1. TEMA 8
Variables aleatorias multidimensionales
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
Probabilidades y Estadística I

4. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (1/13)
OBJETIVOS
• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma
de una variable real multidimensional
( X 1 , X 2 ,....., X m ) ∈ R m
• Describir la incertidumbre asociada mediante una función real
que describa las probabilidades subyacentes (modelos de
probabilidad)
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5. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (2/13)
OBJETIVOS
• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma
de una variable real multidimensional
( X ,Y ) ∈ R2
( ( X , Y ), p( x, y ) )
( ( X , Y ), f ( x, y ) )
( ( X , Y ), F ( x, y ) )
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6. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (3/13)
Variable aleatoria bidimensional discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x,y)
i) p(x ,y) ≥0 ∀x ,y
ii) ∑∑ p( x, y) = 1
x y
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
 P[{ X = x} ∩ {Y = y}] si (x, y) ∈ Rg X

p ( x, y ) = 
0
 si (x, y) ∉ Rg X
P[{ X = x} ∩ {Y = y}] = P[ X = x, Y = y ]
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7. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (4/13)
EJEMPLO
Una Junta de estudiantes está formada por 10 alumnos: 3 de 5º, 3 de 4º, 2 de 3º, 1 de 2º y 1 de
1º. De los 10 alumnos se selecciona al azar una comisión de 3 miembros. Sea X e Y el
número de alumnos de 5º y 4º, respectivamente, que están en la comisión. Veamos cómo sería
la distribución conjunta de estas dos variables aleatorias.
10 
Existen   = 120 formas diferentes de elegir una comisión.
3
  3  3  4 
      x = 0,1, 2,3
 x  y  3 − x − y  
= = =
P ( X x, Y y )  si  y = 0,1, 2,3
120 
 x + y ≤ 3

0 si en otro caso
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8. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (5/13)
Variable aleatoria bidimensional discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
F ( x, y ) P [ X ≤ x, Y ≤ y =
= ] ∑ ∑ p( x , y ) i j
xi ≤ x y j ≤ y
PROPIEDADES
i) F está acotada entre 0 y 1
ii) F es monótona no decreciente en cada una de sus componentes
iii) F es continua a la derecha en cada una de las componentes.
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9. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (6/13)
Variable aleatoria bidimensional discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
P  X = y j  =y j ) − F ( xi −1 , y j ) − F ( xi , y j −1 ) + F ( xi −1 , y j −1 )
 xi , Y = F ( xi ,

− −
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10. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (7/13)
Variable aleatoria bidimensional discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
P  xi ≤ X ≤ x j , yi ≤ Y ≤ y j  =F ( x j , y j ) − F ( xi −1 , y j ) − F ( x j , yi −1 ) + F ( xi −1 , yi −1 )
 
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11. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (8/13)
Variable aleatoria bidimensional continua
a) Representación diferencial: función de probabilidad, f(x,y)
i) f ( x, y ) ≥ 0 ∀x, y
+∞ +∞
ii) ∫∫
−∞ −∞
f ( x, y ) dx dy = 1
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
b d
P [ a < X < b, c < Y < d ] = f ( x, y ) dy dx
∫∫ a c
P [ X a, Y b= 0
= = ] P [ X = a , c ≤ Y ≤ d ] = P [ a ≤ X ≤ b, Y = c ] = 0
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12. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (9/13)
EJEMPLO
La variable X representa la proporción de errores tipo A que existen en un documento,
mientras que la variable Y representa la proporción de errores tipo B. En ese documento
existen otros tipos de errores como el C, el D etc...La falta de información sobre el estudio nos
lleva a que la distribución conjunta del vector (X, Y) sigue una distribución uniforme.
 0 ≤ x, y ≤ 1
k si  
f ( x, y ) =  x + y ≤ 1 
0
 en el resto
+∞ +∞ 1
1 1− x 1
 2
x  k
∫∫
−∞ −∞
f ( x, y ) dx dy = 1 1= ∫∫
0 0
k dy dx = ∫ k (1 − x) dx = k  x −  = ⇒ k = 2
0  2 0 2
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13. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (10/13)
Variable aleatoria bidimensional continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
x y
F ( x, y ) P [ X ≤ x, Y ≤ y =
= ] ∫∫ f (u , v) dv du
−∞ −∞
PROPIEDADES
i) F está acotada entre 0 y 1
ii) F esta acotada asintóticamente entre 0 y 1. Es decir
lim F ( x, y ) = 1 = =
lim F ( x, y ) lim F ( x, y ) 0
x →+∞ x →−∞ y →−∞
y →+∞
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14. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (11/13)
Variable aleatoria bidimensional continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x,y)
PROPIEDADES
iii) F es monótona no decreciente en cada una de sus componentes
iv) F es continua en cada una de las componentes.
∂ 2 F ( x, y )
v) = f ( x, y )
∂x∂y
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15. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (12/13)
EJEMPLO
Sea (X, Y) un vector aleatorio continuo cuya función de densidad conjunta es la siguiente:
 x + y si 0 ≤ x, y ≤ 1
f ( x, y ) = 
0 resto
Determinar la función de distribución y calcular la probabilidad conjunta de que
1 3
X≤ Y≤
2 4
1
x y
 y 
x
xy ( x + y )
2
F ( x, y ) =∫ (u + v) dv du = uy +  du =
∫0 ∫
0
0
2 0 2
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16. 1. V.a. bidimensional. Distrib. conjunta (13/13)
EJEMPLO
0 si x < 0 o y<0
 xy ( x + y )

