estas magnitudes son vectores?
24) Dados los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (0; −2; 1) y 𝐵
⃗
⃗ = (−1; 0; 4).
a) Hallar un vector perpendicular a 𝐴
⃗
⃗ y a 𝐵
⃗
⃗ simultáneamente
b) Hallar un versor perpendicular a 𝐴
⃗
⃗ y a 𝐵
⃗
⃗ simultáneamente, cuya componente x sea nula

17. Unidad
2
17
c) Hallar un vector perpendicular a 𝐴
⃗
⃗ y a 𝐵
⃗
⃗ simultáneamente, pero de módulo 4
25) Sean los vectores 𝐴
⃗
⃗ = (0; 1; −1) 𝐵
⃗
⃗ = (1; −2; 1) y 𝐶
⃗ = (−2; 0; 0), calcular:
a) 𝐴
⃗
⃗ × 𝐶 b) 𝐶
⃗ × 𝐴
⃗
⃗ c) 𝐵
⃗
⃗ × 𝐶 d) 𝐴
⃗
⃗ × 𝐼 e) 𝐶
⃗ × 𝐽 f) 𝐶
⃗ × 𝐾
Matrices
Una matriz se define como un ordenamiento rectangular de elementos. Los elementos de la matriz están
ordenados en filas y columnas donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una
columna es cada una de las líneas verticales; a una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz
mxn, que refleja su tamaño o dimensión. En forma general se escribe:
A = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
)
1) Dadas las matrices A y B, calcular: A + B; A − B; A x B; B x A y At
a) 






 

1
0
2
1
A y 








0
2
3
1
B b)











1
1
5
0
0
3
1
0
2
A y











0
1
1
1
2
1
1
0
1
B
2) Dadas las matrices 𝐴 = (
1 0 2
0 1 −1
), 𝐵 = (
2 0
0 1
) y C= (
−1 2
0 1
0 3
). Calcular, cuando sea posible:
a) A + B b) A − C c) A x B d) B x A
e) A x A=A2
f) At
g) B2
h) Bt
3) Sean las matrices:













4
0
3
1
1
1
2
1
0
A













4
1
0
2
0
3
2
1
3
B













1
2
4
3
0
2
1
1
0
C
Efectuar las siguientes operaciones:
2A A + B -B + 2A A – B A x B B x A
(A)2
(A)3
- (A x B) A t
B t
C t
(A + B)2
(A − B)2
A x B t
A x B t
x C
La dimensión de A es mxn
A ∈ 𝑅𝑚𝑥𝑛

18. Unidad
2
18
4) Dadas las matrices: 










1
2
0
0
1
2
A 








2
2
1
2
B













0
2
2
0
2
1
C
a) Justificar si es posible realizar los siguientes productos y calcular las matrices traspuestas indicadas:
A x B B x A B x C At
Bt
Ct
(At
x B ) x C (B x Ct
) x At
b) Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A x M x C
c) Determina la dimensión de M para que Ct
· M, sea una matriz cuadrada.
5) Calcular la matriz C, que hace posible esta relación: A x C = B, en cada caso:
a) 








1
3
0
1
A 









3
2
B b) 









1
1
2
/
1
1
A 








5
4
B
6) Por qué matriz hay que multiplicar la matriz A para que resulte la matriz B, siendo:
a) 









1
0
1
2
A 









0
1
1
1
B b) 








1
2
0
1
A 








3
6
2
5
B
7) Calcular el determinante de cada una de las siguientes matrices:









2
3
1
2
A









1
15
5
2
6
B 






 

8
0
1
0
C











2
1
0
0
1
4
1
0
3
D











6
5
4
8
7
0
1
1
2
E












2
1
1
2
3
3
2
2
1
F
8) Calcular el valor de k Є R, para que el det(A) = 2
a)













k
A
0
1
2
1
0
1
1
1
b)












k
A
0
1
1
0
0
1
0
1
c)












k
A
0
0
0
1
0
1
1
2
d)












1
0
0
0
1
0
2
k
k
A e) 









k
k
A
1
1
f) 






 

k
k
A
0
1
1

19. Unidad
2
19
Matriz adjunta de A:
Denotamos por Adj(A), ésta es la matriz cuyos coeficientes se calculan:
ad i , j = ( - 1 ) i + j
· Det( A i , j
)
9) Calcular las matrices adjuntas de:
a) 𝐴 = (
1 2
0 −1
) 𝐵 = (
2 −5
1 2
) 𝐶 = (
0 1
0 −1
) 𝐷 = (
−2 3
2 1
) 𝐸 = (
1 0
0 −5
)
b) 𝐴 = (
2 0 1
1 1 0
1 0 2
) 𝐵 = (
−1 2 1
0 1 −4
2 1 −3
) 𝐶 = (
1 −1 3
0 0 0
0 0 −6
) 𝐷 = (
0 0 −4
−1 2 0
0 −2 0
)
Recordar que una matriz de 1x1, es de la forma (a11) y su determinante es a11
Matriz inversa de A:
Si A x B = I entonces, B = A-1
es la matiz inversa
Expresado de otra forma: A x A-1
= I
10) Determinar los valores de x Є R, para los cuales las siguientes matrices:
a) no sean inversibles: 










3
1
4
x
x
A















1
1
1
2
1
3
4
3
2
x
B
b) si sean inversibles: 








4
4
x
x
A












1
1
0
2
1
1
1
1
x
x
B
11) Determinar si las siguientes matrices son inversible y, calcular la inversa cuando sea posible:











9
6
3
2
A 






 

0
3
1
1
B 






 


3
2
1
1
C














3
1
0
2
2
1
2
2
1
D












3
4
0
0
2
1
2
2
1
E














4
0
2
1
3
0
2
1
1
F
Donde “i” representa la fila y “j” la columna
Importante: - no todas las matrices admiten inversa
- la matriz A admite inversa, si es cuadrada y su determinante es diferente de “0”

20. Unidad
2
20
12) Determinar en cada caso las condiciones sobre a, b y c, que hacen que las siguientes natrices sean
inversibles:









c
b
a
A
0 








b
a
b
a
B











c
b
a
C
0
0
0
0
0
0
13) Calcular la matriz inversa de A:









1
0
1
1
A









 

1
0
2
0
1
0
0
1
1
A











0
1
0
1
0
1
0
1
1
A
14) Calcular la matriz B, tal que C
AxB  , donde:













3
0
0
0
1
1
1
0
2
A y












3
1
1
C
15) ¿Se puede resolver la siguiente ecuación matricial: A . X = B? Dónde:











2
0
1
0
1
0
1
0
1
A












1
0
1
B











3
2
1
x
x
x
X

21. Unidad
3
21
Unidad III: Fundamentos del Álgebra II
Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones. Ecuaciones con expresiones algebraicas enteras y fraccionarias. Ecuaciones lineales y
cuadráticas. Sistemas de ecuaciones. Clasificación. Sistemas singulares. Método de resolución. Regla de
Cramer. Inecuaciones Desigualdades. Conjuntos de Intervalos. Desigualdades lineales de una variable.
Desigualdades cuadráticas de una variable. Sistemas de Inecuaciones. Interpretación. Aplicaciones
1) Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
a) 5
3
2 

x b)   1
1
4
3 


x
c)   x
x 8
2
2
4 
 d) x
x
x 8
10
3
)
2
(
5 




e) 5
2
)
5
3
(
7 


 x
x f) x
x
x 2
)
8
(
)
9
( 




2) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 5
3
2 2

 x
x b)   0
2
1
4
3 







 x
x
c)  8
8
2
2
2


 x
x d) 0
)
10
3
)(
2
(
5 

 x
x
e) 0
)
5
10
( 2


x f) 8
2
)
8
)(
1
( 


 x
x
x
3) Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273
4) Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45
5) El perímetro de un rectángulo es 320cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho
6) La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal
mide 130 cm
7) Un grupo de jóvenes decide pagar por partes iguales el alquiles de $14.000 de un bote. A última hora, tres
de los jóvenes se arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes jóvenes subió en $1.500.
a) ¿Cuántos jóvenes había en el grupo original?
b) ¿Cuánto pagó cada uno de los jóvenes del grupo final? $3.500

