1. El documento describe el núcleo e imagen de una transformación lineal. El núcleo es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector nulo, mientras que la imagen es el conjunto de las imágenes de los elementos del dominio. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular el núcleo y la imagen de diferentes transformaciones lineales.

1. MATEMÁTICA 2
ÁLGEBRA LINEAL

2. Núcleo e imagen de una transformación
lineal
Se denomina núcleo de una transformación lineal
𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, al conjunto de vectores de V cuya imagen
es el vector nulo de W y se denota por 𝑁𝑢(𝑇), es decir :
𝑁𝑢 𝑇 = 𝑢 ∈ Τ
𝑉 𝑇 𝑢 = 0 ⊂ 𝑉
Se denomina imagen de una transformación lineal
𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, al conjunto de las imágenes por T de los
elementos de V y se denota por 𝐼𝑚(𝑇), es decir :
𝐼𝑚(𝑇) = Τ
𝑇(𝑢) 𝑢 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑊

3. Ejemplos
1. Halle el núcleo y la imagen de 𝑇 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑏, 2𝑎 − 𝑏
a) Núcleo:
𝑇 𝑎, 𝑏 = 0,0 ⟹ 𝑎 + 𝑏, 2𝑎 − 𝑏 = (0,0)
ቄ
𝑎 + 𝑏 = 0
2𝑎 − 𝑏 = 0
⟹ 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎, 𝑏 = (0,0)
𝑁𝑢 𝑇 = (0,0)
b) Imagen:
𝑇 𝑎, 𝑏 = 𝑚, 𝑛 ⟹ 𝑎 + 𝑏, 2𝑎 − 𝑏 = (𝑚, 𝑛)
ቊ
𝑎 + 𝑏 = 𝑚
2𝑎 − 𝑏 = 𝑛

4. Ejemplos
ቊ
𝑎 + 𝑏 = 𝑚
2𝑎 − 𝑏 = 𝑛
1 1 𝑚
2 −1 𝑛
⟹
1 1 𝑚
0 −3 𝑛 − 2𝑚
Como tiene solución para cualquier (𝑚, 𝑛) entonces
𝐼𝑚 𝑇 = 𝑅2

5. Ejemplos
2. Halle el núcleo y la imagen de:
𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎 − 𝑐 𝑥 + (2𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
a) Núcleo:
𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0𝑥 + 0
𝑎 − 𝑐 𝑥 + (2𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0𝑥 + 0
ቊ
𝑎 − 𝑐 = 0
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
1 0 −1
2 1 1
⟹
1 0 −1
0 1 3

6. Ejemplos
Tiene infinitas soluciones:
𝑐 es la variable independiente
𝑏 + 3𝑐 = 0 ⟹ 𝑏 = −3𝑐
𝑎 − 𝑐 = 0 ⟹ 𝑎 = 𝑐
𝑎, 𝑏, 𝑐 = (𝑐, −3𝑐, 𝑐)
𝑁𝑢 𝑇 = (𝑐, −3𝑐, 𝑐) ∕ 𝑐 ∈ 𝑅
b) Imagen:
𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞 ⟹ 𝑎 − 𝑐 𝑥 + 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞

7. Ejemplos
Tiene infinitas soluciones:
𝑐 es la variable independiente
𝑏 + 3𝑐 = 0 ⟹ 𝑏 = −3𝑐
𝑎 − 𝑐 = 0 ⟹ 𝑎 = 𝑐
𝑎, 𝑏, 𝑐 = (𝑐, −3𝑐, 𝑐)
𝑁𝑢 𝑇 = (𝑐, −3𝑐, 𝑐) ∕ 𝑐 ∈ 𝑅
b) Imagen:
𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞 ⟹ 𝑎 − 𝑐 𝑥 + 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞

8. Ejemplos
𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞 ⟹ 𝑎 − 𝑐 𝑥 + 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑝𝑥 + 𝑞
ቊ
𝑎 − 𝑐 = 𝑝
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑞
1 0 −1 𝑝
2 1 1 𝑞
⟹
1 0 −1 𝑝
0 1 3 𝑞 − 2𝑝
Como tiene solución para cualquier 𝑝𝑥 + 𝑞 entonces
𝐼𝑚 𝑇 = 𝑃1

9. Ejemplos
3. Halle el núcleo y la imagen de:
𝑇
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 𝑥2
+ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 𝑥 + (𝑏 + 3𝑐 − 𝑑)
a) Núcleo:
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 𝑥 + 𝑏 + 3𝑐 − 𝑑 =
0𝑥2 + 0𝑥 + 0
ቐ
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 0
𝑏 + 3𝑐 − 𝑑 = 0

10. Ejemplos
1 2 2 0
1 1 −1 1
0 1 3 −1
⟹
1 2 2 0
0 −1 −3 1
0 1 3 −1
1 2 2 0
0 1 3 −1
0 0 0 0
Tiene infinitas soluciones:
𝑐, 𝑑 son las variables independientes
𝑏 + 3𝑐 − 𝑑 = 0 ⟹ 𝑏 = −3𝑐 + 𝑑
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 0 ⟹ 𝑎 − 6𝑐 + 2𝑑 + 2𝑐 = 0
𝑎 = 4𝑐 − 2𝑑

11. Ejemplos
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
4𝑐 − 2𝑑 3𝑐 + 𝑑
𝑐 𝑑
𝑁𝑢 𝑇 = ൗ
4𝑐 − 2𝑑 3𝑐 + 𝑑
𝑐 𝑑
𝑐 , 𝑑 ∈ 𝑅
b) Imagen:
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 𝑥2
+ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 𝑥 + 𝑏 + 3𝑐 − 𝑑 =
𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟
ቐ
𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 𝑝
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 𝑞
𝑏 + 3𝑐 − 𝑑 = 𝑟

12. Ejemplos
1 2 2 0 𝑝
1 1 −1 1 𝑞
0 1 3 −1 𝑟
⟹
1 2 2 0 𝑝
0 −1 −3 1 𝑞 − 𝑝
0 1 3 −1 𝑟
1 2 2 0 𝑝
0 1 3 −1 𝑟
0 0 0 0 𝑞 − 𝑝 + 𝑟
Tiene solución si 𝑞 − 𝑝 + 𝑟 = 0
𝐼𝑚 𝑇 = 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 ∕ 𝑞 − 𝑝 + 𝑟 = 0