Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Explica cómo se puede representar las funciones trigonométricas como segmentos de recta usando un círculo trigonométrico dividido en cuatro cuadrantes. También describe cómo calcular los valores y signos de las funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante, incluyendo ángulos de 30°, 45° y 60° grados y sus múltiplos. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de funciones trigonométricas.

1. Unidad dos Geometría y Trigonometría
8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
8.1 El círculo trigonométrico o unitario
En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es decir con
cocientes de los lados de un triángulo rectángulo, pero también es posible representar esas
funciones como segmentos de recta. Para ello es necesario definir el círculo trigonométrico.
Un círculo trigonométrico es aquel que se construye sobre un sistema de coordenadas cartesiano,
de manera que el centro del círculo coincida con el origen del sistema y su radio mida una unidad
de longitud.
Y
1
X
(0,0)
Es conveniente señalar que el círculo trigonométrico queda dividido en cuatro partes por los ejes
coordenados; cada parte abarca 90° ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
π
, recibe el nombre de cuadrante y se designa con un
número romano; la numeración va en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj
a partir del eje X.
90°
I
CUADRANTE RANGO
I De 0°a 90°
II De 90°a 180°
III De 180°a 270°
IV De 270°a 360°
II
0°180°
III IV
270°
104

2. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
8.2 Identificación de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
Para generalizar el estudio de las relaciones trigonométricas, empezaremos por ubicar los ángulos
en el plano de coordenadas cartesianas.
Y
X
θ
Lado terminal
Lado inicial
En las siguientes figuras se representa a los ángulos que tienen su lado terminal en el primero,
segundo, tercer y cuarto cuadrante, considerando sus coordenadas horizontal y vertical así como
la distancia de un punto en el lado terminal hacia el origen, dando lugar a la formación de un
triángulo de referencia para cada ángulo.
PRIMER CUADRANTE
Y Función Signo
d
y
sen =θ
+
d
x
=θcos
+
x
y
=θtan
+
y
x
=θcot
+
x
d
=θsec
+
y
d
=θcsc
+
X
θ
d Ordenada
(y)
+
Abscisa
(x)
+
105

3. Unidad dos Geometría y Trigonometría
SEGUNDO CUADRANTE
Función Signo
d
y
sen =θ
+
d
x−
=θcos
-
x
y
−
=θtan
-
y
x−
=θcot
-
x
d
−
=θsec
-
y
d
=θcsc
+
TERCER CUADRANTE
Función Signo
d
y
sen
−
=θ
-
d
x−
=θcos
-
x
y
−
−
=θtan
+
y
x
−
−
=θcot
+
x
d
−
=θsec
-
y
d
−
=θcsc
-
Y
θ
d
(+) y
X
(-) x
Y
θ
(-) x
X
(-) y
d
106

4. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
Función Signo
CUARTO CUADRANTE
d
y
sen
−
=θ
-
d
x
=θcos
+
x
y−
=θtan
-
y
x
−
=θcot
-
x
d
=θsec
+
y
d
−
=θcsc
-
Y
X
θ
(+) x
(-) y
d
8.2.1 Signos de las funciones trigonométricas
Para determinar los signos de las funciones trigonométricas representadas por rectas, tomamos en
consideración el concepto referente al sistema coordenado cartesiano siguiente:
• Todos los segmentos perpendiculares al eje de las abscisas son positivos si están arriba de
él y negativos si están abajo.
• Todos los segmentos perpendiculares al eje de las ordenadas son positivos si están a la
derecha de él y negativos si están a la izquierda.
De acuerdo a la identificación de las funciones trigonométricas en los cuadrantes los signos
resultantes son:
I II III IV
SEN + + - -
COS + - - +
TAN + - + -
COT + - + -
SEC + - - +
CSC + + - -
107

