movimientos periodicos fenomeno de las ondas

1. F´ısica I. Curso 2010/11
Departamento de F´ısica Aplicada. ETSII de B´ejar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Dom´ınguez y Jes´us Ovejero S´anchez
Tema 7. Movimientos oscilatorio
y ondulatorio
´Indice
1. Introducci´on 3
2. Movimiento oscilatorio 3
2.1. Cinem´atica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Din´amica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Energ´ıa de un oscilador arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Ejemplos de movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1. P´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.2. P´endulo f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Movimiento arm´onico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Movimiento ondulatorio 14
3.1. Conceptos b´asicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Problemas 22

2. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 2

3. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 3
1. Introducci´on
Los principales objetivos de los cap´ıtulos dedicados a la Mec´anica Cl´asica fueron c´omo
predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posici´on)
y las fuerzas que act´uan sobre ´el. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al
desplazamiento del cuerpo desde su posici´on de equilibrio. Si dicha fuerza siempre est´a dirigida
hacia la posici´on de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento
peri´odico u oscilatorio. En F´ısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos
de este tipo de movimiento y de ah´ı la importancia de su estudio:
los latidos del coraz´on
el movimiento del p´endulo de un reloj
la vibraci´on de las mol´eculas de un s´olido alrededor de sus posiciones de equilibrio
la corriente el´ectrica que circula por el filamento de una bombilla
las vibraciones de las cuerdas de un viol´ın.
El movimiento oscilatorio est´a intr´ınsecamente relacionado con los fen´omenos ondulatorios.
Cuando vibra la cuerda de un viol´ın se producen oscilaciones de las mol´eculas del aire que lo
rodea y, por el contacto o interacci´on entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el
espacio en forma de onda. El ejemplo m´as sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado
movimiento arm´onico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente
entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energ´ıa mec´anica. Adem´as de ser el tipo de movi-
miento oscilatorio m´as f´acil de describir matem´aticamente, constituye una buena aproximaci´on
a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.
2. Movimiento oscilatorio
2.1. Cinem´atica del movimiento arm´onico simple
Se dice que una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento arm´onico
simple cuando su desplazamiento respecto a su posici´on de equilibrio var´ıa con el tiempo de

4. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 4
acuerdo con la relaci´on 1
:
x(t) = A cos(ωt + δ),
donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2
. La representaci´on gr´afica de x = x(t) tiene
esta forma:
t
ωt= π/2
ωt=3 π/2ωt= π
ωt=2 π
T
A
x
Conceptos b´asicos en la descripci´on de este tipo de movimiento son los siguientes:
A: Amplitud −→ m´aximo desplazamiento de la part´ıcula (negativo o positivo) respecto
de su posici´on de equilibrio.
δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del
movimiento. Se determina, como veremos m´as adelante, a partir de la posici´on y velocidad
iniciales.
ωt + δ: Fase.
T: Periodo. Es el tiempo que necesita la part´ıcula para realizar un ciclo completo de su
movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T). En el tiempo T la fase aumenta 2π.
ω(t + T) + δ = ωt + δ + 2π −→ ωT = 2π −→ ω =
2π
T
´o T =
2π
ω
.
ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).
f = 1/T: Frecuencia −→ n´umero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la
part´ıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s ´o herzios (Hz).
1
Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son peri´odicas: sen(x+2nπ) = sen x; cos(x+2nπ) = cos x.
Por lo que, como veremos m´as adelante est´a funci´on para x(t) representa un movimiento peri´odico en el tiempo.
2
Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente seg´un x(t) = A sen(ωt + δ +
π/2) ≡ A sen(ωt + δ ).

5. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 5
t
x(t)
t
v(t)
t
a(t)
-A
-ωA
-ω A2
δ=0
La velocidad y la aceleraci´on de una part´ıcula que realiza un MAS se obtienen sin m´as que
derivar su posici´on en funci´on del tiempo:
v(t) =
dx
dt
= −ωA sen(ωt + δ) (1)
a(t) =
dv
dt
= −ω2
A cos(ωt + δ) = −ω2
x(t). (2)
v(t) y a(t) son tambi´en funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente
amplitud y desfase:
Amplitudes :



x −→ xmax = A
v −→ vmax = ωA
a −→ amax = ω2
A
Desfases :
x − v −→ π/2
x − a −→ π

6. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 6
La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones
iniciales del siguiente modo:
x(t) = A cos(ωt + δ) −→ x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ
v(t) = −Aω sen(ωt + δ) −→ v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.
Dividiendo ambas ecuaciones:
v0
x0
= −ω tan δ −→ tan δ = −
v0
ωx0
=⇒ δ = arctan −
v0
ωx0
. (3)
Por otra parte: 


x0
A
= cos δ
−
v0
Aω
= sen δ
Elevando al cuadrado y sumando:
x2
0
A2
+
v2
0
A2ω2
= 1 −→ A2
= x2
0 +
v2
0
ω2
=⇒ A = x2
0 +
v2
0
ω2
1/2
. (4)
Para concluir este apartado resumiremos las propiedades m´as importantes de la cinem´atica del
MAS:
1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y
desfasadas entre s´ı.
2. La aceleraci´on es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.
3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.
2.2. Din´amica del movimiento arm´onico simple
Ahora que ya sabemos c´omo describir el movimiento arm´onico simple, investigaremos sus
posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema f´ısico m´as sencillo que da lugar
a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian
los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posici´on de equilibrio el muelle
ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongaci´on pero con signo opuesto a ella y que
viene dada por la ley de Hooke,
f = −kx,

7. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 7
donde k es una constante que depende de las caracter´ısticas del muelle. Despejando la acelera-
ci´on (f = ma):
a = −
k
m
x.
Luego al igual que en el MAS, la aceleraci´on es proporcional en m´odulo al desplazamiento y
de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la
ecuaci´on de movimiento,
d2
x
dt2
= −
k
m
x.
Es f´acil comprobar que la soluci´on de esta ecuaci´on puede escribirse:
x(t) = A cos(ωt + δ) donde ω =
k
m
1/2
.
En efecto: 


dx
dt
= −Aω sen(ωt + δ)
d2
x
dt2
= −Aω2
cos(ωt + δ)
−Aω2
cos(ωt + δ) = −
k
m
A cos(ωt + δ) =⇒ debe ser ω2
=
k
m
.
Con esto podemos concluir que siempre que sobre una part´ıcula act´ue una fuerza proporcional
a su desplazamiento y en sentido opuesto a ´este, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del
desplazamiento son: 


T =
2π
ω
= 2π
m
k
1/2
f =
1
T
=
1
2π
k
m
1/2
T y f s´olo dependen de la masa y de la construcci´on del resorte. La frecuencia es mayor
para un resorte duro y al contrario.
2.3. Energ´ıa de un oscilador arm´onico simple
En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su
energ´ıa potencial viene dada por:
U(x) =
1
2
kx2
.
La energ´ıa total del sistema ser´a:
E = Ec + U =
1
2
mv2
+
1
2
kx2
.

8. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 8
Por el principio de conservaci´on de la energ´ıa, E debe ser una constante del movimiento (si
despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir
el punto m´as c´omodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongaci´on es m´axima y la
velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:
x = A cos(ωt + δ) −→ x = A
v = −Aω sen(ωt + δ) −→ v = 0.
t
U(t)
E (t)c
E=cte.
En ese punto:
E =
1
2
kA2
.
Esta es la energ´ıa de un MAS. Como vemos s´olo depende de la amplitud del movimiento y de
la constante del muelle. Como la energ´ıa mec´anica es constante es instructivo representar c´omo
se compensan Ec y U en un diagrama de energ´ıas frente al tiempo (en la figura se ha elegido
δ = 0).
U =
1
2
kx2
=
1
2
kA2
cos2
(ωt + δ)
Ec =
1
2
mω2
A2
sen2
(ωt + δ) =
1
2
kA2
sen2
(ωt + δ).
La energ´ıa cin´etica tambi´en se puede expresar en t´erminos de la posici´on:
Ec = E −
1
2
kx2
=
1
2
k(A2
− x2
),
que es la ecuaci´on de una par´abola invertida y centrada en x = 0.
Ec =
1
2
mv2
=
1
2
k(A2
− x2
) −→ v =
k
m
(A2
− x2
)
1/2
.
De esta ecuaci´on se deduce inmediatamente que la velocidad es m´axima en x = 0 y que se
anula en los puntos de m´axima elongaci´on: x = ±A.

9. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 9
A-A
E
E (x)c
U(x)
x
2.4. Ejemplos de movimiento arm´onico simple
2.4.1. P´endulo simple
El p´endulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, ,
inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a
una posici´on fija. Demostraremos que el p´endulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente
de su posici´on vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay
rozamientos.
P
T
θ
θs
l
m
La fuerza en la direcci´on tangente al movimiento viene dada por:
ft = −mg sen θ = m
d2
s
dt2
−→
d2
s
dt2
=
d2
θ
dt2
= −g sen θ

10. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 10
=⇒
d2
θ
dt2
= −
g
sen θ.
Si θ es suficientemente peque˜no se puede hacer la aproximaci´on, sen θ θ. Esto se debe a
que haciendo un desarrollo en serie de la funci´on sen x, y cort´andolo en el primer t´ermino, la
diferencia entre x y sen x s´olo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o
.
Luego si el p´endulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuaci´on de movimiento angular
es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son:
ω =
g 1/2
; T =
2π
ω
= 2π
g
1/2
.
Ambos par´ametros s´olo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los p´endulos de igual
longitud oscilar´an del mismo modo.
El p´endulo simple suele utilizarse en la pr´actica para gran cantidad de aplicaciones que se
podr´ıan dividir en dos bloques:
medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de por las
condiciones termodin´amicas ´o de g por la latitud o altitud) y es f´acil visualizar el n´umero
de oscilaciones.
medir g −→ las medidas de g con este m´etodo son bastante precisas, lo que es importan-
te porque cambios locales de g pueden dar informaci´on valiosa sobre la localizaci´on de
recursos minerales o energ´eticos.
2.4.2. P´endulo f´ısico
Cualquier s´olido r´ıgido colgado de alg´un punto que no sea su centro de masas oscilar´a cuando
se desplace de su posici´on de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de p´endulo f´ısico o
compuesto.
El momento del peso respecto al eje de giro ser´a τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton
para la rotaci´on se expresar´a,
τ = Iα = I
d2
φ
dt2.
El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ´angulo φ por lo que:
−mgh sen φ = I
d2
φ
dt2
−→
d2
φ
dt2
= −
mgh
I
sen φ.

11. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 11
Para un p´endulo simple, I = ml2
y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado
anterior. Cuando los desplazamientos angulares son peque˜nos sen φ φ y
d2
φ
dt2
= −
mgh
I
φ = −ω2
φ donde ω =
mgh
I
1/2
y T = 2π
I
mgh
1/2
.
Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de s´olidos r´ıgidos.
φ
h sen φ c.m.
P
eje de
giro
m, I
z
h
2.5. Movimiento arm´onico amortiguado
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas
ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acci´on de una fuerza lineal opuesta al despla-
zamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre est´an presentes fuerzas disipativas que
hacen que la energ´ıa mec´anica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el
movimiento arm´onico est´a amortiguado.
Un tipo habitual de fuerzas de fricci´on son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La
ecuaci´on de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento ser´ıa:
m
d2
x
dt2
= −kx − bv.
Un ejemplo f´ısico de esta situaci´on ser´ıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la
ecuaci´on diferencial anterior se puede obtener que su soluci´on es de la forma,
x(t) = Ae− b
2m
t
cos(ωt + δ),

12. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 12
donde la frecuencia viene dada por:
ω =
k
m
−
b
2m
2 1/2
.
Evidentemente en el l´ımite b = 0 se recupera la soluci´on de un MAS. Exceptuando la expo-
nencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una
frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, adem´as, el factor exponencial hace que
la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es peque˜no la
ecuaci´on anterior da como soluci´on una funci´on de la siguiente forma:
t
x
A Ae -(b/2m) t
x(t)
Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matem´aticamente se produce cuando (b/2m)2
<
k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2
> k/m], ni siquiera se producen os-
cilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la soluci´on matem´atica es:
x(t) = e− b
2m
t
Aeωt
+ Be−ωt
x
t
crítico
sobreamortiguado

13. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 13
Existe adem´as el caso especial en que (b/2m)2
= k/m. En esta situaci´on, adem´as de no
haber oscilaciones la ca´ıda de la amplitud es m´as r´apida que en el caso sobreamortiguado. Se
dice que el amortiguamiento es cr´ıtico. Matem´aticamente la soluci´on es de la forma:
x(t) = e−ωt
(A + Bt) con ω =
k
m
.
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias
Es posible compensar la perdida de energ´ıa de un oscilador amortiguado aplicando una
fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un ni˜no en un columpio para mantenerse
en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las
fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una
fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso m´as com´un las
fuerzas aplicadas son peri´odicas, por ejemplo de la forma,
f = f0 cos ω0t.
La ecuaci´on de movimiento ahora ser´a:
m
d2
x
dt2
= f0 cos ω0t − b
dx
dt
− kx.
La soluci´on de esta ecuaci´on consta de dos partes, la soluci´on transitoria y la soluci´on estaciona-
ria. La transitoria es an´aloga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de
las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa
hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto
tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la soluci´on de la ecuaci´on es estacionaria, ya
no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir as´ı,
x(t) = A cos(ω0t − δ),
donde ω = (k/m)1/2
, ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:



A =
f0
[m2(ω2
0 − ω2)2 + b2ω2]
1/2
tan δ =
bω
m(ω2
0 − ω2)
Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es
fija y variamos la externa, se obtiene una figura as´ı para la amplitud A:

14. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 14
A
ω0ω = ω0
A =f /bω0máx 0
El dr´astico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina re-
sonancia. F´ısicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del
oscilador est´an en fase. Entonces como P = f.v, la potencia transferida es m´axima. Ejemplos
de situaciones con resonancia son los siguientes:
Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para
repetir los impulsos con esa frecuencia.
Cuando un pelot´on de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la
frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.
Un vaso se puede romper si se emite cerca de ´el un sonido de frecuencia parecida a su
frecuencia de resonancia.
Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibraci´on similar
a la de su resonancia.
Sintonizar un aparato de radio o TV no es m´as que buscar la frecuencia con que emite la
fuente para que coincida en resonancia con la del circuito el´ectrico del receptor.
3. Movimiento ondulatorio
3.1. Conceptos b´asicos y tipos de ondas
El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energ´ıa y cantidad
de movimiento de una regi´on a otra del espacio sin que tenga lugar ning´un transporte neto de

15. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 15
materia.
En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas
en dos grandes grupos:
Ondas mec´anicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbaci´on en el
espacio que se propaga a trav´es de un medio material debido a sus propiedades el´asticas.
Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las mol´eculas de
aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en
una cuerda, ondas s´ısmicas, etc.
Ondas electromagn´eticas: Estas ondas no necesitan de ning´un medio material para propa-
garse. Pueden hacerlo en el vac´ıo. La energ´ıa y el momento son transportados por campos
el´ectricos y magn´eticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas
ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisi´on, las ondas de telefon´ıa
m´ovil, los rayos X, etc.
Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay
otro tipo de ondas (que estudiaremos m´as adelante con detalle) que se denominan estacionarias
y que est´an confinadas en una determinada regi´on del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda
de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la regi´on entre los extremos de la cuerda.
Para una onda estacionaria, la energ´ıa que lleva asociada permanece acotada en una cierta
regi´on del espacio.
Cuando una onda se propaga a trav´es de un medio, las part´ıculas de ´este no acompa˜nan su
movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento
de una onda hemos de distinguir dos aspectos:
el movimiento de la onda a trav´es del medio
el movimiento oscilatorio de las propias part´ıculas del medio.

16. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 16
x
x
x
y
y
y
propagación
oscilación
Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relaci´on entre la direcci´on de propa-
gaci´on y la direcci´on en que vibran las part´ıculas del medio.
• Ondas transversales son aquellas en que las part´ıculas oscilan perpendicularmente a la
direcci´on de propagaci´on de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejem-
plos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba
y abajo uno de sus extremos.3
• Ondas longitudinales son aquellas en que las part´ıculas oscilan en la misma direcci´on en
que se propaga la onda.
3
Las ondas electromagn´eticas tambi´en son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna
vibraci´on de las part´ıculas del medio, sino que son los propios campos el´ectrico y magn´etico los que vibran
perpendicularmente entre s´ı y a la direcci´on de propagaci´on.

17. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 17
propagación
oscilación
Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un mue-
lle situado horizontalmente. La compresi´on entre las espiras del muelle, se transmite a
trav´es de ´el debido a sus propiedades el´asticas y pinzamiento y direcci´on de propagaci´on
coinciden. Las ondas sonoras tambi´en son ondas longitudinales. Se pueden entender como
perturbaciones de la posici´on de las part´ıculas del medio (aire) que se propagan por las
interacciones entre unas y otras.
En este tema nos ocuparemos ´unicamente de ondas mec´anicas. Estas ondas requieren tres
elementos b´asicos:
a) Alguna fuente que produzca la perturbaci´on.
b) Un medio que se pueda perturbar.
c) Un mecanismo f´ısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar
la perturbaci´on.
Conceptos b´asicos en cualquier tipo de ondas:
∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante est´an a la misma
distancia de su posici´on de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que
vibran del mismo modo).
∗ Frecuencia: n´umero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbaci´on.
∗ Velocidad de propagaci´on: velocidad con que se transmite la perturbaci´on.
∗ Amplitud: m´axima separaci´on de un punto respecto a su posici´on de equilibrio.

18. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 18
3.2. Pulsos unidimensionales
Un pulso es una onda de extensi´on relativamente corta, interesante desde el punto de vista
te´orico porque permite visualizar el comportamiento gen´erico de cualquier onda. Matem´atica-
mente, un pulso se puede representar como una cierta funci´on, y = f(x), que se mueve con una
cierta velocidad.
Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando
el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de
tiempo.
propagación
Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial,
la curva f(x) se mover´a con la velocidad de propagaci´on del pulso, v. Es decir, matem´aticamente
un pulso que se desplaza hacia la derecha ser´a una funci´on:
y = f(x − vt),
y si se mueve hacia la izquierda:
y = f(x + vt).
La forma funcional f(x ± vt) se denomina funci´on de ondas. De otro modo: y = y(x, t) =
f(x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con
que vibran las part´ıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar
velocidad de fase y se obtiene como:
v =
dx
dt
.

19. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 19
y=f(x)
y
x
y=f(x')=f(x-vt)
y
x'
vt
O
y'
O'O
x
x'
t = 0 t
3.3. Ondas arm´onicas
Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un
tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier
instante de tiempo es una funci´on senoidal y adem´as se propaga con una cierta velocidad. Este
tipo de onda, que tiene como origen una perturbaci´on de tipo arm´onico simple, se denomina
onda arm´onica.
En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:
y = A sen
2π
λ
x .
Amplitud: M´aximo desplazamiento respecto a la posici´on de equilibrio
Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos
adyacentes con la misma fase.
y(x) = y(x + nλ), n = 1, 2, 3, . . .
porque:
y(x + nλ) = A sen
2π
λ
(x + nλ) = A sen
2πx
λ
+ 2nπ = y(x).
Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la
funci´on de onda ser´a:
y(x, t) = A sen
2π
λ
(x − vt) .
Si la onda viaja hacia la izquierda, ser´ıa:
y(x, t) = A sen
2π
λ
(x + vt) .

20. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 20
Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina
periodo:
v =
λ
T
.
y
x
t=0
t
vt
y
x
λ
A
t = 0
t
Luego una manera alternativa de expresar la funci´on de ondas es:
y(x, t) = A sen 2π
x
λ
−
t
T
Esta funci´on muestra el car´acter peri´odico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones
x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posici´on dada, x, y toma el mismo valor en los
instantes: t, t + 2T, t + 3T, . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal
T. Matem´aticamente:
y(x, t) = y(x + nλ, t) −→ λ periodicidad espacial
y(x, t) = y(x, t + nT) −→ T periodicidad temporal

21. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 21
Otras definiciones usuales son las siguientes:
k ≡
2π
λ
−→ n´umero de onda (1/m)
ω ≡
2π
T
−→ frecuencia angular (rad/s)
f ≡
1
T
−→ frecuencia (1/s=Hz) (herzio)
En t´erminos de algunos de estos par´ametros:
y(x, t) = A sen(kx − ωt),
y la velocidad se puede expresar:
v =
ω
k
v = λf.
Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x =
0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqu´e suceder.
Para ello matem´aticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma
m´as general de la funci´on de ondas es:
y(x, t) = A sen(kx − ωt − δ).
El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.
La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite
la onda y su aceleraci´on, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:
vy =
∂y
∂t x=cte
= ωA cos(kx − ωt)
ay =
∂2
y
∂t2
x=cte
= −ω2
A sen(kx − ωt).
Los valores m´aximos son:
vy,max = ωA
ay,max = ω2
A.

22. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 22
4. Problemas
1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a
las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encu´entrese
el periodo y la frecuencia de vibraci´on cuando el autom´ovil pasa por un bache llevando
en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg.
(Respuestas: T = 0,85 s; f = 1,18 Hz )
2. Una part´ıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo
efect´ua media vibraci´on. Calc´ulense:
a) La ecuaci´on que rige el movimiento.
b) La fuerza que lo produce.
c) Los valores de la elongaci´on para los que ser´a m´axima la velocidad.
d) Los valores de la elongaci´on para los que ser´a nula la aceleraci´on.
(Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt; b) f = −mπ2
x; c) x(vmax) = 0; d) x(a = 0) = 0)
3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de ´el se cuelga una masa de 50 g
queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:
a) La constante de recuperaci´on del resorte.
b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa
de 90 g.
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la
trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.
(Respuestas: a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J)
4. El p´endulo de un reloj de pared est´a constituido por una varilla homog´enea de 1 m
de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un peque˜no cilindro macizo y
homog´eneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calc´ulese el radio que debe tener este
cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.
(Respuestas: r = 5,11 cm)

23. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 23
5. Un anillo de 10 cm de radio est´a suspendido de una varilla de modo que puede oscilar
libremente. Determina su periodo de oscilaci´on.
(Respuestas: T = 0,90 s)
6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una
b´ascula de masa 10 kg . El muelle de la b´ascula tiene una constante el´astica de 8 kg/cm.
Suponiendo que despu´es del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calc´ulense:
a) el desplazamiento m´aximo del plato de la b´ascula y b) la ecuaci´on del movimiento del
conjunto cuerpo-plato.
(Respuestas: y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.))
7. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia,
pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa
m y el otro extremo del hilo est´a atado a un resorte vertical cuyo extremo est´a fijo en el
suelo. Calcula el periodo para peque˜nas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g
; k = 1600 N/m.
(Respuestas: T = 0,16 s)
8. La funci´on de ondas de una onda arm´onica que se propaga a trav´es de una cuerda es,
y(x, t) = 0,03 sen(2,2x − 3,5t)
en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, pe-
riodo, n´umero de ondas y velocidad de propagaci´on.
(Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s;
k = 2,2 m−1
; v = 1,6 m/s)
9. Determina la ecuaci´on de una onda arm´onica que se propaga en el sentido negativo del
eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud.
Se sabe adem´as que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posici´on de
equilibrio.
(Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 × 103
t) (S.I.))
10. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por:
y(x) =
a
b + x2
,

24. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 24
donde a = 0,12 m3
y b = 4,0 m2
.
a) Representa gr´aficamente el pulso en ese instante.
b) ¿Cu´al es su funci´on de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con
velocidad de 10 m/s?
c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x?
(Respuestas: b) y(x, t) =
0,12
4 + (x − 10 t)2
(S.I.); c) y(x, t) =
0,12
4 + (x + 10 t)2
(S.I.))