La función Q(x) está definida a trozos por su representación gráfica. Tiene ramas asintóticas verticales en x = -3, x = 0 y x = 6, y ramas asintóticas por la izquierda en x = -8. Presenta máximos relativos en (3,2) y (-5.5,2) y mínimos relativos en (8,-3). El dominio de Q(x) son todos los números reales excepto -8, -3, 0 y 6. Se pide calcular varios límites laterales de Q(x) y determinar si existen

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 Abel Martín www.classpad.tk www.abelmartin.tk www.aulamatematica.tk 1
2º Matemáticas Aplicadas a las CCSS Fecha:
1
FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS... LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS DDDEEE
FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS... CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD...
AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS
NOTA:
CUESTIONES
01 Sea la función Q(x) definida a trozos por la siguiente representación gráfica 2
Ptos
(a) Indica el Dominio de Q(x)
D(Q)={ x∈ℜ / x ≠ – 8 ; x ≠ - 3 ; x ≠ 0;
x ≠ 6}
D(Q)={ (– ∞, – 8) ∨ (– 8, - 3) ∨
∨ (- 3, 0) ∨ (0, 6)∨ (6, +∞) } 0.2
(b) ¿Cuánto vale Q( 3)?
2 0.1
1- 7 - 4 5
3
(c) Ramas asintóticas verticales:
x = -3 ; x = 0 ; x = 6 ;
Ramas asintóticas por la izquierda:
x = 8
Ramas asintóticas por la derecha:
x = – 8 0.1
(d) Máximos relativos (3, 2) 0.1
(e) Mínimos relativos (-5.5, 2) ; (8, - 3) 0.1
(f) Intervalos de concavidad hacia arriba (Cóncava) (– 8, – 3) (- 3,- 2) (7, 8)
Intervalos de convexidad (concavidad hacia abajo) (– 2, 0) ; (0, 3) ; (3, 6) ; (6, 7)
0.3
(g) Puntos de inflexión: (-2, 4) ; (7, -3.5) 0.1
Calcula el valor de los siguientes límites:
h) )(
8
xQLím
x −→
i) )(
3
xQLím
x +
−→
j) )(
0
xQLím
x→
k) )(
3
xQLím
x→
No existe + ∞ - ∞ - 3
0.1 puntos 0.1 puntos 0.1 puntos 0.1 puntos
l) )(xQLím
x ∞−→
m) )(
8
xQLím
x +
→
n) )(
8
xQLím
x +
−→
ñ) )(
6
xQLím
x→
- ∞ -3 + ∞ - ∞
0.2 puntos 0.2 puntos 0.1 puntos 0.1 puntos
02
Calcula el valor de los siguientes límites en una hoja aparte, resolviendo las
indeterminaciones en los casos que sea necesario, poniendo las respuestas en el lugar
indicado:
2
Ptos
EJERCICIO
Indeterminación
¿Sí o no?
Tipo
Solución
final:
Puntos
(A)
9
96
2
2
3 −
+−
→ x
xx
Lím
x
Sí
0
0
0 0.3
(B) )2( 23
xxxLím
x
+−
∞+→
Sí ∞ - ∞ +∞ 0.1
(C)
1
1
1 −→ x
Lím
x
Sí k/0 No existe 0.3

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(D) 





+
−
+
∞+→
6
7
1
x
x
Lím
x
Sí
∞
∞
7 0.2
(E)
x
Lím
x
9
0→
Sí k/0 No existe 0.3
(F)
x
x
Lím
x +
−
∞+→ 1
55
Sí
∞
∞
+ ∞ 0.3
(G)
1
14
1 +
−
−→ x
x
Lím
x
Sí
0
0
- 1 0.3
(H)
3
92
3 −
−
−→ x
xx
Lím
x
No - - 1 0.1
(I) )74( 23
xxLím
x
−
∞+→
Sí ∞ - ∞ + ∞ 0.1
La resolución de los límites, tendrán UN VALOR DISTINTO, dependiendo de la dificultad de
resolución (desde 0.1 hasta 0.4 puntos cada uno)
03
Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad en base a los beneficios que espera obtener
dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros)
y "x" los beneficios esperados (en miles de euros):







>
+
+
≤≤−+
=
9
10
540075
3
90
6
26
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
xG
(a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio? (1.5 ptos). ¿Los gastos en
publicidad serán sensiblemente distintos si los beneficios son "ligeramente" inferiores o
superiores a 9000€?.(0.5 ptos.)
(b) ¿Cuánto se invertirá en publicidad cuando los beneficios sean de 9000€?. (0.5 ptos)
(c) Por muchos beneficios que espere, ¿el gasto llegará a ser inferior a 400€?. (1 pto)
(d) Haz un esbozo de la gráfica de la función (0.5 ptos)
4
Ptos
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
x ≡ "Beneficios esperados en miles de euros".
G(x): Gasto en publicidad, en cientos de euros.
Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad la
estudiaremos en sus intervalos correspondientes:
(A) Intervalo 0 ≤ x < 9
6 + 2x -
6
2
x
Es continua ya que se trata de una función polinómica sencilla.
(B) Intervalo x > 9
2
10
540075
3
x
x +
+ 10x2
= 0 x = 0
Es continua puesto que sólo sería discontinua para x = 0 y este valor cae fuera del intervalo que
estamos estudiando.
(C) x = 9
Diremos que la función real G(x) es continua en x = 9 cuando verifica )(
9
xGLím
x→
= G(9), es
decir, si se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe )(
9
xGLím
x→
)(
9
xGLím
x +
→
= 




 +
++
→ 29 10
540075
3
x
x
Lím
x
= 10.5