5. Unidad dos Geometría y Trigonometría
8.2.2 Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante
Se establece que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante cuando su lado terminal
detiene su giro en dicho cuadrante; en el caso en que coincida con los ejes de 90°, 180°, 270°,
360°, se establece que el ángulo es límite de dos cuadrantes.
Del ángulo de 0°
Consideremos el triángulo
rectángulo:
El mismo triángulo con el ángulo θ = 0°,
queda, en consecuencia: x = d, y = 0
De donde:
0
0
0 ==°
d
sen ±∞==°
0
0cot
x
10cos ==°
d
x
10sec ==°
x
d
0
0
0tan ==°
x
±∞==°
0
0csc
d
Y
X
θ
y
x
d
Y
0°
X
Del ángulo de 90°
Consideremos el triángulo
rectángulo:
El mismo triángulo con el ángulo θ = 90°,
queda, en consecuencia: y = d, x = 0
De donde:
190 ==°
d
y
sen 0
0
90cot ==°
y
0
0
90cos ==°
d
±∞==°
0
90sec
d
±∞==°
0
90tan
y
190csc ==°
y
d
Y
X
θ
y
x
d
Y
90
X
108

6. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
Del ángulo de 180°
Consideremos el triángulo
rectángulo:
El mismo triángulo con el ángulo θ = 180°,
queda, en consecuencia: d = x, y = 0
De donde:
0
0
180 ==°
d
sen ±∞=
−
=°
0
180cot
x
1180cos −=
−
=°
d
x
1180sec −=
−
=°
x
d
0
0
180tan =
−
=°
x
±∞==°
0
180csc
d
Y
X
θy
(-)x
d
Y
180°
Del ángulo de 270°
Consideremos el triángulo
rectángulo:
El mismo triángulo con el ángulo θ = 270°,
queda, en consecuencia: d = y, x = 0
De donde:
1270 −=
−
=°
d
y
sen 0
0
270cot =
−
=°
y
0
0
270cos ==°
d
±∞==°
0
270sec
d
±∞=
−
=°270tan
y
0
1270csc −=
−
=°
y
d
X
Y
X
θ
y
(-)
(-)x
d
Y
270°
X
109

7. Unidad dos Geometría y Trigonometría
Del ángulo de 360°
Consideremos el triángulo
rectángulo:
El mismo triángulo con el ángulo θ = 360°,
queda, en consecuencia: d = x, y = 0
De donde:
0
0
360 ==°
d
sen ±∞==°
0
360cot
x
1360cos ==°
d
x
1360sec ==°
x
d
0
0
360tan ==°
x
±∞==°
0
360csc
d
Y
Y
360°
X
θ x
X
y
(-)d
110

8. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
EJERCICIO 8-1
INSTRUCCIONES.- Escribe el signo que le corresponde al valor de las siguientes funciones y
el cuadrante donde se ubican.
CUADRANTE SIGNOFUNCIÓN
sen 38°
cos 70°
tan 92° =
cos 135° =
tan 245° =
sen 290° =
cos 280° =
111

9. Unidad dos Geometría y Trigonometría
8.2.3 Funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60°
Trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades por lado, bisectamos el ángulo C y
formamos dos triángulos rectángulos iguales.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, cada ángulo del triángulo
mide 60°.
Calcularemos el segmento CD por el teorema de
Pitágoras.
314
)1()2( 22
=−=
−=
CD
CD
Las funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60° son:
A
B
C
30°
60°
2 2
30°
60°
2
1
B
30°
60°
D
C
2
2
30 =°sen
1
2
60 =°sen
3
2
3
30cos =°
2
1
60cos =°
3
3
3
1
30tan ==° 3
1
3
60tan ==°
3
1
3
30cot ==°
3
3
3
1
60cot ==°
3
32
3
2
30sec ==° 2
1
2
60sec ==°
2
1
2
30csc ==°
3
32
3
2
60csc ==°
112

10. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
Para determinar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°, se considera
un cuadrado de 1 unidad, trazamos una diagonal.
Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el segmento AB.
211
)1()1( 22
=+=
+=
AB
AB
Entonces las funciones trigonométricas son:
C
45°
DB
A
45°
1
11
1
45°
1
1
C A
B
2
2
2
1
45 ==°sen 1
1
1
45cot ==°
2
2
2
1
45cos ==° 2
1
2
45sec ==°
1
1
1
45tan ==° 2
1
2
45csc ==°
113

