Geometria Analitica

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
Facultad de Ingeniería en Sistemas,
Electrónica e Industrial
“Proyecto Académico de Fin de Semestre”
Título: Geometría
Autor
 Aucanshala Javier 2BS

2. m.a.s.
Frente a la perturbación de un cuerpo en equilibrio estable, la naturaleza
responde con un movimiento que tiende a que el cuerpo vuelva a
recuperar su posición de equilibrio. Este movimiento en su versión más
sencilla se denomina “movimiento armónico simple” (m.a.s.).
EQUILIBRIO ESTABLE
Este tipo de movimientos se da continuamente en la naturaleza (movimiento
de un resorte, el péndulo, movimiento de los átomos en la materia, etc.) y no
solamente con cuerpos materiales sino también con valores de magnitudes (la
presión del aire da lugar al sonido, los campos electromagnéticos dan lugar a
la luz, etc.). Por ello es importante su estudio.

3. m.a.s.
Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos
iguales de tiempo se repiten los valores de las magnitudes
que lo caracterizan.
Mov. Circular uniforme
Mov. Tierra en torno al Sol
Las dos magnitudes características de los movimientos
periódicos son: el período y la frecuencia.
El período, T, es el tiempo empleado en realizar una vuelta
completa o ciclo, es decir el que transcurre hasta que se
repite el movimiento. Se mide en segundos (s).
La frecuencia, n o f, es el número de vueltas o ciclos
realizados en la unidad de tiempo. Se mide en ,
hertzios (Hz) o s-1.
s
ciclos
De las definiciones se deduce :
f
T
1

T=1año=3.1536.000s
f=1vuelta/año=0’00000003Hz
w= 2p/3156000 rad/s
ALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS
La frecuencia angular, w, es el número de radianes que
recorre en la unidad de tiempo. Se mide en .radianes
s
2
2 f
T
p
w p 

4. m.a.s.
Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se
recorre en ambas direcciones.
Mov. de un péndulo
La posición de un cuerpo en una oscilación viene definida por
la distancia a la que se encuentra el cuerpo que oscila de la
posición de equilibrio. Esta posición se define por la
elongación.
La elongación, x, es la distancia que, en un instante dado,
separa el cuerpo que oscila de la posición de equilibrio. Se
mide en metros (m).
La amplitud, A, es la elongación máxima. Se mide en metros
(m).
ALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS
A

5. m.a.s.
Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria tiene
su origen en el centro de la misma, de manera que las
amplitudes a ambos lados del origen son iguales
Mov. de un diapasón
Mov. de un resorte
Mov. cuerdas de guitarra
ALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS

6. m.a.s.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (mas)
Un cuerpo sujeto a un resorte que se ha desplazado de su posición de equilibrio, en
ausencia de rozamientos, realiza un “movimiento armónico simple”.
MV
Un “movimiento armónico simple”, (m.a.s.), es un movimiento rectilíneo de
aceleración variable producido por una fuerza proporcional al desplazamiento,
pero de sentido contrario:
kxF 
Un cuerpo que describe un m.a.s. se denomina oscilador armónico.

7. m.a.s.
MAGNITUDES DEL mas
OX
O-A A
x
OX.- Eje sobre el que se produce el movimiento.
O.- Posición de equilibrio. Todas las distancias se miden a partir de dicho punto.
x.- Elongación. Posición en la que está el cuerpo en un instante t, respecto a O.
A.- Amplitud. Máximo valor que alcanza x. Tiene el mismo valor a ambos lados.
T.- Período. Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa.
f.- Frecuencia. Es el número de oscilaciones que realiza en la unidad de tiempo.
w.- Frecuencia angular o pulsación
f
T
1

T
p
w
2


8. m.a.s.
ECUACIÓN DEL mas
La ecuación de movimiento de un cuerpo es una fórmula que nos permite, conocido
el tiempo t transcurrido desde el inicio del movimiento, determinar la posición del
cuerpo.
Para encontrar la ecuación del m.a.s. consideremos el movimiento de un cuerpo
sujeto a un resorte y dibujemos la gráfica x-t.
MV
+A
-A
0
T/4 2T/4 3T/4 4T/4
x
t
A
0
-
A
4T
/4
3T
/4
2T
/4
T
/4

9. m.a.s.
ECUACIÓN DEL mas
MV
La ecuación que representa esta gráfica ha de ser del tipo seno o coseno.
A
0
-A
4T/43T/42T/4T/4

10. m.a.s.
ECUACIÓN DEL mas
De lo anterior podemos deducir que la ecuación que representa un movimiento
armónico simple es:
)( 0w  tAsenx )cos( 0w  tAxo
Donde:
x.- Elongación. Posición en la que está el cuerpo en un instante t, respecto a O (m).
A.- Amplitud. Máximo valor que alcanza x. Tiene el mismo valor a ambos lados (m).
w.- Frecuencia angular o pulsación (rad/s).
t.- Tiempo en el que queremos calcular x (s).
0.- Fase inicial o desfase. Se calcula a partir de las condiciones iniciales (rad).
(wt+ 0).- Fase(rad).

11. m.a.s.
VELOCIDAD EN EL mas
En un m.a.s. la velocidad varía en función de la posición, siendo nula en los
extremos y máxima en el centro de la trayectoria.
Para cualquier movimiento la ecuación de la velocidad en cada instante se obtiene
derivando la ecuación de la posición con relación al tiempo:
dt
dx
v 
En nuestro caso, derivando la ecuación del m.a.s. con respecto al tiempo obtenemos:
)cos( 0ww  tAv )( 0ww  tsenAvo
Ecuaciones que nos permiten calcular la velocidad en función del tiempo.

12. m.a.s.
VELOCIDAD EN EL mas
La gráfica velocidad-tiempo (v – t) para el m.a.s. la podemos obtener a partir de
una tabla de valores:
Considerando 0=0:
0cos( ) cos( )v A t A tw w  w w  
v (m)
t (s)T
4
0
T
2
3T
4
T
+A·ω
– A·ω
0
t (s) cos ωt v (m/s
0 1 +Aω
0 0
-1 -Aω
0 0
1 +Aω
T
2
T
4
3T
4
T

13. m.a.s.
VELOCIDAD EN EL mas
Para obtener la velocidad en función de la posición:
)()(1)cos( 0
222
0
2
0 wwwwww  tsenAAtsenAtAv
22
xAv  w
De estas ecuaciones podemos deducir que la velocidad en un m.a.s. es función
periódica del tiempo, que su valor depende de la posición de la partícula y que tiene
un valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos.
En el centro x=0 :
En los extremos x=±A
:
Av wmax
0min v

14. m.a.s.
ACELERACIÓN EN EL mas
En un m.a.s. la aceleración no es constante y varía en función de la posición
Para cualquier movimiento la ecuación de la aceleración en cada instante se obtiene
derivando la ecuación de la velocidad con relación al tiempo:
dt
dv
a 
En nuestro caso, derivando la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo
obtenemos:
)( 0
2
ww  tsenAa )cos( 0
2
ww  tAao
Ecuaciones que nos permiten calcular la velocidad en función del tiempo.

15. m.a.s.
ACELERACIÓN EN EL mas
La gráfica aceleración-tiempo (a – t) para el m.a.s. la podemos obtener a partir de
una tabla de valores:
Considerando 0=0:
2 2
0( ) ( )a A sen t A sen tw w  w w    
a (m)
t (s)T
4
0
T
2
3T
4
T
+A·ω2
– A·ω2
0
t (s) sen ωt a (m/s2)
0 0 0
1 -Aω2
0 0
1 +Aω2
0 0
T
2
T
4
3T
4
T

16. m.a.s.
ACELERACIÓN EN EL mas
Para obtener la aceleración en función de la posición:
xa 2
w
De estas ecuaciones podemos deducir que la aceleración en un m.a.s. es función
periódica del tiempo, que su valor depende de la posición de la partícula y que tiene
un valor máximo en los extremos de la trayectoria y se anula en el centro.
En los extremos x=±A
:
En el centro x=0 :
Aa 2
max w
0min a

17. m.a.s.
DINÁMICA DEL mas
Un cuerpo que realiza un m.a.s. está sometido a una fuerza directamente
proporcional a su posición dada por:
xa 2
w
kxF 
Su aceleración, según hemos visto está dada por:
De acuerdo con la 2ª ley de Newton, podemos escribir:
2 2
. .( )
k
F m a kx m x k m
m
w w w        
2
2
m
T T
k
p
p
w
  

18. Amplitud y Frecuencia de una función seno o coseno
1.- y=2sen3x
2
- 2
T =
2𝜋
3
A
2𝜋
3
4𝜋
3
2π

19. 2.- y=4cos5x
X
T =
2𝜋
3
2𝜋
5
4𝜋
5
6𝜋
5
8𝜋
5
2π
A
4
- 4