Una función lineal es una función polinómica de primer grado cuya representación gráfica es una línea recta. Se puede expresar como f(x) = m x + b, donde m es la pendiente y b es el punto de corte con el eje y. Las funciones lineales relacionan de manera proporcional un cambio en la variable independiente x con el cambio correspondiente en la variable dependiente y.

1. Función lineal

2. O En geometría y el álgebra elemental,
una función lineal es una función
polinómica de primer grado; es decir
una función cuya representación en
el plano cartesiano es una línea recta.
Esta función se puede escribir como:
f(x) = m x + b ,

3. O donde m y b son constantes reales y x es
una variable real. La constante m es
la pendiente de la recta, y b es el punto
de corte de la recta con el eje y. Si se
modifica m entonces se modifica la
inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia
arriba o hacia abajo.

4. O Algunos autores llaman función lineal a aquella
con b= 0 de la forma:
f(x) = m x ;
O mientras que llaman función afín a la que tiene la
forma:
f(x) = m x + b ;
O cuando b es distinto de cero, dado que la primera
(b=0) es un ejemplo también de transformación
lineal, en el contexto de álgebra lineal.

5. Ejemplos:
O Una función lineal de una única variable
dependiente x es de la forma:
O que se conoce como ecuación de la
recta en el plano x,y.
O En la figura se ven dos rectas, que
corresponden a las ecuaciones lineales
siguientes:

6. O En esta recta el parámetro m es igual a
1/2 (correspondiente al valor de
la pendiente de la recta), es decir, cuando
aumentamos x en una unidad
entonces y aumenta en 1/2 unidad, el
valor de b es 2, luego la recta corta el
eje y en el puntoy= 2.

7. O En la ecuación:
O la pendiente de la recta es el
parámetro m= -1, es decir, cuando el valor
de x aumenta en una unidad, el valor
de ydisminuye en una unidad; el corte con
el eje y es en y= 5, dado que el valor
de b= 5.
O En una recta el valor de m se
corresponde al ángulo de inclinación de
la recta con el eje de las x a través de la
expresión:

8. Funciones lineales de varias
variables
O Las funciones lineales de varias variables admiten
también interpretaciones geométricas. Así una
función lineal de dos variables de la forma
f(x,y) = a_1 x + a_2 y ,
O representa un plano y una función
f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n
,
O representa una hipersuperficie plana de dimensión
n y pasa por el origen de coordenadas en un
espacio (n+1)-dimensional

9. Ejemplo gráfico: