Productos Notables Curso: Diseño De Materiales Educativos

1. OBJETIVOS DE LA CLASE
EL OBJETIVO DE ESTA SESIÓN ES
AYUDAR A MANEJAR EL TEMA DE
FORMA CLARA Y PRECISA, DE MODO
QUE FACILITE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y VIÉNDOLO DESDE UN
PUNTO DE VISTA BÁSICO Y
TEÓRICO, FÁCIL DE ENTENDER Y
AUTODIDÁCTICO.

2. PRODUCTOS
NOTABLES

3. Sabemos que se
llama producto
al resultado de
una
multiplicación.
También
sabemos que los
valores que se
multiplican se
llaman
factores.
A continuación
veremos algunas
expresiones
algebraicas y la
forma de
factorizarlas
(mostrada como
un producto
notable ).

4. 𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
= (𝒂 + 𝒃) 𝟐
EJEMPLO:
(𝟖 + 𝒙) 𝟐
= 𝟖 𝟐
+ 𝟐 𝟖 𝒙 + 𝒙 𝟐
= 𝟔𝟒 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝑿 𝟐
=𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟒
El cuadrado de
la suma de dos
cantidades es
igual al cuadrado
de la primera,
más el doble de
la primera
multiplicada por
la segunda, más
el cuadrado de
la segunda.

5. 𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
= (𝒂 − 𝒃) 𝟐
DEMOSTRACIÓN:
(𝑎 − 𝑏)2= 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏
= 𝑎. 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏. 𝑏
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
EJEMPLO:
(𝟑𝒚 − 𝟓) 𝟐
= (𝟑𝒚) 𝟐
−𝟐 𝟑𝒚 𝟓 + 𝟓 𝟐
= 𝟑 𝟐
𝒚 𝟐
− 𝟑𝟎𝒚 + 𝟓. 𝟓
= 𝟗𝒚 𝟐
− 𝟑𝟎𝒚 + 𝟐𝟓
El cuadrado de la
diferencia de dos
cantidades es
igual al cuadrado
de la primera,
menos el doble
de la primera
cantidad por la
segunda, más el
cuadrado de la
segunda
cantidad.

6. 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 𝟐
− 𝒃 𝟐
DEMOSTRACIÓN:
EJEMPLO:
(𝟐𝒃 + 𝟔) 𝟐
(𝟐𝒃 − 𝟔) 𝟐
= (𝟐𝒃) 𝟐
−𝟔 𝟐
= 𝟐 𝟐
. 𝒃 𝟐
− 𝟔. 𝟔
= 𝟒𝒃 𝟐
− 𝟑𝟔
El producto de
la suma, por la
diferencia de
dos cantidades,
es igual al
cuadrado de la
primera
cantidad, menos
el cuadrado de
la segunda.

7. (𝒂 + 𝒃) 𝟑
= 𝒂 𝟑
+ 𝟑𝒂 𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐
+ 𝒃 𝟑
EJEMPLO:
Cubo de una suma
Dada por el cubo
de la primera
cantidad, mas el
triple de la primera
al cuadrado por la
segunda cantidad,
mas el triple de la
primera por la
segunda cantidad al
cuadrado, mas la
segunda cantidad al
cubo
(𝒎 + 𝟒) 𝟑
= 𝒎 𝟑
+ 𝟑𝒎 𝟐
𝟒 + 𝟑𝒎𝟒 𝟐
+ 𝟒 𝟑
= 𝒎 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒎 𝟐
+ 𝟒𝟖𝒎 + 𝟒 𝟑
= 𝒎 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒎 𝟐
+ 𝟒𝟖𝒎 + 𝟔𝟒

8. (𝒂 − 𝒃) 𝟑
= 𝒂 𝟑
− 𝟑𝒂 𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐
− 𝒃 𝟑
EJEMPLO:
(𝒏 − 𝟑) 𝟑
= 𝒏 𝟑
− 𝟑𝒏 𝟐
𝟑 + 𝟑𝒏𝟑 𝟐
− 𝟑 𝟑
= 𝒏 𝟑
− 𝟗𝒏 𝟐
+ 𝟐𝟕𝒏 − 𝟑 𝟑
= 𝒏 𝟑
− 𝟗𝒏 𝟐
+ 𝟐𝟕𝒏 − 𝟗
Cubo de una
diferencia
Aplicando la
ley de signos
se establece
la siguiente
forma

9. Producto
notable
Expresión algebraica Nombre
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cuadrado
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b +
3ab 2 + b 3
Binomio al cubo
a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) Diferencia de
cuadrados
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + b 2 +
ab)
Diferencia de cubos
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 -
ab)
Suma de cubos
a 4 - b 4 = (a + b) (a - b) (a 2 +
b 2 )
Diferencia cuarta
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab
+ 2ac + 2bc
Trinomio al cuadrado
Formas rápidas y fáciles para resolver un
ejercicio

10. CONCLUSIONES
PODEMOS CONCLUIR QUE LOS PRODUCTOS NOTABLES
VISTOS, TIENEN UNA FORMA DE RESOLVER CON LA
FACILIDAD DE AGILIZAR LAS OPERACIONES,
HACIÉNDOLAS MAS RÁPIDAS Y SIGUIENDO UN PATRÓN
DE RESOLUCIÓN SEGÚN EL EXPONENTE AL QUE SE
SOMETA LA ECUACIÓN YA SEA DE SEGUNDO GRADO, DE
TERCER GRADO Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

11. BIBLIOGRAFÍA
• LINKS
HTTP://WWW.PROFESORENLINEA.CL/MATEMATICA/ALGEBRAPRODUCTOSNOTAB
LES.HTM.
HTTPS://ES.KHANACADEMY.ORG/MATH/ALGEBRA/INTRODUCTION-TO-
POLYNOMIAL-EXPRESSIONS/SPECIAL-PRODUCTS-OF-
POLYNOMIALS/E/MULTIPLYING_EXPRESSIONS_1
HTTP://MATEMATICA.CUBAEDUCA.CU/INDEX.PHP?OPTION=COM_CONTENT&VIE
W=ARTICLE&ID=10942:TEMA-9NOOPERACIONES-CON-
POLINOMIOS&CATID=525&ITEMID=73
• LIBROS
EFRAÍN SOTO,(2010), “PRODUCTOS NOTABLES”, MÉXICO 2010.