22. Unidad
3
22
8) El Sr Bruma y Sr López formaron una sociedad, donde la suma de sus capitales es de $75. 000.000. Si el
Sr Bruma aportó $10.000.000 más que el Sr López:
a) ¿cuál es el capital que aportó cada uno?
b) ¿cuál es el porcentaje que aportó cada uno?
9) Una Organización destina $600.000 para de obtener ingresos anuales de $50.000 para becas. El capital se
invierte en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuánto deberán
invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?
10) A un fabricante le cuesta $50.000 comprar las herramientas para la manufactura de bancos de madera. Si
el costo para material y mano de obra es de $100 por cada banco producido, y el fabricante puede vender
cada uno a $250, cuántos bancos debe producir y vender para obtener una ganancia de $10.000.
11) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, y aun así obtiene una
ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado?
12) Mr. Smile es propietario de un edificio que tiene 60 departamentos. Él puede rentar todos los
departamentos si cobra una renta de 180 dólares mensuales. A una renta mayor, algunos de los
departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de 5 dólares en la renta, 1
departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la renta que debe cobrar por cada
departamento para obtener un ingreso total de 11.475 dólares.
13) De acuerdo con The Consumer’s Hand book, un buen aceite para el acabado de muebles de madera
contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16
onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesitan?
14) Si un editor pone un precio de $160 a un libro, se venderán 10,000 copias. Por cada $10 que aumente al
precio se dejarán de vender 300 libros. ¿Cuál debe ser el precio al que se debe vender cada libro para generar
un ingreso total por las ventas de $124,875?
15) Dar el dominio de definición y resolver las siguientes ecuaciones racionales:
a)
2
3
4
1
2
2


 x
x
b) 1
2
2



x
x
x
c) 0
1
1
1
2



 x
x
x
d)
2
3
3
2


y
y
e)
6
2
2
9





y
y
y
y
f)
1
5
1
3
2
2
2
2




 x
x
x

23. Unidad
3
23
16) Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones de 2x2:
a)







4
2
2
1
y
x
y
x
b)







4
2
2
1
y
x
y
x
c)









4
2
1
3
y
x
y
x
d)







2
2
2
1
y
x
y
x
e)








3
6
6
2
y
x
y
x
f)








7
4
9
1
5
y
x
y
x
g)











2
2
2
8
2
2
y
x
y
x
h)









2
10
6
1
5
3
y
x
y
x
i)











10
18
6
3
5
3
y
x
y
x
17) Dos hermanos se van de viaje a Europa, llevan 16.000 €, entre los dos. Si Tomas le da a Pablo 2.000 €,
ambos tendrán la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?
18) Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de ganancias. Por otra
inversión en un segundo producto, obtiene una ganancia del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió 10.000 €, y
que los beneficios de la primera inversión superan en 330 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en
cada producto? (Hacer una tabla)
19) La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B y se detiene en la
ciudad C (ubicada entre ambas ciudades) para desayunar. Si la distancia entre A y C es de 85Km menos que
entre CB.
¿A qué distancia de la ciudad B, se encuentra C?
Sistema de ecuaciones
20) Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones de 3x3:
e)

















2
4
9
2
3
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f)
















3
2
2
1
3
2
6
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
g)















3
1
3
2
2
1
3
3
y
x
z
y
x
z
y
x
h)















0
2
3
1
2
2
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
i)
















3
1
2
2
2
1
3
3
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
j)














36
25
4
12
5
2
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
k)















3
4
2
1
3
2
2
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
l)