11. Unidad dos Geometría y Trigonometría
8.2.4 Funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30°, 45° y 60°
Utilizando las mismas figuras con que representamos los ángulos de 30°, 45° y 60° podemos
calcular cualquier múltiplo de ellos, siempre y cuando el lado terminal no coincida con uno de los
ejes coordenados.
Ejemplos
Cálculo del ángulo de 120°
El ángulo de 120° se encuentra en el segundo cuadrante por lo tanto 180°-120° = 60°, de donde el
ángulo del triángulo que se forma es de 60°.
Por lo tanto las funciones son:
60°
2
-1
3
120°
2
3
120 =°sen
3
3
3
1
120cot −=
−
=°
2
1
120cos
−
=° 2
1
2
120sec −=
−
=°
3
1
3
120tan −=
−
=°
Cálculo del ángulo de 225°
El ángulo de 225° se encuentra en el tercer cuadrante por lo tanto 225°-180° = 45°, de donde el
ángulo del triángulo que se forma es de 45°.
Por lo tanto las funciones son:
3
32
3
2
120csc ==°
2
2
2
1
225
−
=
−
=°sen 1
1
1
225cot =
−
−
=°
2
2
2
1
225cos
−
=
−
=° 2
1
2
225sec −=
−
=°
45°
-1
-1
2
225°
1
1
1
225tan =
−
−
=° 2
1
2
225csc −=
−
=°
114

12. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
Cálculo del ángulo de 330°
El ángulo de 330° se encuentra en el cuarto cuadrante por lo tanto 360°-330° = 30°, de donde el
ángulo del triángulo que se forma es de 30°.
Por lo tanto las funciones son:
2
1
330
−
=°sen 3
1
3
330cot −=
−
=°
2
3
330cos =°
3
32
3
2
330sec ==°
3
3
3
1
330tan −=
−
=° 2
1
2
330csc −=
−
=°
30°
2
-1
330° 3
115

13. Unidad dos Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 8-2
INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los
ángulos indicados a partir de los ángulos de 30°,60° y 45°.
1) 135°
2) 150°
3) 210°
116

14. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
4) 240°
5) 300°
6) 315°
117

15. Unidad dos Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 8-3
INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los
ángulos indicados a partir de los ángulos de 30°,60° y 45°.
F U N C I O N E SGRADOS
sen cos tan cot sec csc
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
118

16. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
119

17. Unidad dos Geometría y Trigonometría
8.2.5 Funciones para un ángulo cualquiera
En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de
números reales (x, y), corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano
corresponde un par único de coordenadas (x, y).
En el proceso de la gráfica hay que tomar en cuenta los signos de las coordenadas para ubicarse
en cada cuadrante.
Aplicando lo anterior en los siguientes ejemplos, tenemos que:
1) Localiza el punto (4, 3) en un sistema coordenado y determina las funciones
trigonométricas del ángulo θ que se forma.
(4, 3) Primero obtenemos la distancia “d” por el teorema de
Pitágoras:
525169
)4()3( 22
==+=
+=
AB
d
Por lo tanto las funciones trigonométricas son:
5
3
=θsen
3
4
cot =θ
5
4
cos =θ
4
5
sec =θ
4
3
tan =θ
3
5
csc =θ
d
3
θ
4
120

18. Geometría y Trigonometría Funciones trigonométricas
EJERCICIO 8-4
INSTRUCCIONES.- Determina las funciones trigonométricas del ángulo θ sabiendo que
guarda relación con los siguientes puntos.
1)A(6,7)
2)B(-4,5)
3)C(6,3)
4)D(2,-5)
121

19. Unidad dos Geometría y Trigonometría
5)E(-3,-1)
6)F(-5,-7)
7)G(-6,2)
8)H(2,2)
122