Este documento presenta un resumen de conceptos y métodos relacionados con expresiones algebraicas, factorización y radicación. Incluye secciones sobre sumas, restas, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como productos notables, factorización, fracciones algebraicas y ejercicios resueltos. El objetivo es explicar estos temas matemáticos fundamentales y cómo aplicarlos para simplificar y resolver expresiones y ecuaciones algebraicas.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial ¨Andres Eloy blanco¨
Expresiones algebraicas, factorización y
radicación
Luisana Rojas
C.I: v-31.558.788
Sección: DL0143
Noviembre de año 2023

2. Introducción
Las matemáticas forman parte de nuestra vida por esto es necesario
aprenderlas y comprenderlas para describir y analizar las cantidades, el
espacio y las formas.
El álgebra es una herramienta útil en la vida cotidiana de toda persona, ya que
sin ella no sabríamos muchas de las cosas que pasan a nuestro rededor.
La factorización se ha definido como el proceso reciproco de la
multiplicación, que tiene como finalidad descomponer un polinomio en un
producto de otros polinomios de grado menor, de una manera similar a como
expresamos un numero entero en un producto de otros enteros.
La aplicación de la factorización algebraica es muy importante en diversos
contenidos de matemáticas: transformación y simplificación de expresiones,
métodos de derivación e integración, además es esencial en la resolución de
ecuaciones y desigualdades, entre otros.

3. Índice:
• Introducción
• Suma, resta y valor numérico de expresión algebraicas
• Multiplicación y división de expresión algebraicas
Productos notables de expresión algebraica
• Factorización por productos notables
Factorización por resolvente cuadrática y por cambio de variable
• Simplificación de fracciones algebraicas
Suma y resta de fracciones algebraicas
• Multiplicación y división de fracciones algebraicas
• Ejercicios resueltos
• Bibliografía

4. Sumas:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se
deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno solo. Se puede
aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
Resta:
Es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es
encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma el sustraendo (el
elemento que indica cuanto hay que restar), da como resultado el minuendo (el
elemento que disminuye la operación).
Valor numérico:
Es el número que resulta sustituir las variables de la dicha expresión por
valores concretos y completar las operaciones. Una expresión algebraica
puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que
se asigne a cada unas de las variables de las mismas.
Multiplicación:
Para realizar esta operación se debe aplicar la regla de los signos, los
coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la
literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada
literal con su correspondiente exponente.

5. División
En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los
demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si
esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el
numerador como en el denominador, si el exponente del numerador es el
mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le resta el
exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en
el denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Productos notables con expresión algebraica
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista;
es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Factorización por productos notables
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una
suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico. También se
puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
Factorización por resolvente cuadrática
Y por cambio de variable.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en
cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un
polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno
de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar
soluciones de una ecuación.

6. Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el
denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de igual manera que con
las fracciones de aritmética: se encuentra el mínimo común múltiplo (M.C.M)
y se realizan las operaciones de forma similar.
Suma y resta de igual denominador: Para sumar o restar fracciones
algebraicas con igual denominador se escribe el mismo denominador y se
suman los numeradores
Suma y resta con diferente denominador: Para sumar o restar dos fracciones
algebraicas con distinto denominador se multiplican los denominadores entre
si, luego los numeradores de cada fracción se multiplican por los
denominadores de la otra fracción. En el caso de que cada uno de los
denominadores tenga factores iguales, que no es puedan cancelar con factores
de sus respectivos numeradores, la forma más rápida de realizar la operación
es encontrar el mínimo común múltiplo entre los denominadores. Para ello, se
seleccionan los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

7. Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplica numerador con
numerador y denominador con denominador de cada una de ellas. Para no
manipular expresiones tan largas, si es posible se debe simplificar cada una de
las fracciones antes de efectuar los productos. Como en las sumas y las restas,
hay que tener en cuenta los ceros (0) en los denominadores.
Para dividir fracciones algebraicas se intercambia el numerador y el
denominador de la fracción que este a la derecha del signo de división y se
procede como en la multiplicación. Como en las operaciones de suma, resta y
multiplicación, para realizar la operación hay que tener en cuenta los ceros en
los denominadores.
Factorización de método de Ruffini
Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes
pasos:
1. Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún
término dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe
estar completo.
2. Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo
tiene sacar factor común hasta conseguir el término independiente.
3. Buscar todos los divisores del término independiente.
4. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
5. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior
izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección
del divisor debemos tener presente que los número que vamos
obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el divisor y luego el
resultado de la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los
coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe ser un número
que haga que al final nos de resto cero. Nota: Una manera de saber si
un número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese número como el
valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y
se pasa al siguiente divisor.
6. Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos
coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta
que no exista ninguna raíz que haga que nos de resto cero (0).

8. Suma y resta de radicales
Para realizar sumar y restar radicales semejantes, lo que hacemos es mantener
el radical semejante y sumar y restar los coeficientes (número que está
multiplicando a la raíz).
Multiplicación y división de radicales
Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo
índice. Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice
común. El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único
radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los
radicandos
Ejercicios resueltos
Sumas con expresión algebraica
• 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 =( 1+2+3+4+5) 𝑥
=15𝑥
• 5𝑥2
+ 3𝑦 + 8
3𝑥2
− 9𝑦 + 1
8𝑥2
− 6𝑦 + 9

9. Restas con expresión algebraica
• −5𝑥2
𝑦 − 8𝑥3
+3𝑥𝑦2
(−5𝑥2
𝑦 − 8𝑥3
+3𝑥𝑦2
)
−10𝑥2
𝑦 − 16𝑥3
+ 6𝑥𝑦2
−10𝑥2
𝑦 − 16𝑥3
+ 6𝑥𝑦2
+5𝑥2
𝑦 + 8𝑥3
− 3𝑥𝑦2
−5𝑥2
𝑦 − 8𝑥3
−3𝑥𝑦2
• 5𝑥𝑦2
+ 6𝑦 + 8𝑤
−(5𝑥𝑦2
+ 3𝑦)
0𝑥𝑦2
+ 9𝑦 + 8𝑤
0𝑥𝑦2
+ 9𝑦 + 8𝑤
−(5𝑥𝑦2
− 3𝑦)
5𝑥𝑦2
− 6𝑦 + 8𝑤
Valor numérico con expresión algebraica
• 𝐹(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 2
𝑀 = 𝑓(𝑓(3) − 𝑓(2) + 1)
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 2
𝑓(3) = 32
− 2(3) + 2 = 5
𝑓(2) = 22
− 2(2) + 2 = 2
𝑀 = 𝑓(5 − 2) + 1

10. 𝑀 = 𝑓(3) + 1
𝑀 = 5 + 1
𝑀 = 6
• 𝑓(𝑥 + 4) = 𝑥2
+ 4𝑥 − 5
𝑓(𝑥 − 4 + 4) = (𝑥 − 4)2
+ 4(𝑥 − 4) − 5
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 8𝑥 + 16 + 4𝑥 − 16 − 5
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 − 5
Multiplicación con expresión algebraica
• Multiplicar:(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 𝑥. 𝑥 + 𝑥. 4 + (−3). 𝑥 + (−3). 4
=𝑥2
+ 4𝑥 + (−3𝑥) + (−12)
=𝑥2
+ 4𝑥 − 3𝑥 − 12
=𝑥2
+ 𝑥 − 12
• 𝑥2
+ 5𝑥 + 7 multiplicar 4𝑥2
+ 3𝑥 + 2
𝑥2
+ 5𝑥 + 7
4𝑥2
+ 3𝑥 + 2
4𝑥2
+ 20𝑥3
+ 28𝑥2
+ 3𝑥3
+ 15𝑥2
+ 21𝑥
+ 2𝑥2
+ 10𝑥 + 14
4𝑥4
+ 23𝑥3
+ 45𝑥2
+ 31𝑥 + 14

11. División con expresión algebraica
• Dividir: 14𝑥20
+ 21𝑥16
+ 28𝑥10
entre 7𝑥8
14𝑥20
+ 21𝑥16
+ 28𝑥10
= 14𝑥20
+ 21𝑥16
+ 28𝑥10
7𝑥8
7𝑥8
7𝑥8
7𝑥8
= 14 𝑥20−8
+ 21 𝑥16−8
+ 28 𝑥10−8
7 7 7
= 2𝑥12
+ 3𝑥8
+ 4𝑥2
• Dividir: 𝑥3
− 5𝑥2
+ 7𝑥 + 2 entre 𝑥 − 3
𝑥3
− 5𝑥2
+ 7𝑥 + 2 𝑥 − 3
−𝑥3
+ 3𝑥2
𝑥2
− 2𝑥 + 1
−2𝑥2
+ 7𝑥
+2𝑥2
− 6𝑥
+𝑥 + 2
−𝑥 + 3
5
Productos notables con expresión algebraica
• (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) = 𝒙𝟐
− 𝟒
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂. 𝒂 + 𝒂(−𝒃) + 𝒃. 𝒂 + 𝒃. (−𝒃)
= 𝒂𝟐
− 𝒂. 𝒃 + 𝒃. 𝒂 − 𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐

12. Factorización por producto notable
• (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2
− 𝑏2
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑥2
− 9
𝑥4
− 25
𝑥2
− 36 =𝑥2
− 62
= (𝑥 + 6)(𝑥 − 6)
• 49 − 4𝑦10
49 − 4𝑦10
= 72
− 22(𝑦5)2
= 72
− (2𝑦5)2
= (7 + 2y5)(7 − 2y5
)
Factorización por resolvente
Cuadrática y por cambio de variable
• 𝒂𝒙𝟒
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
𝒂𝒕𝟐
+ 𝒃𝒕 + 𝒄 = 𝟎
𝒙 = ±√𝒕
𝒙𝟒
− 𝟏𝟑𝒙𝟐
+ 𝟑𝟔 = 𝟎
𝒙𝟐
= 𝒕
𝒕𝟐
= 𝟏𝟑𝒕 + 𝟑𝟔 = 𝟎
𝑡1 =
18
2
= 9
𝒕 =
𝟏𝟑 ± √𝟏𝟔𝟗 − 𝟏𝟒𝟒
𝟐
=
𝟏𝟑 ± 𝟓
𝟐
=
𝒕𝟏 = 𝟖
𝟐
=𝟒
𝒙𝟏 =𝟑
𝒙𝟐
= 𝟗 𝒙 = ±√𝟗 =
𝒙𝟐= −𝟑
2

13. 𝒙𝟐
= 𝟒 𝒙 = ±√𝟒 =
-2
𝒂𝒙𝟔
+ 𝒃𝒙𝟑
+ 𝒄 = 𝟎
𝒂𝒙𝟖
+ 𝒃𝒙𝟒
+ 𝒄 = 𝟎
𝒂𝒙𝟏𝟎
+ 𝒃𝒙𝟓
+ 𝒄 = 𝟎
𝒙𝟔
− 𝟕𝒙𝟑
+ 𝟔 = 𝟎
𝒙𝟑
= 𝒕
𝒕𝟐
− 𝟕𝒕 + 𝟔 = 𝟎

14. Bibliografía
• https://ele.chaco.gob.ar/mod/book/view.php?id=79471&chapteri
d=2497#:~:text=Una%20suma%20algebraica%20es%20una,su
ma%20de%20los%20n%C3%BAmeros%20negativos.
• https://definicion.de/resta-algebraica/
• https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/plu
ginfile.php/2556/mod_imscp/content/1/valor_numrico_de_una_e
xpresin_algebraica.html
• http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/153_
multiplicacin_de_expresiones_algebraicas.html#:~:text=Para%2
0esta%20operaci%C3%B3n%20se%20debe,literal%20con%20
su%20correspondiente%20exponente.
• https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Bachillerato/DGEE_
DGTIC_IMATE/recursos/2_123/index.html#:~:text=La%20divi
si%C3%B3n%20algebraica%20es%20la,contrarios%2C%20el
%20cociente%20es%20negativo.
• https://definicion.de/productos-
notables/#:~:text=Una%20expresi%C3%B3n%20algebraica%2
0que%20aparece,una%20clase%20de%20expresi%C3%B3n%
20algebraica.
• https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/calculo/cambi
o-variable.html
• https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-1-simplificacion-de-
fracciones-algebraicas/
• https://repository.eafit.edu.co/bitstream/handle/10784/9766/talle
r_operaciones_fracciones_algebraicas.pdf?sequence=2&isAllowe
d=y#:~:text=Para%20sumar%20o%20restar%20fracciones,las
%20operaciones%20de%20forma%20similar.&text=Para%20s
umar%20o%20restar%20fracciones%20algebraicas%20con%2
0igual%20denominador%20se,y%20se%20suman%20los%20n
umeradores.