1. Capítulo 2
Conceptos Básicos
En este capítulo se revisan los conceptos y resultados básicos del cálculo
diferencial. Su contenido no refleja la forma en que el autor piensa que debe
enseñarse el Cálculo, sino más bien lo que éste cree que un profesor de Cálculo
debería saber.
Un curso de Cálculo para estudiantes que lo vean por primera vez requeriría
de mucha más motivación, ejemplos y ejercicios. Además, el grado de formalidad
y rigor debería adaptarse al nivel y objetivos del curso. No debe olvidarse que
la mayor parte del Cálculo se desarrolló antes de poseer definiciones formales
de los conceptos básicos (como los de número real y límite), y por lo tanto un
om
curso para estudiantes interesados en aplicar el cálculo no necesita detenerse en
.c
a1
los aspectos más sutiles de su fundamentación.
ic
at
em
Como se supone que el lector ya está más o menos familiarizado con estos
at
.M
temas, las demostraciones que se incluyen son bastante concisas y esquemáticas.
w
w
Los ejercicios, más que a desarrollar habilidades específicas, están destinados a
w
refrescar la memoria del lector o a llamar la atención sobre puntos interesantes
o delicados. Para una exposición más completa el lector puede consultar la
bibliografía, por ejemplo [2], [9] o [13].
2.1. Los números reales
Para el desarrollo riguroso del cálculo son imprescindibles los números reales.
Pero hasta la segunda mitad del siglo XIX no hubo una definición formal ni
un tratamiento riguroso de los números reales, de modo que se puede decir
que los creadores del cálculo y los matemáticos que lo desarrollaron en sus
primeros dos siglos, lo hicieron a pesar de poseer tan sólo una comprensión
intuitiva de los números reales. Esta noción intuitiva asimilaba un número real a
la medida de una magnitud (longitud, área, tiempo, etc.) e incluía la posibilidad
de aproximarlo con cualquier grado de precisión mediante fracciones, o mediante
expresiones decimales finitas. También se aceptaba que, fijados un origen O y un
punto A en una recta, a cada punto B de la recta se le puede hacer corresponder

2. 12 Conceptos Básicos
un número real igual a la medida del segmento OB respecto a la unidad OA,
y que recíprocamente para cada número real x existe un único punto B en la
recta tal que la medida del segmento OB respecto a la unidad OA es x.
En la enseñanza media los números reales se definen como expresiones deci-
males infinitas g, a1 a2 a3 . . ., donde g es un número entero (posiblemente prece-
dido de un signo + ó −) y a1 , a2 , a3 , . . . son dígitos. Las expresiones decimales
finitas pueden identificarse con expresiones decimales infinitas agregándoles in-
finitos ceros a la derecha. También se enseña que a cada número racional le
corresponde o bien una expresión decimal finita o bien una expresión decimal
infinita periódica, mientras que las expresiones decimales infinitas no periódicas
son números irracionales.
Este enfoque, aunque aceptable, presenta varios problemas, entre los cuales
se pueden mencionar los siguientes:
1. Hace depender a los números reales del sistema decimal. Una buena defi-
nición debería ser independiente de la base en que se representen.
2. Hay expresiones diferentes que corresponden al mismo número, por ejem-
plo 1,5 = 1,4999 . . .
3. Definir las operaciones básicas (la suma, y especialmente el producto) con
om
expresiones decimales infinitas, presenta ciertas dificultades.
.c
a1
ic
at
4. Tampoco es sencillo demostrar las propiedades básicas de las operaciones
em
(asociatividad, distributividad, etc.)
at
.M
w
w
Por esas razones en la segunda mitad del siglo XIX varios matemáticos (entre
w
ellos Cantor, Méray, Dedekind y Weierstrass) trabajaron para poner al núme-
ro real sobre bases más sólidas, proponiendo diversas formas de construirlos a
partir de los racionales. Entre los métodos propuestos se pueden mencionar las
cortaduras de Dedekind, los pares de clases contiguas, los pares de sucesiones
monótonas contiguas y las sucesiones de Cauchy.
Veamos brevemente el método de las cortaduras (para más detalles vea [8]).
Una cortadura es un par (I, S) de subconjuntos no vacíos del conjunto Q de los
números racionales, tales que
1. I ∪ S = Q, I ∩ S = ∅.
2. si x ∈ I y y ∈ S, entonces x < y.
3. I no tiene elemento máximo.
Al conjunto I se le llama clase inferior y al S clase superior de la cortadura.
Observe que la clase inferior I determina completamente la cortadura, ya que
la clase superior S es el complement6o de I en Q.
Para cada número racional q se puede construir una cortadura (Iq , Sq ) po-
niendo Iq = {x ∈ Q : x < q}, Sq = {x ∈ Q : x ≥ q}. Observe que en esta
cortadura q es el mínimo de la clase superior.

3. 2.1 Los números reales 13
Un ejemplo más interesante es el siguiente: I = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2},
S = {x ∈ Q : x > 0y x2 ≥ 2}. En esta cortadura, ni la clase inferior tiene máxi-
√
mo ni la clase superior tiene mínimo. Si supiéramos qué cosa es 2, podríamos
decir que la clase inferior contiene todas las aproximaciones por defecto de ese
número, y la clase superior todas√ aproximaciones por exceso. La idea de De-
las
dekind fue sencillamente definir 2 mediante esa cortadura. En otras palabras,
para Dedekind un número real es una cortadura.
El conjunto de todos los números reales se denota R. En R es muy fácil definir
un orden: si α = (I, S) y α′ = (I ′ , S ′ ) son números reales, se dice que α ≤ α′
si I ⊆ I ′ . Es inmediato verificar que ≤ es una relación reflexiva, transitiva y
antisimétrica.
La suma α + α′ es la cortadura cuya clase inferior es I + I ′ = {x + x′ : x ∈
I, x′ ∈ I ′ }. Es inmediato probar que la adición es conmutativa y asociativa, y
que el cero (definido por la cortadura con clase inferior {x ∈ Q : x < 0}) es un
elemento neutro para esta operación.
También se puede definir el producto y probar las leyes asociativa, conmu-
tativa y distributiva.
Lamentablemente para analizar en detalle cualquiera de las construcciones de
los números reales se requiere un tiempo del que generalmente no se dispone en
los cursos de cálculo. Además exige un esfuerzo que tal vez sólo se les puede pedir
om
a los estudiantes matemáticamente orientados. La alternativa más corriente hoy
.c
a1
en día consiste en introducir los números reales axiomáticamente. La ventaja
ic
at
de este método, además de la rapidez, es que el estudiante dispone de entrada
em
at
de una lista de propiedades básicas de los números reales, que puede usar como
.M
punto de partida para demostrar otras.
w
w
w
Axiomas del sistema de los números reales
En el enfoque axiomático se supone dado un conjunto R que contiene dos
elementos distinguidos 0 y 1, en el cual están definidas dos operaciones binarias
+ y · (suma y producto) y una relación <, de manera tal que se cumplen los
siguientes axiomas:
A1. a + (b + c) = (a + b) + c para todos los a, b, c ∈ R.
A2. a + b = b + a para todos los a, b ∈ R.
A3. a + 0 = a para todo a ∈ R.
A4. Para todo a ∈ R existe −a ∈ R tal que a + (−a) = 0.
A5. a · (b · c) = (a · b) · c para todos los a, b, c ∈ R.
A6. a · b = b · a para todos los a, b ∈ R.
A7. a · 1 = a para todo a ∈ R.
A8. Para todo a ∈ R {0} existe un a−1 ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.

4. 14 Conceptos Básicos
A9. 1 = 0.
A10. a · (b + c) = a · b + a · c para todos los a, b, c ∈ R.
A11. Para a, b, c ∈ R, si a < b y b < c entonces a < c.
A12. Si a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta:
(i) a < b, (ii) a = b, (iii) b < a.
A13. Para a, b, c ∈ R, si a < b entonces a + c < b + c.
A14. Para a, b, c ∈ R, si a < b y 0 < c entonces a · c < b · c.
A15. Cualquier subconjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene una
cota superior mínima.
La mayoría de estos axiomas corresponden a conocidas propiedades: A1 y
A2 son las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, A3 dice que el 0
es neutro para la suma, A4 afirma la existencia de un opuesto aditivo para cada
a ∈ R, A5 y A6 son las propiedades asociativa y conmutativa para el producto,
A7 dice que 1 es neutro para el producto, A8 afirma la existencia de un inverso
multiplicativo para cada a = 0, A10 es la propiedad distributiva, A11 es la
mo
.c
transitividad de <, A12 es la tricotomía, A13 y A14 son la monotonía de <
a1
ic
respecto a la suma y el producto, y A15 es el axioma de completitud, también
at
em
llamado principio del supremo.
at
.M
Los axiomas A1...A10 caracterizan la estructura algebraica llamada cuerpo.
w
w
A11 y A12 son los axiomas de una relación de orden. A13 y A14 relacionan
w
el orden con la estructura algebraica. Los axiomas A1...A14 caracterizan a los
llamados cuerpos ordenados. Si se pone el cuerpo Q de los números racionales
en lugar de R en los axiomas A1...A14, todos se satisfacen. El axioma A15 en
cambio es característico de los números reales, y enseguida lo trataremos con
mayor detenimiento.
El enfoque axiomático plantea varias preguntas importantes, entre las cuales
cabe destacar: (1) ¿Existe algún conjunto R con las propiedades especificadas
por los axiomas? (2) Admitiendo que exista, ¿es esencialmente único? (3) ¿Los
axiomas son consistentes?, es decir, ¿no podrá derivarse de ellos alguna contra-
dicción?
La respuesta a la primer pregunta es que, a partir del sistema de los números
naturales o de la teoría de conjuntos, se pueden construir modelos de R que
satisfacen todos los axiomas. Esto da una respuesta parcial a la tercera pregunta,
ya que reduce la consistencia del sistema de los números reales a la consistencia
de la aritmética, o de la teoría de conjuntos. Y decimos que la respuesta es
parcial porque estas dos últimas teorías no se sabe si son consistentes.
La respuesta a la segunda pregunta es que estos axiomas realmente caracte-
rizan a los números reales, en el sentido de que cualquier par de sistemas que los
satisfagan son isomorfos, tanto algebraicamente como desde el punto de vista
del orden.

