1. Matemática 5to. Grado
COMPLEMENTANDO MI APRENDIZAJE
TEMA: REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE.
Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier
magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer
cuadrante.
Para reducir al primer cuadrante, se presentan dos casos:
A. RAZONES TRIGOMETRICAS DE UN ÁNGULO  ; 90"   360
Sea  un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal se encuentra en el II , III y IV
cuadrante, tal como se muestran en las figuras:
En estos casos, se debe reducir a un ángulo en posición normal cuyo lado terminal esta en el
primer cuadrante. Este ángulo se llama ángulo referencial, que lo denotamos por: “  R ”
Y Y
Y P
P
P’
P
 R R
M’
 X X
 R  M   M
X
M’ M
P’
P’
Si el lado terminal de  se encuentra en el :
En el segundo cuadrante: = ( 180° - )=
En el tercer cuadrante: = ( - 180° ) =
En el cuarto cuadrante: = ( 360° - ) =
CONCLUSIÖN: Una razón trigonométrica cualquiera de  es la misma que la función del
ángulo referencial, cuyo signo esta determinado por el cuadrante donde se
encuentra el lado Terminal.
2
Ejemplo: a) sen 135   sen ( 180  - 135  )  sen 45  
2
b) tan 240   tan ( 240  - 180  )  tan 60   3
2 3
c) csc 300   csc (360  - 300  )  - csc 60   -
3
d) cot 135° =…………………………………………………..
e) sec 233°=……………………………………………………
f) tan 315°=……………………………………………………

2. Matemática 5to. Grado
B. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO  , SI   360 .
Cuando la medida de un ángulo  es mayor que 360° se divide dicha medida entre 360° y
el residuo de esta división es el ángulo coterminal con  , cuyo lado terminal puede estar en
cualquiera de los cuadrantes.
De tal manera, que si  es el ángulo dado, “n” el número de vueltas y  el residuo, así:
 360° De donde:   ( n . 360   )
 n
Ejemplo: a)
sen 1950° = sen 150° 1950° 360°
= sen 30° 150° 5
1
=
2
b) cot 1740° = cot 300° 1740° 360°
= - cot 60° 300° 4
= - 3
CONCLUSION: Las razones trigonométricas de un ángulo  mayor que 360° , son las
mismas que la de los ángulos  que es el residuo de   360
TEMA: RAZONES TRIGONOÉTRICAS DE UN ÁNGULO NEGATIVO.
Sean los ángulos  y -  en posición normal, cuyos lados finales interceptan a la
circunferencia de radio “r” en los puntos P(x;y) y P' ( x1 ; y1 ) y se tiene que OMP =
OMP’, entonces   
y Luego las razones trigonométricas de (-  )
son:
-y y
P(x;y) sen (- )   -  - sen 
r r
r y x
 x M cos (- )   cos
X r
O - -y y
r
-y tan (-  )   -  - tan 
x x
'
P ( x1 ; y1 ) x x
cot (-  )   -  - cot 
-y y
r
sec (-  )   sec 
x
r r
csc (-  )   -  - csc 
-y y
CONCLUSIÓN. Las razones trigonométricas de un ángulo negativo, son positivas el coseno y la
secante, siendo el resto negativas.
1
Ejemplo: a) sen ( - 30° ) = - sen 30° = -
2
b) cos ( - 90° ) = cos 90° = 0

3. Matemática 5to. Grado
OTRAS FORMAS DE REDUCCION
En la reducción al primer cuadrante, cuando usamos las fronteras horizontales (0°, 180° y 360° )
se suman o se restan el ángulo agudo “  ”, si usamos las fronteras verticales (90° y 270° lo que
se suman o se restan es el complemento de “  ” (co función)
Para reducir este tipo de expresiones, lo hacemos asi:
Y 1. De acuerdo a cada cuadrante se determina el signo.
2. De acuerdo a lo analizado, tendremos el esquema:
90°+  90°- 
180°-  360°+  180°  
R.T. 360°   = R.T. 
X
180°+  360°- 
270°-  270°+  signo
90°  
R.T. =
270°  
. R.T. condición
Ejemplo: Simplificar:
Sabemos que: tan ( 180° - ) = tan ; cos ( 270° - ) = - sen
cot ( 270° + ) = - tan ; sen ( 360° - ) = - sen
Reemplazando valores tenemos: = -1
PRACTIQUEMOS VERIFICANDO MI APRENDIZAJE
I. Hallar el valor de:
1) cos 120° 2) sen 315° 3) tan 330° 4) sec 240°
5) cot 210° 6) csc 300° 7) sec 315° 8) csc 210°
9) cos (-180°) 10) sec (-120°) 11) tan (-45°) 12) sen(-270°)
13) sec 2130° 14) tan 510° 15) sen 1980° 16) cot 2400°
17. Calcular el valor numérico de: E = R:
18. Si es un ángulo agudo, tal que: sen 4 785° = cos , calcular el valor de :
R: -
19. Probar que :
20. Hallar el valor numérico de A = sen 300°. Cot 210° - cos 240° . csc 150° R:
21. Si , probar que:

4. Matemática 5to. Grado
22. Hallar el valor numérico de: P = sec 60° . cos 90° - R. 0
23. Hallar el valor numérico de: R = +7 R: 2
24. Hallar el valor numérico de: R:
25. Probar que: 3
26. Hallar el valor de: - sec 240° R: 3
27. Hallar el valor de “x” que justifique la siguiente igualdad: sec ( - 3520° ) = csc x R: 10°
28. Hallar el valor de: R: 1
29. Hallar el valor numérico de: R:
30. Hallar el valor numérico de: R: -
31. Dadas las columnas :
I. Sen 205° a) – cos 65°
II. Cos 335° b) sen 65°
III. Tan 531° c) cot 81°
IV. Cot ( - 99° ) d) - tan 9°
La relación correcta entre ellas es:
A) I a ; II b ; III c ; IV d D) I b ; II a ; III d ; IV c
B) I a ; II b ; III d ; IV c E) Ninguna anterior.
C) I b ; II a ; III c ; IV d
32. Simplificar: R: 0
33. Hallar el valor numérico de: + R: - 2
34. Hallar el valor de “x” que justifique la siguiente igualdad: tan 2910° = cot x R: 60°
35. Hallar el valor de: V = cot ( 360° - x ) – tan ( 450° - x ) R: - 2 cot x
36. Al simplificar : resulta R: 1
–
37. Reducir R: - 1

5. Matemática 5to. Grado
TALLER Nº 08
tan(90    ) - sec(180  -  ) . cos(360  -  )
1) Al simplificar
cot(180    )
a) Tan -1 b) tan c) - tan d) NA
2) Hallar el valor de la secante de un ángulo interior de un hexágono regular
a) -2 b) 2 c) 4 d) NA
3) Si , donde es un ángulo agudo. Hallar “
a) 4 b) 2 c) 6 d) N.A.
4) Probar que
5) Si . Hallar el valor de
a) - 1 b) 1 c) 2 d) N.A.
6) Calcular el valor de:
a) – 1,2 b) 0,5 c) 1,8 d) N.A.
EL QUE ESTUDIA TRIUNFA