528 fis 2_bac. el movimiento armonico simple

Tema 1: El Movimiento armónico simple (M.A.S) Física 2º Bachillerato
TEMA 1
EL
MOVIMIENTO
ARMÓNICO
SIMPLE
Colegio “Sagrado Corazón”. HH. Maristas - Valencia
1

2

ESQUEMA DEL BLOQUE: VIBRACIONES Y ONDAS
ESQUEMA DEL BLOQUE
3
Movimiento ondulatorio
)wt(senAy 0ϕ+⋅=
Movimiento vibratorio
armónico simple
)wtcos(Awv 0ϕ+⋅=
ywa 2
⋅−=
senwtAy ⋅=
Longitud de onda Velocidad de
propagación
Reflexión
Polarización
Refracción
Efecto
Doppler
Difracción
Interferencias
Ondas
estacionarias
Origen de las ondas armónicas
Magnitudes que lo describen
Su ecuación del movimiento es
Tiene fenómenos asociados






−⋅=
v
x
tsenwAy

1. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Un cuerpo realiza un MAS cuando oscila en torno a una posición de equilibrio, su trayectoria es
rectilínea, repite de manera periódica los valores de las magnitudes que lo describen (posición,
velocidad, aceleración) y cumple la ley de Hooke: F = - k⋅ y.
2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN MAS
Para describir completamente el MAS debemos obtener las ecuaciones que nos permitan conocer la
posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante dado. Pero antes hemos de definir
algunas características de este movimiento:
CARACTERÍSTICAS DE UN MAS
- Vibración u oscilación: distancia recorrida por la
partícula en un movimiento completo de vaivén.
- Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia
que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por
la partícula móvil.
- Elongación, y: distancia que en cada instante separa la
partícula móvil del centro de oscilación, O, tomado
como origen de las elongaciones. Viene dada por la
coordenada de posición de la partícula en un momento
dado. Consideramos positivos los valores de esta
coordenada a la derecha del punto O y negativos a su
izquierda.
- Amplitud, A: valor máximo de la elongación.
- Periodo, T: Tiempo empleado por la partícula en efectuar
una oscilación completa.
- Frecuencia, ν (o “f”): número de oscilaciones efectuadas
en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo (T = 1/ν).
Su unidad en el SI es el hercio, Hz, siendo 1 Hz = 1 s-1
.
- Pulsación, w: Número de periodos comprendidos en 2π
unidades de tiempo (w = 2π ν). Su unidad en el SI es el rad
s-1
.
La ecuación de un MAS nos viene dada por la solución de una ecuación diferencial, que es la formulada
cuando un cuerpo es sometido a una fuerza de recuperación (aquella que es proporcional a su
desplazamiento desde la posición donde el cuerpo se encuentra en equilibrio). Una ley de este tipo es la
ley de Hooke. Si escribimos F como m⋅a, y la aceleración como la segunda derivada de la posición, la
ecuación que obtenemos es:
yk
dt
yd
m 2
2
⋅−=⋅
El hecho de que el MAS sea un movimiento periódico, nos hace pensar que su ecuación matemática deba
implicar una función periódica que ya conocemos, el seno o el coseno, que irán multiplicando a la amplitud
del movimiento, que será la elongación máxima que alcance el cuerpo durante su movimiento. Así las
cosas, la solución propuesta a la ecuación diferencial escrita arriba, y que describirá fielmente el
movimiento físico del cuerpo vibrante, será una función del tiempo y = y(t) de la forma:
( )0twsenAy ϕ+⋅⋅= m
donde A es la amplitud medida en metros en el S.I. y w =
T
2π
= ν⋅π2 es la frecuencia angular, medida
en rad/s en el S.I.
4

Atención:
- A y ϕ0 determinan el valor de la elongación y en t = 0, ya que entonces y = A⋅senϕ0.
- Si ϕ0 = 0, entonces, para t = 0, y = 0; es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula está en el
centro de oscilación.
- El valor de y se repite cada vez que el ángulo wt + ϕ0 aumenta en 2π rad:
( ) ( )π+ϕ+=ϕ+ 2wtsenwtsen 00
- Cuando sen (wt + ϕ0) vale +1 ó –1, la elongación y vale +A o –A. La partícula se halla en las
posiciones extremas de su trayectoria.
- Si ϕ0 = π/2 rad, la partícula se halla en la posición +A al comenzar a contar el tiempo.
Ejemplo 1
Cierta partícula se mueve con MAS según la siguiente ecuación y = 0,05 sen 20πt, en unidades del SI.
Calcula: a) la fase inicial, b) la amplitud, c) la pulsación, d) el periodo, e) la frecuencia, f) el valor de la
elongación en t = 0 s y en t = 0,025 s.
- Datos : y = 0,05 sen 20πt
a) Fase inicial: ϕ0 = 0. Por tanto, la partícula comienza su movimiento en y = 0.
b) Amplitud: A = 0,05 m
c) Pulsación : w = 20π rad/s
d) Periodo: T = 2π/w = 2π/20π = 0,1 s
e) Frecuencia: ν = 1/T = 10 Hz
f) y(0) = 0,05 sen 20π 0; y(0) = 0 La partícula se encuentra en el centro de oscilación.
y(0,025) = 0,05 sen 20π 0,025; y(0,025) = 0,05 sen π/2 = 0,05. La partícula se halla en el punto
de máxima elongación.
La velocidad de un movimiento vibratorio la deducimos derivando la ecuación de la elongación con
respecto al tiempo:
dt
dy
v =
)wtcos(wAv 0ϕ+⋅⋅= m/s
La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la posición ocupada por la partícula.
Como sen2
α + cos2
α = 1, también se cumple que sen2
(wt + ϕ0) + cos2
(wt + ϕ0) = 1
( ) ( )0
2
0 wtsen1wtcos ϕ+−±=ϕ+
Por tanto:
v = Aw cos ( )0wt ϕ+ =±Aw ( )0
2
wtsen1 ϕ+−
( )0
222
wtsenAAwv ϕ+−±=
v= 22
yAw −±
5

Atención:
- La gráfica de la velocidad está desfasada π/2 respecto a la gráfica de la elongación y.
- Si ϕ0 = 0, entonces, para t = 0, v > 0, es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula se desplaza
en sentido positivo del eje.
- Cuando y = ± A, la velocidad es nula, lo que ocurre para wt = π/2, 3π/2, 5π/2... si ϕ0 = 0, es decir,
cuando la partícula se halla en los extremos de la trayectoria.
- Cuando y = 0, la velocidad toma su valor máximo absoluto, v = ± Aw, lo que ocurre para wt = 0, π,
2π, 3π...si ϕ0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en el centro de oscilación
Ejemplo 2
Un cuerpo vibra con MAS según la ecuación y = 0,05 sen (3t + π/2), en unidades SI. Calcula: a) el
valor de la elongación cuando t = π s, b) la velocidad del cuerpo cuando t = π/2 s, c) el periodo y la
frecuencia.
- Datos: y = 0,05 sen (3t + π/2); A = 0,05 m; w = 3 rad/s; ϕ0 = π/2 rad.
a) Calculamos el valor de y para t = π s:
y = 0,05 sen (3t + π/2) = 0,05 sen (3π + π/2) = -0,05 m
b) Sustituimos t = π/2 en la ecuación de la velocidad )wtcos(wAv 0ϕ+⋅⋅=
v = 0,05 3 cos(3t + π/2) = 0,15 cos(3 π/2 + π/2) = 0,15 m/s
c) Calculamos el periodo y la frecuencia:
T = 2π/w = 2π/3 = 2,09 s; f = w/2π = 3/2π = 0,48 Hz.
La aceleración del MAS la calculamos volviendo a derivar la velocidad de vibración del cuerpo:
2
2
dt
yd
dt
dv
a ==
)wt(senwAa 0
2
ϕ+⋅⋅−= m/s2
ywa 2
⋅−= m/s2
La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ésta. Esta condición es necesaria
para que un movimiento periódico sea un MAS
6

Ejemplo 3
En cierto movimiento armónico simple en el que ϕ0 = 0, T = 0,2 s y A = 3 m, calcula la elongación,
la velocidad y la aceleración cuando t vale sucesivamente 1/20 s, 1/10 s, 3/20 s y 1/5 s.
- Datos: ϕ0 = 0; T = 0,2 s; A = 3 m; w = 2π/T = 2π/0,2 = 10 π rad/s
t(s) ( )0twsenAy ϕ+⋅⋅= (m) )wtcos(wAv 0ϕ+⋅⋅= (m/s) ywa 2
⋅−= (m/s2
)
20
1
0,3 sen(10π
20
1
) = 0,3 0,3 10π cos(10π
20
1
) = 0
- (10π)2
0,3 = -30 π2
10
1
0,3 sen(10π
10
1
) = 0 0,3 10π cos(10π
10
1
) = - 3π
- (10π)2
0 = 0
20
3
0,3 sen(10π
20
3
) = -0,3 0,3 10π cos(10π
20
3
) = 0
- (10π)2
⋅ (-0,3) = 30 π2
5
1
0,3 sen(10π
5
1
) = 0 0,3 10π cos(10π
5
1
) = 3π
- (10π)2
0 = 0
3. DINÁMICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Hasta ahora nos hemos limitado a las características cinemáticas del MAS, y a partir de ahora
estudiaremos las características dinámicas aplicadas a un ejemplo concreto, el oscilador armónico
(sistema animado de un MAS debido a una fuerza recuperadora)
A partir de la ecuación de un MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un cuerpo o
partícula de masa m para que oscile con dicho movimiento.
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del
MAS, tenemos:
ywmF
ywa
amF 2
2
⋅⋅−=




⋅−=
⋅=
Como m y w no varían, aparece una constante k (k = mw2
) denominada constante elástica o recuperadora:
F = -k⋅y.
Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir,
que se dirige siempre hacia el punto de equilibrio, punto en la que F se anula.
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibro y
proporcional a la distancia a éste.
A partir de las expresiones anteriores podemos obtener relaciones que ligan la pulsación y el periodo de
este movimiento con la masa m y la constante k.
m
k
w;kmw2
==
y puesto que T = 2π/w, podemos calcular el periodo de un movimiento producido por una fuerza
recuperadora:
7

k
m
2T π=
El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de
su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento.
Ejemplo 4
Se conecta a un resorte de constante elástica k = 5,0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que puede
oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Estirando el resorte se desplaza el
cuerpo 5,0 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a) el periodo del
movimiento, b) las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo, c) los
valores máximos de la velocidad y de la aceleración, d) la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m.
a) Determinamos la pulsación para hallar el periodo:
s/rad0,5
kg200,0
m/N5
w;
m
k
w === ⇒ T = 2π/w = 2π/5 = 0,4 π s
b) A t0 = 0, el cuerpo se halla en el máximo valor de la elongación, en el sentido positivo del
desplazamiento. Por tanto A = x0 = 0,05 m y ϕ0 = π/2.
( ) 




 π
+=ϕ+⋅⋅=
2
t5sen05,0twsenAx 0





 π
+=




 π
+⋅⋅=ϕ+⋅⋅=
2
t5cos25,0
2
t5cos505,0)wtcos(wAv 0





 π
+−=




 π
+⋅−=ϕ+⋅⋅−=
2
t5sen25,1
2
t5sen505,0)wt(senwAa 2
0
2
c) Como el módulo de la velocidad es máximo si cos(wt + ϕ0) = ± 1:
vmax = ± Aw = ± 0,25 m/s
El modulo de la aceleración es máximo cuando sen(wt + ϕ0) = ± 1:
amax = ± Aw2
= ± 1,25 m/s2
.
d) Aplicamos la expresión de la fuerza recuperadora para calcularla:
Fx = -kx; Fx = -5 N/m ⋅0,05 m = -0,25 N
4. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Un cuerpo con un MAS. posee dos tipos de energía: cinética, asociada a su movimiento, y potencial
elástica, asociada a la posición que ocupa. Las energías cinética y potencial son ambas funciones
periódicas del tiempo, puesto que tanto la velocidad como la posición lo son. Sin embargo, la suma de
ambas cantidades no depende del tiempo, sino que es una constante. Este fenómeno es lo que se conoce
como el principio de conservación de la energía mecánica en un MAS.
( ) [ ]22222
c yAk
2
1
wtcoskA
2
1
mv
2
1
E −===
De la expresión anterior se desprende que cuando y = 0, la Ec es máxima, y cando y = ±A (en los
extremos) la Ec es mínima e igual a cero.
8

Las fuerzas elásticas, como las gravitatorias, son conservativas porque tienen asociada una energía
potencial que depende de la posición. Precisamente, la energía potencial que posee un oscilador que está
situado a una distancia y de la posición de equilibrio, viene dada por la expresión:
2
p ky
2
1
E =
La energía potencial es máxima en los extremos y nula en el centro de oscilación. El mínimo de Ep
corresponde al punto donde el cuerpo es estable (al
igual que pasaba con los campos gravitatorio y
eléctrico).
La suma de las energías cinética y potencial de un
oscilador armónico en un punto es constante (principio
de conservación):
[ ] 2222
cp kA
2
1
yAk
2
1
ky
2
1
EEE =−+=+=
La energía mecánica de un punto que vibra con un MAS
es proporcional al cuadrado de la amplitud de oscilación.
Ejemplo 5
Un cuerpo de 0,68 kg se fija al extremo libre de un resorte de constante recuperadora k = 43,79 N/m.
Colocamos el sistema sobre un plano horizontal, estiramos del cuerpo hasta 10 cm de la posición de
equilibrio y lo soltamos, proporcionándole un movimiento armónico. Calcula: a) la velocidad máxima y la
aceleración máxima del cuerpo, b) la velocidad, la aceleración, la energía cinética y la potencial del
cuerpo cuando x = 5 cm.
- Datos: m = 0,68 kg; k = 43,79 N/m; A = 10 cm = 0,1 m.
a) Calculamos la pulsación para hallar la velocidad y la aceleración máximas:
s/rad02,8
kg68,0
m/N3,794
w;
m
k
w ===
vmax = ± Aw = ± 0,10 m ⋅ 8,02 rad/s = 0,80 m/s
amax = ± Aw2
=± 6,43 m/s2
.
b) Hallamos la velocidad y la aceleración a partir de la elongación, x = 0,05 m:
v= 22
xAw −± =± 8,02 rad/s ⋅ s/m69,0m05,0m10,0 2222
±=−
a =-w2
⋅ x = (- 8,022
rad2
/s2
) ⋅ 0,05 m = - 3,22 m/s2
.
Calculamos las energías cinética y potencial
J05,005,079,43
2
1
kx
2
1
E
J16,069,068.0
2
1
mv
2
1
E
22
p
22
c
=⋅⋅==
=⋅⋅==
5. EL PÉNDULO SIMPLE
9
E = cte
Energía total
Ep
Ec
-A O +A
Energía de un MAS

Si suspendemos una pequeña partícula material, de masa m de un hilo de longitud L, inextensible y de
masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo α de su posición vertical de reposo, la partícula se
comporta como un oscilador armónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple o matemático.
El movimiento del péndulo es periódico y oscilatorio. Pero, ¿es también armónico simple?
Para que la partícula pueda moverse con un MAS debe desplazarse sobre una trayectoria recta y estar
sometida a una fuerza recuperadora F =-ky, es decir, proporcional al desplazamiento y de sentido
opuesto.
En realidad, la trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia, pero puede suponerse recta para
valores muy pequeños del ángulo α.
Durante las oscilaciones, las energías Ec y Ep varían de la siguiente manera:
- En el punto B el péndulo posee sólo Ep, de valor mgh, e igual a menos el trabajo realizado por el
campo gravitatorio para llevar el péndulo desde la posición de equilibrio A hasta B.
- Al dejarlo en libertad, desciende hacia A, disminuye su Ep y aumenta su Ec en la misma cantidad,
debido a que la energía mecánica es constante.
- En A su velocidad es máxima y su Ep nula. Continúa su movimiento
hasta C donde de nuevo su Ec es nula y su Ep máxima.
En la posición B actúan sobre el cuerpo dos fuerzas: su peso gmp = , y
la tensión del hilo T . Si descomponemos el peso en sus dos componentes
21 FyF :
- En la dirección del hilo, la componente F1 , de módulo mgcosα,
contrarresta la tensión del hilo, ya que en este momento la
velocidad del péndulo es nula.
- La componente 2F , perpendicular a F1 y de módulo mgsenα,
actúa siempre hacia la posición de equilibrio, es decir, en sentido
opuesto al desplazamiento, por lo que es una fuerza
restauradora responsable del movimiento: F2 = - mgsenα.
Para valores pequeños del ángulo α, podemos considerar
aproximadamente iguales el valor de senα y el de α, medido en radianes.
Así, el valor de la fuerza resulta: F2 = - m g α.
Como:
L
x
radio
arco
==α x
L
mg
F2 −=
y si
L
mg
k = , tenemos: F2 = -kx, lo que corresponde al valor de la fuerza
recuperadora del movimiento armónico.
El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple
siempre que se consideren desplazamientos muy pequeños
Así, el periodo T de la oscilación pendular valdrá:
;
k
mg
m
2
k
m
2T π=π=
g
L
2T π=
10
α
P
L
A
C B
T
x
h
α
P
L
A
C B
T
x
h
F2
F1

Como sabemos también que T = 2π/w, se deduce que en el péndulo simple la frecuencia será:
L
g
w =
De aquí concluimos que el periodo y la frecuencia angular del péndulo simple:
- Son independientes de su masa y de la amplitud de la oscilación.
- Sólo dependen de la longitud del hilo y del valor de la aceleración de la gravedad.
Ejemplo 6
Desplazamos 20º un péndulo simple de 1 m de longitud y 20 g de masa y después lo soltamos. Calcula: a)
su periodo, b) su energía potencial en su posición más elevada respecto de la posición de equilibrio, c) la
velocidad máxima del péndulo cuando alcance la posición de equilibrio.
a) Calculamos el período del péndulo:
s2
sm8,9
m1
2
g
L
2T 2
=
⋅
π=π=
b) La posición más elevada será h:
h = L – L cosα
Por tanto, si Ep = mgh:
Ep = mg(L – L cosα)
Ep = mgL(1 – cosα)
Ep = 0,02kg ⋅ 9,8 ms-2
⋅ 1m( 1-0,940 ) = 1,18 ⋅ 10-2
J
c) La velocidad en la posición de equilibrio, que es a su vez la velocidad máxima, la hallamos
mediante el principio de conservación de la energía.
(Ep)max = (Ec)max
08,1)940.01(18,92)cos1(gL2gh2vmax =−⋅⋅⋅=α−== m/s
6. OTROS MOVIMIENTOS VIBRATORIOS
Hasta ahora hemos estudiado el movimiento armónico simple de sistemas ideales que, bajo la acción de
una fuerza recuperadora, se considera que pueden oscilar indefinidamente.
Sin embargo, en los sistemas reales, como una persona que se columpia, o una cuerda de guitarra, la
amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, es decir, existe una dependencia funcional A = A(t).
Esto se debe a la pérdida de energía mecánica, principalmente por la intervención de fuerzas disipativas
de rozamiento.
En este caso decimos que el movimiento está amortiguado y que el cuerpo efectúa oscilaciones
amortiguadas.
Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía mecánica de su movimiento disminuye
gradualmente; como consecuencia, aunque se mantienen las oscilaciones con la misma pulsación que si el
movimiento fuera un MAS, éstas disminuyen su amplitud con el tiempo.
Las fuerzas que producen degradación de la energía en múltiples procesos de la naturaleza, son fuerzas
proporcionales a la velocidad del cuerpo, y de sentido contrario:
vbF ⋅−=
La ecuación del movimiento oscilatorio amortiguado viene dada por la expresión:
11

)wt(senAey 0
t
ϕ+= γ−
donde γ = b/2m y b recibe el nombre de constante de amortiguamiento.
Como se puede observar, de la expresión anterior se desprende que la nueva amplitud del movimiento
depende exponencialmente con el tiempo en la forma A’ = Ae-γt
. Dicha exponencial es la causante de que
la amplitud vaya decreciendo con el tiempo, más o menos rápidamente en función del valor del parámetro
b. Sin embargo, la frecuencia del movimiento permanece constante. En las gráficas siguientes, la línea
discontinua viene dada por la función de la amplitud: A’ = Ae-γt
, mientras que la roja es la función del
movimiento del oscilador amortiguado: )wt(senAey 0
t
ϕ+= γ−
- Si b = 0, la amplitud de las oscilaciones se mantiene constante porque no hay amortiguación
(MAS)
- Si b aumenta, disminuye la amplitud A. La fuerza de amortiguamiento se parece cada vez más a
la fuerza recuperadora
- Si b es muy grande no hay oscilaciones, ya que el cuerpo, desplazado de su posición de
equilibrio, vuelve a ella y no oscila. Las fuerzas recuperadoras y amortiguadoras llegan a
igualarse y el sistema está totalmente amortiguado
Ejercicio resuelto 1
Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza elástica, F = -kx.
Cuando t = 2 s, la partícula pasa por el punto de equilibrio con una velocidad positiva y cuando t = 4 s, su
velocidad es de +4 m/s. Si el periodo de las oscilación es de 16 s, calcula: a) la amplitud del movimiento,
b) su aceleración en t = 2 s, c) Su velocidad máxima. d) Escribe las expresiones de la elongación, la
velocidad y la aceleración en función del tiempo. e) Dibuja la gráfica de la elongación en función del
tiempo entre t = 0 s y t = 18 s.
12
tiempo
y
tiempo
y
b pequeña
tiempo
y
b grande
tiempo
b muy grande
y

- Datos: x(2 s) = 0; v(4 s) = 4 m/s; T = 16 s.
a) Determinamos la pulsación a partir del periodo y escribimos la ecuación de la elongación para t =
2 s.
w = 2π/T = 2π/16 = π/8 rad/s
( )0twsenA)t(x ϕ+⋅⋅= ⇒ 





ϕ+⋅
π
== 02
8
Asen0)s2(x
radorad0
4
0
4
sen 00 π=





ϕ+
π
⇒=





ϕ+
π
El ángulo ha de ser de 0 rad para que la velocidad en este punto, que viene dada por el coseno,
sea positiva. Por tanto:
rad
40
π
−=ϕ
Utilizamos la expresión de la velocidad en t = 4 s para hallar la amplitud A:
)wtcos(wAv 0ϕ+⋅⋅=
m/s4
4
4
8
cos
8
A)s4(v =




 π
−
ππ
= ⇒ m/s4
4
cos
8
A =




 ππ
⇒ A = 14,4 m
b) En el punto de equilibrio, la aceleración es cero. Lo comprobamos:
)wt(senwAa 0
2
ϕ+⋅⋅−= ⇒
2
2
m/s0
4
2
8
sen
8
4,14)s2(a =




 π
−
π





 π
−=
c) La velocidad máxima se produce cuando el coseno del ángulo de fase es ± 1. Por ello:
vmax = ± Aw = ± 14,4 m ⋅ π/8 rad/s = ± 5,65 m/s
d) Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración son:





 π
−
π
⋅−=





 π
−
π
⋅=





 π
−
π
⋅=
4
t
8
sen22,2)t(a
4
t
8
cos65,5)t(v
4
t
8
sen4,14)t(x
e) Para representar la función hallamos la elongación en varios puntos y los representamos. Para
facilitar la representación escogemos los puntos de elongaciones máximas, mínimas y cero:
13
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-15
-10
-5
5
10
15

