conceptosyejercicioresuelto

1. ECUACIÓN DE CAUCHY-
EULER
SOFIA NARVAEZ

2. TEMARIO
• Objetivos
• Historia
• Agustin Cauchy
• Lenohard Euler
• Resolución de ecuaciones diferenciales de orden n
• Ecuaciones de orden n
• Ecuación Cauchy-Euler
• Método de solución
• Ejercicio resuelto
• Referencias bibliográficas

3. OBJETIVO
S

4. OBJETIVO GENERAL
• Aprender a utilizar las ecuaciones diferenciales como una
herramienta que posibilite la solución de problemas.
OBJETIVO ESPECÍFICOS
• Aprender los conceptos fundamentales de la ecuacion de Cauchy-
Euler
• Efectuar la reoslución de ecuaciones diferenciales a partir de la
ecuación de Cauchy-Euler

5. HISTORI
A

6. • Agustín Louis Cauchy nació en 1789 en Paris,
Francia y murió en 1857 en Sceaux, Francia
• Lagrange se hizo cargo de la enseñanza
matemática del joven.
• Fue pionero en el análisis y la teoría de
permutación de grupos, además, logró precisar
los conceptos de función, de límite y de
continuidad
• Algunos términos matemáticos llevan su
nombre:
• El teorema integral de Cauchy, en la teoría de las
funciones complejas.
• El teorema de existencia de Cauchy-Kovalevskaya
para la solución de ecuaciones en derivadas
parciales.
• Las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
LEONHARD
EULER

7. LEONHARD
EULER
• Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707
en Basilea, Suiza y murió el 18 de septiembre
de 1783 en San Petersburgo, Rusia.
• Fue enviado a la Universidad de Basilea,
donde Johann Bernoulli fue su profesor. A los
17 años de edad se graduó Doctor.
• Su libro Mecánica (1736-1737), presenta la
mecánica newtoniana en forma de análisis
matemático por primera vez.
• Se le deben notaciones en matemática:
• f(x) para una función (1734).
• e para la base de los logaritmos naturales
(1727).
• i para la raiz cuadrada de -1 (1777).
• La notación abreviada de sumatorios (1755).

8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN n

9. Una ecuación diferencial lineal de orden n
es una expresión de la forma
an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + ... + a1(x)y’ + a0(x)y =
b(x)
donde an(x), ..., a0(x) y b(x) son funciones reales de variable real definidas
sobre un intervalo abierto (a, b). En el caso de que n = 1 tenemos la ecuación
lineal de orden uno.
REPASO

10. • La ecuación es homogénea si q(x)=0 para todo x ∈ (a,
b). En caso contrario ésta es no homogénea.
• Un ejemplo de ecuación homogénea es:
y’’’ + xy’’ + x2y = 0,
• mientras que sería no homogénea la ecuación:
y’’’ + xy’’ + x2y = log x.
• Toda solución de la ecuación (5.2) es de la forma:
y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn + yp

11. ECUACION CAUCHY-EULER
• Una ecuación diferencial lineal de la forma
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑦 = 𝑔 𝑥 ,
donde los coeficientes an, an-1, . . . , a0 son constantes, se conoce
como ecuación de Cauchy-Euler.

12. MÉTODO DE SOLUCIÓN
• Se prueba una solución de la forma y=xm, donde m es un valor
que se debe determinar.
• Cuando sustituimos y=xm, la ecuación de segundo orden se
transforma en
𝑎𝑥2 𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2 + 𝑏𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑐𝑦 = 𝑎𝑚 𝑚 − 1 xm+bmxm+cxm=(am(m-1)+bm+c) xm

13. EJERCICIO RESUELTO
• 2𝑥2 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0
Establecer condiciones: 𝑥 > 0
y = 𝑥 𝑟 ; 𝑦′ = 𝑟𝑥 𝑟−1; 𝑦′′ = 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟−2
• Reemplazar y multiplicar
2𝑥2
𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟−2
− 𝑥𝑟𝑥 𝑟−1
− 2𝑥 𝑟
= 0
2𝑟2 − 2𝑟 𝑥 𝑟 − 𝑟𝑥 𝑟 − 2𝑥 𝑟 = 0
2𝑟2 − 2𝑟 − 𝑟 − 2 𝑥 𝑟 = 0
2𝑟2 − 2𝑟 − 𝑟 − 2 = 0
2𝑟2
− 3𝑟 − 2 = 0

14. • 2𝑟2 − 3𝑟 − 2 = 0
• Obtener raíces
𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑟 =
−3± 9−4(2)(−2)
2(2)
r1= 2
r2= -1/2
• Entonces:
y1 = 𝑥2
y2 = 𝑥−1/2

15. • SOLUCION
Para 𝑥 > 0, se obtiene la siguiente ecuacion general:
𝑦 = 𝐶1 𝑥2
+ 𝐶2 𝑥−1/2
ó
𝑦 = 𝐶1 𝑥2
+
𝐶1
𝑥

16. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

17. • Aznar, E. (2007). Biografia de Agustin Cauchy. Universidad de Granada. Departamento de
Álgebra. Recuperado desde: https://www.ugr.es/~eaznar/euler.htm
• Aznar, E. (2007). Biografia de Leonhard Euler. Universidad de Granada. Departamento de
Álgebra. Recuperado desde: https://www.ugr.es/~eaznar/euler.htm
• Cánovas, J. (2004). Apuntes de ecuaciones diferenciales. Universidad de Cratagena. Recuperado
desde: http://www.dmae.upct.es/~jose/ayedo/temas.pdf
• Zill, Dennis G.(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición.