3. Límite de un cociente
Es el cociente de los límites,
siempre que el límite del
denominador no sea 0.
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
= 𝒙→𝒂
𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)
𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)
𝒙→𝒂
 Ejemplo:
2
2𝑥 + 𝑥 − 3
lim
=
3+4
𝑥→1
𝑥
lim (2𝑥 2 + 𝑥 − 3)
𝑥→1
lim (𝑥 3 + 4)
𝑥→1
2+1−3 0
=
= =0
1+4
5

4. Límite de una potencia
Para cualquier entero positivo n
 Ejemplo:
lim 𝑥 2 = 62 = 36
𝑥→6
𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒏 = 𝒂 𝒏
𝒙→𝒂

5. Límite de una función polinómica
Si f es una función polinomial,
entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂
𝒙→𝒂
 Ejemplo:
Sustituyendo -3 por x ya que x3 + 4x2 – 7 es una función
polinomial:
lim ( 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 7) = −3 3 + 4 −3 2 − 7 = 2
𝑥→ −3
lim 2 ℎ − 1
ℎ→ 3
= 2( 3 − 1) = 4

6. Límite de una raíz
Podemos determinar el límite de
una función racional cuando x→
a por sustitución directa, con tal
que el denominador sea distinto
de cero en a.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒏
𝒇 𝒙 =
Si n es par, requerimos que lim 𝑓(𝑥) sea positivo
𝑥→𝑎
 Ejemplo:
lim
𝑡→4
𝑡2 + 1 =
lim 𝑡 2 + 1 =
𝑡→4
17
𝒏
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂

7. Límite en el infinito
Donde p > 0
 Ejemplo:
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒑 = 𝟎
𝒙→∞ 𝒙
4𝑥 2 + 5
4𝑥 2 5
+ 2
4+
4𝑥 2 + 5
𝑥2
𝑥2
𝑥 = lim
lim 2
= lim
= lim 2
𝑥→∞ 2𝑥 + 1
𝑥→∞ 2𝑥 2 + 1
𝑥→∞ 2𝑥
𝑥→∞
1
2+
+ 2
𝑥2
𝑥2
𝑥
1
𝑥→∞ 𝑥 𝑝
Como lim
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 > 0,
4𝑥 2 + 5 4 + 5(0) 4
lim 2
=
= =2
𝑥→∞ 2𝑥 + 1
2+0
2
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒑 = 𝟎
𝒙→ −∞ 𝒙
1
5
lim 4 + 5 . lim 2
𝑥 2 = 𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑥
1
1
lim 2 + lim 2
𝑥2
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑥

9. Derivada como razón de cambio
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
 Ejemplo:

10. Reglas de diferenciación
Derivada de una constante
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
Ejemplo:
𝑑
3 =0
𝑑𝑥
𝒅
𝒄 = 𝟎
𝒅𝒙

11. Derivada de la potencia base
Si n es cualquier número real,
entonces:
𝒅
𝒙 𝒏 = 𝒏𝒙 𝒏−𝟏
𝒅𝒙
Siempre que xn-1 este definida. Esto es, la derivada de una
potencia constante de x es igual al exponente multiplicado
por la x elevada a una potencia menor en una unidad que la
de la potencia dada.
 Ejemplo:
𝒅
𝒙 𝟐 = 𝟐𝒙 𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙
𝒅𝒙

12. Derivada del factor constante
Si f es una función diferenciable y c
una constante, entonces cf (x) es
diferenciable y
𝒅
𝒄𝒇 𝒙
𝒅𝒙
= 𝒄𝒇′(𝒙)
Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a
la constante por la derivada de la función.
 Ejemplo:
𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙 𝟑
𝒅
𝒅
𝟑 = 𝟓
𝟓𝒙
𝒙𝟑
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟓 𝟑𝒙 𝟑−𝟏 = 𝟏𝟓𝒙 𝟐

13. Derivada de la suma o resta
Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son
diferenciables
𝐝
𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′(𝒙)
𝐝𝐱
 Ejemplo:
𝐹 𝑥 = 3𝑥 5 +
𝐹
′ 𝑥
𝐹′
𝑥
𝐹′ 𝑥
𝐝
𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)
𝐝𝐱
𝑥
𝑑
𝑑 1/2
5
=
3𝑥 +
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑 5
𝑑 1/2
=3
𝑥 +
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=3
5𝑥 4
1 −1/2
1
4+
+ 𝑥
= 15𝑥
2
2 𝑥

14. Regla del producto
Esto es la derivada del producto de dos funciones es la primera
función por la derivada de la segunda más la segunda función
por la derivada de la primera.
𝒅
𝒇 𝒙 𝐠 𝒙
𝒅𝒙
 Ejemplo:
= 𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 + 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
𝐹 𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 (4𝑥 + 5)
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝐹′
𝑥
= 𝑥 2 + 3𝑥
𝐹′
𝑥
= 𝑥 2 + 3𝑥 (4) + (4𝑥 + 5) 2𝑥 + 3𝑥
𝐹′
𝑥
= 12𝑥 2 + 34 + 15
+ (4𝑥 + 5)
𝑥 2 + 3𝑥

15. Derivada del cociente
La derivada del cociente de dos funciones es el denominador
por la derivada del numerador, menos el numerador por la
derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado
del denominador. Siempre que g (x)≠0
𝒅 𝒇(𝒙)
𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 − 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
=
𝒅𝒙 𝐠(𝒙)
𝐠 𝒙 𝟐

16.  Ejemplo:
4𝑥 2 + 3
𝐹 𝑥 =
2𝑥 − 1
𝐹′
𝐹′
𝐹′
2𝑥 − 1 (8𝑥) − 4𝑥 2 + 3 2
=
(2𝑥 − 1)2
𝑥
𝑥
𝑑
𝑑
2 + 3 − 4𝑥 2 + 3
2𝑥 − 1
4𝑥
2𝑥 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
(2𝑥 − 1)2
𝑥
8𝑥 2 − 8𝑥 − 6 2(4𝑥 2 − 4𝑥 − 3)
=
=
2
(2𝑥 − 1)
(2𝑥 − 1)2

17. Derivada de la cadena
Si y es una función diferenciable de u y u
es una función diferenciable de x,
entonces y es una función diferenciable
de x.
𝒅𝒚
𝒅𝒚 𝒅𝒖
=
.
𝒅𝒙
𝒅𝒖 𝒅𝒙
 Ejemplo:
Si 𝑦 = 2𝑢2 − 3𝑢 − 2 y
𝑢 = 𝑥 2 + 4 , encontrar dy/dx.
𝑑𝑦
𝑑
𝑑 2
2
=
2𝑢 − 3𝑢 − 2 .
𝑥 +4
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥

18. 𝑑𝑦
= 4𝑢 − 3 . 2𝑥
𝑑𝑥
Podemos escribir la respuesta sólo en términos de x reemplazando u
por 𝑥 2 + 4
𝑑𝑦
= 4 𝑥 2 + 4 − 3 2𝑥 = 4𝑥 2 + 13 2𝑥
𝑑𝑥
= 8𝑥 3 + 26𝑥.

19. Derivada de la potencia base u
Si u es una función
diferenciable de x y n es
cualquier número real,
entonces:
 Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒖 𝒙
𝒏
= 𝒏 𝒖 𝒙
𝒏−𝟏
𝒖′ 𝒙

20. Derivadas de funciones trigonométricas
𝒅
𝒅𝒗
𝒔𝒆𝒏 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝟐 𝒗
𝒄𝒐𝒕 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝒄𝒐𝒔 𝒗 = −𝒔𝒆𝒏 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝒔𝒆𝒄 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒕𝒂𝒏 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝟐 𝒗
𝒕𝒂𝒏 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝒄𝒔𝒄 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒄𝒐𝒕 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙

21.  Ejemplo:

22. Derivada de funciones logarítmicas
𝒅
𝟏
𝐥𝐧 𝒙 =
𝒅𝒙
𝒙
 Ejemplos:
𝒅
𝟏 𝒅𝒖
𝐥𝐧 𝒖 = .
𝒅𝒙
𝒖 𝒅𝒙

23. Derivada de funciones exponenciales
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
 Ejemplo:

24. Diferenciación implícita
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
 Ejemplo:

25. Diferenciación logarítmica
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
 Ejemplo:

26. Derivadas de orden superior
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
 Ejemplo: