Este documento presenta las soluciones a varios problemas de álgebra lineal. En la primera pregunta, se demuestra que un conjunto de polinomios de orden 2 es linealmente independiente. En la segunda, se prueba que una matriz antisimétrica forma un subespacio vectorial. En la tercera, se determina que dos subconjuntos (uno de R2 y otro de matrices 2x3) son subespacios vectoriales. Finalmente, se encuentra una base y dimensión para un subespacio de R4.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CABUDARE – EDO. LARA
TRABAJO PRÁCTICO NRO. 3
NOMBRE: Alexandra Rodríguez
C.I.: 26.699.260
Algebra Lineal
AGOSTO, 2017

2. Trabajo práctico 3 – Algebra Lineal
1. Considere el espacio vectorial P2 (polinomios de orden 2). Verificar si los siguientes
conjuntos son linealmente independientes o linealmente dependientes:
b. 𝑅 = {2𝑧2
+ 5𝑧 − 8, 3 − 𝑧, 9𝑧 − 8 + 5𝑧2}
Solución
𝛼1(2𝑧2
+ 5𝑧 − 8) + 𝛼2(3 − 𝑧) + 𝛼3(9𝑧 − 8 + 5𝑧2) = 0𝑧2
+ 0𝑧 + 0
{
2𝛼1 + 5𝛼3 = 0
5𝛼1 − 𝛼2 + 9𝛼3 = 0
−8𝛼1 + 3𝛼2 − 8𝛼3 = 0
15𝛼1 − 3𝛼2 + 27𝛼3 = 0
−8𝛼1 + 3𝛼2 − 8𝛼3 = 0
{
7𝛼1 + 19𝛼3 = 0
2𝛼1 + 5𝛼3 = 0
14𝛼1 + 38𝛼3 = 0
−14𝛼1 − 35𝛼3 = 0
3𝛼3 = 0
𝛼3 = 0
𝛼1 = 0
𝛼2 = 0
Como tiene una única solución trivial, R es un conjunto linealmente independiente.
2. Demuestre que los siguientes subconjuntos de Mnxn (matrices cuadradas de orden
nxn) son subespacios del espacio vectorial mencionado.
a. 𝑊1 = { 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛𝑥𝑛(ℝ) 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎⁄ }
Solución
El conjunto A es subespacio vectorial de Mnxn(ℝ). Consideremos una matriz A:
𝐴 = (
0 −𝑎12 −𝑎13
𝑎21 0 −𝑎23
𝑎31 𝑎32 0
)
Para que la matriz A sea antisimétrica su número de filas debe ser igual al de sus
columnas y se debe cumplir que 𝐴 = −𝐴𝑡
.
𝐴𝑡
= (
0 𝑎21 𝑎31
−𝑎12 0 𝑎32
−𝑎13 −𝑎23 0
)
Se cumplen ambas condiciones.
3. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de espacio vectorial indicado es un
subespacio vectorial de dicho espacio. Argumente sus respuestas (𝑽 es el espacio, 𝑺
el subconjunto).
b. 𝑉 = ℝ2
; 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) 𝑥. 𝑦 ≥ 0⁄ }
c. 𝑉 = 𝑀2𝑥3; 𝑆 = {[
𝑎 2𝑎 3𝑎
𝑏 2𝑏 3𝑏
] 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ⁄ }
3
1
2
-7

3. Solución
PARTE B
S es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a) 0v está en S.
b) Si u y v están en S, entonces u+v está en S.
c) Si u está en S y k es un escalar ku está en S.
Se cumple (a) pues (0,0)∈S.
Se cumple (b) porque la suma de dos vectores de S está en S, por ejemplo:
(1,0) + (0,1) = (1,1) ∈ S.
Se cumple (c) pues el producto de un vector de S por un número real está en S:
k(x,y) = (kx,ky).
Por lo tanto, S es subespacio de V.
PARTE C
𝛼 [
𝑎1 2𝑎1 3𝑎1
𝑏1 2𝑏1 3𝑏1
] + 𝛽 [
𝑎2 2𝑎2 3𝑎2
𝑏2 2𝑏2 3𝑏2
] + 𝛾 [
𝑎3 2𝑎3 3𝑎3
𝑏3 2𝑏3 3𝑏3
]
= [
𝛼𝑎1 𝛼2𝑎1 𝛼3𝑎1
𝛼𝑏1 𝛼2𝑏1 𝛼3𝑏1
] + [
𝛽𝑎2 𝛽2𝑎2 𝛽3𝑎2
𝛽𝑏2 𝛽2𝑏2 𝛽3𝑏2
] + [
𝛾𝑎3 𝛾2𝑎3 𝛾3𝑎3
𝛾𝑏3 𝛾2𝑏3 𝛾3𝑏3
]
= [
𝛼𝑎1 + 𝛽𝑎2+𝛾𝑎3 𝛼2𝑎1+𝛽2𝑎2+𝛾2𝑎3 𝛼3𝑎1+𝛽3𝑎2 + 𝛾3𝑎3
𝛼𝑏1+𝛽𝑏2+𝛾𝑏3 𝛼2𝑏1 + 𝛽2𝑏2 + 𝛾2𝑏3 𝛼3𝑏1+𝛽3𝑏2 + 𝛾3𝑏3
] ∈ 𝑆
Por lo tanto, S es subespacio vectorial de V.
4. Para los siguientes subespacios, encuentre una base y su dimensión.
b. 𝑊 = {(−
3
8
𝑑 + 2𝑐, 3𝑏,
5
4
𝑎, 3𝑎 −
5
3
𝑐) 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ⁄ }
Solución
Dim(W)=4
Ya que es la cantidad de vectores que componen una base de W.
Determinamos si W es linealmente independiente.
𝛼1 (−
3
8
𝑑 + 2𝑐) + 𝛼2(3𝑏)+ 𝛼3 (
5
4
𝑎) + 𝛼4 (3𝑎 −
5
3
𝑐) = 0𝑎 + 0𝑏 + 0𝑐 + 0𝑑
{
5
4
𝛼3 + 3𝛼4 = 0
3𝛼2 = 0
2𝛼1 −
5
3
𝛼4 = 0
−
3
8
𝛼1 = 0
3𝛼2 = 0
𝛼2 = 0
−
3
8
𝛼1 = 0
𝛼1 = 0
𝛼3 = 0

4. 𝛼4 = 0
Cómo la única solución es la trivial, entonces el conjunto es LI.
Ahora, determinamos la base.
𝛼1 (−
3
8
𝑑 + 2𝑐) + 𝛼2(3𝑏)+ 𝛼3 (
5
4
𝑎) + 𝛼4 (3𝑎 −
5
3
𝑐) = 𝑤𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑦𝑐 + 𝑧𝑑
{
5
4
𝛼3 + 3𝛼4 = 𝑤
3𝛼2 = 𝑥
2𝛼1 −
5
3
𝛼4 = 𝑦
−
3
8
𝛼1 = 𝑧
→
{
𝛼3 =
4
5
𝑤 +
36
25
𝑦 +
192
25
𝑧
𝛼2 =
1
3
𝑥
𝛼4 = −
3
5
𝑦 −
16
5
𝑧
𝛼1 = −
8
3
𝑧
Para cualquier (a,b,c,d) en ℝ4
es posible encontrar los escalares α1, α2, α3 y α4.
Probamos que W genera ℝ4
.
Entonces 𝑊 = {(−
3
8
𝑑 + 2𝑐, 3𝑏,
5
4
𝑎, 3𝑎 −
5
3
𝑐) 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ⁄ } es una base de ℝ4
.
𝐷𝑖𝑚(ℝ4) = 4
Ya que es la cantidad de vectores que componen una base de W.