4
4
2
7
3
2
1
z
x
z
y
x
y
x

24. Unidad
3
24
Inecuaciones
21) Resolver las siguientes inecuaciones:
a) 4
2
2 

x b) 8
2
3 


 x
x
c) x
x 2
6
)
3
(
2 

 d) 6
2
5
3





x
x
e) 5
5
3
)
1
(
5 


 x
x f)    
10
10
)
2
(
6
5 



 x
x
g)
5
5
2
7



 x
x
h)    2
1
2 x
x
x 


i) )
3
8
(
5
)
3
(
7 




 x
x
x j)  4
2 2
2


 x
x
22) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos y expresarlos como intervalos:
𝐴 = { 𝑥 Є 𝑅 / 𝑥 + 4 = 0 }
𝐵 = { 𝑥 Є 𝑅 / 3𝑥 + 3 > 4(𝑥 + 5) }
𝐶 = { 𝑥 Є 𝑅 / 𝑥 + 4 < 0 }
𝐷 = { 𝑥 Є 𝑅 / 2𝑥 − 3 > 9 }
𝐸 = { 𝑥 Є 𝑅 / 5 − 𝑥 > 2𝑥 + 11 }
23) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos y expresarlos como intervalos:
𝐴 = { 𝑥 Є 𝑅 / −1 < 𝑥 ≤ 6 }
𝐵 = { 𝑥 Є 𝑅 / −1 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 4 }
𝐶 = { 𝑥 Є 𝑅 / 2 < 2𝑥 + 1 < 5 }
𝐷 = { 𝑥 Є 𝑅 / −3 < 3𝑥 + 9 < 0 }
𝐸 = { 𝑥 Є 𝑅 / 2(−3) + 6 ≤ 4𝑥 + 2 < 10 }
24) Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:
a) (𝑥 − 1)2
< 𝑥2
+ 2 b) (𝑥 + 2)2
< (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) c) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) < 𝑥2
+ 2
d) 𝑥2
≤ 1 e) 𝑥2
≥ 1 f) 𝑥2
− 4 ≤ 5
25) Representar en el plano todos los puntos (x:y) que verifican:
a) 5

x b) 5

y c) 0

x d) 2


y
e) 3
2 

 x f) 7
0 
 y g) x
y  h) 2


 x
y

25. Unidad
3
25
i) 0
6 

 x j) x
y 
 k) 3
4
2 
 y
x l) y
x 

 3
1
26) Representar en el plano los siguientes conjuntos:
 
0
2
/
)
;
( 2




 y
x
R
y
x
A
 
2
/
5
3
/
)
;
( 2





 y
x
R
y
x
B
 
0
6
/
)
;
( 2





 y
x
R
y
x
C
 
0
2
4
/
)
;
( 2






 y
x
R
y
x
D
 
0
3
2
2
/
)
;
( 2






 x
y
y
x
R
y
x
E
 
1
5
1
3
/
)
;
( 2







 x
y
y
x
R
y
x
F
 
0
2
2
3
/
)
;
( 2







 x
y
x
R
y
x
G
 
0
5
2
5
/
)
;
( 2









 y
y
x
R
y
x
H
 
1
6
3
6
1
/
)
;
( 2






 x
y
x
R
y
x
I
27) Representar en el plano las regiones factibles de los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)







2
2
1
y
x
y
x
b)







5
2
1
y
x
y
x
c)








4
0
2
y
x
y
x
d)








2
4
5
y
x
y
x
e)







2
1
y
x
y
x
f)








25
20
5
5
y
x
y
x
g)








2
2
y
x
y
x
h)








2
1
y
x
y
x
i)








0
4
1
y
x
y
x
28) Representar en el plano las regiones factibles de los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)







14
7
2
3
y
x
y
x
b)










0
14
7
2
3
x
y
x
y
x
c)













0
0
14
7
2
3
y
x
y
x
y
x

26. Unidad
3
26
d)










0
14
7
2
3
x
y
x
y
x
e)













0
0
14
7
2
3
x
y
y
x
y
x
f)