Un cuerpo de 1,4 kg de masa se conecta a un muelle de constate elástica 15 N/m. El sistema se hace
oscilar sobre un plano horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 20 cm, calcula: a)
La energía total del sistema, b) la energía cinética y potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de
13 cm, d) la velocidad máxima del cuerpo. d) Escribe la ecuación del MAS correspondiente.
- Datos: m = 1,4 kg; A = 20 cm = 0,2 m; k = 15 N/m; x = 13 cm = 0,13 m.
Hemos de tener en cuenta que el sistema tendrá un MAS y que su energía total será constante dado
que no existen pérdidas por rozamiento.
a) Calculamos la energía total del sistema:
E = ½ k A2
= ½ ⋅ 15 N/m ⋅ 0,202
m2
= 0,3 J
b) Hallamos la Ep en la posición x = 0,13 m:
Ep = ½ k x2
= ½ ⋅ 15 N/m ⋅ 0,132
m2
= 0,13 J
Como E = Ep + Ec, calculamos así el valor de Ec:
Ec = E - Ep = 0,3 J – 0,13 J = 0,17 J
c) El cuerpo tiene vmax cuando Ec es máxima:
(Ec)max = E = 0,3 J
Ec = ½ m v2
; (Ec)max =½ m (vmax)2
m/s49,0
kg1,4
J3,02
m
E2
v
max,c
max ±=
⋅
=±=
d) Calculamos la pulsación y suponemos ϕ0 = 0 para escribir la ecuación del MAS correspondiente:
)t7,10(sen02,0)Asen(wtx
rad/s7,10
kg1,4
N/m15
m
k
w
0 =ϕ+=
===
t(s) x (m)
0 -0,71 A
2 0
6 A
10 0
14 -A
18 0
14

Un péndulo simple consta de una esfera puntual de 0,1 kg de masa suspendida de un hilo de 1 m de
longitud. Si oscila con una amplitud de 10º en un lugar con g = 9,8 m/s2
, determina: a) Su energía
potencial máxima, b) su velocidad máxima.
- Datos: m = 0,1 kg; L = 1 m; α = 10º; g = 9,8 m/s2
;
a) Hallamos w y A para después calcular Ep,max:
s/rad1,3
m1
m/s8,9
L
g
w
2
===
A = α ⋅ L = 0,175 rad ⋅ 1 m = 0,175 m
Ep,max = ½ k A2
= ½ mw2
A2
= ½ (0,5 kg) ⋅ (3,1 rad/s)2
⋅ (0,175 m)2
= 0,07 J
b) La velocidad máxima será:
vmax = ± Aw = ± 0,175 m ⋅ 3,1 rad/s = ± 0,54 m/s
A) Un cuerpo B enganchado a un muelle M posee un movimiento armónico. B, a veces está en
movimiento y a veces en reposo. ¿Con qué tipo de energía se intercambia la energía de B?
B) Dibujar una gráfica en las que se expongan las evoluciones de la energía cinética de B y de la
energía total del sistema frente al tiempo, si el movimiento de B se describe mediante:
x = 0,01 cos(4π⋅t) (unidades SI), y su masa es 0,01 kg. Indicar el periodo del movimiento, T.
C) ¿Qué interacción es la responsable del comportamiento elástico del muelle: la gravitatoria o
la electromagnética? Explicar.
a) en ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica del sistema permanece
constante. La energía cinética de la masa B se intercambia con la energía potencial elástica
que el muelle M acumula, de manera que al ir disminuyendo una, la otra aumenta; y al
contrario:
Emecánica = ½ k x2
+ ½ m v2
= ½ k A2
= ½ m (vmax)2
= cte
La energía mecánica es sólo cinética cuando la velocidad del cuerpo M es máxima, y por
tanto el muelle está en equilibrio; sólo potencial elástica, cuando la elongación del muelle
es máxima y por tanto la masa está en reposo, o suma de ambas, en cualquiera de los
puntos intermedios del movimiento.
b) Para representar la gráfica de la energía cinética y total frente a t, obtenemos la función
de v = v(t), derivando la función x = x(t):
[ ] ( )
( ) ( ) ( )t4senvt4sen401,0v
;t4sen401,0
dt
)t4cos(01,0d
dt
dx
v
22
max
222
⋅π⋅=⋅π⋅π⋅=
⋅π⋅π⋅−=
π
==
Como vemos, la velocidad, al igual que la elongación del muelle, varía periódicamente con el
tiempo, y lo mismo ocurre con la velocidad al cuadrado, de la cual depende la energía
cinética. La velocidad adquiere su máximo valor si la función seno vale 1, e igual ocurre con
la función seno al cuadrado. Si la energía cinética tiene la expresión Ec = ½ m v2
, hay que
representar el producto de una constate por la función seno cuadrado:
Ec = ½ ⋅ m ⋅ (vmax)2
⋅ sen2
(4π⋅t)
15

