Problemas de ÁLGEBRA LINEAL 2019. ESPOL

1. Ángel Guale
PROBLEMAS ÁLGEBRA LINEAL
ÁNGEL GUALE
PROBLEMA 1 (SEMANA 1)
Califique como verdadero o falso.
1.a. Si 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙, y [𝒑(𝒙)] 𝑩 = (
𝟐
𝟏
𝟎
), entonces B es la base canónica 𝑩 = {𝒙 𝟐
, 𝒙, 𝟏}
Solución:
Por contraejemplo:
Consideremos la base 𝐵 = {𝑥2
+ 1, 𝑥 − 2, 𝑥}, si calculamos las coordenadas de 𝑝(𝑥) = 2𝑥2
+ 𝑥,
tendríamos el siguiente sistema
(
1
0
1
−2
1
0
0
1
0
|
0
1
2
)
El cual tiene como solución
[𝑝(𝑥)] 𝐵 = (
2
1
0
)
Por lo tanto, la base no necesariamente es la canónica, y la proposición es FALSA.
1.b. Sean V= ℝ 𝟑
. Se define H un subconjunto de V como:
𝑯 = {(
𝒙
𝒚
𝒛
) |𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
≤ 𝟎}
Entonces H es un subespacio vectorial de V.
Solución:
La inecuación
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
≤ 𝟎
Tiene como solución x=0, y=0, z=0, ya que la suma de cuadrados nunca es menor que cero, y solo es cero
cuando todos los sumandos son cero. Entonces H es:
𝑯 = {(
𝒙
𝒚
𝒛
) |𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎}
El cual, es el subespacio de ℝ3
que solo contiene al cero vector. La proposición es VERDADERA.

2. Ángel Guale
PROBLEMA 2 (SEMANA 2)
Considere las bases ordenadas del espacio vectorial V = 𝑫 𝟐×𝟐
𝑩 𝟏 = {(
𝟐
𝟎
𝟎
𝟏
) , (
𝟑
𝟎
𝟎
𝟐
)} 𝑩 𝟐 = {(
𝟒
𝟎
𝟎
−𝟏
) , (
−𝟒
𝟎
𝟎
𝟑
)}
a. Si 𝑨 = (
𝟓
𝟎
𝟎
−𝟐
) ; halle [𝑨] 𝑩 𝟏
Se debe realizar una combinación lineal de la matriz A con respecto a la base B1, y se obtiene el
siguiente sistema:
(
2
1
3
2
|
5
−2
) ~ (
2
0
3
−1
|
5
9
)
𝛼1 = 16 𝛼2 = −9
[𝐴] 𝐵1 = (
16
−9
)
b. Determine la matriz de cambio de base de 𝑩 𝟏 en 𝑩 𝟐
Para hallar la matriz de cambio de base tenemos que escribir los vectores de la base 1 como
combinación lineal de los vectores de la base 2.
(
𝒂
𝟎
𝟎
𝒃
) = 𝜶 𝟏 (
𝟒
𝟎
𝟎
−𝟏
) + 𝜶 𝟐 (
−𝟒
𝟎
𝟎
𝟑
)
De donde se tiene que
𝛼1 =
3𝑎 + 4𝑏
8
𝑦 𝛼2 =
𝑎 + 4𝑏
8
Por lo tanto
[(
2
0
0
1
)]
𝐵2
= (
5
4
3
4
)
[(
3
0
0
2
)]
𝐵2
= (
17
8
11
8
)
Finalmente se obtiene que
𝐴 𝐵1→𝐵2
= (
5
4
3
4
17
8
11
8
)

3. Ángel Guale
PROBLEMA 3 (SEMANA 3)
Para la matriz A. Obtenga el valor de k para que la dimensión de la imagen de A sea 3. ¿Y para
que sea 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎(𝑨) = 𝟏? En ambos casos justifique su respuesta
𝑨 = (
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝒌
𝟎
𝟐
𝟒
𝟖
𝟒
𝟖
𝟏𝟔
)
Solución:
La dimensión de la imagen es el rango de A, el cual se puede ver como el número de filas o columnas
linealmente independientes en la matriz. Por tanto, haremos una reducción por filas
(
1
2
0
1
𝑘
0
2
4
8
4
8
16
) ~ (
1
0
0
1
𝑘 − 2
0
2
0
8
4
0
16
)
Ya con el sistema reducido, podemos afirmar que para que existan 3 filas linealmente independientes
la segunda fila no debe llenarse de ceros, por lo que para poder tener 𝜌(𝐴) = 3 se necesita que
𝑘 ≠ 2
b) Asimismo podemos notar que la tercera y primera fila son siempre vectores independientes sin
importar el valor de k, por lo que el rango de esta matriz A es mínimo 2. Se concluye que no existe
valor de 𝑘 para que el rango sea 1.

