La placa uniforme de 15kg está soldada al árbol vertical sujeto éste por los cojinetes A y B. Calcule la intensidad de la fuerza que soporta el cojinete B durante la aplicación del par de 120Nm al árbol. El cable CD impide el giro de la placa y del árbol y el peso del conjunto lo soporta completamente el cojinete en A

1. MiguelBulaPicón
IngenieroMecánico
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Ejercicio de Esfuerzo Cortante (Quiz, Marzo/2017)
La placa uniforme de 15𝑘𝑔 está soldada al árbol vertical sujeto éste por los
cojinetes A y B. Calcule la intensidad de la fuerza que soporta el cojinete B
durante la aplicación del par de 120𝑁𝑚 al árbol.
El cable CD impide el giro de la placa y del árbol y el peso del conjunto lo
soporta completamente el cojinete en A
Solución:
Vamos a realizar el DCL de todo el sistema para saber cuántas incógnitas
tenemos y como vamos a desarrollar el ejercicio.
Calculemos el peso de la placa de la siguiente manera:
𝑊 = 𝑚𝑔 = (15𝑘𝑔)(9.81 𝑚 𝑠2⁄ ) = 147.15𝑁
Ahora determinemos las coordenadas en los puntos A, B, C, D y G así:
𝐴(0,0, 680) 𝐵(0,0,480) 𝐶(200,0, 0) 𝐷(0,600, 0) 𝐺(0,300,200)

2. MiguelBulaPicón
IngenieroMecánico
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A continuación presentamos el DCL del sistema:
Tomamos como punto de giro para realizarlos momentos el punto A, el cual
es el que presenta más incógnitas por lo cual, los radiovectores serán:
𝑟𝐴𝐵 = (0 − 0) 𝑖̂ + (0 − 0) 𝑗̂ + (480 − 680) 𝑘̂ = −200𝑘̂
𝑟𝐴𝐺 = (0 − 0) 𝑖̂ + (300 − 0) 𝑗̂ + (200 − 680) 𝑘̂ = 300𝑗 − 480𝑘̂
𝑟𝐴𝐷 = (0 − 0) 𝑖̂ + (600 − 0) 𝑗̂ + (0 − 680) 𝑘̂ = 600𝑗̂ − 680𝑘̂
Ahora bien los vectores fuerzas serán:
𝑤⃗⃗ = −𝑤𝑘̂, 𝑇⃗ 𝐶𝐷 = 𝑇𝐶𝐷 ∙ 𝜆 𝐶𝐷, 𝐵⃗ = −𝐵 𝑥 𝑖̂+ 𝐵 𝑦 𝑗̂, 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖̂ − 𝐴 𝑦 𝑗̂ + 𝐴 𝑧 𝑘̂

3. MiguelBulaPicón
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Ahora hallemos el vector 𝑇⃗ 𝐶𝐷 de la siguiente manera:
𝑇⃗ 𝐶𝐷 = 𝑇𝐶𝐷 ∙ 𝜆 𝐶𝐷 = 𝑇𝐶𝐷 ∙ [
(200− 0) 𝑖̂ + (0 − 600) 𝑗̂ + (0 − 0) 𝑘̂
√(200 − 0)2 + (0 − 600)2 + (0 − 0)2
]
𝑇⃗ 𝐶𝐷 = 0,31623𝑇𝐶𝐷 𝑖̂ − 0,94868𝑇𝐶𝐷 𝑗̂
Ahora hacemos momento en el punto donde tenemos más incógnitas que
es el soporte en A, por lo cual:
∑ 𝑀⃗⃗ 𝐴 = 0 ⇒ 𝑟𝐴𝐵 × 𝐵⃗ + 𝑟𝐴𝐺 × 𝑤⃗⃗ + 𝑟𝐴𝐷 × 𝑇⃗ 𝐶𝐷 + (120𝑁𝑚) 𝑘̂ = 0
Por lo tanto, por medio de matrices hallaremos los momentos de cada
elemento y después se reemplazan en la ecuación principal
𝑟𝐴𝐵 × 𝐵⃗ = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
0 0 −200
−𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 0
| = −200𝐵𝑦 𝑖̂ + 200𝐵𝑥 𝑗̂
𝑟𝐴𝐺 × 𝑤⃗⃗ = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
0 300 −480
0 0 −147.15𝑁
| = (−44145𝑁𝑚𝑚) 𝑖̂
𝑟𝐴𝐷 × 𝑇⃗ 𝐶𝐷 = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
0 600 −680
0,31623𝑇𝐶𝐷 −0,94868𝑇𝐶𝐷 0
|
𝑟𝐴𝐷 × 𝑇⃗ 𝐶𝐷 = −645,102𝑇𝐶𝐷 𝑖̂ − 215,035𝑇𝐶𝐷 𝑗̂ − 189,738𝑇𝐶𝐷 𝑘̂
Reemplazando valores en la ecuación de momento tenemos:
−200𝐵 𝑦 𝑖̂+ 200𝐵 𝑥 𝑗̂ − (44145𝑁𝑚𝑚) 𝑖̂ − 645,102𝑇𝐶𝐷 𝑖̂ − 215,035𝑇𝐶𝐷 𝑗̂ − 189,738𝑇𝐶𝐷 𝑘̂
+ (120𝑁𝑚) 𝑘̂ = 0

4. MiguelBulaPicón
IngenieroMecánico
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Igualamos término a término y tenemos que:
Para 𝑘̂ : − 189,738𝑇𝐶𝐷 + 120𝑁𝑚 = 0 ⇒ 𝑇𝐶𝐷 =
120𝑁𝑚
189,738𝑚𝑚
×
1000𝑚𝑚
1𝑚
= 632,45𝑁
Para 𝑖̂: 200𝐵𝑦 − 645,102𝑇𝐶𝐷 − 44145𝑁𝑚𝑚 = 0 ⇒
𝐵𝑦 =
645,102(632.45𝑁) + 44145𝑁𝑚𝑚
200𝑚𝑚
= 2260,7𝑁
Para 𝑗̂: − 215,035𝑇𝐶𝐷 + 200𝐵 𝑥 = 0 ⇒ 𝐵 𝑥 =
215,035(632.45𝑁)
200𝑚𝑚
= 680𝑁
Ahora bien, como nos piden la magnitud de la fuerza en el soporte B,
tenemos que:
𝐵 = √( 𝐵 𝑥)2 + (𝐵 𝑦)
2
= √(680𝑁)2 + (2260,7𝑁)2 = 𝟐𝟑𝟔𝟏𝑵