5. 2.1 Los números reales 15
√ √ √
Ejercicio 2.1. Sea Q( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}. Pruebe que poniendo Q( 2)
en lugar de R en los axiomas A1...A14, todos ellos se satisfacen.
Recordemos ahora algunas definiciones:
Definición 2.1. Un número real c es cota superior de un conjunto A ⊂ R, si
para todo a ∈ A se cumple a ≤ c. En este caso se dice que A está acotado
superiormente. Un número real M es máximo de A ⊂ R, si M es cota superior
de A y además M ∈ R. Análogamente d ∈ R es cota inferior de A si para todo
a ∈ A se cumple d ≤ a (en este caso se dice que A está acotado inferiormente) y
m ∈ R es mínimo de A, si m es cota inferior de A y además m ∈ R. Un conjunto
es acotado si lo está tanto superior como inferiormente. Si el conjunto de las cotas
superiores de un conjunto A tiene mínimo, a ese mínimo se le llama supremo o
extremo superior de A y se denota sup A. Análogamente, si el conjunto de las
cotas inferiores de A tiene máximo, a ese máximo se le llama ínfimo o extremo
inferior de A, y se denota ´ A.
ınf
Es claro que el máximo y el mínimo de un conjunto, si existen, son únicos.
Ejemplo 2.1. Sea R+ = {x ∈ R : x > 0} la semirecta real positiva. R+ no
tiene ninguna cota superior, pero cualquier número real c ≤ 0 es cota inferior.
m
o
El 0 es la mayor cota inferior, por lo tanto 0 es el ínfimo de R+ . Como 0 ∈ R+ ,
.c
a1
R+ no tiene mínimo.
ic
at
em
√
at
Ejemplo 2.2. Sea X = {−3, −1, 0, 2, 2, π}. Entonces −5 es cota inferior, 5 es
.M
w
cota superior, -3 es mínimo y π es máximo de X.
w
w
Ejercicio 2.2. Pruebe que c = sup A si y sólo si c es cota superior de A y, para
todo b < c, existe a ∈ A tal que b < a ≤ c. Enuncie y pruebe una condición
similar para los ínfimos.
El axioma A15 se puede enunciar de la siguiente manera.
Principio del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de
números reales tiene supremo.
En el conjunto Q de los números racionales el Principio del supremo no
vale. Por ejemplo, el conjunto A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2} es acotado
superiormente por 3/2 (ya que si x ≥ 3/2 entonces x2 ≥ 9/4 > 2 y x ∈ A), pero
no tiene supremo en Q.
Para probarlo, comencemos por recordar la conocida demostración de que
2 no es el cuadrado de ningún número racional. Supongamos, por absurdo, que
existiese un número racional cuyo cuadrado sea 2, y expresémoslo mediante una
fracción irreducible p/q. Entonces (p/q)2 = 2, de donde p2 = 2q 2 y p2 sería
par. Pero entonces p debe ser par y lo podemos escribir como p = 2r, para
algún entero r. Como (2r)2 = 2q 2 , es decir 4r2 = 2q 2 , se sigue que 2r2 = q 2 , y
resulta que q también debería ser par, contradiciendo el hecho de que p/q era
una fracción irreducible.

6. 16 Conceptos Básicos
En segundo lugar probaremos que para todo x ∈ A existe otro x′ ∈ A tal
que x′ > x. En efecto, si x < 1 basta tomar x′ = 1. Si x ≥ 1, sea h = (2 − x2 )/4.
Como 1 ≤ x2 < 2 se tiene 0 < h ≤ 1/4. Entonces (x + h)2 = x2 + (2x + h)h <
x2 + (3 + 1/4)h < x2 + 4h = 2. Es decir que si tomamos x′ = x + h se tiene
x′ ∈ A y x′ > x.
También se cumple que, si y > 0 y y 2 > 2, entonces existe y ′ tal que 0 <
y ′ < y y y 2 > 2. En efecto, si ponemos x = 2/y se tiene x2 = 4/y 2 < 4/2 = 2,
y entonces como acabamos de ver existe x′ ∈ A tal que x′ > x. Si tomamos
y ′ = 2/x′ entonces y ′ = 2/x′ < 2/x = y y y ′2 = 4/x′2 > 4/2 = 2.
Ahora es fácil probar que A no tiene supremo en Q. En efecto, si c < 0 ó
c > 0 y c2 < 2, entonces c ∈ A, y como vimos existe un c′ ∈ A tal que c′ > c,
por lo tanto c no puede ser cota superior de A.
Si c > 0 y c2 > 2, entonces ciertamente c es cota superior de A, pero como
existe c′ tal que 0 < c′ < c y c′2 > 2, c no es cota superior mínima de A.
El único caso que quedaría por examinar es cuando c > 0 y c2 = 2, pero eso
ya vimos que no es posible.
En el conjunto de los números reales R, el conjunto A debe tener un supremo
c > 0. Como ya sabemos que no puede ser c2 < 2 ni c2 √ 2, la única posibilidad
>
que queda es c2 = 2, y ese es el número que llamamos 2.
m
Por razones de simetría, existe también un
o
.c
a1
Principio del ínfimo: Todo conjunto no vacío y acotado inferiormente de
ic
at
em
números reales tiene ínfimo.
at
.M
El Principio del ínfimo y el Principio del supremo son equivalentes (ver
w
w
ejercicios).
w
Prueba del Principio del Supremo
Cuando los números reales se construyen a partir de los números raciona-
les, el principio del Supremo puede y debe demostrarse. Usando cortaduras de
Dedekind es muy fácil: Si A ⊂ R es no vacío y acotado superiormente, y cada
a ∈ A es una cortadura (Ia , Sa ), entonces la cortadura cuya clase inferior es
∪a∈A Ia es el supremo de A (la verificación es inmediata).
Si los reales se definen como expresiones decimales infinitas, la prueba tam-
bién es fácil pero más trabajosa. La haremos sólo para el caso en que A tenga
algún elemento no negativo, dejando el otro caso como ejercicio.
Condideremos el conjunto A0 formado por las partes enteras de los elementos
de A. Como A es acotado superiormente, A0 contiene sólo un número finito
de elementos no negativos, y por lo tanto tiene un elemento máximo g ≥ 0.
Condideremos ahora el conjunto A1 formado por todos los elementos de A que
tienen parte entera g. Sea a1 el mayor dígito que aparezca como primer cifra
decimal de algún elemento de A1 . Sea A2 el conjunto formado por todos los
elementos de A1 que comienzan con g, a1 . Sea a2 el mayor dígito que aparezca
como segunda cifra decimal de algún elemento de A2 . Continuando de este modo
se obtiene un real g, a1 a2 . . . que es el supremo de A.

7. 2.1 Los números reales 17
Como ejemplo, sea A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2}. Entonces A0 =
{. . . , −2, −1, 0, 1} y g = 1. Ahora A1 = {1+x : x ∈ Q, 0 ≤ x < 1, (1+x)2 < 2}.
Como 1, 42 = 1, 96 < 2 pero 1, 52 > 2, es claro que a1 = 4. Del mismo modo,
como 1, 412 = 1, 9881 < 2 pero 1, 422 = 2, 0164 > 2, resulta a1 = 1. Prosiguien-
do de esta manera se van obteniendo las cifras del supremo: 1, 4142 . . . (que por
√
supuesto es 2).
Sean a, b ∈ R con a ≤ b. Llamaremos intervalo abierto con extremos a y b al
conjunto
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Análogamente se define el intervalo cerrado con extremos a y b como
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
y los intervalos semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} y
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.
También consideraremos los intervalos no acotados abiertos (a, +∞) = {x ∈
R : a < x} y (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, y los cerrados: [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤
x} y (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}. En general llamaremos intervalo a cualquiera
de los anteriores y al propio R. El interior de un intervalo I es el mayor intervalo
m
abierto contenido en él, y se denota I ◦ . Por ejemplo [a, b]◦ = [a, b)◦ = (a, b]◦ =
o
.c
a1
(a, b), [a, +∞)◦ = (a, +∞).
ic
at
em
Un subconjunto A de R se dice que es convexo si para cualquier par de
at
.M
elementos a < b de A se cumple [a, b] ⊂ A.
w
w
w
Ejercicio 2.3. Pruebe que los subconjuntos convexos de R son precisamente
los intervalos.
Si a ∈ R y δ > 0, se llamará entorno abierto de centro a y radio δ al intervalo
Ua (δ) = (a − δ, a + δ). Aunque el término entorno se utiliza a veces en un sentido
más general, en estas notas se entenderá siempre por entorno de a un entorno
abierto de centro a. Llamaremos semientorno derecho (resp. izquierdo) de a a
un intervalo de la forma [a, a + δ) (resp. (a − δ, a]).
Se llamará entorno reducido abierto de centro a y radio δ al conjunto Ua (δ) =
∗
Ua (δ) {a} = (a− δ, a)∪(a, a+ δ), que se obtiene de Ua (δ) suprimiendo al propio
a. Análogamente, se llama semientorno reducido derecho (resp. izquierdo) de a
a un intercalo de la forma (a, a + δ) (resp. (a − δ, a)).
Ejercicio 2.4. Si A ⊂ R llamemos −A al conjunto {−x : x ∈ A}. (a) Pruebe
que c ∈ R es cota superior de A si y sólo si −c es cota inferior de −A. (b) Pruebe
que c = sup A si y sólo si −c = ´ −A.
ınf
Ejercicio 2.5. Demuestre el Principio del ínfimo a partir del Principio del
supremo, y viceversa.
Ejercicio 2.6. Si A, B ⊂ R son acotados superiormente, entonces sup(A+B) =
sup A + sup B.

8. 18 Conceptos Básicos
2.2. Funciones
El concepto de función se fue clarificando durante el siglo XIX, a través de los
trabajos de Cauchy, Dirichlet, Fourier y Weierstrass, entre otros, hasta que en
su forma moderna y general (función como correspondencia arbitraria) aparece
explícitamente a comienzos del siglo XX en el Cours d’analyse mathématique de
Goursat.
Si A y B son dos conjuntos, se define el producto cartesiano A × B de ambos
como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a en A y b en B, es
decir
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
A × A se abrevia A2 , y por inducción se definen A3 = A2 × A, A4 = A3 × A,. . . ,
An = An−1 × A.
Una relación de A en B es un subconjunto de A × B.
Las funciones son un tipo especial de relaciones. Más precisamente, una
relación f de A en B es una función si se cumple que, para cada a ∈ A, existe
un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . O dicho de otra manera, si (a, b) ∈ f y
(a, b′ ) ∈ f entonces b = b′ . Para indicar que f es una función de A en B se
utiliza la notación f : A → B. Al conjunto A se le llama dominio de la función
y a B codominio. Si (a, b) ∈ f entonces se escribe f (a) = b, y se dice que b es la
om
imagen de a por f . También se dice que a es una preimagen de b por f . Observe
.c
a1
que cada elemento a ∈ A tiene exactamente una imagen por f , mientras que un
ic
at
elemento b ∈ B puede tener una, ninguna o muchas preimágenes por f .
em
at
Intuitivamente, una función de A en B no es más que una correspondencia
.M
w
que a cada elemento a ∈ A le asocia un único elemento f (a) ∈ B. La definición
w
w
que hemos presentado no es más que el resultado de un largo esfuerzo por tratar
de formalizar el concepto intuitivo pero algo vago de correspondencia.
Al conjunto f (A) = {f (x) : x ∈ A} se le llama recorrido de f ; en general es
un subconjunto del codominio B. En el caso de que f (A) = B, se dice que f
es sobreyectiva, o simplemente sobre. Esto equivale a decir que para cada b ∈ B
existe algún a ∈ A tal que f (a) = b.
f : A → B es inyectiva o uno a uno si las imágenes de elementos diferentes
de A son diferentes, es decir si x = y implica f (x) = f (y).
Si f es tanto inyectiva como sobreyectiva entonces se dice que es biyectiva.
En este caso, el conjunto de pares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } es
también una función, que se denomina inversa de f y se denota f −1 .
Ejercicio 2.7. Para cualquier conjunto A se define la función identidad IA :
A → A como IA (x) = x para todo x ∈ A. Pruebe que IA es biyectiva.
Ejercicio 2.8. Pruebe que si f : A → B es biyectiva, entonces el conjunto de
pares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } es también una función.
En estas notas se consideran principalmente funciones del tipo f : I → R,
cuyo dominio es un intervalo I de R (o una unión de intervalos) y cuyo codominio
es R. Estas funciones se conocen como funciones reales de una variable real. A

9. 2.2 Funciones 19
las funciones g : A → R donde A ⊂ Rn se les llama funciones reales de n
variables reales.
Ejemplo 2.3. Si c ∈ R, a la función f : R → R definida mediante f (x) = c
para todo x ∈ R se le llama función constante.
Ejemplo 2.4. Si a, b ∈ R, a la función g : R → R definida mediante g(x) =
ax + b se le llama función lineal (o afín).
Ejemplo 2.5. Si a, b, c ∈ R, a la función h : R → R definida mediante h(x) =
ax2 +bx+c se le llama función cuadrática. Análogamente se definen las funciones
polinómicas de grado superior.
Ejemplo 2.6. k : (0, +∞) → R definida mediante k(x) = log x es la función
logaritmo natural.
En muchos textos se suele dar una expresión analítica, por ejemplo
√
1 − x2
,
2x − 1
y se pide “hallar el dominio”. Estrictamente hablando esto no tiene mucho senti-
do, pues para que una función esté bien definida, se debe especificar cuáles son
m
su dominio y su codominio. En realidad lo que se pretende en estos casos es que
o
.c
a1
se halle el subconjunto más grande posible de R en el cual la expresión dada
ic
at
permita definir una función. Por ejemplo la expresión anterior tiene sentido si
em
1 − x2 ≥ 0 y 2x − 1 = 0, es decir si |x| ≤ 1 y x = 1/2. Por lo tanto se puede
at
.M
definir una función f con dominio [−1, 1/2) ∪ (1/2, 1] y codominio R mediante
w
√
w
w
f (x) = 1 − x2 /(2x − 1).
2.2.1. Operaciones con funciones
Las funciones a valores reales pueden combinarse mediante operaciones arit-
méticas para formar nuevas funciones. Así, si f es una función y c ∈ R una
constante, se definen las funciones −f y cf (con el mismo dominio que f ) me-
diante (−f )(x) = −f (x) y (cf )(x) = cf (x). Si f y g son funciones reales con
dominios Df y Dg , respectivamente, se definen f + g y f g en Df ∩ Dg mediante
(f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f g)(x) = f (x)g(x). También se puede definir f /g
mediante (f /g)(x) = f (x)/g(x), en Df ∩ {x ∈ Dg : g(x) = 0}.
Dadas dos funciones g : A → B y f : C → D, supongamos que g(A) ⊂ C.
Entonces se puede definir la composición de f y g, denotada f ◦ g, mediante
(f ◦ g)(x) = f (g(x)). Por ejemplo si f (x) = x2 + 3x − 1 y g(x) = 2x + 1, entonces
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 1 = 4x2 + 10x + 3.
La composición de funciones es asociativa, es decir que (f ◦ g)◦ h = f ◦ (g ◦ h).
Ejercicio 2.9. Si f : A → B es biyectiva y f −1 es su inversa, pruebe que
f −1 ◦ f = IdA y f ◦ f −1 = IdB .
Ejercicio 2.10. Sea f : A → B. Pruebe que

10. 20 Conceptos Básicos
1. f es inyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que g ◦ f = IdA .
2. f es sobreyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que f ◦ g = IdB .
2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones
Las nociones de cota, máximo, mínimo, supremo e ínfimo que se definieron
para conjuntos de números reales en la sección 2.1 pueden trasladarse a funciones
f : I → R, aplicándolas al conjunto f (I). Por ejemplo: se dice que f es acotada
superiormente si f (I) lo es, es decir si existe c ∈ R tal que f (x) ≤ c para todo
x ∈ I. Del mismo modo, se dice que f tiene máximo si f (I) lo tiene, o sea si
existe un real M tal que f (x) ≤ M para todo x ∈ I y M ∈ f (I). También se
dice que f alcanza su máximo en a o que a es un punto máximo de f si f (a)
es el máximo de f . Observe que el máximo de una función, si existe, es único.
Expresiones análogas se usan para cotas inferiores y mínimos.
Sea f : I → R y a ∈ I. Si existe un entorno V de a tal que f (x) ≤ f (a) para
todo x ∈ V ∩ I, entonces se dice que f (a) es un máximo local, y a es un punto
máximo local.
Observe que una función puede tener varios máximos locales (también puede
om
.c
tener sólo uno, o ninguno).
a1
ic
A los máximos locales algunos autores les llaman máximos relativos, y en-
at
em
tonces al máximo le llaman máximo absoluto.
at
.M
De manera análoga se define el concepto de mínimo local. A los máximos y
w
w
w
mínimos locales se les llama extremos locales (o relativos).
Definición 2.2. Una función f : I → R se dice que es
monótona creciente si x ≤ y implica f (x) ≤ f (y), para todo x, y ∈ I,
estrictamente creciente si x < y implica f (x) < f (y) para todo x, y ∈ I,
monótona decreciente si x ≤ y implica f (x) ≥ f (y), para todo x, y ∈ I, y
estrictamente decreciente si x < y implica f (x) > f (y) para todo x, y ∈ I.
A las funciones monótonas crecientes o decrecientes se les llama conjunta-
mente monótonas.
Ejercicio 2.11. Si f : I → R no es monótona, pruebe que existen a < b < c en
I tales que, o bien f (a) > f (b) < f (c), o bien f (a) < f (b) > f (c).
En estas notas se usarán los términos creciente y decreciente como formas
abreviadas de monótona creciente y monótona decreciente, respectivamente, pe-
ro advertimos al lector que algunos autores utilizan estos términos como sinóni-
mos de estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Otros autores llaman
no-decrecientes a las funciones monótonas crecientes, y entonces a las monóto-
nas decrecientes les llaman no-crecientes, terminología desafortunada pues una
función que no es creciente no tiene porqué ser no-creciente.

11. 2.3 Límites 21
2.3. Límites
El concepto de límite es la noción fundamental del cálculo, en su formulación
moderna. Sea f una función real definida en un entorno reducido de c ∈ R.
Informalmente se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a c es L, y se
escribe l´ x→c f (x) = L, cuando la diferencia entre f (x) y L puede hacerse tan
ım
pequeña como se quiera, en valor absoluto, tomando x suficientemente próximo
a c. Más formalmente:
Definición 2.3 (Límites con entornos).
Se dice que l´ x→c f (x) = L si, dado cualquier entorno U de L, existe un
ım
entorno reducido V ∗ de c tal que f (V ∗ ) ⊂ U .
Recordando que UL (ǫ) = (L − ǫ, L + ǫ) y Uc (δ) = (c − δ, c + δ) {c}, la
∗
definición anterior es equivalente a la siguiente:
Definición 2.4 (Límites con desigualdades).
Se dice que l´ x→c f (x) = L si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si
ım
0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < ǫ.
Observe que para la existencia de l´ x→c f (x) no hace falta que f esté defi-
ım
m
co
nida en c, sino tan solo en un entorno reducido de c.
.
a1
ic
at
Ejercicio 2.12. Si f : R → R es la función de valor constante k (es decir f (x) =
m
e
at
k para todo x ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R se tiene l´ x→c f (x) = k.
ım
.M
w
w
w
Ejercicio 2.13. g : R → R es la función identidad (es decir g(x) = x para todo
x ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R es tiene l´ x→c g(x) = c.
ım
Ejercicio 2.14. Si h : R → R se define mediante
1 si x ∈ Q,
h(x) =
0 si x ∈ Q,
pruebe que no existe l´ x→c h(x) para ningún c ∈ R.
ım
1
Ejercicio 2.15. Sea k(x) = sen x para x = 0. Pruebe que no existe l´ x→0 k(x).
ım
Ejercicio 2.16. Si f (x) ≤ g(x) en un entorno reducido de c pruebe que, si
ambos límites existen, entonces l´ x→c f (x) ≤ l´ x→c g(x).
ım ım
2.3.1. Límites laterales e infinitos
Si f está definida en un intervalo (c, b), se puede definir el límite de f cuando
x tiende a c por la derecha sustituyendo en la definición 2.3 los entornos redu-
cidos de c por semientornos reducidos de la forma (c, c + δ). O, en términos de
desigualdades,

12. 22 Conceptos Básicos
Definición 2.5. Se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la derecha
es L, y se escribe l´ x→c+ f (x) = L o l´ x↓c f (x) = L, si dado cualquier ǫ > 0
ım ım
existe un δ > 0 tal que, si c < x < c + δ, entonces |f (x) − L| < ǫ.
Análogamente se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la izquierda
es L, y se escribe l´ x→c− f (x) = L o bien l´ x↑c f (x) = L, si dado cualquier
ım ım
ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si c − δ < x < c, entonces |f (x) − L| < ǫ.
Ejemplo 2.7. Si f : R → R es la función escalón
0 si x < 0,
f (x) =
1 si x ≥ 0,
entonces l´ x→0 f (x) no existe, pero l´ x→0− f (x) = 0 y l´ x→0+ f (x) = 1.
ım ım ım
Ejercicio 2.17. La función parte entera o piso de x se denota ⌊x⌋ y se define
como el mayor entero que es menor o igual a x. En otras palabras, ⌊x⌋ es el
único entero tal que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. Estudie los límites laterales de f para
cada c ∈ R.
Ejercicio 2.18. Pruebe que l´ x→c f (x) existe si y sólo si l´ x→c+ f (x) y
ım ım
l´ x→c− f (x) existen y son iguales.
ım m
Ejercicio 2.19. Si f : (a, b) → R es monótona creciente, pruebe que existen
o
.c
a1
l´ x→a+ f (x) (y es finito si f es acotada inferiormente) y l´ x→b− f (x) (y es fini-
ım ım
ic
at
to si f es acotada superiormente). Un resultado análogo vale para las funciones
em
at
monótonas decrecientes.
.M
w
w
w
La definición de límite l´ x→c f (x) = L se puede extender al caso en que c,
ım
L o ambos sean infinitos, con o sin signo. Para ello llamaremos entorno de +∞
a cualquier intervalo de la forma (H, +∞) = {x : x > H}, entorno de −∞ a
cualquier intervalo de la forma (−∞, H) = {x : x < H}, y entorno de ∞ a la
unión de intervalos (−∞, −H) ∪ (H, +∞) = {x : |x| > H}.
Por ejemplo l´ x→c f (x) = +∞ si para cualquier intervalo (H, +∞) existe
ım
un entorno reducido V ∗ de c tal que, si x ∈ V ∗ entonces f (x) ∈ (H, +∞).
Expresado con desigualdades esto equivale a:
l´ x→c f (x) = +∞ si para cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si
ım
0 < |x − c| < δ, entonces f (x) > H.
Análogamente l´ x→c f (x) = −∞ si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal
ım
que, si 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) < H, y l´ x→c f (x) = ∞ (sin signo)
ım
si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal que, si 0 < |x − c| < δ, entonces
|f (x)| > H. Observe que l´ x→c f (x) = ∞ equivale a l´ x→c |f (x)| = +∞.
ım ım
Si f está definida en una semirecta (a, +∞), la definición de límite de f (x)
cuando x tiende a +∞ queda así: l´ x→+∞ f (x) = L si dado cualquier ǫ > 0
ım
existe H ∈ R tal que, si x > H, entonces |f (x) − L| < ǫ.
Ejercicio 2.20. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspon-
dientes a l´ x→−∞ f (x) = L, l´ x→+∞ f (x) = +∞, l´ x→+∞ f (x) = −∞,
ım ım ım
l´ x→−∞ f (x) = +∞, l´ x→−∞ f (x) = −∞.
ım ım

13. 2.3 Límites 23
De la misma manera se pueden definir límites laterales infinitos, por ejemplo
l´ x→c+ f (x) = +∞ si dado cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si
ım
0 < x < c + δ, entonces f (x) > H.
Ejercicio 2.21. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspondien-
tes a l´ x→c− f (x) = +∞, l´ x→c+ f (x) = −∞ y l´ x→c− f (x) = ∞.
ım ım ım
Ejercicio 2.22. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 una función
polinómica de grado n > 0, con an > 0. Pruebe que l´ x→+∞ f (x) = +∞, y
ım
que
+∞ si n es par,
ım f (x) =
l´
x→−∞ −∞ si n es impar.
2.3.2. Operaciones con límites
Los límites se comportan bien con respecto a las operaciones que se pueden
realizar con funciones, tales como suma, producto, composición, etc. Sin em-
bargo, hay algunos detalles que hay que tomar en cuenta para no incurrir en
errores.
Teorema 2.1. Dadas f : Uc → R y g : Ua → Uc , si l´ x→a g(x) = c y
∗ ∗ ∗
ım
om
l´ x→c f (x) = L, entonces l´ x→a f (g(x)) = L.
ım ım
.c
a1
ic
at
Demostración. Dado un entorno W de L, como l´ x→c f (x) = L, existe un
ım
em
entorno reducido Vc∗ ⊂ Uc tal que f (Vc∗ ) ⊂ W . Y como l´ x→a g(x) = c, existe
∗
ım
at
.M
un entorno reducido Va ⊂ Ua tal que g(Va ) ⊂ Vc , y más aún g(Va ⊂ Vc∗ .
∗ ∗ ∗ ∗
w
w
w
Entonces (f ◦ g)(Va ) = f (g(Va )) ⊂ f (Vc ) ⊂ W .
∗ ∗ ∗
Ejercicio 2.23. Sea f : R → R definida como f (x) = 1 si x = 0 y f (0) = 0,
y sea g : R → R la función constante g(x) = 0. Entonces l´ x→0 g(x) = 0 y
ım
l´ x→0 f (x) = 1, pero l´ x→0 f (g(x)) = 0. ¿Contradice esto al Teorema 2.1?
ım ım
Teorema 2.2. Sean f y g funciones reales definidas en un entorno reducido de
c. Si existen l´ x→c f (x) = K y l´ x→c g(x) = L, entonces
ım ım
l´ (f (x) + g(x))
ım = K + L,
x→c
l´ (f (x) − g(x))
ım = K − L,
x→c
l´ (f (x)g(x))
ım = KL.
x→c
Si además L = 0, entonces también
f (x) K
l´
ım = .
x→c g(x) L
Y si K > 0, entonces
l´ f (x)g(x) = K L .
ım
x→c

14. 24 Conceptos Básicos
La prueba de este teorema es estándar y puede hallarse en cualquier texto.
Si uno o ambos de los límites de f y g son infinitos, en algunos casos se
pueden deducir los límites de las operaciones entre f y g, pero en otros casos
no se puede. Por ejemplo:
Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito o +∞, entonces l´ x→c (f (x) +
ım ım ım
g(x)) = +∞. Un resultado análogo se tiene si se cambia +∞ por −∞.
Sin embargo, si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) = −∞, no se puede afirmar
ım ım
nada a priori sobre l´ x→c (f (x) + g(x)). Esto se expresa a veces diciendo que
ım
∞ − ∞ es una “forma indeterminada”. Esto sólo significa que el límite no queda
determinado por los límites de las funciones coomponentes f y g. Pero es una
expresión poco afortunada, ya que lleva a muchos alumnos a pensar que un
límite de este tipo “no se puede determinar”, y por lo tanto no se puede hacer
nada con él. Es preciso enfatizar que lo indeterminado es la forma en general,
pero no cada límite en particular. En realidad puede ocurrir que el límite de la
suma no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito. Pero para
averiguar cuál es el caso hace falta un análisis más profundo.
Ejemplo 2.8. Si en R definimos f (x) = x, g1 (x) = −x, g2 (x) = −2x y g3 (x) =
−⌊x⌋, entonces l´ x→+∞ f (x) = +∞ y l´ x→+∞ g1 (x) = l´ x→+∞ g2 (x) =
ım ım ım
l´ x→+∞ g3 (x) = −∞, y se tiene que
ım
l´ x→+∞ (f (x) + g1 (x) = 0,
ım
om
.c
l´ x→+∞ (f (x) + g2 (x) = −∞,
ım
a1
ic
mientras que l´ x→+∞ (f (x) + g3 (x)) no existe.
ım
at
em
at
Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito y positivo o +∞, entonces
ım ım
.M
w
l´ x→c f (x)g(x) = +∞. Análogamente si l´ x→c f (x) = −∞ y l´ x→c g(x) es
ım ım ım
w
w
finito y positivo o +∞, entonces l´ x→c f (x)g(x) = −∞.
ım
En general se puede decir que si el límite de una función es +∞ o −∞ y el
de la otra es +∞, −∞ o un real distinto de 0, entonces el límite del producto
es +∞ o −∞, y el signo se determina mediante la regla usual de los signos.
En cambio si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) = 0, no se puede afirmar
ım ım
nada a priori sobre l´ x→c f (x)g(x). Esto se expresa diciendo que ∞ · 0 es una
ım
“forma indeterminada”, expresión para la cual valen los mismos comentarios que
hicimos para ∞ − ∞. Y como en el caso de la suma, aquí también puede ocurrir
que el límite del producto no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea
infinito, siendo necesario un análisis más profundo para averiguar qué es lo que
en realidad ocurre.
Ejercicio 2.24. Proporcione ejemplos de cada una de las tres posibilidades
descriptas para la forma ∞ · 0.
Para el cociente, si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito y positi-
ım ım
vo, entonces l´ x→c f (x)/g(x) = +∞. Si en cambio l´ x→c f (x) es finito y
ım ım
l´ x→c g(x) = ∞ (con o sin signo), entonces l´ x→c f (x)/g(x) = 0.
ım ım
Si tanto f como g tienen límites infinitos, o si ambas tienen límite 0, no se
puede afirmar nada a priori sobre l´ x→c f (x)/g(x). Es decir que se tienen dos
ım
“indeterminaciones” más: ∞/∞ y 0/0.

15. 2.3 Límites 25
Ejercicio 2.25. Proporcione ejemplos de la forma ∞/∞ y 0/0 para los cuales
el límite a) no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito.
Un resultado sencillo pero muy útil es el siguiente:
Teorema 2.3 (Teorema del sándwich). Si f , g y h son funciones definidas en
un entorno reducido V de c tales que g(x) esté siempre comprendido entre f (x)
y h(x) (es decir, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) o h(x) ≤ g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ V ), y
si l´ x→c f (x) = l´ x→c h(x) = L, entonces l´ x→c g(x) existe y es igual a L.
ım ım ım
Demostración. Dado un entorno de L existen entornos reducidos V1∗ y V2∗ de c
tales que f (V1∗ ) ⊂ U y h(V2∗ ) ⊂ U . Si tomamos V ∗ = V1∗ ∩ V2∗ entonces, para
cualquier x ∈ V ∗ , se tiene que tanto f (x) como h(x) están en U , por lo tanto
todo el intervalo de extremos f (x) y h(x) está contenido en U , y en particular
g(x) ∈ U .
m
o
.c
a1
ic
at
em
at
.M
w
w
w
Figura 2.1: Límite de (sen x)/x.
Ejemplo 2.9. Para calcular l´ x→0 sen x/x consideremos un círculo de centro
ım
O y radio OA = 1. Sea B otro punto de la circunferencia. Si el ángulo ∠AOB se
⌢
mide en radianes, entonces su medida x es igual a la longitud del arco AB. El
segmento de perpendicular desde B al radio OA mide sen x, y el segmento AD
de la tangente a la circunferencia en A, comprendido entre A y la recta OB,
mide tg x. Como el triángulo OAB está contenido en el sector circular OAB
y éste en el triángulo OAD, comparando sus áreas se obtiene que (sen x)/2 <
x/2 < (tg x)/2, es decir sen x < x < tg x. Dividiendo entre sen x (suponiendo

16. 26 Conceptos Básicos
x > 0) se tiene entonces que
x 1
1< < .
sen x cos x
De aquí se deduce, por el teorema del sándwich, que l´ x→0+ x/ sen x = 1 y
ım
por tanto, también l´ x→0+ (sen x)/x = 1. Como la función (sen x)/x es par, se
ım
sigue que l´ x→0 (sen x)/x = 1.
ım
Ejercicio 2.26. Probar que
tg x 1 − cos x 1 1 − cos x
(a) l´
ım = 1, (b) l´
ım 2
= , (c) l´
ım = 0.
x→0 x x→0 x 2 x→0 x
Para l´ x→c f (x)g(x) , si el límite de de f o el de g (o ambos) son infinitos, se
ım
plantean algunos casos fáciles de decidir y otros que requieren un análisis más
profundo. Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es positivo (finito o infinito),
ım ım
entonces l´ x→c f (x)g(x) = +∞. Lo mismo ocurre si l´ x→c f (x) = K > 1 y
ım ım
l´ x→c g(x) = +∞. Si 0 < l´ x→c f (x) < 1 y l´ x→c g(x) = +∞, entonces
ım ım ım
l´ x→c f (x)g(x) = 0.
ım
En cambio no se puede afirmar nada a priori si l´ x→c f (x) = 1 y l´ x→c g(x)
ım ım
= +∞. Esto se conoce como la “forma indeterminada” 1∞ . Un ejemplo impor-
tante es l´ x→0 (1 + x)1/x = e.
ım om
Ejercicio 2.27. Proporcione ejemplos de la forms 1∞ en los cuales el límite a)
.c
a1
no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito.
ic
at
em
Otro caso delicado se presenta cuando l´ x→c f (x) = 0. Suponiendo que
ım
at
.M
f (x) ≥ 0 en un entorno reducido de 0 (de lo contrario f (x)g(x) podría no estar si-
w
w
quiera definido), si l´ x→c g(x) = L > 0 entonces es claro que l´ x→c f (x)g(x) =
ım ım
w
0. Y si L < 0, entonces l´ x→c f (x)g(x) = +∞. Pero si L = 0 aparece una nueva
ım
“forma indeterminada” que se representa como 00 .
2.3.3. Asíntotas
Diremos que una recta r de ecuación y = mx + n es asíntota de la gráfica de
una función f , si la distancia del punto (x, f (x)) a r tiende a 0 cuando x tiende
a +∞ o a −∞. Para que esto ocurra, por ejemplo para x → +∞, debe ser
l´ x→+∞ (f (x) − mx − n) = 0 y por lo tanto l´ x→+∞ (f (x) − mx) = n. Además
ım ım
l´ x→+∞ f (x)/x = l´ x→+∞ (f (x) − mx)/x + m = m. Por lo tanto para hallar
ım ım
una asíntota para x → +∞ debemos calcular primero m = l´ x→+∞ f (x)/x,
ım
y si existe se calcula luego n = l´ x→+∞ (f (x) − mx). Si este segundo límite
ım
también existe, entonces y = mx + n es una asíntota.
Si existe l´ x→+∞ f (x) = n entonces automáticamente l´ x→+∞ f (x)/x =
ım ım
0, y se tiene una asíntota horizontal y = n.
Si existe m = l´ x→+∞ f (x)/x, pero no existe l´ x→+∞ (f (x) − mx), se dice
ım ım
que y = mx es una dirección asintótica.
De modo análogo se buscan asíntotas para x → −∞.
Una asíntota vertical es una recta x = a tal que l´ x→a+ f (x) o l´ x→a− f (x)
ım ım
sea ∞ (con o sin signo).

17. 2.3 Límites 27
Ejemplo 2.10. Sea f (x) = x/(1 + e−x ) + x/(x − 1). Obviamente hay una
asíntota vertical x = 1. Como
f (x) 1 1
l´
ım = l´
ım + l´
ım = 1 + 0 = 1,
x→+∞ x x→+∞ 1 + e−x x→+∞ x − 1
y
x x
l´ (f (x) − x)
ım = l´
ım + −x
x→+∞ x→+∞ 1 + e−x x − 1
−xe−x x
= l´
ım + = 0 + 1 = 1,
x→+∞ 1 + e−x x − 1
se tiene la asíntota oblicua y = x + 1 para x → +∞. Por otra parte
f (x) 1 1
l´
ım = l´
ım + l´
ım = 0 + 0 = 0,
x→−∞ x x→−∞ 1 + e−x x→+∞ x − 1
y
x x
l´
ım f (x) = l´
ım −x
+ = 0 + 1 = 1,
x→−∞ x→−∞ 1+e x−1
om
por lo tanto se tiene una asíntota horizontal y = 1 para x → −∞.
.c
a1
ic
at
em
at
.M
w
w
w
Figura 2.2: Asíntotas
2.3.4. Límites de sucesiones
En esta sección recordamos brevemente el concepto de límite de una sucesión
y su relación con el límite de funciones.

18. 28 Conceptos Básicos
Una sucesión de números reales es una función x : N → R del conjunto de
los números naturales N = {1, 2, 3, . . .} en los reales. El valor x(n) que toma esta
función en el natural n suele denotarse más comúnmente como xn , y la sucesión
misma como x1 , x2 , x3 ,. . . , o más concisamente {xn }n∈N . Se dice que la sucesión
tiene límite L cuando n tiende a infinito, y se escribe l´ n→+∞ xn = L, si dado
ım
cualquier ǫ > 0 existe un natural K tal que |xn − L| < ǫ para todo n ≥ K.
Ejercicio 2.28. Si x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · es una sucesión monótona crecien-
te y acotada superiormente, pruebe que es convergente y que l´ n→+∞ xn =
ım
sup{xn : n = 1, 2, 3, . . .}.
√ √ √
Ejercicio 2.29. Sea x1 = 2, x2 = 2 + 2, x3 = 2+ 2+ 2, . . . Pruebe
que esta sucesión tiene límite y calcúlelo.
Teorema 2.4. Sea f una función definida en un entorno reducido de a tal
que l´ x→a f (x) = L. Entonces para cualquier sucesión {xn } con valores en el
ım
dominio de f , se cumple l´ n→+∞ f (xn ) = L.
ım
La demostración es inmediata y se deja como ejercicio.
Ejemplo 2.11. Como l´ x→0 (sin x)/x = 1 y l´ n→+∞ 1/n = 0, entonces
ım ım om
l´ n→+∞ n sen(1/n) = 1.
ım
.c
a1
ic
at
También vale una forma de recíproco:
em
at
.M
Teorema 2.5. Sea f una función definida en un entorno reducido de a y L ∈
w
w
w
R. Si para cualquier sucesión {xn } con valores en el dominio de f y tal que
l´ n→+∞ xn = a se cumple l´ n→+∞ f (xn ) = L, entonces l´ x→a f (x) = L.
ım ım ım
Una serie de números reales es una expresión de la forma x1 + x2 + x3 + · · · +
xn + · · · donde {xn }n∈N es una sucesión de números reales. A toda serie se le
asocia una sucesión de sumas parciales, definida como X1 = x1 , X2 = x1 + x2 ,
n
X3 = x1 + x2 + x3 ,. . . y en general Xn = k=1 xk . Si existe l´ n→∞ Xn = S,
ım
entonces se dice que la serie es convergente y que su suma es S. En ese caso se
escribe x1 + x2 + x3 + · · · = S. Por ejemplo
1 1 1 1
+ + + · · · n + · · · = 1,
2 4 8 2
n
ya que las sumas parciales son Xn = k=1 1/2k = 1 − (1/2)n+1 (suma de una
progresión geométrica) y l´ n→∞ Xn = l´ n→∞ (1 − (1/2)n+1 ) = 1 − 0 = 1.
ım ım
2.4. Continuidad
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin
levantar el lápiz del papel. Sin embargo no fue fácil convertir esta noción vaga
en la definición precisa actual:

19. 2.4 Continuidad 29
Definición 2.6. Una función f es continua en a si l´ x→a f (x) = f (a). Si
ım
l´ x→a+ f (x) = f (a) se dice que f es continua por la derecha en a, y si l´ x→a−
ım ım
f (x) = f (a) se dice que f es continua por la izquierda en a. Si f no es continua en
a entonces se dice que es discontinua en a, o que presenta una discontinuidad en
a. Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto de ese intervalo,
entendiendo que si el intervalo incluye extremo izquierdo (resp. derecho), en él
se exigirá continuidad por la derecha (resp. izquierda).
La definición de continuidad en un punto se puede desglosar así: f es continua
en a si
1. f está definida en un entorno de a.
2. Existe l´ x→a f (x).
ım
3. f (a) y l´ x→a f (x) son iguales.
ım
Si recordamos la definición de límites por entornos, la definición de continui-
dad se puede reformular así:
f es continua en a si, dado cualquier entorno U de f (a), existe un
m
entorno V de a tal que, si x ∈ V entonces f (x) ∈ U .
o
.c
a1
ic
at
Del mismo modo, recordando la definición de límites por desigualdades, podemos
em
decir que
at
.M
w
w
w
f es continua en a si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que
si |x − c| < δ, entonces |f (x) − f (c)| < ǫ.
Las consideraciones anteriores pueden adaptarse de la manera obvia para
el caso de la continuidad por la derecha o por la la izquierda, considerando
semientornos.
Si l´ x→a f (x) existe, pero es distinto de f (a), se dice que f presenta una
ım
discontinuidad evitable en a. En este caso la discontinuidad se puede “evitar”
redefiniendo f en a como l´ x→a f (x).
ım
Si existen los límites laterales l´ x→a+ f (x) y l´ x→a− f (x), pero son dife-
ım ım
rentes, entonces se dice que f presenta una discontinuidad de salto en a.
Ejercicio 2.30. Pruebe que las funciones f (x) = 1 y g(x) = x son continuas
en todo a ∈ R.
Ejercicio 2.31. Estudie la continuidad de la función h(x) = ⌊x⌋.
Ejercicio 2.32. Estudie la continuidad de la función
1
x sen x si x = 0,
k(x) =
0 si x = 0.

20. 30 Conceptos Básicos
2.4.1. Operaciones con funciones continuas
De las propiedades correspondientes para los límites se deduce fácilmente
que la suma, diferencia, producto y composición de funciones continuas son
continuas. El cociente de funciones continuas es continua en los puntos donde
esté definido (es decir donde no se anule el denominador).
Como la identidad y las funciones constantes son continuas, de lo anterior
se sigue que las funciones polinómicas son continuas, y las funciones racionales
son continuas en los puntos en que no se anule el denominador.
También las demás funciones elementales (la exponencial, el logaritmo, las
potencias de exponente real, las funciones trigonométricas directas e inversas)
son continuas donde estén definidas, y por lo tanto todas las funciones que se
puedan obtener combinándolas por medio de las operaciones anteriormente des-
criptas son continuas. Por estas consideraciones podemos afirmar, por ejemplo,
que la función
cos(x)
f (x) = log(x4 + 5) − sen ex + √
3
x2 + 1
es continua.
om
Ejemplo 2.12. De l´ x→0 (1 + x)1/x = e y por la continuidad del logaritmo se
ım
.c
a1
deduce que l´ x→0 log((1 + x)1/x ) = log(e) = 1, es decir
ım
ic
at
em
log(1 + x)
at
.M
l´
ım = 1.
w
x→0 x
w
w
Haciendo en este últimi límite el cambio de variable x = et − 1 se obtiene
l´ t→0 log(et )/(et − 1) = 1, es decir l´ t→0 t/(et − 1) = 1, y por lo tanto
ım ım
ex − 1
l´
ım = 1.
x→0 x
2.4.2. Propiedades de las funciones continuas
A continuación se enuncian algunos de los resultados más importantes rela-
cionados con funciones continuas.
Teorema 2.6 (Constancia local del signo).
Si f : I → R es continua, c ∈ I y f (c) > 0, entonces existe un entorno V de
c tal que f (x) > 0 para todo x ∈ V . Análogamente, si f (c) < 0 entonces existe
un entorno V de c tal que f (x) < 0 para todo x ∈ V .
La prueba es muy sencilla. Si f (c) > 0 entonces, tomando ǫ = f (c), por
la continuidad de f se tiene que existe δ > 0 tal que, si |x − c| < δ, entonces
|f (x) − f (c)| < ǫ = f (c), es decir −f (c) < f (x) − f (c) < f (c), de donde
0 < f (x) < 2f (c). Por lo tanto si |x − c| < δ, ewntonces f (x) > 0. La prueba
para el caso f (c) < 0 es análoga.

21. 2.4 Continuidad 31
Teorema 2.7 (Teorema de Bolzano).
Si f : [a, b] → R es continua y f (a)f (b) < 0, entonces existe por lo menos un
punto c ∈ (a, b) para el cual f (c) = 0.
En otras palabras este teorema afirma que si una función continua toma valo-
res de signo opuesto en los extremos de un intervalo, entonces se anula en algún
punto interior al mismo. Para probarlo, supongamos por ejemplo que f (a) < 0
y f (b) > 0 y consideremos el conjunto A = {x ∈ [a, b] : f es negativa en [a, x]}.
Como A obviamente es no vacío y acotado, existe c = sup A. usando el teorema
anterior es fácil ver que no puede ser f (c) < 0 (pues entonces habría puntos
de A mayores que c) ni f (c) > 0 (pues entonces habría cotas superiores de A
menores que c), por lo tanto f (c) = 0.
Otra demostración popular se basa en el llamado método de bisección. Sea
c = (a + b)/2. Si f (c) = 0 no hay más nada que hacer. Si f (c) > 0 pongamos
a1 = a y b1 = c; si en cambio f (c) < 0 pongamos a1 = c y b1 = b. En ambos
casos se verifica que f (a1 )f (b1 ) < 0. Sea ahora c1 = (a1 + b1 )/2. Si f (c1 ) = 0
ya está. Si f (c1 ) > 0 pongamos a2 = a1 y b2 = c1 ; si en cambio f (c1 ) < 0
pongamos a2 = c1 y b2 = b1 , y se verifica que f (a2 )f (b2 ) < 0. Prosiguiendo de
esta manera, o encontramos un cero de f o se generan dos sucesiones monótonas
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · y b ≥ b1 ≥ b2 ≥ · · · tales que bn − an = (b − a)/2n .
Sean A = {an : n = 1, 2, . . .} y B = {bn : n = 1, 2, . . .}. Es claro que para
om
.c
índices cualesquiera i, j se tiene ai ≤ bj , de donde se sigue que ai ≤ ´ B para
ınf
a1
ic
todo i y sup A ≤ ´ B. Pero como an ≤ sup A ≤ ´ B ≤ bn , se tiene que
ınf ınf
at
em
0 ≤ ´ B − sup A ≤ bn − an = (b − a)/2n para todo n, de donde sup A = ´ B.
ınf ınf
at
.M
Sea c el valor común de sup A y ´ B.ınf
w
w
Probaremos que f (c) = 0. En efecto, si fuese f (c) > 0, entonces por el
w
teorema anterior f sería positiva en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), para cierto
ǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún an (ya que f (an ) < 0 por
construcción), contradiciendo el hecho de que c es el supremo de A. De manera
similar, si f (c) < 0 f sería negativa en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), para
cierto ǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún bn (ya que f (bn ) > 0 por
construcción), contradiciendo el hecho de que c es el ínfimo de B.
La única posibilidad que queda es f (c) = 0.
La prueba anterior tiene la ventaja de ser constructiva, y por lo tanto propor-
ciona una manera efectiva de calcular aproximadamente raíces de ecuaciones.
Ejemplo 2.13. Supongamos que se desea hallar una raíz aproximada de la
ecuación x3 + x − 1 = 0. Como la función f (x) = x3 + x − 1 es continua,
f (0) = −1 < 0 y f (1) = 1 > 0, el teorema de Bolzano nos dice que existe una
raíz entre 1 y 2. Más aún, como f (1/2) = −3/8 < 0, hay una raíz en [1/2, 1].
Y como f (3/4) = 11/64 > 0, hay una raíz en [1/2, 3/4]. Prosiguiendo de esta
manera se podría hallar la raíz con cualquier grado de precisión deseado (existen
sin embargo métodos más eficientes).
Ejercicio 2.33. Un lago tiene un muelle desde el cual salen lanchas de paseo.
Francisca sale en una lancha a las 3pm y regresa a las 5pm. Gabriel sale en otra