4. Ángel Guale
PROBLEMA 4 (SEMANA 4)
Sea una base 𝑩 = {𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, 𝒗 𝟑, 𝒗 𝟒} del espacio vectorial V, se definen los siguientes subespacios
vectoriales
𝑯 = 𝒈𝒆𝒏{𝒗 𝟏 − 𝒗 𝟐 + 𝒗 𝟑, 𝟐𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟑}
𝑾 = 𝒈𝒆𝒏{𝒗 𝟏 + 𝒗 𝟐 + 𝒗 𝟒, 𝒗 𝟒 − 𝒗 𝟏}
Determine 𝑯 ∩ 𝑾, 𝑯 + 𝑾 y sus respectivas dimensiones
Para la intersección debemos hallar las condiciones de H y W.
Para H
𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 = 𝛼1(𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3) + 𝛼2( 2𝑣2 − 𝑣3)
Como B es una base
(
1
−1
1
0
0
2
−1
0
|
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) ~ … ~ (
1
0
0
0
0
2
0
0
|
𝑎
𝑎 + 𝑏
−𝑎 + 𝑏 + 2𝑐
𝑑
)
𝐻 = {𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4|
−𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑑 = 0
}
Para W
𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 = 𝛼1(𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣4) + 𝛼2( 𝑣4 − 𝑣1)
Como B es una base
(
1
1
0
1
−1
0
0
0
|
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) ~ … ~ (
1
0
0
0
−1
−1
0
0
|
𝑎
𝑎 − 𝑏
𝑐
−𝑎 + 2𝑏 − 𝑑
)
𝑊 = {𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4|
−𝑎 + 2𝑏 − 𝑑 = 0
𝑐 = 0
}
𝐻 ∩ 𝑊 = {𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4|
−𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑑 = 0
−𝑎 + 2𝑏 − 𝑑 = 0
𝑐 = 0
}
Al parametrizar el sistema obtendríamos que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0
Es decir 𝐻 ∩ 𝑊 = {0 𝑣} , dim(𝐻 ∩ 𝑊) = 0
Por teorema de la dimensión de la suma
dim(𝐻 + 𝑊) = 𝑑𝑖𝑚𝐻 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim(𝐻 ∩ 𝑊)
dim(𝐻 + 𝑊) = 2 + 2 − 0
dim(𝐻 + 𝑊) = 4

5. Ángel Guale
Es decir 𝐻 + 𝑊 = 𝑉 , dim(𝐻 + 𝑊) = 4
NOTA: También se pudo haber realizado primero la suma, y se concluía de manera análoga.
PROBLEMA 5 (SEMANA 5)
Califique como verdadero o falso.
a) Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un
vector no nulo de V, entonces 𝑺 ∪ {𝒘} es también un conjunto linealmente independiente en
V.
Por contraejemplo:
Sea 𝑉 = ℝ2
y 𝑆 = {(
1
0
) , (
0
1
)}. S es linealmente independiente en V.
Consideremos además el vector 𝑤 = (
1
1
) que es no nulo y pertenece a V. Sin embargo, el conjunto
𝑆 ∪ {𝑤} = {(
1
0
) , (
0
1
) , (
1
1
)}
NO es linealmente independiente.
La proposición es FALSA.
b) Sea 𝑺 = {𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, . . , 𝒗 𝒌} un conjunto generador del espacio vectorial 𝑽. Si se añade un vector
𝒗 𝒌+𝟏 que es combinación lineal de los vectores de 𝑺, entonces el conjunto 𝑺′
=
{𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐, . . , 𝒗 𝒌, 𝒗 𝒌+𝟏} NO es un conjunto generador de 𝑽.
Por contraejemplo:
Sea 𝑉 = ℝ2
y 𝑆 = {(
1
0
) , (
0
1
)}. Se cumple que S genera a V.
Consideremos además el vector 𝑣 𝑘+1 = (
1
1
) que es una combinación lineal de los vectores de S. Sin
embargo, el conjunto
𝑆′
= {(
1
0
) , (
0
1
) , (
1
1
)}
SI es genera a V.
La proposición es FALSA.

6. Ángel Guale
PROBLEMA 6 (SEMANA 6)
Sea T una función definida sobre 𝑪 𝟐[𝒂, 𝒃] como:
𝑻: 𝑪 𝟐[𝒂, 𝒃] → 𝑪 𝟐[𝒂, 𝒃]
𝑻(𝒇) = 𝒇′′
+ 𝟐𝒇′
+ 𝒇
Determine si T es una transformación lineal
i) Sean 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏]
𝑇(𝑓1 + 𝑓2) = (𝑓1 + 𝑓2)′′
+ 2(𝑓1 + 𝑓2)′
+ (𝑓1 + 𝑓2)
𝑇(𝑓1 + 𝑓2) = 𝑓1
′′
+ 𝑓2
′′
+ 2(𝑓1
′
+ 𝑓2
′) + 𝑓1 + 𝑓2
𝑇(𝑓1 + 𝑓2) = (𝑓1
′′
+ 2𝑓1
′
+ 𝑓1) + (𝑓2
′′
+ 2𝑓2
′
+ 𝑓2)
𝑇(𝑓1 + 𝑓2) = 𝑇(𝑓1) + 𝑇(𝑓2)
ii) Sea 𝑓1 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏] y 𝛼 ∈ ℝ
𝑇(𝛼𝑓1) = (𝛼𝑓1)′′ + 2(𝛼𝑓1)′ + 𝛼𝑓1
𝑇(𝛼𝑓1) = 𝛼(𝑓1)′′ + 2𝛼(𝑓1)′ + 𝛼𝑓1
𝑇(𝛼𝑓1) = 𝛼((𝑓1)′′ + 2(𝑓1)′ + 𝑓1)
𝑇(𝛼𝑓1) = 𝛼𝑇(𝑓1)
T es una transformación lineal.
PROBLEMA 7 (SEMANA 7)
Sea V el conjunto 𝑽 = {−𝟐, −𝟏, 𝟏, 𝟐} con las operaciones:
∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑽: 𝒂 + 𝒃 = 𝐦𝐢𝐧{𝒂, 𝒃}
∀𝜸 ∈ ℝ∀𝒂 ∈ 𝑽: 𝜸𝒂 = 𝒂
Determine si V es un espacio vectorial real
SOLUCIÓN
V no es un espacio vectorial ya que el elemento neutro de V sería 2, pero al multiplicar 0(−1) = −1 ≠ 2.