= 
F ( x, y ) si 0 ≤ x ≤ 1
 2
1
 si x > 1 y y >1
1 31 3
× +
 1 3  1 3  2 4  2 4  15
 = 
P X ≤ , Y ≤  F  =
= , 
 2 4 2 4 2 64
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17. Esquema inicial
1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta
2. Distribuciones marginales
3. Distribuciones condicionadas
4. Independencia
5. Momentos
6. Teorema de Bayes
7. Reproductividad de v. aleatorias
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18. 2. Distribuciones marginales (1/4)
Variable aleatoria bidimensional discreta
a) Representación diferencial: funciones de probabilidad, p1(x) y p2(y)
p1 ( x) = ∑ p ( x, y ) p2 ( y ) = ∑ p ( x, y )
y x
Y
0 1 2 3
X
0 4/120 18/120 12/120 1/120 35/120
1 18/120 36/120 9/120 0 63/120
2 12/120 9/120 0 0 21/120
3 1/120 0 0 0 1/120
35/120 63/120 21/120 1/120
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19. 2. Distribuciones marginales (2/4)
Variable aleatoria bidimensional discreta
b) Representación integral: función de distribución, F1(x) y F2(y) (escalonadas)
F1=
( xi ) ∑ ∑ p( x, y) ∑ p=
= ( x) 1 P [ X ≤ xi ]
x ≤ xi y x ≤ xi
=
F2 ( y j ) ∑ ∑ p( x= ∑ p =
x
, y) ( y)
y≤ y j y≤ y j
2 P Y ≤ y j 
 
Probabilidades y Estadística I

20. 2. Distribuciones marginales (3/4)
Variable aleatoria bidimensional continua
a) Representación diferencial: funciones de densidad, f1(x) y f2(y)
+∞ +∞
f1 ( x) = ∫
−∞
f ( x, y ) dy f2 ( y) = ∫
−∞
f ( x, y ) dx
 x + y si 0 ≤ x, y ≤ 1
f ( x, y ) = 
0 resto
+∞ 2 1  1
x + si 0 ≤ x ≤ 1
1
y
∫ ∫
f1 ( x) = f ( x, y ) dy = ( x + y ) dy = +
xy
2
= 2
−∞ 0 0 0
 resto
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21. 2. Distribuciones marginales (4/4)
Variable aleatoria bidimensional continua
b) Representación integral: función de distribución, F1(x) y F2(y) (continuas)
x x +∞
F1 ( x= P [ X ≤ x=
) ] ∫ =
f1 ( x) dx ∫∫ =
f (u , v) dv du lim F ( x, y )
y →+∞
−∞ −∞ −∞
y +∞ y
F2 ( y )= P [Y ≤ y ]= ∫ f 2 ( y ) dy= ∫∫ f (u , v) dv du= lim F ( x, y )
x →+∞
−∞ −∞ −∞
x
 1 x2 + x
x 2
t t
F1 ( x) = ∫  t +  dt = + =
0
2 2 20 2
xy ( x + y ) xy ( x + y ) x( x + 1)
F1 ( x) = lim ≈ lim =
y →+∞ 2 y →1 2 2
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