22. 32 Conceptos Básicos
lancha a las 4pm y regresa a las 6pm. Pruebe que en algún momento entre las
4pm y las 5pm Francisca y Gabriel se encuentran a igual distancia del muelle.
Ejercicio 2.34. Pruebe que si f : I → R es continua, entonces tiene la Pro-
piedad de Darboux , es decir que dado cualquier intervalo [a, b] ⊂ I, f toma en
[a, b] todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).
Ejercicio 2.35. Pruebe que si I es un intervalo y f : I → R es continua (o
más en general, si tiene la propiedad de Darboux) entonces f (I) es también un
intervalo.
Ejercicio 2.36. Sea f : I → R continua e inyectiva. Pruebe entonces que f es
estrictamente monótona, y que su inversa f −1 : f (I) → I también es continua.
Ejercicio 2.37. Podría pensarse que la Propiedad de Darboux caracteriza a las
funciones continuas. Pruebe que no es así, construyendo una función que tenga
dicha propiedad pero que no sea continua, al menos en un punto.
¿Existirá alguna función f : [0, 1] → R con la propiedad de Darboux que no
sea continua en ningún punto?
Ejercicio 2.38. Sea f : I → R una función continua. Sean x1 , x2 , . . . , xn puntos
de I. Pruebe que existe un punto c ∈ I tal que
m
co
.
a1
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )
ic
f (c) = .
at
em
n
at
.M
Teorema 2.8.
w
w
w
Si f : [a, b] → R es continua entonces es acotada.
Demostración. Sea A = {x ∈ [a, b] : f ([a, x]) es acotado}. Como a ∈ A, A no
es vacío, y está acotado superiormente por b. Entonces existe c = sup A. Por la
continuidad de f existe un δ > 0 tal que |f (x) − f (c)| < 1 si |x − c| < δ. Por la
proiedad del supremo debe existir x ∈ (c−δ, c]∩A. Como f está acotada en [a, x]
y también en [x, c+δ)∩[a, b], se sigue que está acotada en [a, c+δ)∩[a, b]. Si fuese
c < b entonces f estaría acotada en un intervalo [a, d] con d > c, contradiciendo
la definición de c. Por lo tanto c = b f está acotada en [a, b].
Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente:
Teorema 2.9 (Weierstrass).
Si f : [a, b] → R es continua entonces tiene máximo y mínimo en [a, b].
Demostración. Como f ([a, b]) es acotado, existen M = sup f ([a, b]) y m =
´ f ([a, b]). Hay que probar que f efectivamente toma los valores M y m. Su-
ınf
pongamos por absurdo que f (x) = M para todo x ∈ [a, b]. Entonces la función
g(x) = 1/(M − f (x)) sería continua en [a, b], pero obviamente no acotada, con-
tradiciendo el teorema anterior. Análogamente se llega a una contradicción si se
supone que f (x) = m para todo x ∈ [a, b].
Finalmente enunciaremos sin demostración el siguiente teorema:

23. 2.5 Derivadas 33
Teorema 2.10 (Heine-Cantor).
Si f : [a, b] → R es continua, entonces es uniformemente continua, es decir,
para todo ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si x, y ∈ [a, b] y |x − y| < δ, entonces
|f (x) − f (y)| < ǫ.
En estas notas no utilizaremos este resultado, que sin embargo es muy im-
portante en el Cálculo integral y en otras áreas del análisis matemático.
2.5. Derivadas
Definición 2.7. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga
al número real a. Si existe
f (x) − f (a)
l´
ım
x→a x−a
y es finito, se dice que f es derivable en a; al valor del límite se le llama derivada
de f en a y se denota f ′ (a). Si el límite es infinito se dice que f tiene derivada
infinita en a.
Efectuando el cambio de variable h = x − a, la derivada puede definirse en
forma equivalente como
om
f (a + h) − f (a)
.c
f ′ (a) = l´
ım .
a1
h→0 h
ic
at
em
Si f es derivable en cada punto de su dominio, entonces se dice simplemente
at
.M
que f es derivable, y a la función f ′ que a cada x le hace corresponder el valor
w
w
f ′ (x) se le llama función derivada de f .
w
Es inmediato que si f es derivable en a entonces también es continua en a,
ya que
f (x) − f (a)
l´ (f (x) − f (a)) =
ım l´ (x − a)
ım
x→a x→a x−a
f (x) − f (a)
= l´ (x − a) l´
ım ım = 0 · f ′ (a) = 0.
x→a x→a x−a
Ejemplo 2.14. a) Sea φ una función constante. Entonces
φ(x + h) − φ(x)
φ′ (x) = l´
ım = l´ 0 = 0.
ım
h→0 h h→0
b) Sea f (x) = x. Entonces
f (x + h) − f (x) x+h−x
f ′ (x) = l´
ım = l´
ım = l´ 1 = 1.
ım
h→0 h h→0 h h→0
c) Sea g(x) = x2 , entonces
(x + h)2 − x2 2hx − h2
g ′ (x) = l´
ım = l´
ım = l´ (2x − h) = 2x.
ım
h→0 h h→0 h h→0

24. 34 Conceptos Básicos
d) Sea k(x) = ex . Entonces
ex+h − ex eh − 1
k ′ (x) = l´
ım = l´ ex
ım = ex .
h→0 h h→0 h
e) Sea h(x) = sen x. Como sen(x + h) = sen x cos h + sen h cos x se tiene
h(x + h) − h(x) sen h 1 − cos h
= cos x − sen x
h h h
y por lo tanto
sen h 1 − cos h
h′ (x) = l´
ım cos x − l´
ım sen x = 1 · cos x − 0 · sen x = cos x.
h→0 h h→0 h
Ejercicio 2.39. Calcular, a partir de la definición, las funciones derivadas de
√
1/x, x, cos(x) y log(x).
2.5.1. Derivadas laterales
Si f está definida en [a, b) y existe
m
o
f (x) − f (a)
.c
l´
ım ,
a1
x−a
ic
x→a+
at
em
al valor del límite se le llama derivada por la derecha de f en a y se denota
at
.M
f ′ (a+ ). Análogamente se define la derivada por la izquierda. Es claro que f es
w
w
w
derivable en a si y sólo si existen ambas derivadas laterales y son iguales.
Ejemplo 2.15. Sea f (x) = |x|. Entonces l´ x→0+ f (x)/x = l´ x→0+ x/x = 1
ım ım
y l´ x→0− f (x)/x = l´ x→0− (−x)/x = −1.
ım ım
2.5.2. Interpretación geométrica
Recordando lo que vimos en el primer capítulo, f ′ (a) puede interpretarse
como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a))
(ver Figura 1.2, pág. 4). En efecto, (f (x) − f (a))/(x − a) es la pendiente de la
recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)), y si estas secantes
tienden a una posición límite cuando x → a, la pendiente de esa recta será
l´ x→a (f (x) − f (a))/(x − a) = f ′ (a). La ecuación de la recta tangente será
ım
entonces y = f (a) + f ′ (a)(x − a).
En realidad, dadas las dificultades existentes para definir en términos geo-
métricos la noción de recta tangente, se puede usar la derivada para definirla
analíticamente. Es decir que si existe f ′ (a) entonces la recta tangente a la gráfica
de f en el punto (a, f (a)) será, por definición, y = f (a) + f ′ (a)(x − a).
Los a para los cuales f ′ (a) = 0 se llaman puntos críticos o singulares de f .
Geométricamente se pueden caracterizar como los puntos en los cuales la gráfica
de f es horizontal (es decir paralela al eje Ox).

25. 2.5 Derivadas 35
Si f tiene derivada infinita en a, entonces la tangente a la gráfica de f en el
punto (a, f (a)) es la recta vertical x = a.
Si f está definida en un intervalo [a, b] y existe la derivada lateral f ′ (a+ ),
entonces la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) será y = f (a) +
f ′ (a+ )(x − a). Del mismo modo, si existe f ′ (b− ), la tangente a la gráfica de f
en el punto (b, f (b)) será y = f (b) + f ′ (b− )(x − b).
Ejemplo 2.16. Consideremos una parábola de foco F y directriz d. Los griegos
sabían que la tangente a esta curva en un punto P es la bisectriz del ángulo
formado por el radio vector F P y la paralela al eje por P . Para comprobar este
resultado usando el cálculo, tomemos un sistema de coordenadas con origen O en
el vértice de la parábola, eje Ox paralelo a la directriz y como eje Oy, el eje de la
parábola. Si tomamos como unidad de medida la distancia del foco a la directriz,
entonces las coordenadas del foco son (0, 1/2) y la ecuación de la directriz es
y = −1/2. La distancia del foco al punto P = (x, y) es x2 + (y − 1/2)2 , y la
distancia de P a la directriz es y + 1/2. Por lo tanto la ecuación de la parábola
es x2 + (y − 1/2)2 = y + 1/2. Elevando al cuadrado nos queda
1 1
x2 + (y − )2 = (y + )2 ,
2 2
y luego de desarrollar los cuadrados y simplificar queda x2 = 2y, o y = x2 /2.
m
co
Por lo tanto y ′ = x y la ecuación de la tangente en P = (a, a2 /2) es
1.a
ic
at
m
a2 a2
e
at
y= + a(x − a) = ax − .
.M
2 2
w
w
w
Ahora bien, si α es el ángulo que forma la recta F P con el eje Ox, entonces
tg α = (a2 /2 − 1/2)/a = a/2 − 1/(2a), y si β es el ángulo que forma la tangente
con el eje Ox, entonces tg β = a. Por lo tanto
a 1
tg(β) − tg(α) 2 + 2a
tg(∠M P N ) = tg(β − α) = = 1 a2
1 + tg(β) tg(α) 2 + 2
1
a+ a 1 π
= = = tg( − β) = tg(∠N P Q),
1 + a2 a 2
y entonces ∠M P N = ∠N P Q.
De aquí se deduce la conocida propiedad de los espejos parabólicos: los rayos
paralelos al eje, una vez reflejados pasan por el foco. Según Plutarco, Arquímedes
utilizó esta propiedad para defender a Siracusa, su ciudad natal, de los romanos:
hizo construir grandes espejos en forma de paraboloides de revolución, capaces
de concentrar los rayos solares sobre las naves enemigas hasta quemarlas.
2.5.3. Interpretación cinemática
Consideremos un punto que se mueve sobre una línea recta. Fijando un
origen y una unidad de medida en la recta, la posición del punto móvil en el
instante t queda determinada por su abscisa x(t), que será función del tiempo.