2
3
1
14
7
2
3
y
x
y
x
y
x
¿Son iguales las regiones encontradas? ¿Por qué?
29) Agrícola Verde comercializa dos variedades de mix de frutos y frutas secas:
- Mix del bosque tradicional: el paquete de 100g contiene: 40g frutos del bosques, 50g de: nueces,
almendras, castañas de caju y avellanas; el resto pasas de uva
- Mix del súper bosque: el paquete de 100g contiene: 60g frutos del bosque y 25g de: nueces, almendras,
castañas de caju y avellanas: el resto pasas de uva
Agrícola Verde tiene almacenados 10kg de frutos del bosque, 7kg de nueces, almendras, castañas de caju y
avellanas; y suficiente cantidad de pasas de uva necesarias.
a) plantear el sistema de inecuaciones que limita la producción de alimentos
b) graficar la región de factibilidad
30) Una pastelería posee 120 pastelitos de manzana y 180 almendras. Los pastelitos se venden en cajas de
regalo de dos tipos:
Luna: con 3 pastelitos de cada clase
Júpiter: con 2 pastelitos de manzana y 4 de almendras
a) plantear el conjunto de restricciones
b) graficar la región de factibilidad
31) Un tren de carga puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y
motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la
mitad que dedica a los coches.
a) plantear el conjunto de restricciones de este enunciado
b) graficar la región de factibilidad que indica las distintas formas de realizar el transporte según el número
de vagones dedicados a coches y a motocicletas

27. Unidad
4
27
Unidad IV: Algebra Lineal II
Introducción a la Programación lineal. Métodos de resolución: Gráfico/Analítico/Simplex. Problema dual
asociado. Análisis de sensibilidad. Análisis paramétricos. Aplicaciones en las ciencias económicas.
Programación lineal
1) Dados los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)






0
1
x
y
x
b)









2
0
1
y
x
y
x
c)












2
2
3
1
2
y
x
y
x
y
x
d)












2
2
3
1
2
y
x
y
x
y
x
e)















11
3
3
2
2
5
.
0
0
;
5
;
0
y
x
y
x
y
x
x
f)












2
1
3
1
3
y
y
x
y
x
1) representar la región de factibilidad
2) indicar cuáles son polígonos
3) calcular las coordenadas de los puntos esquina
2) Ejercicio 29 de la unidad 3. Agrícola Verde comercializa dos variedades de mix de frutos y frutas secas:
- Mix del bosque tradicional: el paquete de 100g contiene: 40g frutos del bosques, 50g de: nueces,
almendras, castañas de caju y avellanas; el resto pasas de uva
- Mix del súper bosque: el paquete de 100g contiene: 60g frutos del bosque y 25g de: nueces, almendras,
castañas de caju y avellanas: el resto pasas de uva
Agrícola Verde tiene almacenados 10kg de frutos del bosque, 7kg de nueces, almendras, castañas de caju y
avellanas; y suficiente cantidad de pasas de uva necesarias.
a) graficar la región de factibilidad
b) encontrar los puntos esquina
3) Ejercicio 30 de la unidad 3. Una pastelería posee 120 pastelitos de manzana y 180 almendras. Los
pastelitos se venden en cajas de regalo de dos tipos:
- Luna: con 3 pastelitos de cada clase
- Júpiter: con 2 pastelitos de manzana y 4 de almendras
a) graficar la región de factibilidad
b) encontrar los puntos esquina