Entonces:
(Ec)max = ½ ⋅ m ⋅ (vmax)2
= ½ ⋅ (0,01⋅4π)2
, ya que m = 1 kg
En la gráfica representamos la evolución de la
energía cinética a lo largo de un periodo
completo, coincidente con una vibración
completa, 2π. La energía cinéticas es periódica,
según la función seno cuadrado. Observamos
que adquiere un valor máximo que coincide con
el valor de la energía total, representada como
una recta paralela al eje OX, ya que es siempre
constante.
Calculamos el periodo del movimiento a partir de la función de la elongación:
w= 4π = 2π/T ⇒ T = 2π/4π = 0,5 s
c) Todas las fuerzas que se observan en la naturaleza a nivel macroscópico, excepto las
fuerzas gravitatorias entre masas, son manifestaciones de interacciones
electromagnéticas.
Un bloque de masa M = 1 kg está apoyado sobre una mesa horizontal sin rozamiento y unido a una pared
fija mediante un resorte, también horizontal, de constante elástica k = 36 N/m. Estando el bloque en
reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia la derecha, de forma que empieza a oscilar
armónicamente en torno a dicha posición con amplitud A = 0,5 m. Se pide: a) Durante la oscilación, ¿es
constante la energía mecánica de M? b) ¿Con qué frecuencia oscila M? Determina y representa
gráficamente su velocidad frente al tiempo. Toma origen de tiempos, t = 0, en el instante del golpe.
a) En ausencia de fuerzas no conservativas, se cumple el principio de conservación de la energía:
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec + Ep = cte.
Así, en un punto cualquiera de la oscilación del muelle, se cumple:
ET = Ec + Ep = ½ m v2
+ ½ k x2
= ½ k A2
b) Al igualar la ley de Hooke y la segunda ley de la dinámica:
F = -kx; F = ma; m⋅a = - k⋅x = - m⋅w2
⋅x
1-
2
1
2
2
1
2
22
2
2
s95.0
41
36
4m
k
4m
T
4
mk
=





π⋅
=





π⋅
=ν
ν⋅π⋅=
π
=
Este MAS lo podemos representar por la ecuación:
x = A⋅sen wt = 0,5⋅sen (2π⋅0,95⋅t) = 0,5⋅sen (1,9π⋅t)
Si derivamos respecto al tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad:
v = 0,95π⋅cos (1,9π⋅t)
16
Ec,max
t
T
Ec

Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18º, desarrollando diez oscilaciones por
segundo. Tomando como instante inicial la posición de equilibrio: a) escribir su elongación en
función del tiempo. b) Determinar su periodo de oscilación en la Luna, donde la gravedad es
aproximadamente un sexto de la terrestre.
a) El movimiento del péndulo lo podemos describir mediante una ecuación análoga a la del MAS,
del tipo:
Y = A ⋅ sen (w⋅t + ϕ0)
Siendo A la amplitud del movimiento, que en nuestro caso sería de 18º, w la frecuencia
angular y ϕ0 el ángulo de desfase.
En el tiempo inicial, t = 0, el péndulo está en equilibrio, y = 0, ya que no hay ángulo respecto a
la vertical, y entonces ϕ0 = 0: no hay desfase. Entonces, considerando que la frecuencia
angular, o pulsación, cumple la igualdad w = 2π⋅f y expresamos la elongación en radianes:
y = 0,1⋅π⋅sen (2π⋅10⋅t) rad
b) El período de nuestro péndulo tiene un valor igual al inverso de la frecuencia, T = 1/10 s, y
además cumple la ecuación:
g
L
2T π=
siendo L su longitud, y g el valor del campo gravitatorio terrestre. En la Luna, el periodo
sería g
L6
2
6
g
L
2
'g
L
2'T
⋅
π=π=π=
Ponemos T’ en función de T:
s024,0
10
6
T6
g
L
62
g
L6
2'T ==⋅=⋅⋅π=
⋅
π=
17

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