26. 36 Conceptos Básicos
Figura 2.3: Tangentes a la parábola
om
La distancia recorrida por el móvil desde el instante t hasta el t + h es
.c
a1
x(t + h) − x(t); esta distancia es orientada: puede ser positiva, si el móvil avanza
ic
at
em
en el sentido de las x crecientes, o negativa en caso contrario. La velocidad media
at
es (x(t + h) − x(t))/h; observe que depende del intervalo de tiempo considerado,
.M
w
es decir del valor de h. Al límite (si existe) de la velocidad media cuando t → 0,
w
w
es decir a la derivada de x(t), se le llama velocidad instantánea. Siguiendo la
tradición newtoniana, en física se acostumbra denotar la derivada respecto al
tiempo con un punto en vez de un apóstrofo, es decir x(t). ˙
Lo anterior se puede generalizar al movimiento en dos o más dimensiones.
En el plano, por ejemplo, el movimiento de un punto P se puede describir dando
su abscisa y su ordenada en función del tiempo, digamos P (t) = (x(t), y(t)). En
˙
este caso la velocidad es el vector P (t) = (x(t), y(t)).
˙ ˙
2.5.4. Propiedades de las funciones derivables
Reglas de derivación
Las siguientes afirmaciones son bien conocidas y se prueban fácilmente a
partir de la definición de la derivada y las propiedades de los límites.
1. Si f es derivable en a y k es una constante, entonces kf es derivable en a
y (kf )′ (a) = kf ′ (a).
2. Si f y g son derivables en a entonces f + g es derivable en a y (f + g)′ (a) =
f ′ (a) + g ′ (a).

27. 2.5 Derivadas 37
3. Si f y g son derivables en a entonces f g es derivable en a y (f g)′ (a) =
f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a).
4. Si f y g son derivables en a, g(a) = 0 y g ′ (a) = 0, entonces f /g es derivable
en a y (f /g)′ (a) = (f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a))/(g(a))2 .
Demostremos como ejemplo la 3: como
(f g)(a + h) − (f g)(a) = (f (a + h) − f (a))g(a + h) + f (a)(g(a + h) − g(a)),
y como g es continua en a por ser derivable, se tiene
(f g)(a + h) − (f g)(a)
l´
ım
x→0 h
f (a + h) − f (a) g(a + h) − g(a)
= l´ım l´ g(a + h) + f (a) l´
ım ım
x→0 h x→0 x→0 h
= f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a).
Las dos primeras propiedades nos dicen que la derivación es una operación
lineal. De ellas se deduce, por inducción, que si f1 , f2 ,. . . ,fn son funciones de-
rivables en a y k1 , k2 ,. . . ,kn son constantes, entonces
om
.c
a1
(k1 f1 + k2 f2 + · · · + kn fn )′ (a) = k1 f1 (a) + k2 f2 (a) + · · · + kn fn (a).
′ ′ ′
ic
at
em
Ejemplo 2.17. Como (sen x)′ = cos x y (cos x)′ = − sen x, entonces
at
.M
w
w
w
sen x ′ (sen x)′ cos x − sen x(cos x)′
(tg x)′ = =
cos x cos2 x
2 2
cos x + sen x 1
= = = sec2 x = tg2 x + 1.
cos2 x cos2 x
Teoremas de Rolle y Lagrange
Lema 2.1. Si f : (a, b) → R es una función derivable y presenta un extremo
local en c ∈ (a, b), entonces f ′ (c) = 0.
Demostración. Hagamos la prueba para un máximo local (para mínimo local es
similar). Sea (c − ǫ, c + ǫ) ⊂ (a, b) un entorno de c tal que f (x) ≤ f (c) para todo
x ∈ (c − ǫ, c + ǫ). Entonces para c < x < c + ǫ se tiene (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0,
y por lo tanto l´ x→c+ (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0. Para c − ǫ < x < c se tiene
ım
(f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0, y por lo tanto l´ x→c− (f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0.
ım
Pero ambos límites laterales deben ser iguales a f ′ (c), por tanto 0 ≤ f ′ (c) ≤ 0
y f (c) = 0.
′
Teorema 2.11 (Teorema de Rolle).
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal que
f (a) = f (b) = 0, entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0.

28. 38 Conceptos Básicos
Demostración. Por el teorema 2.9 f tiene máximo M y mínimo m. Si el máximo
se alcanza en un punto c ∈ (a, b), entonces por el lema anterior f ′ (c) = 0. Lo
mismo si el mínimo se alcanza en un punto d ∈ (a, b). En caso contrario, máximo
y mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, y por lo tanto son ambos
0. Entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b] y por ser constante cumple f ′ (c) = 0
para cualquier c ∈ (a, b).
La interpretación geométrica del teorema de Rolle es sencilla: si se satisfa-
cen las hipótesis del teorema, entonces en algún punto interior del intervalo la
tangente a la gráfica de f es horizontal.
El siguiente teorema, también conocido como teorema de los incrementos
finitos o teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle y se
considera como uno de los más importantes del cálculo diferencial.
Teorema 2.12 (Teorema del valor medio).
Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), entonces
existe un c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a)
= f ′ (c).
b−a om
Demostración. En términos geométricos este teorema afirma que para algún
.c
a1
c ∈ (a, b), la tangente a la gráfica de f en el punto C = (c, f (c)) es paralela a la
ic
at
recta secante que pasa por los puntos A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)). En efecto,
em
at
(f (b)− f (a))/(b − a) es la pendiente de la recta secante y f ′ (c) es la pendiente de
.M
w
la recta tangente, por lo tanto el teorema afirma la igualdad de esas pendientes,
w
w
que es equivalente al paralelismo de ambas rectas. Aunque el teorema de Rolle
Figura 2.4: Teorema del valor medio
es un caso particular de este teorema, cuando f (a) = f (b) = 0, en realidad son

29. 2.5 Derivadas 39
equivalentes ya que se puede demostrar el teorema del valor medio a partir del
teorema de Rolle. Para ello consideremos la función auxiliar
g(x) = (b − a)(f (x) − f (a)) − (f (b) − f (a))(x − a).
Como g(a) = g(b) = 0, por el teorema de Rolle g ′ (c) = 0 para algún c ∈ (a, b).
Pero g ′ (x) = (b−a)f ′ (x)−(f (b)−f (a)), por lo tanto (b−a)f ′ (c)−(f (b)−f (a)) =
0, y f ′ (c) = (f (b) − f (a))/(b − a).
Ejemplo 2.18. Los excesos de velocidad en las carreteras generalmente se de-
tectan mediante sistemas de radar basados en el efecto Doppler, o mediante
rayos infrarrojos, pero se ha propuesto otro sistema basado en el teorema del
valor medio. Si se colocan en una autopista dos cámaras fotográficas separadas,
por ejemplo, 10 kilómetros, y se detecta que un automóvil tarda menos de 5
minutos en recorrer esos 10 km, sabremos que su velocidad media es mayor que
120 km/h, y entonces en algún punto del recorrido su velocidad instantánea
habrá tenido que superar los 120 km/h.
Ejercicio 2.40. Pruebe que la función derivada no puede tener discontinuidades
evitables. Más precisamente: si f es derivable en (a, b) y para un c ∈ (a, b) existe
l´ x→c f ′ (x) = L, entonces f ′ (c) = L.
ım
om
.c
Derivación de funciones compuestas
a1
ic
at
em
Teorema 2.13 (Regla de la cadena).
at
.M
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f ◦ g es derivable en
w
w
ay
w
(f ◦ g)′ (a) = f ′ (g(a))g ′ (a).
Demostración. Por el teorema del valor medio, para cada h existe algún ξ(h)
comprendido entre g(a) y g(a + h) tal que
f (g(a + h)) − f (g(a)) = f ′ (ξ(h))(g(a + h) − g(a)),
por lo tanto
f (g(a + h)) − f (g(a)) g(a + h) − g(a)
l´
ım = l´ f ′ (ξ(h)) l´
ım ım = f ′ (g(a))g ′ (a).
h→0 h h→0 h→0 h
Ejemplo 2.19. Como (sen x)′ = cos x y (x2 +1)′ = 2x, por la regla de la cadena
se tiene que (sen(x2 + 1))′ = 2x cos(x2 + 1).
Ejercicio 2.41. ¿Es válido probar la regla de la cadena tomando límites cuando
h → 0 a ambos lados de la igualdad
f (g(a + h)) − f (g(a)) f (g(a + h)) − f (g(a)) g(a + h) − g(a)
= · ?
h g(a + h) − g(a) h