28. Unidad
4
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4) Ejercicio 31 de la unidad 3. Un tren de carga puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto
viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para
motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches.
a) graficar la región de factibilidad
b) encontrar los puntos esquina
5) Plantear el sistema de inecuaciones, representar la región de factibilidad y determinar los puntos esquina
de las siguientes situaciones:
a) La 4 Puntos fabrica 2 modelos de pantalones con denim y cuero. Estos materiales vienen en piezas de
ancho fijo y se dispone de 378m de denim y 150m de cuero. Para confeccionar un pantalón "Lola" se
necesitan 2m de denim y 0,70m de cuero; para confeccionar un pantalón "Clara" se necesitan 4m de denim y
1,20m de cuero
b) Una empresa de pinturas para exteriores comercializa 2 tipos de pintura naranja. “Naranja cítrico” lleva 80
% de amarillo y 20 % de rojo; y la "Naranja amanecer" lleva 40 % de amarillo y 60 % de rojo. La empresa
dispone de 500litros de pintura roja y 420litros de pintura amarilla
6) Escribir la función objetivo z(x;y) que represente los ingresos del productor Agrícola Verde, si vende a
$85 los 100g de Mix del bosque tradicional y a $65 los 100kg de Mix del super bosque
7) La compañía Hepta tiene dos minas, una en la superficie y otra subterránea. Cuesta $ 200.000 por día
operar la mina a cielo abierto y $ 250.000 diarios operar la mina subterránea. En cada mina se extraen cuarzo
blanco y rosa, en distintas proporciones. La mina de superficie produce 12 ton de cuarzo blanco y 6 ton de
cuarzo rosa por día. La mina subterránea produce 4 ton de cuarzo blanco y 8 ton de cuarzo rosa por día.
La compañía tiene un contrato que le obliga a entregar, en 60 días, por le menos 600 ton de cuarzo blanco y
480 ton de cuarzo rosa.
a) graficar la región de factibilidad y analizarla
b) encontrar los puntos esquina
c) ¿Cuántos días debería trabajar cada mina para cumplir con el contrato al menor costo posible? (Utilizar las
unidades en miles)
8) Un banco dispone de 50 millones de pesos para ofrecer préstamos de riesgo alto e intermedio.
Sabiendo qué se debe utilizar, al menos, 20 millones de pesos a préstamos de riesgo intermedio; y la
proporción entre el dinero invertido en alto e intermedio riesgo, debe ser a lo sumo 4/5. Determinar a)
el conjunto de restricciones
b) calcular la región factible y los puntos esquina
c) ejemplifique algunas de las opciones
d) ¿cuál opción sería la óptima?

29. Unidad
4
29
9) Un hipermercado encarga a un fabricante shorts y remeras deportivas. Le entrega al fabricante, para
confección, 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada short precisa 1m de algodón y
2m de poliéster, y para cada remera 1.5m de algodón y 1m de poliéster.
El precio de confección del short se fija en $50 y el de la remera en $40. ¿Qué número de shorts y de remeras
debe suministrar el fabricante al hipermercado para obtener una ganancia máxima?
10) En una granja de pollos se utiliza una dieta especial para engordarlos, la composición mínima de ésta es
de 15 unidades de una sustancia AP y otras 15 de una sustancia SS. En el mercado sólo se encuentra dos
clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de AP y 5 de SS, y el otro tipo, Y, con
una composición de cinco unidades de AP y una de SS. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de
30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo de compuestos para cubrir las necesidades con un
costo mínimo?
11) En la formulación de una dieta se consideran dos alimentos: leche y pan; y se tienen en cuenta las
proteínas y calorías que éstos aportan a la dieta:
Una rebanada de pan: 1 gr de proteína 60 cal
Un vaso de leche: 9 gr de proteína 90 cal
El costo de una rebanada de pan es de $2, y el de un vaso de leche, $3
No se deben consumir más de 30 rebanadas de pan ni, más de 10 vasos de leche por día.
Encontrar la combinación de leche y pan más barata que aporte al organismo por lo menos 27 gr de proteína
y 720 calorías diariamente.
12) Una droguería dispone de 1kg de ácido acetil salicílico para elaborar cápsulas grandes y pequeñas. Las
grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan tener a disposición, por lo menos, tres cápsulas
grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada cápsula grande proporciona un beneficio
de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea
máximo?
13) Una fábrica de mesas, produce dos modelos para niños: “gordín” y “gordón”. Estos modelos presentan
diferente resistencia al uso continuo. Las “patas” son barnizadas y la parte superior es pintada y barnizada..
El modelo gordín lleva una mano de barniz y una de pintura; “gordón”, que llevan una mano de barniz y 3 de
pintura.
En el depósito se dispone:
- barniz para cubrir 10.000m2
- pintura para 20.000m2
- partes superiores sin pintar en cantidad ilimitada
- “patas” barnizadas en cantidad ilimitada
Sus ganancias son de $3 por m2
de mesas gordín y $5 por m2
de mesas gordón.
a) ¿Cuántos m2
de cada tipo de mesa conviene fabricar para que la ganancia sea máxima?
b) ¿Cuántos m2
de cada tipo de mesa conviene fabricar para que la ganancia sea máxima? pero si las
ganancias son de $1 por m2
de mesa gordín y $4 por m2
de mesa gordón

30. Unidad
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